Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамический хаос и информационные процессы . 20
1.1. Некоторые положения классической теории информации 21
1.2. Производство информации в системах с хаосом 36
1.3. Символическая динамика и передача информации 50
1.3.1. Элементы символической динамики 53
1.3.2. Переходот систем с непрерывным состоянием к системам с дискретным временем 57
1.3.3. Применение символических последовательностей для передачи информации 61
1.4. Кодирование информации с использованием специальных траекторий 63
1.4.1. Структура неустойчивых периодических орбит хаотических аттракторов 64
1.4.2. Процедура поиска неустойчивых орбит 66
1.4.3. Анализ структуры неустойчивых периодических орбит 69
1.4.4. Неустойчивые периодические скелетные орбиты-циклы-коды для передачи информации 87
1.5. Запись информации на неустойчивые предельные циклы кусочно-линейных отображений 90
1.6. Ограничения, связанные с использованием цифровых методов передачи информации на основе динамического хаоса 94
1.7. Выводы 101
Глава 2. Хаотическая синхронизация дискретных динамических систем 103
2.1. Введение 103
2.2 Синхронизация двух отображений при однонаправленной связи. 104
2.3 Синхронизация в ансамблях связанных отображений. 107
2.4. Условия устойчивости и реализуемость режима синхронизации в некоторых структурах связанных отображений. 116
2.4.1. Синхронизация двух отображений при несимметричной взаимной связи между ними. 117
2.4.2. Синхронизация трех отображений при "круговой" связи. 122
2.4.3. Синхронизация ансамблей отображений при симметричной и блочно-симметричной связи . 125
2.4.4. Синхронизация неустойчивых циклов хаотических отображений. 129
2.5. Использование синхронизации отображений в задачах обработки и передачи информации. 132
2.5.1. Синхронизация отображений с записанной информацией внешним информационным сигналом. 132
2.5.2. Схемы передачи информации с хаотической несущей, основанные на синхронизации двух и большего числа отображений. 136
2.6. Выводы. 140
Глава 3. Эксперименты по передаче информации с использованием цифровых сигнальных процессоров 142
3.1. Базовые принципы использования хаотических сигналов в коммуникационных схемах. 142
3.2 Выбор элементной базы. 147
3.3 Генерация хаотических колебаний с использованием цифровых сигнальных процессоров 150
3.3.1. Цифровое моделирование дискретных динамических систем 151
3.3.2. Цифровое моделирование динамики непрерывных хаотических систем на примере генератора Чуа 153
3.4. Эксперименты по передаче речевых сообщений с использованием цифровых сигнальных процессоров 154
3.4.1. Схема передачи информации 154
3.4.2. Эксперименты по передаче аналоговых сигналов 158
3.4.3. Передача сообщений по физическому каналу 161
3.4.4. Передача информации с использованием динамических систем с непрерывным временем 166
3.5. Схема передачи с повышенными скоростями 167
3.5.1. Схема передачи информации 169
3.5.2. Численное моделирование 174
3.5.3. Формирование последовательности хаотических отсчетов 175
3.6. Выводы 180
Глава 4. Многопользовательские системы связи с применением динамического хаоса 182
4.1. Введение 182
4.2. Хаотические сигналы как источники псевдошумовых расширяющих последовательностей 184
4.3. Использование специальных свойств хаотических сигналов 187
4.4. Асинхронная многопользовательская передача с использованием скелетных неустойчивых орбит 194
4.5. Управление неустойчивыми периодическими орбитами 203
4.6. Извлечение циклов-кодов из асинхронного потока 213
4.7. Хаотические маркеры 221
4.8. Выводы 229
Глава 5. Использование динамического хаоса в цифровых коммуникационных сетях 231
5.1. Введение 231
5.2. Структура цифровой системы связи с использованием хаотического кодирования 235
5.3. Передача звуковой информации через канал с двоичной амплитудно-импульсной модуляцией 239
5.4. Универсальность принципа разделения кодера канала и хаотического кодера 243
5.5. Функции хаотического кодирования 245
5.6. Хаотическое кодирование и протоколы передачи данных 248
5.7. Хаотическое кодирование и компьютерные сети 256
5.8. Хаотические кодеры на основе кусочно-линейных отображений с записанной информацией 265
5.9. Выводы 270
Глава 6. Эксперименты по сверхширокополосной прямохаотической передаче цифровой информации 271
6.1. Введение 271
6.2. Сверхширокополосная прямохаотическая передача информации 272
6.3. Модель прямохаотической системы связи 277
6.3.1. Свойства хаотических радиоимпульсов 277
6.3.2. Последовательность импульсов 282
6.3.4. Модуляция 285
6.3.5. Многопользовательский доступ 287
6.4. Устойчивость системы по отношению к аддитивному Гауссовому шуму 287
6.4.1. Аналитические оценки 288
6.4.2. Моделирование для случая дискретных хаотических сигналов 292
6.4.3. Моделирование для случая генератора с непрерывным временем 296
6.5. Компьютерное моделирование СШ ПХСС 301
6.6. Эксперименты по сверхширокополосной прямохаотической передаче 310
6.6.1. Макет системы и методика экспериментов 310
6.6.2. Эксперименты по передаче тестовых сигналов 314
6.6.3. Эксперименты по передаче информации в формате Ethernet 315
6.7. Выводы 324
Заключение 325
Цитируемая литература 329
Список работ по теме диссертации 347
- Запись информации на неустойчивые предельные циклы кусочно-линейных отображений
- Синхронизация ансамблей отображений при симметричной и блочно-симметричной связи
- Асинхронная многопользовательская передача с использованием скелетных неустойчивых орбит
- Передача звуковой информации через канал с двоичной амплитудно-импульсной модуляцией
Введение к работе
В последние десятилетия прошедшего столетия интенсивно развивается новая область знаний, объединенная общим понятием "детерминированный или динамический хаос". Основной причиной нерегулярности поведения является свойство локальной неустойчивости нелинейных систем, приводящее к экспоненциальному разбеганию первоначально близких траекторий в ограниченной области фазового пространства. Несмотря на то, что подобное представление о сложности восходит еще к временам А. Пуанкаре [1], активное изучение такого рода явлений началось в 60-е годы и нашло свое отражение в работах Е. Лоренца, А. Н. Шарковского, Л.П. Шильникова, Рюэля,Такенса, их учеников [2-6].
