Содержание к диссертации
Введение
1. Метод оптимизации многовиткового перелета ка с двигателем малой тяги с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту с использованием модельной задачи 10
1.1 Математическая формулировка задачи 11
1.2 Оптимизация многовиткового перелета ка с двигателем малой тяги между произвольными орбитами. методический подход 14
1.3 Модельная задача 20
1.3.1 Ограничения по постановке задачи оптимизации перелета 20
1.3.2 Сужение (ограничения) рассматриваемого класса законов управления движением КА с малой тягой: 21
1.3.3 Идеи метода и схема нахоэкдения оптималъного управления модельной задачи 23
1.3.4 Упрощение уравнений движения КА, которые используются в модельной задаче 25
1.3.5 Формулировка модельной задачи оптимального управления. Оптимальное управление .26
1.3.6 Синтез закона оптимального управления модельной задачи 28
1.4 Полная модель движения ка с малой тягой (модель, в которой осреднение уравнений движения не производится) 30
1.4.1 Анализ траектории КА с малой тягой при оптимальном управлении в полной модели движения 31
1.4.2 Связь сопряженных переменных для двух рассматриваемых систем фазовых переменных 35
1.4.3 Алгоритм решения задачи оптимального управления для полной модели движения КА с
малой тягой 37
1.5 Анализ численных результатов 39
Заключение 46
2 Методы оптимизации многовиткового перелета ка с двигателем малой тяги с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту, использующие идею метода продолжения по параметру, развитые алгоритмы минимизации функционала 48
2.1 Уравнения движения 49
2.2 Оптимальное управление 52
2.3 Краевая задача 54
2.4 Решение краевой задачи 55
2.4.1 Метод продолжения по параметру 56
2.4.2 Гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона 59
2.5 Численные результаты для задачи оптимального быстродействия при выведении на ГСО 65
2.6 Анализ закона управления ориентацией тяги вдоль траектории выведения ка на ГСО 70
2.6.1 Анализ закона управления углом тангажа космического аппарата 72
2.6.2 Анализ закона управления углом рыскания космического аппарата 74
2.7 Анализ численных результатов для задачи с фиксированным временем перелета 76
3 Анализ достоверности результатов, получающихся с использованием разработанных методов 83
3.1 Перелет с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту 83
3.2 перелет между некомпланарными круговыми орбитами 85
4 Оптимизация схемы перелета ка с комбинированной двигательной установкой между некомпланарными круговыми орбитами 92
4.1 Критерии оптимизации 95
4.2 Используемые допущения по схеме перелета и по значениям некоторых элементо промежуточной орбиты 95
4.3 Выбор оптимальной промежуточной орбиты 97
4.4 Анализ перелета с базовой орбиты на промежуточную орбиту с химическим разгонным
блоком 104
4.5 Оптимизация характеристик промежуточной орбиты 106
5. Оптимизация схемы выведения ка с комбинированной двигательной установкой на геостационарную орбиту 108
5.1 Анализ схемы выведения ка с использованием космической транспортной системы «рокот/бриз» 108
5.1.1 Характеристики космической транспортной системы «рокот/бриз» 108
5.1.2 Характеристики электроракетной двигательной установки 109
5.2 Анализ схемы выведения ка с использованием космической транспортной системы «союз/фрегат» 115
5.2.1 Выведение космической платформы «space bus 3000» 116
5.2.2 Выведение космической платформы euro star 2000 123
5.2.3 Выведение космической платформы «star 2» 124
5.2.4 Выведение космической платформы «space bus 1000» 124
Заключение 125
Выводы 127
Литература 129
Приложение 135
- Оптимизация многовиткового перелета ка с двигателем малой тяги между произвольными орбитами. методический подход
- Анализ траектории КА с малой тягой при оптимальном управлении в полной модели движения
- Гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона
- Выведение космической платформы «space bus 3000»
Введение к работе
Актуальность темы работы. В работе рассматриваются вопросы, связанные с оптимизацией схем выведения космических аппаратов (КА) имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) на высокие рабочие орбиты. Электроракетные двигательные установки, имея высокий удельный импульс, находят все большее применение в практике космических полетов. Их использование позволяет повышать эффективность транспортных космических систем, обеспечивать решение транспортных проблем на базе более легких ракет-носителей или увеличивать полезную нагрузку КА. Настоящую работу, как работу, способствующую внедрению новых технологий (перспективных двигателей) и направленную на повышение эффективности космических транспортных операций, следует считать актуальной.
