Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 13
1.1. Когерентные и сжатые состояния световых полей 15
1.1.1. Обычные когерентные состояния 15
1.1.2. Поляризационные когерентные состояния 16
1.1.3. Сжатые состояния света 16
1.1.4. Генерация фоковских состояний 17
1.2. Методы анализа в квантовой оптике 17
1.2.1. Функция квазираспределения 18
1.2.2. Приложение теории групп 18
1.2.3. Квантовая томография 19
1.3. Методы решения квантовых нелинейно-оптических задач, содержащих стационарные гамильтонианы 20
1.3.1. Метод заданного поля 20
1.3.2. Метод возмущения 21
1.3.3. Метод диагонализации 21
1.4. Применения методов квантовой оптики в обработке информации 21
1.4.1. Квантовая информация 21
1.4.2. Квантовый компьютер 23
Глава 2. Алгоритм решения квантовых задач на компьютере с помощью программы Matlab 25
2.1. Постановка проблемы 25
2.2. Представление операторов в виде, приемлемом для пакета Matlab 26
2.3. Правило написания начального условия для матрицы плотности на примере генерации второй гармоники 29
2.4. Нелинейный гамильтониан взаимодействия и матрица плотности оптических мод в однородном нелинейном кристалле 32
2.5. Вычисление квантовых статистических характеристик взаимодействующих мод 35
2.6. Нелинейный гамильтониан взаимодействия оптических мод в неоднородном нелинейном кристалле 37
2.7. Краткие выводы 38
ГЛАВА 3. Формирование неклассического света в однородных и неоднородных нелинейно-оптических кристаллах 39
3.1. Постановка проблемы 39
3.2. Неклассический свет при умножении оптических частот излучения в фоковском состоянии 41
3.2.1. Генерация второй гармоники 42
3.2.2. Генерация третьей гармоники 49
3.3. Взаимодействие в неоднородной керровской среды 56
3.3.1. Q-функция квазираспределения 57
3.4. Краткие выводы 60
Глава 4. Квантовые поляризационные состояния света 61
4.1. Постановка проблемы 61
4.2. Поляризационная квантовая характеристическая функция Вигнера 62
4.2.1. Параметры Стокса 62
4.2.2. Поляризационная характеристическая функция 63
4.3. Поляризационная функция Вигнера в керровской среде 68
4.4. Краткие выводы 74
Глава 5. Нелинейное преобразование полей в оптической обработке информации 75
5.1 Постановка проблемы 75
5.2. Квантовые логические операции на основе методов линейной оптики 76
5.2.1. Спиновой и оптический кубит (вектор Джонса) 77
5.2.2. Логические операции на основе линейной оптики 77
5.2.3. Логические операции для спиновых кубитов 78
5.2.4. Логические операции на основе оптических поляризованных кубитов 82
5.3. Схемы приготовления оптических поляризованных кубитов 86
5.3.1. Приготовления поляризованных битов 87
5.3.2. Суперпозиция двух оптических поляризованных битов 88
5.3.3. Переход от одного поляризационного состояния к другому 88
5.3.4. Параллельное приготовление одновременно нескольких одинаковых битов 89
5.4. Краткие выводы 90
Приложение.
- Методы анализа в квантовой оптике
- Представление операторов в виде, приемлемом для пакета Matlab
- Неклассический свет при умножении оптических частот излучения в фоковском состоянии
- Поляризационная квантовая характеристическая функция Вигнера
Введение к работе
В последнее два десятилетия в оптике созданы источники неклассического света, представляющие значительный интерес для оптической связи и обработки информации. Свойства такого света адекватно описываются квантово-механически. К настоящему времени получен свет с уменьшенными флуктуациями числа фотонов (свет с субпуассоновской статистикой фотонов), излучение с подавленными флуктуациями одной из квадратурных компонент, так называемый квадратурно-сжатый свет. Квадратурно-сжатый свет находит, например, применение в экспериментах по квантовой телепортации. Интерес к неклассическому свету в настоящее время стимулируется также прецизионными оптико-физическим экспериментами и активным развитием квантовой оптики, в том числе квантовой криптографии, квантовой телепортации и квантовых вычислений. Особый интерес в последние годы вызывают фоковские состояния. Впервые эксперименты по генерации таких состояний выполнены группой Г. Вальтера в Германии. Эти эксперименты стимулируют дальнейшую разработку методов генерации фоковских состояний.
