Введение к работе
Актуальность задачи.
Задачам управления движением космических аппаратов (КА) посвящено большое число публикаций в нашей стране и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие общих аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА, оставляют эту проблематику актуальной.
Предметом механики космического полета является решение проблем выбора оптимальных проектных параметров КА, оптимального управления его двигательной системой и оптимальных траекторий полета. Книги В.Н. Лебедева, К.Б. Алексеева, Г.Г. Бебенина, В.А. Ярошевского посвящены теоретическим основам и методам расчета траектории маневра КА. Задачам оптимального управления движением центра масс КА посвящены работы В.В. Салмина, С.А. Ишкова, S. Da Silva Fernandes, В.А. Романенко, И.С. Григорьева, К.Г. Григорьева, Ю.Н. Лазарева, Г.Г. Федотова, B.M. Kiforenko, I.Yu. Vasiliev, Р.З. Ахметшина, В.Г. Петухова, O.M. Kamel, A.S. Soliman и других современных авторов.
В этих и других работах для решения задач оптимального управления движением центра масс КА используются, как правило, классические уравнения движения в декартовых координатах или уравнения в классических оскулирующих элементах. Обзор полученных на их основе решений задач оптимального управления движением КА приведен в книгах В.Н. Лебедева, Г.Л. Гродзовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева.
При решении задач управления угловым движением твердого тела и КА, рассматриваемого как твердое тело, среди всех кинематических параметров ориентации особое место занимают параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), имеющие аналитические и вычислительные преимущества (см. работы В.Н. Бранеца, И.П. Шмыглевского, Ю.Н. Челнокова, Д.В. Лебедева, Н.А. Стрелковой, А.В. Молоденкова, Я.Г. Сапункова). В то же время параметры Эйлера и кватернионы еще не получили должного распространения для решения задач оптимального управления движением центра масс КА. Несмотря на это, данный подход
к описанию орбитального движения использовался в работах А.Ф. Брагазина, В.Н. Бранеца, И.П. Шмыглевского, A. Deprit, В.А. Брумберга. Различные модели орбитального движения, использующие параметры Родрига-Гамильтона и кватернионы Гамильтона, рассматривались Ю.Н. Челноковым. Эти модели были использованы им для решения ряда пространственных задач оптимального управления движением центра масс КА.
Использование кватернионов открывает новые возможности в решении ряда задач небесной механики и астродинамики, повышает эффективность их аналитического исследования и численного решения: в ряде случаев из уравнений движения КА исключаются громоздкие тригонометрические выражения и дополнительные особые точки,
в которых уравнения вырождаются; существенно уменьшаются размерности краевых задач оптимизации, уменьшается объем производимых вычислений.
Диссертационная работа посвящена изучению четырех задач оптимальной переориентации орбиты КА посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты КА, с использованием кватернионных моделей орбитального движения. Каждая из исследованных в диссертации задач представляет самостоятельный интерес.
Целями работы являются
– аналитическое и численное изучение четырех пространственных задач оптимального управления ориентацией орбиты КА посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты КА, в центральном ньютоновском гравитационном поле с использованием кватернионных уравнений орбитального движения;
– разработка алгоритмов и программ численного решения краевых дифференциальных задач, к которым сводятся задачи оптимальной переориентации орбиты КА.
Научная новизна работы заключается в следующем:
– построены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевых задач принципа максимума для решения задач оптимальной переориентации орбиты КА c использованием кватернионного оскулирующего элемента орбиты в случае минимизации функционала качества, являющегося взвешенной интегральной суммой затрат времени и характеристической скорости КА, и c использованием кватернионных дифференциальных уравнений ориентации орбиты КА в отклонениях в случае минимизации интегрального квадратичного относительно фазовых координат и управления функционала качества;
– для круговой орбиты и постоянного управления построены аналитические решения фазовых и сопряженных дифференциальных уравнений краевых задач переориентации орбиты КА;
– построены алгоритмы и программы численного решения вышеназванных дифференциальных краевых задач принципа максимума, являющиеся комбинацией методов Рунге-Кутта 4-го порядка точности, Ньютона, градиентного спуска; выявлены свойства и закономерности оптимальных траекторий и управлений в изученных задачах оптимальной переориентации орбиты КА;
– предложено решение задачи переориентации недеформируемой круговой орбиты КА для случая трех переключений управления.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов решения задач, совпадением результатов численного решения краевых задач оптимального управления, полученных с использованием различных математических моделей движения.