В диссертации анализируется широкий спектр вопросов, касающихся оптимизации движения КА с двигателем малой тяги. Большое внимание уделяется методам оптимизации траекторий таких КА. При этом основные усилия были направлены на регуляризацию процесса решения краевых задач оптимального управления. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой и составляет основную трудность при использовании непрямых методов. Трудности решения таких краевых задач носят принципиальный характер, связанный с вопросами существования, единственности и ветвления решений. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения. Традиционно для решения задач оптимизации траекторий КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. Основной трудностью при использовании этого класса методов является определение начального приближения, достаточно близкого к оптимальному решению. Современные численные методы оптимизации не могут гарантировать получения решения, сходимости используемых итерационных процедур.
Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная оптимизации схем выведения на высокие рабочие орбиты КА, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки, является актуальной как и для практики решения транспортных космических проблем, так и для развития теории одного из разделов механики космического полета.
Целью диссертационной работы является разработка совершенных методов оптимизации схем выведения космических аппаратов на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) для повышения эффективности выполнения транспортных космических операций. Такие методы должны позволить находить схемы полета КА, требующие минимальные затраты на их реализацию. Их использование должно позволить или увеличить массу КА, выводимого на рабочую орбиту (и поэтому расширить возможности выведенного аппарата), или уменьшить масштабность транспортной системы (что дает возможность использовать более легкие и поэтому дешевые ракеты-носители).
Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие задачи:
Продолжается разработка регулярных численных методов оптимизации межорбитальных траекторий, включая:
оптимизацию траекторий выведения с околоземной орбиты на высокую рабочую орбиту.
разработку программного обеспечения, реализующего численные методы оптимизации.
Разрабатываются приближенные методы оптимизации траектории КА рассматриваемого класса такие простые, чтобы их было достаточно просто внедрить в инженерную практику космических конструкторских бюро.
Исследуются возможности использования электроракетных двигателей для реализации актуальных космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем.
Методы проведения исследования. В данной диссертационной работе использованы следующие подходы и методы решения задачи:
принцип максимум Л.С. Понтрягина.
метод осреднения уравнений движения.
численные методы решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
численные методы решения краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (метод продолжения по параметру, модифицированный метод Ньютона и гибридный метод, который объединяет метод Левенберга – Марквардта и модифицированный метод Ньютона).
Научная новизна полученных результатов. В рамках данной работы впервые получены следующие научные результаты:
Разработаны практически регулярные численные методы оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов при выведении на высокую рабочую орбиту КА с электроракетными двигателями.
Проанализирован вопрос о существовании двух типов экстремалей при перелете между круговыми некомпланарными орбитами и о критическом наклонении, при котором появляется второй тип экстремали. Несмотря на существующие публикации, эту проблему до настоящего времени нельзя считать решенной. В настоящей работе было получено подтверждение правильности оценки величины этого критического наклонения для полета с низкой околоземной орбиты на орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.
Исследована возможность использования электроракетных двигателей для реализации нескольких космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем. Результаты исследования показывают существенное увеличение массовой эффективности выполнения транспортных операций при использовании таких двигателей в комбинации с традиционными химическими двигателями.
Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, опубликованными другими авторами, в том числе российскими, американскими и западноевропейскими (прежде всего, французскими) исследователями. Такое сравнение выполнено в работе.
Практическая значимость. Практическая значимость работы состоит в следующем:
Разработано программно-алгоритмитическое обеспечение оптимизации траектории КА, имеющих в своем составе двигательные установки большой и малой тяги.
Разработан программный комплекс, автоматизирующий решение задач оптимизации траекторий КА с малой тягой.
Получено решение задачи оптимизации траектории перелета КА с малой тягой на ГСО на базе ракетно-космического комплекса «Союз-Фрегат» и а так же на базе ракетно-космического комплекса «Рокот-Бриз».
Апробация работы. Методы и результаты оптимизации схем выведения КА на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки обсуждались:
на международной конференции «The 3rd CSA-IAA Conference on Advanced Space Systems and Applications» (октябрь 2008);
на XLIV Научных чтениях, посвященные памяти К.Э. Циолковского (сентябрь 2009);
на XXXIV Академических чтениях по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва (январь 2010);
на двух научных конференциях для студентов и аспирантов Аэрокосмического факультета МАИ (в 2008 и 2009 годах).