Основными методами получения неклассического света в настоящее время являются нелинейно-оптические процессы: генерация второй гармоники, параметрические усиления и генерация. Для реализации этих процессов обычно используют однородные кристаллы с квадратичной оптической нелинейностью. Вместе с тем в последние годы в нелинейной оптике развивается новое направление, связанное с применением РДС-кристаллов (кристаллов с регулярной доменной структурой). Проведены экспериментальные и теоретические исследования традиционных и последовательных трехчастотных взаимодействий в таких кристаллах. Определенное внимание исследователей уделяется исследованию применения РДС-кристаллов для генерации неклассического света.
Наряду с нелинейно-оптическими средами с квадратичной нелинейностью, для формирования неклассического света интерес вызывают среды с кубической нелинейностью (керровские среды). Использование среды с нелинейной восприимчивостью третьего порядка имеет ряд преимуществ в квантовой оптике, таких как: возможность осуществления квантовых неразрушающих измерений, реализация протоколов квантовой информации и т.п. Разнообразие применений неклассического света, по-прежнему, делает актуальной задачу разработки методов из получения.
Неклассические состояния света адекватно описываются с помощью функций распределения квазивероятности, которые занимают особое положение в современной квантовой оптике. Они приобрели широкую популярность из-за своей наглядности и полноты описания, т.е. достаточностью для количественного предсказания результатов наблюдений. Важной чертой распределений квазивероятности является их «квазиклассичность». Вследствие этого квантовое состояние отображается точкой классического фазового пространства. Выполненные в этом направлении исследования связаны с квадратурно-сжатым светом и не затрагивают, однако, проблемы квантового поляризационного состояния света.
В связи с решением проблем квантовой информации в настоящее время значительное внимание уделяется измерению не только квадрата волновой функции, но самой волновой функции. В случае двух частиц, например, бифотонов, для восстановления всех элементов матрицы плотности требуется еще информация о «заселенности» состояний с различными суммарными моментами. В связи с этим актуальна задача восстановления волновой функции методами квантовой томографии.
В настоящей диссертационной работе решены некоторые задачи, относящиеся к перечисленным направлениям исследований.
7 Цель диссертационной работы
Цель работы состояла в исследовании нелинейного преобразования частоты неклассического света, изучение его поляризационного состояния и возможности применения неклассического света в логических операциях. Основным предметом исследований являлось:
Изучение процесса генерации оптических гармоник (вторая, третья) в случае основного излучения в фоковском состоянии.
Анализ формирования неклассического света в неоднородной керровской среде.
Анализ квантовых поляризационных состояний света в керровской среде с помощью поляризационной функции Вигнера.
Рассмотрение возможности осуществления логических операций на основе РДС-кристаллов.
Научная новизна
Разработан компьютерный алгоритм для диагонализации стационарного нелинейного гамильтониана взаимодействия и вычислений квантовых статистических характеристик нелинейных процессов. Разработанный алгоритм применен к анализу генерации второй и третьей оптических гармоник, когда основное излучение находится в фоковском состоянии.
Выполнен анализ формирования неклассического света в керровской среде с пространственно-модулированной нелинейностью. Впервые с помощью функции распределения квазивероятности проанализировано квантовое поляризационное состояние света в керровской среде.
Предложено и показана возможность применения РДС-кристаллов в оптических логических элементах.
Научная и практическая ценность работы
Процесс генерации высших оптических гармоник при накачке излучением в фоковском состоянии можно использовать для получения света на новых частотах с уровнем флуктуации меньше, чем в когерентном состоянии.
Разработанный компьютерный алгоритм для диагонализации нелинейного гамильтониана можно использовать при исследовании квантовых статистических характеристик нелинейно-оптических процессов.