Дальнейший рост интереса к этой проблеме привел к тому, к концу 80-х годов были достигнуты значительные успехи в развитии качественной теории, накоплен критический объем знаний о природе хаоса, сценариях его зарождения и развития, методах формирования и управления хаотической динамикой [7-20]. Большой вклад в развитие современной хаотической динамики принадлежит ведущим отечественным научным школам: нижегородской (НИИПМК, ИПФАН, ГГУ); московской (Институт математики им. Стеклова, ИРЭ РАН, МГУ, ИПМ РАН); саратовской (СГУ, филиал ИРЭ РАН).
Практически одновременно с теоретическими исследованиями большое внимание уделялось поиску прикладных аспектов динамического хаоса. Прежде всего, это касается радиофизических приложений и, в первую очередь, проблемы генерации хаотических сигналов. Ведущая роль в изучении радиофизических автоколебательных систем принадлежит советским ученым. Пионерскими работами в этом направлении стал цикл исследований, проводимых начиная с середины 60-х годов в ИРЭ РАН (В .Я. Кислов, Н.Н. Залогин, Е.А. Мясин)[21-22], в которых динамический хаос был обнаружен в радиоэлектронных распределенных СВЧ-структурах, а также
8 предложены простые и ясные модели описания таких структур. Дальнейшее развитие принципов генерации хаотических сигналов привело к созданию широкополосных источников хаоса, успешному их применению для решения ряда прикладных радиофизических задач.
К настоящему времени спектр возможных приложений динамического хаоса достаточно обширен. Он включает в себя вопросы моделирования сложных систем, анализ коллективного поведения ансамблей взаимодействующих объектов с целью эффективного управления динамикой такого рода системам, развитие прогностических методов, основанных на анализе экспериментально наблюдаемых хаотических временных выборок и ряд др. Особое место занимает направление связано с использованием хаоса в информационных технологиях. Интерес к этому не случаен и определяется, прежде всего, свойствами хаотических колебаний. Оказалось, что хаотические системы обладают набором специфических свойств, делающих их привлекательными с точки зрения процессов обработки, построения схем передачи информации. К этим свойствам относятся: естественная широкополосность хаотических сигналов свидетельствующая потенциально большой информационной емкости; возможность "вложения", хранения и извлечения с использованием хаоса большого количества полезной информации; генерация сложных, в том числе нерегулярных колебаний с помощью относительно простых по структуре систем; многообразие хаотических режимов (мод), формируемых с помощью одного источника эффективное управление хаотическими режимами может осуществляться путем малых изменений параметров системы потенциально высокие скорости модуляции по отношению к традиционным методам за счет высокой чувствительности хаотических систем к внешним возмущениям возможность применения нетрадиционных методов мультиплексирования/демультиплексирования самосинхронизация передатчика и приемника определенная степень конфиденциальности при передаче сообщений с использованием хаотической несущей
Сложность структуры хаотических сигналов, чрезвычайная чувствительность их к начальным условиям свидетельствуют о потенциально очень большом внутреннем информационном содержании хаотических колебаний. Аналогия с естественными природными информационными процессами, прежде всего с активностью биологических нейроструктур, в том числе и человеческого мозга [23-25], вызывает стремление отыскать способы и механизмы хранения, обработки и передачи больших потоков информации. Вопрос заключается в том, как научиться закладывать полезную информацию в хаотическое поведение и как ее впоследствии извлекать. Возможные пути решения лежат в использовании внутренней структуры хаотического движения, символического описания сложного динамического поведения [26-28].
Существенным является тот факт, что динамические системы, порождающие хаотические сигналы, сами по себе является источниками или генераторами информации. Это требует дополнительного осмысления процессов переноса и обработки информации, реализуемых на основе хаотических систем.
Другим важным прикладным аспектом динамического хаоса является коммуникационные задачи. По своим внешним свойствам хаотические колебания представляют собой непериодические нерегулярные сигналы, обладающие сплошным спектром мощности и быстро спадающей автокорреляционной функцией. Это ставит их потенциально в один ряд с шумоподобными псевдошумовыми сигналами, широко применяемыми в современной технике связи [29-30]. Поиск места хаотических сигналов, использование их специфических свойств и особенностей представляется
10 одной из важных задач на пути построения новых нетрадиционных систем связи, использующих хаотические колебания в качестве информационного носителя.