Личный вклад и публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в 3 научных работах, в том числе в статье [1] в журнале «Вестник МАИ», входящим в перечень изданий, рекомендованных ВАКом Минобрнауки России.
Основные научные положения, выносимые на защиту.
Метод оптимизации траектории многовиткового перелёта КА с малой тягой с промежуточной эллиптической орбиты на высокие рабочие круговые орбиты.
Результаты решения задачи оптимизации траектории перелёта КА с малой тягой с промежуточной орбиты на геостационарную орбиту:
С использованием модельной задачи для получения полуаналитического решения.
С использованием метода продолжения по параметру.
С использованием гибридного метода, который объединяет метод Левенберга – Марквардта и модифицированный метод Ньютона.
Результаты анализа двух типов экстремалей при многовитковом перелете между круговыми некомпланарными орбитами и определение критического наклонения, при котором появляется экстремаль второго типа.
Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Основный текст содержит 135 страниц, включая 3 таблицы и 76 рисунков. Список литературы состоит из 57 наименований.
Оптимизация многовиткового перелета ка с двигателем малой тяги между произвольными орбитами. методический подход
Рассматривается задача многовиткового оптимального перелета КА с двигателем малой тяги между двумя орбитами в окрестности Земли. Критерий оптимизации - время выполнения маневра перелета. Общего решения задачи оптимального перелета КА с двигателем малой тяги в настоящее время не существует. Существует и описаны многими авторами различные алгоритмы решения этой задачи, основанные на самых разных методических подходах. К сожалению, использование таких алгоритмов и программных продуктов, созданных на их основе, далеко не всегда дает возможность получить решение. Это связано со многими факторами, но, прежде, всего с плохой сходимостью используемых в алгоритмах итерационных процедур.
Наиболее сильным из описанных в литературе программных продуктов, дающих возможность решить многие задачи оптимального перелета с ЭРД (даже с учетом дополнительных ограничений), по-видимому, можно было считать программный комплекс «SEPSPOT» американских исследователей. В настоящее время появились другие программные средства. К ним, прежде всего можно отнести мощное программное средство, созданное Вячеславом Петуховым[11, 54, 55]. В настоящее время серьезные результаты получены рядом западноевропейских и, прежде всего, французских исследователей [23, 25, 26, 33, 35, 36, 37]. Обращает на себя внимание и то, что развиваемые ими методические подходы и созданные ими программные продукты дают возможность оптимизировать траектории перелета не только по критерию быстродействия, но и по критерию характеристической скорости. Такая задача является более сложной, чем та, которая рассматривается в настоящей главе. Основным достоинством предлагаемого методического подхода в настоящей главе является практически полное решение проблемы сходимости, так как используемый метод не предполагает использование итерационных процедур. Как важный положительный фактор можно отметить и то, что решение оптимизационной проблемы предлагается в виде синтеза, что может быть полезным при бортовой реализации законов управления движением КА с малой тягой. С нашей точки зрения самым эффективным базовым методическим подходом при оптимизации управляемого движения в настоящее время может рассматриваться принцип максимума Понтрягина [13]. При использовании этого подхода основной трудностью является решение краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Регулярных алгоритмов решения краевой задачи не существует. Среди основных методических идей, которые в настоящее время используют авторы при проектировании многовитковых траекторий КА с малой тягой можно назвать следующие: асимптотический метод и его частный случай - метод осреднения многовиткового движения летательного аппарата; получение начальных приближений из решения модельных задач; различные модификации метода Ньютона; различные варианты метода непрерывного продолжения решения. В большом числе случаев гарантировать получение решения авторы не могут. Основные причины этого: отсутствие решения вопросов о существовании и единственности решения, и отсутствие рычагов, обеспечивающих гарантированную сходимость итерационных процедур. Подход, развиваемый в настоящей главе, позволяет избежать отмеченных трудностей. Общая схема решения задачи и основные методические идеи: 1. Находится решение некоторой модельной задачи оптимального перелета между некомпланарными эллиптическими орбитами. Модельная задача имеет ряд существенных ограничений по постановке задачи (в частности, система уравнений, описывающая движение КА упрощена) и по рассматриваемому классу законов управления движением КА. Для решения используется принцип максимума Понтрягина. Основное свойство {достоинство) модельной задачи -существование единственного решения. Второе важное свойство характерно только для случая, когда конечная орбита является круговой. Это связано с тем, что в этом случае решение модельной задачи тем точнее (ближе к решению «реальной» задачи), чем ближе орбита КА приближается к конечной орбите. Решение модельной задачи представляется в виде синтеза закона оптимального управления. Оценка характеристической скорости маневра перелета с произвольной эллиптической орбиты на конечную круговую орбиту получается интерполированием значений характеристической скорости заранее решенных модельных задач оптимального перелета в пространстве трех переменных. Этими тремя переменными являются: большая полуось, эксцентриситет и наклонение начальной орбиты (относительно конечной орбиты). Параметры оптимального закона управления модельной задачи являются функциями этих же трех переменных. Анализ траектории КА с малой тягой в различных моделях движения при оптимальном управлении, полученном в модельной задаче. Используя оптимальное управление, полученное в модельной задаче, анализируется модель реального (без допущений модельной задачи) движения, основанная на осреднении уравнений движения. Никаких проблем при удовлетворении краевых условий решения задачи орбитального перелета при этом не.возникает.