Применение РДС-кристаллов для создания логических элементов с целью построения оптического квантового компьютера имеет преимущество по количеству необходимых оптических элементов по сравнению с ранее предложенными схемами.
Неклассический свет, формируемый в кристаллах с керровской нелинейностью, можно использовать для создания перепутанных состояний, для протоколов квантовой информации и т.п.
Основные положения, выносимые на защиту
При накачке оптической среды с квадратичной или кубической нелинейностью излучение оптической среды излучением в фоковском состоянии возможна генерация высших гармоник с сильно подавленными амплитудными флуктуациями.
При взаимодействии двух поляризованных мод в пространственно-модулированной керровской среде на определенных длинах среды формируется суперпозиционные состояния шредингеровского «кота».
Поляризационная функция Вигнера дает наглядную интерпретацию квантовой картины взаимодействия двух поляризационных мод в керровской среде.
4. Метод квантовой томографии дал возможность восстановления волновой функции бифотонов.
РДС-кристаллы можно использовать для построения оптических логических элементов: НЕТ, управлемое-НЕТ, Адамара, фаза.
Разработанный компьютерный алгоритм позволяет диагонализовать стационарный нелинейный квантовый гамильтониан и с его помощью рассчитать квантовые характеристики нелинейно-оптических процессов с относительно большим числом фотонов.
Личный вклад автора
Автором выполнены квантовые расчеты по анализу генерации второй и третьей оптической гармоник, когда основное излучение находиться в фоковском состоянии, расчеты по формированию неклассического света в керровской среде с модулированной кубической нелинейностью; и по динамике флуктуации двух поляризационных мод в керровской среде с помощью функции Вигнера. Создан и реализован компьютерный алгоритм решения проблемы диагонализации стационарных нелинейных гамильтонианов. Предложено построение оптических логических элементов на основе РДС-кристаллов.
Объем и структура диссертации
Диссертационная работа содержит 120 страниц текста, включая 32 рисунков и списка литературы из 152 наименований. Структура работы следующая: Введение, 5 глав, Приложение, Заключение и Список литературы.
Во Введении формулируются актуальность темы и цель диссертационной работы, ее научная новизна и практическая ценность. Приведены основные положения, выносимые на защиту. Кратко изложено содержание диссертации по главам.
Главе 1 содержит краткий обзор последних работ по исследованию:
10 генерации оптических гармоник, неклассическим и поляризационным состояниям света, по генерации фоковских состояний, функциям квазираспределениям, приложениям теории групп, квантовой томографии, квантовой информации и квантовым компьютерам, а также методам решения квантовых нелинейно-оптических уравнений.
Методы анализа в квантовой оптике
В последние годы проявляется значительный интерес к фоковским состояниям [55], состояниям с точно определенным числом фотонов. Впервые эксперименты по генерации фоковских состояний были выполнены группой Вальтера [55]. Результаты этих экспериментов стимулировали дальнейшую разработку методов их генерации. Интерес представляет генерация высших гармоник таких состояний, которые могут быть использованы в квантовой оптической томографии и криптографии [60-63], для построения квантовых логических элементов и.т.д. К настоящему времени предложен ряд методов генерации фотонов в фоковском состоянии с помощью нелинейно-оптических процессов [63]. Квантовая статистическая оптика [24-26,64] играет важную роль в экспериментах квантовой оптики. В квантовой оптике часто вычисляют средние значения различных квантовомеханических операторов: среднее значение числа фотонов, дисперсию квадратурных компонент [26,4-6], дисперсию числа фотонов, фактор Фано [26], корреляционную функцию между двумя оптическими модами [26,64,4-6], функцию квазираспределения Вигнера [26,4-6], дисперсию операторов Стокса [18,29,47,30], поляризационую функцию Вигнера [31,65] и т.д. Эти величины содержат важную информацию о структуре неклассического света [151]. Однако в некоторых задачах [69] квантовой информации этих величин не всегда достаточно для полного описания природы света. Такая ситуация возникает, например, при выяснении того, являются ли оптические моды перепутанными.