Дополнительный импульс в попытках использования хаоса в коммуникационных задачах связан с необычным характером взаимодействия динамических хаотических систем и, прежде всего, с явлением хаотической синхронизации. Отсчет в этом направлении был дан в середине 80-х, когда была установлена возможность синхронного поведения взаимодействующих хаотических систем [31-33]. Открытие хаотического синхронного отклика, позволяющего получать на выходе нелинейного фильтра копии хаотического сигнала [34], генерируемого передатчиком, послужило стимулом для создания систем, использующих хаотические сигналы в качестве носителя полезной информации.
За истекшее время предложен ряд схем, демонстрирующих возможность передачи информации с использованием хаоса, исследованы их свойства, проведены модельные и физические эксперименты. Работы по изучению коммуникационных схем, использующих хаотические сигналы активно проводятся в ИРЭ РАН, Нижегородском и Саратовском Гос Университетах, МЭИ, Ярославском Гос. Университете, ряде зарубежных исследовательских центров: Университеты Беркли, Сан-Диего (США); Дрезденский Технический Университет (Германия), Университет Токио (Япония) [35-50]. На основе кольцевых автоколебательных систем разработана и экспериментально апробирована система связи, обеспечивающая беспроводную передачу аналоговой информации в радиодиапазоне [51-56]. Вместе с тем попытки реализовать системы связи, использующие динамический хаос в качестве информационной несущей обнажили ряд проблем. Оказалось, что линейные и нелинейные искажения в реальных физических каналах связи, внешние шумы и другие факторы существенно ухудшают качество передачи и зачастую делают ее практически невозможной. С другой стороны, для получения синхронного отклика в приемной части необходимо выдвигать серьезные требование на "прецизионность" выполнения отдельных элементов хаотических схем, и обеспечивать воспроизводимость их характеристик от образца к образцу. В результате определенная эйфория по поводу скорого и успешного построения реальных схем на основе динамического хаоса сменилась некоторым разочарованием и необходимостью более тщательного поиска путей применения хаотических сигналов в коммуникационных задачах.
Открытым остается вопрос о полноценном использовании широкополосных свойств хаотических носителей информации. В известных к настоящему времени экспериментально апробированных схемах передачи информации хаотические сигналы используются в качестве промежуточной несущей, которая впоследствии может переноситься в радио диапазон с помощью традиционных методов. Вследствие этого несущие высокочастотные колебания по-прежнему являются узкополосными и не могут обеспечить высоких скоростей передачи. Попыткой преодоления таких ограничений является концепция прямо хаотических систем связи, использующих хаотическую несущую непосредственно в радио- или СВЧ -диапазоне [57-59]. Развитие идей и принципов прямо хаотической передачи информации представляется перспективным направлением для построения беспроводных высокоскоростных коммуникационных каналов связи с хаотической несущей.
Интенсивное исследование коммуникационных схем, использующих хаотические сигналы, поставило на повестку дня вопрос о принципиальных возможностях динамического хаоса в организации новых нетрадиционных способах многопользовательского доступа. Одно из потенциальных решений связано с использованием фрагментов хаотических сигналов непосредственно в качестве расширяющих последовательностей для прямого расширения спектра информационного сигнала в технологии кодового разделения сигналов [60-61]. Вместе с тем, актуальным является поиск
12 многопользовательских схем связи, опирающихся на специфические свойства динамического хаоса.
Накопленный к настоящему времени опыт построения экспериментальных схем связи, использующих хаотические колебания в качестве носителя информации, свидетельствует о достижении определенной степени конфиденциальности передачи. Действительно, стороннему наблюдателю зачастую невозможно напрямую извлечь полезный сигнал из смеси его с хаотическим. Уровень конфиденциальности, степень скрытности передачи далеко не всегда удовлетворяют требованиям закрытых каналов связи. Вопросы уровня конфиденциальности, качества скрытности передачи, создания стойких к несанкционированному доступу каналов связи должны стать предметом отдельного детального исследования специалистов-криптоаналитиков. Вместе с тем, процедура ввода полезного сигнала в хаотический и его последующее извлечение {хаотическое кодирование/декодирование), способные обеспечить определенную степень приватности передачи, представляют собой самостоятельную ценность и могут быть использована в уже существующих каналах связи. Важным здесь является вопрос интегрируемости такой процедуры в известные и широко используемые системы связи. Такого рода исследования с одной стороны могут привнести новое качество в известные технические решения, а с другой стороны существенно ускорить процесс непосредственного внедрения идей хаотической динамики, поскольку для их реализации не требуется осуществлять системные разработки с нуля. Речь идет о стратегиях использования методов хаотического кодирования в существующих коммуникационных технологиях. С этой точки зрения привлекательными представляются современные цифровые коммуникационные системы и прежде всего компьютерные сети.