Анализ траектории КА с малой тягой при оптимальном управлении в полной модели движения
В настоящей главе анализируется метод оптимизации траектории выведения КА с электроракетной двигательной установкой на некомпланарную круговую орбиту. Основные усилия при этом направлены на регуляризацию процесса решения краевой задачи оптимального управления. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение краевой задачи и составляет основную трудность при использовании подхода принципа максимума (как и многих других непрямых методов).
Трудности решения таких краевых задач носят принципиальный характер и связаны, в частности, с вопросами существования и неединственности решения систем нелинейных уравнений. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения таких систем уравнений. Традиционно для решения задач оптимизации траекторий КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. Основной проблемой при использовании этого класса методов (впрочем, и других итерационных методов [3, 8, 15, 16, 56]) является определение начального приближения, достаточно близкого к оптимальному решению. Практически не разработано достаточно универсальных алгоритмов определения начальных значений этих параметров для обеспечения сходимости методов типа Ньютона. Усилия многих исследователей направлены на совершенствование методов в двух направлениях: - в расширении области сходимости итерационных процедур к оптимальному решению; в увеличении скорости сходимости этих процедур. В ряде работ В.Г. Петухова предлагается использовать метод продолжения по параметру [11, 54, 55]. Этот метод позволил автору для многих рассмотренных им задач увеличить и область сходимости, и добиться высокой скорости сходимости. Так, в задачах с идеально-регулируемым двигателем оказалось возможным использовать нулевое начальное приближение для неизвестного вектора сопряженных переменных (траекторию пассивного полета КА).
Считая методические разработки В.Г. Петухова весьма эффективными, полагаем, что целесообразно развивать и другие методические направления. В данной главе анализируется возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона, для решения нелинейных систем в задачах оптимального управления [51]. Мы проанализировали эффективность этого метода и провели сравнение с упомянутым выше методом продолжения по параметру. В главе приводятся результаты численного анализа траектории выведения КА на ГСО и эффективности использования ЭРДУ для такого космического маневра. Как критерий оптимизации рассматривается или время выполнения космического маневра (оно минимизируется, задача быстродействия), или время работы двигателя, (моторное время, оно , минимизируется при фиксированном времени выведения).
Движение КА рассматривается под действием двух сил: гравитационной силы притягивающего центра и силы тяги ЭРДУ. Величина тяги и скорость истечения включенной ЭРДУ считаются постоянными, на ориентацию вектора тяги не накладывается каких-либо ограничений. Гравитационное поле притягивающего центра будем считать центральным ньютоновским.
Проекции реактивного ускорения на орты орбитальной системы координат имеют вид: соответственно трансверсальная, радиальная и бинормальная проекции реактивного ускорения. Используется орбитальная система координат: Радиальная ось (радиаль) направлена вдоль радиус-вектора космического аппарата; трансверсальная ось (трансверсаль) перпендикулярна к этому радиус-вектору и направлена в сторону орбитального движения КА; бинормальная ось (бинормаль) направлена вдоль вектору площадей орбиты космического аппарата; 8 - функция включения двигателя (5 = 1 на активном участке траектории (при включенной ЭРДУ), и 5 =0 при неработающей ЭРДУ); Р - тяга ЭРДУ; m - масса КА; в - угол тангажа (угол между проекцией вектора тяги на плоскость оскулирующей орбиты КА и трансверсальным направлением); \/ - угол рысканья (угол между вектором тяги и плоскостью оскулирующей орбиты КА). Для исключения особенностей уравнений движения КА в окрестности нулевых значений эксцентриситета и наклонения будем рассматривать
Гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона
Видно, что на более поздних витках траектории характер оптимального управления углом тангажа следующий. Угол тангажа гладко и почти линейно (со скоростью равной угловой скоростью орбитального движения - 360 градусов за виток траектории) изменяется. Протяженности участков торможения и разгона на витках траектории почти равны. Оскулирующая орбита все ближе приближается к круговой орбите.