В подобных случаях необходимо применять критерии перепутанности [69,81]. Функции квазираспределения играют важную роль в квантовой оптике. С помощью таких функций можно описывать одновременно динамику двух эрмитово сопряженных операторов, например, операторов координаты и импульса. Существуют три типа функции квазивероятности: функция Хусими (или Q-функция) [4,5,66], функция Глаубера-Сударшана (или Р-функция) [4,5,26], функция Вигнера [4,5,26]. Отметим, что функция Хусими не позволяет увидеть интерференционную картину двух четных и нечетных когерентных мод [26]. Функция квазивероятности Глаубера-Сударшана является сингулярной [4,5,26], поэтому ей не всегда удобно пользоваться. Функция квазираспределения Вигнера [4,5,26] позволяет увидеть интерференционную картину, например, смесь двух четных и нечетных когерентных мод, и она может принимать отрицательные значения вероятности. Поляризационная функция Вигнера применяется в поляризационной квантовой оптике. В квантовой оптике часто для наглядной интерпретации полученных результатов применяется функция Вигнера. В 19 веке М. Софус впервые построил теорию непрерывных групп в математике. Эти группы не нашли тогда своего применения в физике. Только в начале 20 века Вейль обнаружил возможность применения групп Ли в различных областях квантовой механики. Теория групп стала очень популярной в области ядерной и позже твердотельной физики. В квантовой оптике группы Ли начали применять только в начале 1970 г [49]. Теперь группа Ли применяется в различных квантово-оптических исследованиях: квантовой информации, квантовой томографии, квантовых вычислениях и т.д. Групповые методы обычно используются для нахождения вырожденных собственных состояний в квантовой механике. В квантовой оптике группы SU(2) и SU(1,1) нашли свои применения для описания обычного когерентного состояния и оператора сжатия. Впервые компактная группа SU(2) и некомпактная SU(1,1) были введены в квантовой оптике в работах [70-74]. Обобщенные когерентные состояния групп SU(2) и SU(1,1) построены в различных пространствах, например, в пространстве Гильберта и Лобачевского. Имеется много опубликованных работ [49,72,74] по применению свойств этих групп в области квантовой оптики. Группа SU(2) применяется для описания поворотов или фазовых сдвигов в линейной оптике.
Например, группа SU(2) заменяет в поляризационной оптике матрицы Мюллера, т.е. двухмерное представление этой группы позволяет вращать поляризационную матрицу. Впервые квантовая оптическая томография теоретически была рассмотрена Фогелем и Рискеным [75] в 1989г. В работах [76,77] функция квазивероятности Вигнера восстанавливалась с помощью вращения квадратурных компонент оптической моды. Отметим, что под томографией в квантовой оптике имеют в виду восстановление функции Вигнера с бесконечными проекциями квадратурных компонент под различными углами. Первый эксперимент [77] по оптической квантовой томографии был выполнен в 1993 г. В этой работе авторы использовали компьютерный алгоритм для восстановления функции Вигнера. Следует заметить, что процесс восстановления функции Вигнера - это не простая задача, для ее решения применяются различные приближенные методы [42]. Экспериментальная работа [77] поставила перед теоретиками задачу о нахождении хороших приближенных функций (или ядер) для восстановления функции Вигнера.