В качестве основных объектов исследования в работе выбраны динамические системы с дискретным временем - хаотические отображения. Выбор такого вида источников хаоса определяется рядом причин. Прежде
13 всего, отображения являются наиболее простыми динамическими системами, демонстрирующими хаотическую динамику. На примере канонических отображений (отображение сдвига, логистическое отображение, отображение Лози, отображения Хенона) было продемонстрировано многообразие бифуркационных явлений, свойственных более сложным системам. В ряде случаев оказывается возможным редукция непрерывных потоковых и пространственно-временных систем к точечным отображениям. Важным обстоятельством является то, что схемы обработки информации, построенные на основе отображений, допускают аналитическое рассмотрение. Следует отметить относительную простоту моделей коммуникационных схем, реализуемых на основе отображений - по сравнению с потоковыми системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, компьютерное моделирование требует существенно меньших ресурсов. Наконец, дискретные системы (отображения) являются удобным объектом для физического моделирования с помощью современной цифровой элементной базы (цифровые сигнальные процессоры, программируемые логические интегральные схемы и т.д.).
Исходя из вышесказанного, актуальными и приоритетными направлениями в развитии методов обработки и передачи информации с использованием динамического хаоса следует считать:
Исследование информационного содержания хаотических сигналов, их внутренней структуры, основных характеристик, в целях развития новых методов обработки информации, в том числе кодирования и передачи сообщений с использованием динамического хаоса.
Развитие новых технологий обработки и хранения информации на основе хаотической динамики.
Изучение явлений, сопровождающих взаимодействие хаотических систем и прежде всего хаотическую синхронизацию, как средство эффективного ввода/вывода информационной составляющей в хаотические сигналы.
Поиск и исследование методов высокоскоростной передачи данных на основе хаотической несущей.
Использование методов цифровой обработки сигналов при реализации схем передачи информации на основе динамического хаоса.
Поиск решений, обеспечивающих интеграцию схем хаотической связи в существующие коммуникационные системы.
Развитие способов передачи информации с использованием динамического хаоса в цифровых сетях, в том числе сетях общего пользования (Интернет)
Анализ возможностей применения идей хаотической динамики для обеспечения многопользовательского доступа.
Диссертационная работа посвящена решению комплекса проблем по вышеперечисленным направлениям.
Научная новизна работы заключена в следующем:
На основе детального изучения структуры неустойчивых периодических орбит ряда отображений (отображений Хенона, Лози, отображения, описывающего динамику цифрового фильтра второго порядка) предложена исследована и экспериментально апробирована схема многопользовательской асинхронной передачи информации, использующая в качестве индивидуальных циклов-кодов пользователей систему скелетных неустойчивых периодических орбит хаотических аттракторов.
Разработана теория синхронизации ансамблей хаотических отображений, с помощью которой аналитически получены и численно подтверждены условия возникновения хаотической синхронизации.
На основе цифровых сигнальных процессоров созданы источники хаотических сигналов, реализующие динамику дискретных отображений, а также разностные схемы численного интегрирования хаотических систем с непрерывным временем. Экспериментально апробированы схемы передачи
15 сообщений, в том числе речевых и музыкальных фрагментов, основанные на использовании хаоса в качестве информационной несущей.
Проанализированы возможности применения хаотического кодирования в компьютерных сетях. Предложенный принцип разделения хаотического кодера и кодера канала реализован на примере передачи конфиденциальной звуковой информации в локальной компьютерной сети, а также передача конфиденциальной информации через электронную почту в сети Интернет.
Экспериментально реализована схема высокоскоростной (до 200 Мб/с) беспроводной прямохаотической передачи цифровых данных, основанная на использовании в качестве несущей сверхширокополосных хаотических колебаний, а также осуществлена передача цифровых данных между компьютерами по беспроводному каналу в формате Ethernet (10 Mb).
Практическая значимость работы.
На основе разработанной теории хаотической синхронизации ансамблей точечных отображений предложена схема, позволяющая осуществлять дуплексный конфиденциальный обмен информацией. Синхронизацию отображений с записанной на неустойчивые циклы информацией целесообразно использовать для создания "фильтров новизны", т.е. устройств, позволяющих различать "новый" информационный образ от уже имеющихся в системе.
Проведенные исследования демонстрируют возможность применения цифровых методов для генерации хаотических сигналов и построения эффективных систем передачи информации с использованием хаоса на основе современных цифровых интегральных схем, в том числе сигнальных процессоров.
Предложенный и экспериментально апробированный способ асинхронной передачи информации на основе использования циклов-кодов представляет интерес с точки зрения развития многопользовательских систем связи и может быть использован для организации множественного доступа к информации, распространяемой по общему для всех пользователей информационному каналу.
Показано, что процедура хаотического кодирования может быть использована для передачи конфиденциальной информации по локальным и глобальным информационным сетям. Реализована программная оболочка, для передачи конфиденциальной корреспонденции по сети Интернет.
Экспериментальный макет сверхширокополосной прямо хаотической передачи данных, демонстрирующий передачу данных по беспроводному каналу связи со скоростями вплоть до 200Мб/с, подтверждает возможности использования технологии прямохаотической передачи для построения перспективных высокоскоростных беспроводных сетей.
Основные результаты работы и положения, выносимые на защиту
1. Предложена и исследована совокупность принципов обработки и передачи информации с использованием динамического хаоса, и на основании предложенных принципов реализованы экспериментальные схемы передачи информации в аналоговых и цифровых коммуникационных системах. 2 Предложен, исследован и экспериментально апробирован способ многопользовательского доступа, основанный на использовании скелетных неустойчивых периодических орбит хаотических аттракторов в качестве уникальных кодов индивидуальных пользователей.