Научная и практическая ценность. Полученные законы оптимального управления орбитальным движением КА могут быть использованы в качестве законов программных управлений при построении систем управления орбитальным движением КА, использующих в качестве исполнительных устройств реактивные двигатели. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения программных законов оптимального управления ориентацией орбиты КА посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты КА, и математического моделирования управляемого движения КА.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Решения трех пространственных задач теории управления орбитальным движением КА в центральном ньютоновском гравитационном поле посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты КА, построенные с использованием новых кватернионных моделей орбитального движения.
2. Аналитические решения фазовых и сопряженных дифференциальных уравнений задач оптимальной переориентации круговой орбиты КА в случае постоянного управления.
3. Особенности и закономерности процесса оптимальной переориентации орбиты КА, установленные в результате численного решения изучаемых краевых задач оптимального управления орбитальным движением КА.
4. Алгоритмы и программы численного решения трех краевых задач оптимальной переориентации орбиты КА для различных функционалов качества.
5. Решение задачи управления ориентацией орбиты КА при наличии трех точек переключения управления.
Личный вклад автора. Все научные результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены ее автором индивидуально. Научному руководителю принадлежат используемые в диссертации кватернионные модели орбитального движения КА и постановка задач исследования.
Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы:
1) в лаборатории механики, навигации и управления движением ИПТМУ РАН (г. Саратов, 2009 – 2011 гг.) при выполнении работ по заданию Президиума РАН (тема «Кватернионные модели и методы в задачах механики, навигации и управления движением») (руководитель НИР – д.ф.-м.н., проф. Ю.Н. Челноков);
2) при выполнении проекта, поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований «Управление движением в космосе с использованием кватернионов» (проект № 08-01-00310-а, 2008 – 2010 гг.) (руководитель проекта – д.ф.-м.н., проф. Ю.Н. Челноков).
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на научных конференциях механико-математического факультета СГУ «Актуальные проблемы математики и механики» (Россия, Саратов, 2006 – 2010); 7-9 международных конференциях «Авиация и космонавтика» (Россия, Москва, 2008 – 2010); международной научной конференции «Проблемы управления, передачи и обработки информации (АТМ-ТКИ-50)» (Россия, Саратов, 2009); XVII-XVIII Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Россия, Москва, 2010 – 2011); 15-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Украина, Крым, Евпатория, 2010); конференции «Управление в технических системах» УТС-2010 (Россия, Санкт-Петербург, 2010).
По теме диссертационной работы опубликовано 18 работ, в том числе 3 работы в научных журналах, рекомендованных ВАК РФ для соискателей ученых степеней кандидата наук.
Структура работы
Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка использованной литературы, включающего 111 наименований, четырех приложений. Общий объем составляет 132 страницы, в том числе 13 рисунков.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по теме диссертации. Кратко изложены основные результаты работы по главам.
В первой главе диссертационной работы рассмотрена задача переориентации орбиты КА с использованием кватернионного оскулирующего элемента орбиты.
Задача ставится следующим образом: необходимо определить ограниченное по модулю управление :
(1)
ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
(2)
(3)
из заданного начального состояния
(4)
в конечное состояние, принадлежащее многообразию
(5)
и минимизирующее функционал
Здесь – истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицентра и характеризующая положение КА на орбите); – модуль радиуса-вектора центра масс КА; и – параметр и эксцентриситет орбиты, – постоянная площадей (модуль вектора момента скорости центра масс КА); – проекция вектора ускорения на направление вектора момента скорости центра масс КА (алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного плоскости орбиты КА); – векторные мнимые единицы Гамильтона, – символ кватернионного умножения, верхняя волна – символ сопряжения.
Кватернионная переменная характеризует ориентацию орбиты КА. Величины и заданы. Подлежат определению оптимальный закон управления и величины
Функционал характеризует расход энергии на перевод орбиты КА из начального в конечное состояние и время, затрачиваемое на этот перевод; функционал – затраты характеристической скорости и времени. Поставленная задача для функционала изучалась в работах С.В. Ненахова, Д.А. Сергеева, Ю.Н. Челнокова. В диссертации дается развитие этих исследований, изучается задача оптимальной переориентации орбиты КА для функционала разработаны алгоритмы и программы численного решения задачи для обоих функционалов качества, анализируются численные решения задачи для этих двух функционалов качества и различных кватернионных моделей ориентации орбиты КА.