В квантовой механике вопрос о нахождении приближенных функций очень важен, потому что эти приближенные функции могут изменять характер функции квазираспределения Вигнера, а она непосредственно связана с флуктуациями. Поляризационная квантовая томография [31], возникла в 2001 г. Это научное направление опирается на томографию поляризационных (стоксовых) операторов. Поляризационная томография имеет ряд отличий от квадратурной томографии: Поляризационная томография - это трехмерная томография. Поляризационная томография применима только в поляризационной квантовой оптике. Поляризационная томография основана на поляризационной характеристической функции Вигнера и поляризационной функции Вигнера. Поляризационная томография зависит от двух углов поворота в отличие от квадратурной томографии, которая зависит от одного угла. Нахождение квантовых статистических характеристик нелинейных процессов в современной квантовой оптике практически неотделимо от компьютерных методов вычислений. Тем не менее существуют альтернативные методы решения квантовых нелинейных операторных уравнений [79,80,4]. Однако актуальность их применения невелика, поскольку эти методы не всегда дают возможность найти точное решение. Рассмотрим существующие методы решения квантовых нелинейных операторных уравнений более подробно. Использование метода заданного поля [4,80] приводит к потере квантовых статистических характеристик некоторых переменных (тех, которые положили равными константе) в нелинейной оптике, где важность их необходима. Метод заданного поля сводит систему нелинейных операторных уравнений к системе линейных операторных уравнений, которые могут быть решены с помощью, например, интегрального преобразования Лапласа. Метод теории возмущений хорошо развит и давно применяется в квантовой механике [78]. При решении задач нелинейной оптики часто требуется вычислить временную или пространственную эволюцию средних значений квантовых характеристических величин. При исследовании начального этапа эволюции системы метод возмущения дает правильный результат при учете первого или второго порядка теории возмущений. При возрастании времени взаимодействия между квантовыми состояниями требуется учет более высоких порядков теории возмущений, при этом вычисления становятся громоздкими. Кроме методов заданного поля и теории возмущений существует еще один метод - метод диагонализации [79], который был применен в задачах квантовой оптики в 1970 г для нахождения собственных значений и собственных векторов нелинейного оптического гамильтониана. Этот метод будет подробно рассмотрен в главе 2.1 для более сложных задач нелинейной квантовой оптики. В разделе 2.2 главы 2 будет изложен компьютерный алгоритм решения на языке математического пакета Matlab.
Представление операторов в виде, приемлемом для пакета Matlab
Вектор Ъ размерности п в Matlab задается в виде [і, 2,3,..., и] - квадратные скобки, в которых задаются числовые значения компонентов вектора Ь . Одномерный массив в Matlab представляется в виде строки. Правило описания матрицы или двухмерного массива в Matlab где первая строка в квадратных скобках [1 2;3 4] задается элементами из двух чисел 1, 2 (между ними находится пробел для разделения 1 от 2). Вторая строка матрицы М отделяется от первой строки точкой с запятой и задается элементами 3,4. Для разделения элементов 3 и 4 между ними ставится пробел. Ниже изложены правила описания некоторых использованных нами команд в программе Matlab. где символ означает произведение числа на всю матрицу, и символ обозначает тензорное произведение двух матриц. Тензорное произведение двух матриц всегда осуществляется справа налево, т.е. каждый элемент правой матрицы умножается на каждый элемент левой матрицы. В результате тензорного произведения матрицы М на М размерности 2x2 получаем матрицу размерности 4x4. В Matlab алгоритм тензорного произведения (2.3) заложен в программе и используется с помощью функции kron( ). Функция kron(X,Y) содержит две матрицы X и Y размерностями т\хп\ и т2хп2, где т1,п\,т2,п2 целые положительные числа. Функция kron( ) для двух матриц М (2.2) задается в видечислом фотонов в фоковском состоянии. Для построения матрицы а вычислим массив, который формирует числа Jn + i, (і = 0,1...). Эти числа задаются с помощью следующей команды в командной строке Matlab: При выполнении команды формулы (2.7) при заданном числовом значении п формируется массив длиной п. Построение матрицы (2.5) можно выполнить с помощью команды