Угол рыскания на всех витках траектории имеет колебательный характер. На Рис. 24 и Рис. 25 показано изменение утла рыскания как функции времени на первом витке траектории и как функции аргумента широты на первом витке траектории. Видно, что максимальное значение угла рыскания достигается в области восходящего узла (область перигея). Угол рыскания положителен на участке витка траектории, где аргумент широты находится в диапазоне [-90 +90]. На остающемся участке витка угол рыскания отрицателен. Минимальное значение этого угла достигается в нисходящем узле орбиты (он практически совпадает с апогеем оскулирующей орбиты). Оптимальное управление углом рыскания является симметричной функцией относительно линии узлов. Угол рыскания равен нулю, когда косинус аргумента широты равен нулю. Так как эффективное изменение положение плоскости орбиты обеспечивается при малой скорости КА, то модуль минимального угла рыскания (почти 90) существенно больше модуля максимального угла рыскания (единицы градусов).
Характер оптимального управления угла рыскания на дальнейших витках траектории не изменяется. Максимальный по модулю угол рыскания достигается в нисходящем узле траектории, когда аргумент широты и истинная аномалия близки к 180. Разница модулей максимального и минимального на витке угла рыскания является самой большой на первом витке. Затем эта разность уменьшается. В последних витках траектории эти модули фактически совпадают.
На Рис. 26 и Рис. 27 показано изменение угла рыскания как функции времени и аргумента широты на 85-ом витке траектории. Видно, что максимальное значение угла рыскания достигается в области восходящего орбиты (область перигея). Минимальное значение угла рыскания достигает в нисходящем узле. Видно, что модуль максимального угла рыскания на витке немного увеличился по сравнению с первым витком траектории. Интересно и неожиданно сильно уменьшился модуль минимального угла рыскания.
Для решения задачи с фиксированным временем перелета (которое должно быть больше минимального времени перелета) метод продолжения по параметру и гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона в ряде случаев оказываются недостаточно эффективными. Это, по-видимому, происходит в связи с разрывностью правых частей дифференциальных уравнений метода продолжения (19) при изменении структуры оптимального управления (появлении или исчезновении пассивных участков траектории). Наша практика, да материалы ряда опубликованных работ (например, [11]) показали, что в этом случае более эффективным для решения краевой задачи оказывается использование модификаций метода Ньютона. При этом в качестве начального приближения целесообразно использовать начальные значения сопряженных переменных, которые получены в результате решения задачи оптимального быстродействия. Общая схема решения имеет такой вид. Время перелета меняется с некоторым шагом от найденного ранее минимального времени. Оно фиксируется выбором параметра Ctf (Ctf 1):
Начальные значения для сопряженных переменных берутся из решения предыдущей задачи (первая задача решается при начальном приближении для сопряженных переменных, полученных из решения задачи оптимального быстродействия). Используется модифицированный метод Ньютона для решения краевой задачи принципа максимума.
Ниже представлены некоторые результаты анализа. На Рис. 28 представлена функция переключения вдоль всей траектории перелета для различных времен перелета. Рис.28а соответствует случаю, когда время перелета очень близко к минимальному времени (превышает минимальное время на 0.1 %). Видно, что функция переключения бывает отрицательной на нескольких витках траектории в диапазоне 16...24 суток перелета. Именно на этих витках траектории появляются пассивные участки.
Рис. 28Ь, соответствует случаю, когда время перелета на 1 % больше минимального времени (Ctf=1.01). Пассивные участки на витках траектории перелета появляются в диапазоне 10...39 суток перелета.
Рис. 28с, соответствует случаю, когда время перелета на 10 % больше минимального времени (Ctf =1.1). Минимальное значение функция переключения на всех витках траектории выведения на ГСО оказывается отрицательным. При этом на каждом витке траектории существуют пассивные участки.