3. Построена теория синхронизации ансамблей хаотических отображений, с помощью которой аналитически получены и численно подтверждены условия возникновения хаотической синхронизации и предложена схема дуплексной конфиденциальной связи с использованием хаотической несущей.
4. Проведен анализ использования цифровых методов обработки для генерации хаотических сигналов, а также построения на их основе схем передачи информации. На основе цифровых сигнальных процессоров экспериментально реализованы источники хаотических сигналов и
17 апробированы схемы конфиденциальной передачи речевых и музыкальных сообщений.
5. Предложен принцип разделения хаотического кодера и кодера канала, позволяющий использовать процедуру хаотического кодирования для обеспечения приватной передачи информации в цифровых коммуникационных сетях общего назначения. Реализованы процедуры передачи конфиденциальных звуковых сообщений в локальной компьютерной сети, а также передачи приватной почты в сети Интернет.
6. Предложена, исследована и экспериментально апробирована высокоскоростная беспроводная сверхширокополосная прямо хаотическая схема передачи цифровой информации, обеспечивающая скорости до 200 Мб/с. На основании схемы экспериментально реализована беспроводная локальная компьютерная связь в формате Ethernet (10Mb), обеспечивающая уровень ошибок 10"7 —10"8 на бит.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: Ge; International Specialist Workshops "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" ("NDES") (Dublin, Ireland, 1995; Seville, Spain, 1996; Moscow, Russia, 1997; Budapest, Hungary, 1998; Bornholm, Denmark 1999; Delft, Holland, 2001, Kasdasi, Turkey, 2002); European Conference on Circuit Theory and Design ("ECCTD") (Istanbul, Turkey, 1995; Budapest, Hungary, 1998; Espoo, Finland, 2001); International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications ("NOLTA") (Crans-Montana, Switzerland, 1998; Dresden, Germany, 2000); Международная школа - конференция ("Хаос") (Саратов, 1992, 1994, 1998); International Workshop "Nonlinear Dynamics and Complex Systems" (Minsk, Republic of Belarus, 1999, 2001); International Conference "Control of Oscillations and Chaos" ("COC") (St. Petersburg, 1988, 2000); Международная конференция "Progress in Nonlinear Sciences" (H. Новгород, 2001); Synchronization-. Theory and Application (International School), (Yalta, Crimea, Ukraine, 2002); 1st IEEE Int. Conference on Circuits and Systems for Communications(Circuits and Systems in Broadband Communication
18 Technologies, St. Petersburg, 2002), International Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine, (SYNCHRO-2002, Saratov, 2002).
По теме диссертации опубликовано 58 работ, включая 22 статьи в рецензируемых журналах, 7 препринтов, 25 докладов, 4 патента.
Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах в ИРЭ РАН, МФТИ, МЭИ, НИИПМК, ГГУ, ЯрГУ, ИПФАН РАН, Институт Математики (KHeB),Nortel Networks Corporation (Wireless Department) (Канада).
Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов математического моделирования с результатами физических экспериментов, а также экспериментальной реализацией действующих схем передачи информации.
Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке основных задач, в проведении теоретического анализа и компьютерного моделирования, в разработке принципов передачи информации с использованием хаотической несущей, том числе организации многопользовательского доступа, в развитии методов цифровой обработки информации на основе хаотических динамических систем, проведении экспериментальных измерений и интерпретации полученных результатов.
Теоретические исследования информационного содержания хаотических сигналов, а также анализ явления хаотической синхронизации проводились на паритетных началах с Дмитриевым А.С. Принцип записи и извлечения информации с помощью дискретных динамических кусочно-линейных систем предложен в соавторстве с Дмитриевым А.С. и Панасом А.И. Экспериментальные результаты получены на паритетных началах с соавторами (Панас А.И., Максимов Н. А., Пузиков В.Ю. Емец СВ.), указанными в Списке работ, опубликованных по теме диссертации.
19 Структура и объём работы. Работа состоит из введения, 6 глав (разделов), заключения, списков работ по теме диссертации и цитируемой литературы. Она содержит 355 страниц» включая 128 рисунков и иллюстраций, 58 наименований работ по теме диссертации, а также 177 наименований цитируемой литературы.
Запись информации на неустойчивые предельные циклы кусочно-линейных отображений
Хаотический источник имеет непрерывные значения переменных, т. е. обладает бесконечным числом состояний, но при этом производит конечное количество информации в единицу времени (см. п 1.3). Поэтому любой хаотический сигнал в отсутствии шумов может быть передан без искажений по каналу с конечной пропускной способностью. Таким свойством не обладают другие виды сигналов. Например, белый шум обладает бесконечной энтропией и поэтому не может быть передан без искажений через канал с конечной пропускной способностью. Произвольный информационный сигнал с ограниченным спектром частот также может быть передан со сколь угодно малыми искажениями только в случае, когда пропускная способность канала неограниченно растет.