С помощью матрицы (2.8) можно найти матрицу (2.6) при написании следующей команды Единичная матрица в Matlab задается с помощью команды где Z - размерность единичной матрицы. Для того, чтобы задать начальное условие с помощью матрицы плотности, сначала рассмотрим конкретный нелинейный оптический процесс. Например, рассмотрим процесс взаимодействия двух оптических мод я, и а2, с кратными частотами со и 2со, в оптическом кристалле с квадратичной нелинейностью при выполнении условия фазового синхронизма между модами. Нелинейный гамильтониан взаимодействия для рассматриваемого процесса имеет следующий вид [4,104] где к} - коэффициент нелинейного взаимодействия, h - постоянная Планка. Нелинейный гамильтониан взаимодействия (2.11) можно представить в виде тензорного произведения [93] где Д = а, 8 Е2 и А\ = Ёх аг. Ёх2 - единичные матрицы. Матрица плотности для нелинейного гамильтониана (2.12) в начальный момент времени t = 0 задается следующим выражением где р]2 (0) - матрица плотности мод а, и а2. Получим матрицу плотности /7,.,(0) для случая, когда мода а, находится в фоковском состоянии и содержит 3 фотона и мода аг находится в вакуумном состоянии: В том случае, когда обе моды а, и а2 находятся в фоковском состоянии и содержат 3 фотона, имеем: .18) Тензорное произведение матриц Д (0) и Д (0) находится аналогично предыдущему случаю. Если мода а, находится в когерентном состоянии и содержит в среднем а,2 =3 фотона, а мода аг находится в вакуумном состоянии, то: где or, = a, I exp (/# ,). Суммирование по переменным p и g ограничивается таким минимальным значением т, начиная с которого выполняется условие Например, если число фотонов в моде а, в среднем равно а, =3, тогда условие (2.20) почти выполняется при значении т = 3. Когда моды а, и а, находятся в когерентном состоянии, то обе матрицы плотности задаются в следующем виде: где значения w12 находятся из условия выполнения соотношения (2.20). После определения значений я, = аг, ,п2 =\а2\ и тх2 строятся матрицы ах, Й2 , Д и Ё2. Если обе моды находятся в когерентном состоянии, то размерности матриц а, , а2, , и 2 задаются в следующем виде:
Если обе моды находятся в фоковском состоянии, то размерности матриц ах, а2, , и Д, задаются в следующем виде: В Matlab нелинейный гамильтониан взаимодействия (2.11) задается с помощью функции kron( ), при этом фиксируются правила тензорного умножения [93] для каждой моды а, , а2 (см. (2.12)). В качестве примера рассмотрим нелинейный гамильтониан взаимодействия (2.12) при следующем условии: в начальный момент времени обе моды Д и Д, находятся в когерентном состоянии и имеют в средном по л, 2 = «1,2 =3 фотона. Условие (2.20) выполняется, когда оба параметра тх 2 принимают значения 3. Вычислим матрицы Д, Д для нелинейного гамильтониана взаимодействия (2.12). Для этого с помощью формулы (2.7) сформируем два массива JV, и N2: где [l:n12] - символьное обозначение одномерного массива.
Неклассический свет при умножении оптических частот излучения в фоковском состоянии
Как отмечалось в главе 1, в настоящее время отсутствуют точные аналитические методы решения нелинейных операторных уравнений, описывающих процесс генерации второй оптической гармоники. Поэтому эти уравнения решались численно [79] для небольшого числа фотонов накачки (от 20 до 200). Гамильтониан нелинейного взаимодействия для рассматриваемой нами системы сначала будет представлен в матричном виде, который с помощью компьютерной программы диагонализуется (см. главу 2). В результате диагонализации находим собственные значения гамильтониана и по этим собственным значениям вычисляем с помощью ЭВМ собственные состояния для каждого собственного значения. В дальнейшем при помощи такого подхода определим средние значения чисел фотонов и фактор Фано для второй и третьей оптических гармоник в диапазоне чисел фотонов основного излучения 500-4000 [102,103]. Гамильтониан взаимодействия для второй гармоники при выполнении условия фазового синхронизма между основной волной и второй гармоникой имеет вид [4,36,104,130] где h - постоянная Планка, а (а + ), Ъ (Ь + ) - операторы уничтожения (рождения) для основной и второй гармоники, g - коэффициент нелинейной связи волн. Далее для простоты полагаем h = 1, g = 1, что эквивалентно введению нормированного времени /, т.е. t-gt , где / текущее время. Отметим, что нелинейный процесс развивается во времени, если речь идет о взаимодействии в резонаторе. В случае взаимодействия попутных волн время ґ связано с длиной кристалла / соотношением t = lkp/v (v - скорость связанной волны). Поэтому под t можно понимать длину взаимодействия. Для анализа гамильтониан (3.1) необходимо представить в виде (2.12).