Выведение космической платформы «space bus 3000»
Проводилось сравнение полученных численных результатов с результатами, опубликованными рядом авторов. В работе [26] приведено решение неосредненной задачи минимизации времени перелета КА с вытянутой эллиптической орбиты на ГСО. Были приняты следующие проектные параметры КА и элементы орбит между которыми осуществляется перелет: начальная масса КА 1500 кг, тяга ЭРДУ 0.2 Н, удельный импульс ЭРДУ 19561.82 м/с, фокальный параметр начальной орбиты 11625 км, начальный эксцентриситет 0.75, начальное наклонение 7, конечная орбита - круговая экваториальная орбита радиусом 42165 км. Для этой задачи в указанной работе было получено минимальное время перелета равное 177.738 суток. В работе В.Г. Петухова [11] для тех же входных условий получено минимальное время перелета 177.360 суток. Использование приведенного в настоящей работе алгоритма для соответствующей задачи привело к значению времени перелета 178.0ІЗсуток. С нашей точки зрения, полученная точность оценки времени перелета достаточно высока. Отметим, что точность удовлетворения условий выведения КА на ГСО оказывается очень высокой (сумма безразмерных квадратов невязок равна 0.00000775).
В работе [33] приведено описание метода MIPELEC решения осредненной задачи оптимального быстродействия. Метод основан на предварительном решении осредненной задачи оптимизации межорбитального перелета с идеально регулируемой ЭРДУ при фиксированной угловой дальности перелета. Рассматривалась, задача перелета с начальной орбиты с радиусом перигея 6578.123 км, радиусом апогея 42378.123 км и наклонением 7 на круговую экваториальную орбиту радиусом 42378.123 км. Начальная масса КА принималась равной 2000 кг, тяга ЭРДУ считалась равной 0.3 5Н, удельная тяга ЭРДУ - 2000 с. Минимальное время перелета, полученное с помощью MIPELEC, равно 138.535 суток. В работе В.Г. Петухова [11] для такой задачи время перелета оказалось равно 139.038 суток. Использование алгоритма приведенного в настоящей главе дало следующее значение времени перелета 139.564 суток при практически абсолютной точности выведения на конечную орбиту (сумма квадрата безразмерных невязок равна 0.0000007).
Дня оценки вычислительной эффективности предлагаемого метода, было разработано программное обеспечение, реализующее идеи метода продолжения [11, 54, 55], и обеспечение, реализующее алгоритм с использованием решения модельной задачи [45, 46]. При нашей реализации отмеченных методов и алгоритмов, предлагаемый подход оказался несколько эффективнее. Его использование позволило сократить время реализации итерационных процедур. Такой вывод нисколько не умаляет значимость разработанных ранее методов (особенно метода продолжения по параметру), а лишь показывается возможность использования предлагаемого в работе метода.
Приведенные сравнения показывают возможность использования предлагаемого метода при проектно-баллистическом анализе транспортных систем с электроракетными двигательными установками.
Рассмотрим задачу перелета между некомпланарными круговыми орбитами. Эта задача исследуется очень давно. При определенных допущениях по постановке задачи она имеет очень красивое аналитическое решение, впервые, по-видимому, полученное Т. Эдельбаумом (Т. Edelbaum). В СССР это решение было впервые опубликовано и, скорее всего, независимо получено В.Н. Лебедевым. Коротко приведем эту постановку задачи.
Предполагаем, что на каждом отдельном витке траектории можно пренебречь изменением величины реактивного ускорения, допуская, что это ускорение может самым произвольным образом изменяться от витка к витку траектории. Введем ограничение на направление тяги двигателя. Будем считать, что радиальная компонента тяги тождественно равна нулю (вектор тяги принадлежит плоскости местного горизонта) на всей траектории перелета. Полагаем, что величина угла рыскания на каждом отдельном витке траектории постоянна. При этом допускается изменение знака угла рыскания на каждом витке траектории (перекладка вектора тяги). Закон изменения величины угла рыскания от витка к витку траектории является произвольной функцией и осуществляется поиск оптимального закона.
Поставленную задачу можно решить аналитически. Сравним это решение с решениями, которые получаются развиваемыми в настоящей работе методами, на примере одной частной задачи - межорбитального перелета с постоянным реактивным ускорением. Сформулируем задачу межорбитального перелета.
Дано: гравитационный параметр [л , постоянное реактивное ускорение радиус начальной орбиты а0, радиус конечной орбиты а/, угол между плоскостями начальной и конечной орбиты Ai= inco - incr. Найти: минимальное время перелета и характеристики оптимальной траектории перелета.