Таким образом, можно выделить следующие четыре основных типа источников сообщений (ИС) для систем с дискретным временем. 1. ИС с конечным числом состояний, у которого каждый символ в последовательности появляется с некоторой вероятностью. Энтропия для такого источника О Н со. 2. ИС с бесконечным числом состояний (например, состояние - непрерывная величина) и некоторым законом плотности их распределения. Состояния в каждый момент времени независимы. Н = со. 3. ИС, получаемый из ИС в п. 2 путем преобразования фильтром с конечной полосой пропускания. Н = х . 4. ИС представляющий собой источник хаоса. О Н со. Дискретный канал с шумом. Если канал с шумом питается некоторым источником, то имеются два статистических процесса: источник и шум. Поэтому имеется несколько энтропии, которые могут быть вычислены. Во-первых, существует энтропия источника или энтропия входа канала Н(х) ( они равны, если передатчик невырожденный). Энтропия выхода канала, т.е. принятого сигнала Щу). В случае отсутствия шума Н(х)=Н(у). Совместная энтропия входа и выхода - Н(х,у). Наконец имеются две условные энтропии Нх(у) и Ну(х) ( энтропия выхода, когда вход известен, и наоборот). Эти величины связаны соотношениями
Пропускная способность канала с шумом должна быть максимально возможной скоростью передачи. Поэтому пропускная способность канала определяется как С = max [H(x)-Hy(x)J, где максимум берется по всем возможным источникам информации, используемым в качестве входа в канал. Если рассматривается канал без шума, то Ну(х)=0.
Т.е. при надлежащем кодировании по каналу можно передавать информацию со скоростью С со сколь угодно малой частотой ошибок или при сколь угодно малой ненадежностью и справедлива теорема [62]: Теорема. Пусть дискретный канал обладает пропускной способностью С, а дискретный источник - энтропией в секунду Н. Если Н С, то существует такая система кодирования, что сообщения источника могут быть переданы по каналу с произвольно малой частотой ошибок ( или со сколь угодно малой ненадежностью ). Если Н С, то можно закодировать источник таким образом, что ненадежность будет меньше чем Н-С+Е, где Е - сколь угодно мала. Не существует способа кодирования, обеспечивающего ненадежность, меньшую чем Н-С. Комментарий 2. Значит и в случае канала с шумом хаотический сигнал может быть передан со сколь угодно малыми искажениями через канал с фиксированной конечной пропускной способностью. Информация для непрерывных сигналов. Если функция времени f(t) ограничена по полосе частот от 0 до W герц, то в соответствии с теоремой В.А.Котельникова она полностью определяется заданием ее ординат в дискретной последовательности точек, отстоящих друг от друга на интервалы времени 1/2 W. Теорема Котельншова (теорема отсчетов). Пусть f(t) не содержит частот, превышающих W. Тогда Комментарий 3. Выражение для энтропии (1.1) в случае непрерывных величин может давать бесконечное значение энтропии. Для формального преодоления этой расходимости энтропии непрерывного распределения с функцией плотности распределения Р(х) определяется не через сумму (1.1), а как интеграл Однако в ряде задач, например, при создании ассоциативных баз данных на отображениях [72-74] приходится иметь дело с сообщениями, представленными в виде чисел с большим числом знаков в мантиссе. Таким образом, возникает необходимость работать с сигналами высокого разрешения, для которых формальный переход от суммы (1.1) к интегралу (1.11) не имеет смысла. Теорема о скороти передачи информации по непрерывный)? каналу с шумом. Если сигнал и шум независимы, а принимаемый сигнал является суммой передаваемого сигнала и шума, то скорость передачи равна где у - принятый сигнал, п- шум, т.е. энтропии принимаемого сигнала за вычетом энтропии шума. Пропускная способность канала равна Эта теорема [62] справедлива, когда шум прибавляется к сигналу, причем шум не зависит от сигнала (в вероятностном смысле). Тогда Рх(у) есть функция только разности п=(у-х) и можно приписать шуму определенную энтропию (независимо от статистики сигнала), а именно энтропию распределения Q(n). Эта энтропия будет обозначаться Н(п).
Синхронизация ансамблей отображений при симметричной и блочно-симметричной связи
Для того, чтобы отобразить непрерывную траекторию в символические последовательности, ее сначала представляют в дискретном виде путем введения сечения Пуанкаре Е (отображения последования), и рассматривают последовательные пересечения траектории с Е Плоскость сечения Е выбирается индивидуально для каждой системы, и используются не все точки пересечения траекторий с Е, а только те, которые пересекают ее в определенном направлении. Проиллюстрируем этот момент на примере системы Лоренца [2].