В качестве базиса берем фоковское состояние в энергетическом представлении \п, т), где -пит есть числа фотонов в основной и второй гармонике, п - положительное целое число, т пробегает значения от 0 до и/2 (для определенности п - четное число). Напомним, что для рождения второй гармоники необходимо, чтобы два фотона из основной моды преобразовались во вторую гармонику. По этой причине энергетический базис \п, т) примет следующий вид \n-2m, т). Следовательно, матричные элементы гамильтониана взаимодействия по этим базисным состоянием примут вид Из (3.3) видно, что матрица взаимодействия симметрична относительно главной диагонали, т.е. она похожа на матрицу Якоби [104]. Матрица взаимодействия (3.3) имеет размерность (п/2 +1)х(л/2 +1). Эту матрицу диагонализовали с помощью процедуры, изложенной в главе 2. Диагонализация матрицы (3.3) выполнена для числа фотонов п в основной моде от 2 до 2000. Были найдены и нормированы собственные вектора для каждого собственного значения. Вероятность обнаружить в момент времени t число фотонов [п/2] во второй гармонике для случая основного излучения в фоковском состоянии определяется выражением Здесь принято, что начальное состояние поля есть \п, 0) (вторая гармоника находиться в вакуумном состоянии), а конечное состояние поля на выходе кристалла - (и/2,0 (основное излучение - в вакуумном состоянии) и п - четное число фотонов. После подстановки в (3.4) выражения (3.3) и ряда преобразований вероятность (3.4) после упрощения можно представить в следующем виде л/2 где vw OT, - элементы квадратичной матрицы Vmm. собственных векторов (состояний) размерностью (и/2+ 1)х (и/2 + 1), идаот - элементы диагональной матрицы -Wint размерностью (и/2 +1) х (и/2 +1). Среднее число фотонов во второй гармонике вычисляется по формуле число фотонов основного излучения. Для определения статистики поля второй гармоники был рассчитан фактор Фано Статистические характеристики (3.6), (3.7) рассчитывались для разных чисел фотонов в основной моде. Результаты расчетов представлены на Рис.3.1 и Рис.3.2. Из Рис. 3.1 и Рис. 3.2 следует, что зависимость среднего числа фотонов второй гармоники имеет осцилляционный характер [136].
Интересно отметить, что среднее число фотонов и фактор Фано изменяются в противофазе. На начальном этапе взаимодействия статистика фотонов второй гармоники оказывается субпуассоновской (F2 \, см. Рис. 2.2), а основное излучение почти полностью преобразуется во вторую гармонику при / = 2 и это значение не зависит от числа фотонов основного излучения. После длин взаимодействия, на которых достигается максимум преобразования во вторую гармонику (здесь фактор Фано F2 0), начинается спад и осцилляционное поведение среднего числа фотонов, а затем достигается практически насыщение преобразования со слабой модуляцией. В области насыщения второй гармоники фактор Фано F2»1 и зависит от начального числа фотонов основного излучения: F2 40 (Рис. 3.1а), F2«80 (Рис. 3.16), F2 160 (Рис. 3.1в). Для объяснения уровня насыщения среднего числа фотонов второй гармоники обратимся к закону сохранения энергии. Согласно ему имеем где со - частота излучения, JV,, N2 - среднее число фотонов основного излучения и второй гармоники. В соответствии с (3.9) имеем
Поляризационная квантовая характеристическая функция Вигнера
Квантовая характеристическая функция Вигнера [24-26,37] одной оптической моды а определяется выражением где р = \а)(а\ - матрица плотности, // - комплексное число. Фурье-образ функции х{п) приводит к выражению для функции Вингера, с помощью которой находят статистические характеристики одномодового поля. Поляризационная квантовая характеристическая функция Вигнера зависит от трех параметров Стокса S,, S2, S3 [37,18,28-30] операторы рождения (уничтожения) фотонов относящиеся к вертикальным и горизонтальным поляризованным модам. Операторы 5,, S2, 53 полностью описывают поляризационные свойства оптического измерения. С помощью линейной комбинации операторов Sv S2, S3 введем понижающий S_ и повышающий S+ операторы и оператор разности числа фотонов 500 Операторы 5_, 5+ и 500 подчиняются следующим коммутационным соотношениям: Для того чтобы построить поляризационную функцию Вигнера нам нужна поляризационная характеристическая функция в факторизованном виде. Сначала вычислим поляризационную характеристическую функцию, а потом найдем функцию Вигнера. С этой целью рассмотрим скалярное произведение оператора поляризации S с единичным оператором Я, т.е. {/,(/1) = ехр (іЯ -п\ = exp iiXSJ + іЯ82пг + /Д53«з ). (4.5) где Я - действительное число.