Удобным выбором сечения будет в этом случае Е = {{X,Y): X =-о(Х-У)=0; X"sgn(X) 0 [99]. Поскольку движение ограничено, производная по времени для любой координаты в нерегулярные моменты времени обращается в нуль. В данном случае пересечение траекторий с Е происходит при X =0. Второе условие принимает во внимание общее направление потока (1.52) в фазовом пространстве: траектория движется по часовой стрелке, если рассматривать ее плоскость (X,Z) для больших \Х\. Поэтому можно принять, что пересечения возникают при движении вниз для положительных X и вверх для отрицательных. Введенное таким образом на сечении I отображение обладает некоторой симметрией, свойственной исходному потоку (Х означает положение вектора на I, п - дискретное время, a F: Z-+Z в общем случае неизвестная нелинейная функция). Например, поток, обладающий неустойчивыми циклами с лево-правой симметричной формой по X, которые дают четное число парных симметричных точек пересечения на I. Более того поток имеет пары циклов, каждый из которых является зеркальным образом другого и обладает совокупностью точек пересечения с теми же свойствами. Первые орбиты являются "четными", а последние "нечетными". Этого не было бы, если второе условие для I было бы просто Х" 0 или Х" 0, независимо от знака X. Поверхность I должна быть выбрана также таким образом, чтобы траектории не касались ее тангенциально. Условие трансверсальности (l,-l,0)(X ,Y ,Z ) #0 в нашем случае выполнены везде для X = Y за исключением точек (плоскостей) с I = 0 и Z = г-1. Эти две плоскости проходят через три неподвижные точки системы, однако странные аттракторы при типичных значениях параметров не проходят близко к таким точкам. Будем рассматривать систему (1.52) при "стандартных" значениях параметров ( т,г,Ь) = (10,28,8/3) и при (10,28,1). На рис. 1.18а приведена проекция странного аттрактора для второго набора значений параметров, включая направление движения, указанное стрелками. Сечению Пуанкаре на рисунке соответствует линия X = Y. В стандартном случае хватает бинарного разбиения с точкой разделения X = 0 в плоскости (X,Z) (рис. 1.186). Однако при Ъ - 1 отображение на I состоит уже не из двух, а из четырех кусков (рис. 1.186).
Заметим, что тщательное рассмотрение симметрии и локального направления потока должно быть сделано для каждой отдельной исследуемой системы. Однако экспериментально наблюдаемые низкоразмерные аттракторы часто имеют простую (однопетлевую) структуру и выбор сечения Пуанкаре не вызывает затруднений.
Для того, чтобы получить символическое кодирование движения на аттракторах отображения F , сечение I разделено на конечное число Ъ непересекающихся областей В& с к є А = { 0, 1,... Ъ-\), покрывающих область, где асимптотическое поведение имеет место (инвариантное множество). Совокупность р = {Вк} является, следовательно, разбиением. Каждой траектории О = {Хі, Х2,.-Хп} сопоставляется символический сигнал S = S\ Sn , состоящий из меток Si областей BSt, посещаемых в моменты времени 1-1,2,....и [84]. В свою очередь подобласти индексируются комбинациями S=Sk Si ... символов, все из которых (комбинаций) начинаются с метки Sk родительского множества В$ь таким образом, например, все точки в элементе В$т , принадлежат к BS\ в момент времени г=1 и будут отображены в внутрь области 2 в момент времени /=2. Все точки X в Bs производят одну и ту же символическую траекторию 5" под действием F перед тем как будут расширены на разные области /?.
Первое уточнение рх для р под воздействием F состоит из подмножеств Bs nF \Bs), для всех S{, Sj є А, для которых пересечения не являются пустыми; их элементы помечаются парами символов {Si, Sj}. Трехсимвольные последовательности обозначают уточнение /Т2 и так далее. В общем случае получаем
Асинхронная многопользовательская передача с использованием скелетных неустойчивых орбит
Для количественного описания хаотического поведения динамических систем, как правило, используется статистический подход, при котором поведение системы характеризуется некоторыми макроскопическими характеристиками, такими как различные размерности странных аттракторов, энтропии, ляпуновские показатели, инвариантные меры и т.п. [7-15] Эти величины характеризуют поведение динамической системы на достаточно длинном отрезке времени. Так, например, ляпуновские показатели определяют среднюю по траектории степень экспоненциального разбегания сколь угодно близких точек в фазовом пространстве, характерного для хаотической динамики. Аппарат эргодической теории позволил далеко продвинуться в этом направлении и получить ряд важных соотношений между различными количественными характеристиками хаотической динамики [95].
При всех преимуществах статистического описания динамического хаоса оно не дает представления о поведении отдельно взятой траектории на относительно коротком отрезке времени. Например, при взаимодействии динамических систем, локальное превышение нуля ляпуновским показателем ведомой системы на аттракторе синхронизации может приводить к возникновению эффекта "On-off перемежаемости" и, как следствие, к нарушению синхронного хаотического отклика [100-101].
Альтернативой статистическому подходу является идея представления сложного хаотического поведения динамических систем как блуждания по бесконечно большому числу неустойчивых периодических орбит, которая восходит, видимо, еще к Пуанкаре [1]. Повторное обращение к проблеме изучения структуры неустойчивых орбит оказалось успешным прежде всего вследствие интенсивного развития качественных и количественных методов описания нелинейных динамических систем, а также эффективным использованием современных возможностей численного эксперимента. Работы [26-28, 102-104] стимулировали новый дополнительный интерес к такого рода представлениям и позволили установить связь макроскопических свойств систем - энтропии, фрактальной размерности с чисто динамическими характеристиками: количеством, порядком следования, степенью неустойчивости заполняющих аттрактор периодических орбит. Помимо проблемы наиболее полного описания таких объектов как странные аттракторы, изучение структуры неустойчивых орбит представляет большой интерес с точки зрения реализации управления поведением динамических хаотических систем. Развитые в последние годы методы управления хаосом [105] продемонстрировали эффективные возможности выделения, стабилизации периодических орбит. Наконец, еще одним фактором, определяющим важность анализа внутренней структуры странных аттракторов, является потенциальная возможность использования скелетных орбит в качестве информационных носителей.
Структура скелетных неустойчивых периодических орбит изучалась на примере трех типичных отображений с хаотической динамикой. Многообразие динамических явлений, характерных для отображений, достаточно полно проявляется в отображении Хенона [106]: Условно динамика отображения Хенона сводится к трем последовательно проводимым операциям: нелинейному растяжению, инвариантному повороту и сжатию, то есть к реальным преобразованиям физических величин типичных радиофизических систем и устройств. Практически важным оказалось также изучение циклической структуры странных аттракторов отображения Лози [107]: при различных значениях параметров. Еще одна динамическая система, структура орбит которой проанализирована в данной главе, представляет собой цифровой фильтр второго порядка, охваченный нелинейной обратной связью (рис. 1.19а) { } где а и b - параметры, a f - пилообразная кусочно-линейная функция (рис. 1.196) Для определения циклической структуры аттрактора использовался следующий алгоритм. Предполагалось, что конкретный неустойчивый цикл принадлежит аттрактору, если при достаточно большом времени наблюдения траектория системы посещает сколь угодно малую окрестность этого цикла. То есть, если траектория на n-ом шаге оказалась достаточно близко к точке цикла периода ш, то на n+m-ом шаге траектория возвращается в достаточно малую окрестность этой точки. Система итерируется с некоторых начальных условий и по завершении переходного процесса начинается поиск циклов. Траектория системы наблюдается до тех пор, пока две точки траектории с задержкой m-шагов друг относительно друга не окажутся на расстоянии, меньшем достаточно малой заданной величины е. Часть траектории между двумя этими точками рассматривается Структура генератора хаоса на основе цифрового фильтра второго порядка.
Передача звуковой информации через канал с двоичной амплитудно-импульсной модуляцией
Как было отмечено во введении одним из путей решения возникающих проблем, возникающих при попытках построения реальных схем передачи информации с использованием хаотических сигналов является использование цифровых методов для генерации хаотических сигналов и последующей их обработки в передающей и приемной частях коммуникационной системы. Применение цифровых методов предполагает временную дискретизацию сигналов, и, вообще говоря, квантование их амплитуды по уровню. При цифровом моделировании динамического хаоса возникает ряд вопросов, связанных с конечной точностью задания параметров системы, начальных условий, а также ограниченной точностью вычислений вследствие конечного представления переменных (числа битов). Необходимо отметить, что проблема истинности хаотического движения и конечномерности пространства состояний возникает и при традиционном компьютерном моделировании хаотической динамики отображений, хотя практически все исследования, связанные с численными симуляциями этот молчаливо обходят поставленную проблему.
Вопрос заключается в используемом критерии хаотичности при таком моделировании. Обычно в компьютерных экспериментах при рассмотрении относительно коротких выборок отсчетов (по сравнению с числом возможных состояний) все основные свойства хаотического движения -непериодичность, "перемешивание" и экспоненциальное "разбегание" траекторий - сохраняются. Использование вычислений с ограниченной точностью может приводить к ситуации, когда непериодичность последовательности генерируемых отсчетов нарушается уже на относительно коротких сериях, отсчеты начинают часто попадать в одни и те же ячейки фазового пространства, то есть могут возникать периодические фрагменты с относительно малыми периодами. Поэтому важно выяснить какая минимально возможная точность представления (число битов) не искажает характера динамических режимов хаотических отображений. Анализ влияния точности представления на динамику отображений проводился на основе численных экспериментов.
Отображения, как правило, демонстрируют хаотическое поведение в достаточно широкой области параметров, поэтому в пространстве параметров всегда можно выбрать такую сетку, на которой значения параметров в точности соответствуют выбранному битовому представлению. Начальные условия могут также выбираться такими, чтобы быть точными в выбранном представлении. Более серьезную проблему представляет ограниченная точность представления переменных. Переход в отображениях к конечному битовому представлению переменных, может существенным образом менять их динамику. Ограниченное битовое представление переменных в точечных отображениях означает то, что пространство состояний состоит из конечного числа «ячеек», общее количество которых равно 2 , где N - число независимых переменных, к - число битов, используемых для представления. Поэтому при выборе параметров, соответствующих хаотическому поведению отображений, при достаточно долгом итерировании (когда число шагов превышает возможное число состояний) мы обязательно попадаем в уже однажды посещаемую ячейку фазового пространства, следовательно существует максимальная конечная длина неповторяющихся фрагментов отсчетов амплитуд { ,}.
В качестве критерия использовался анализ структуры бифуркационных диаграмм [112]. Последние представляют собой удобный способ визуализации поведения динамической системы в зависимости от ее параметров. Построение бифуркационной диаграммы осуществляется путем последовательного вывода амплитуд отсчетов одной из переменных при фиксированном значениях параметров системы, так называемого сечения. Затем производится малое возмущение параметра и строится следующее сечение. В результате в некотором диапазоне изменяемого параметра удается выделить области с характерным поведением, например, периодические режимы. В этом случае число точек в сечении диаграммы соответствует периоду колебаний. В областях хаотического поведения динамической системы сечение диаграммы представляет собой совокупность распределенных по сечению диаграммы неповторяющихся точек. Изменяя масштаб амплитуды отсчетов и диапазон изменения параметра можно с требуемой степенью детализации оценивать характер поведения динамической системы.
Для анализа степени неустойчивости движения использовались оценки максимального ляпуновского показателя X, рассчитываемые при различной точности представления переменных в отображениях.
Похожие диссертации на Обработка и передача информации с использованием дискретных хаотических систем