Унитарный оператор (4.12) можно преобразовать к такому виду где a = 2nv а+=щ + іп2, а_=п3-іп2. Запишем унитарный оператор С/, (Я) в виде где =о,12" канонические координаты, которые надо вычислить и Р,=012 (0) = 0. Оба оператора /,(Я), и2(Я) при Я = 0 преобразуются в единичную матрицу: Условие факторизации: 1. Найти значения параметров PJ=0X2, при которых выполняется равенство /, (Я) =/72 (Л). 2. Существуют обратные матрицы Ux (Л) 1 и U2 (Л,)"1. 3. Существуют производные обоих операторов С/, (Я) и /2(Я) от Я и dU, (Л) dU2 (Л) для них также выполняется равенство —- - = —-±- -. Продифференцируем оба оператора С/, (Л), U2 (Л) и приравняем их Умножим обе стороны равенства (4.9) на оператор и используем равенство их (Л) = U2 (Я), тогда получаем" (iaSM + « Далее мы приравняем выражения в обеих частях равенства (4.11) перед одинаковыми операторами S0Q, S+, _, используя бозонную операторную алгебру. Выражение (3.1.4.6.1) при этом принимает вид 65 После подстановки (4.12) и (4.13) в выражение (4.11), последнее принимает следующий вид Приравнивая обе части равенства (4.14) перед одинаковыми операторами получим систему После некоторых преобразований систему уравнений (4.15) можно свести к одному уравнению Уравнение Рикатти (4.16) после замен Обыкновенное дифференциальное уравнение (4.18) легко решается. В результате имеем После подстановки (4.21) в (4.15) и интегрируя, получаем выражение для/ (/1) и РХ(А). Унитарный оператор U2(A) (4.7) после подстановки выражений ( Таким образом, унитарный поляризационный оператор (4.24) записан в факторизованном виде. При А = 1 унитарный оператор (4.24) принимает вид Поляризационная характеристическая функция оператора U2 получается после его усреднения по когерентным состояниям а,,)ая) двух поляризационных мод: Аналогичный подход позволяет получить поляризационную характеристическую функцию в другом виде [66]. (4.29) Для того чтобы получить поляризационную функцию распределения, нужно найти Фурье преобразование поляризационной характеристической функции Вигнера (4.29) по переменным щ,п2,пъ\ Конкретные типы поляризационной функций Вигнера приведены в [65]. В следующем разделе применим поляризационную функцию Вигнера к случаю, когда две взаимно перпендикулярные поляризационные моды распространяются через керровскую среду. Исследуем квантовое поляризационное состояние света в керровской среде. Это интересно, потому что можно получить интерференцию, описываемой поляризационной функцией Вигнера. Среда с керровской (кубичной) нелинейностью является хорошим кандидатом в проколах квантовой информации.
Нелинейный гамильтониан в случае однородной керровской среды [18,27], при распространении через нее двух поляризованных мод, характеризуемыми операторами а+ и а_, имеет вид (ср. с (3.17)) [132] где у-=+_±- коэффициенты нелинейной связи волн. Нелинейный гамильтониан (4.31) можно представить через два коммутирующих оператора S: и N, которые описывают динамику мод где S0, S, - пара операторов Стокса. Причем и Р операторы Р± 0 подчиняются следующим коммутационным соотношением Гамильтониан (4.40) в новых коммутирующих операторах имеет вид (4.36) Будем находить решение для гамильтониана (4.36) в гильбертовом пространстве, в котором определены базисные состояния \p,ju), т.е. вид