Поставленная задача решается с помощью принципа максимума. Для этого вводятся дополнительные переменные и сопряженные по отношению к фазовым переменным и Функция Гамильтона-Понтрягина имеет вид
где – компоненты кватерниона для функционала для функционала в случае быстродействия
Система уравнений для сопряженных переменных имеет вид
(6)
(7)
Структура оптимального управления находится из условий максимума функции по переменной с учетом ограничения (1) и имеет вид:
1. В случае
(8)
2. В случае
(9)
Случай особого управления, когда не рассматривается.
Поставленная задача – задача с подвижным правым концом. В такой задаче для определения положения КА на конечном многообразии, задаваемом уравнениями (5), необходимы условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа, и имеющие вид:
(10)
Таким образом, задача оптимальной переориентации орбиты КА сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений (2), (3), (6), (7), (8) (или (9)) 10-го порядка и 8 краевыми условиями (4), (5), дополненными двумя условиями трансверсальности (10) и равенством гамильтониана нулю в конечный момент движения, имеющим место для оптимального управления и оптимальной траектории.
Кватернионное уравнение (2) с переменными коэффициентами сведено для круговой орбиты и постоянного управления к линейному однородному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) 4-го порядка с постоянными коэффициентами относительно переменной Его общее решение было найдено методом Эйлера. Также получены аналитические формулы для компонент векторной части кватерниона ориентации орбиты КА. Аналогичное решение построено в этом случае для дифференциальных уравнений (6).
В диссертации разработаны алгоритмы и программы численного решения задач оптимального управления для функционалов реализующие комбинацию метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности и двух методов решения краевых задач: Ньютона и градиентного спуска.
В качестве числовых параметров использованы следующие величины, характеризующие форму, размеры орбиты КА, начальное и конечное положения КА на орбите, начальную и конечную ориентации орбиты КА ( – большая полуось орбиты): (или ); начальное положение КА: конечное положение КА: вариант 1 (малое отличие в ориентациях орбит КА): вариант 2 (большое отличие в ориентациях орбит КА):
Ориентации начальной и конечной орбит КА характеризуются параметрами Эйлера и Если в варианте 1 эти значения близки (отличие ориентаций орбит по долготе восходящего узла, наклону, угловому расстоянию перицентра от узла составляет единицы градусов: то в варианте 2 они существенно отличаются (отличие ориентаций орбит в угловой мере – десятки градусов:
а) Фазовые переменные б) Безразмерное управление
Рис. 1. Круговая орбита, быстродействие
а) Фазовые переменные б) Безразмерное управление
Рис. 2. Эллиптическая орбита
а) Фазовые переменные б) Безразмерное управление
Рис. 3. Эллиптическая орбита
На рис. 1-3 приведены графики изменения параметров орбиты в процессе управляемого движения и законы изменения управления для варианта 2
В результате численного решения выявлены особенности и закономерности оптимальных траекторий и управлений: при увеличении эксцентриситета орбиты уменьшается количество активных участков движения, их длительности и общее время переориентации; пропадают участки, на которых управление принимает свое максимальное по модулю значение в случае минимизации затрат времени и энергии; в случае малого
различия начальной и конечной ориентаций орбит (единицы градусов) время переориентации в несколько раз меньше, чем в случае большого различия начальной и конечной ориентаций орбит (десятки градусов).
Отметим выявленную неединственность решения краевых задач оптимальной переориентации орбиты КА, связанную с нелинейностью дифференциальных уравнений задачи. Поэтому в диссертации исследованы другие постановки задачи переориентации орбиты КА с использованием кватернионных моделей движения орбитального трехгранника. Это позволило найти несколько решений задачи, отличающихся значениями минимизируемого функционала, и выбрать из них оптимальное.
Во второй главе диссертационной работы развита для случая быстродействия предложенная Ю.Н. Челноковым теория оптимальной переориентации орбиты КА посредством реактивного ускорения, ортогонального плоскости орбиты, основанная на использовании кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбитальной системы координат; разработаны алгоритмы и программы численного решения краевых задач принципа максимума для функционалов
В этой постановке задачи требуется определить ограниченное по модулю управление ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
(11)
(12)
из заданного начального состояния
в конечное состояние, принадлежащее многообразию
и минимизирующее функционал
Здесь – кватернион ориентации орбитальной системы координат (ось направлена вдоль радиуса-вектора центра масc КА, а ось перпендикулярна плоскости орбиты), связанный с кватернионом ориентации орбиты КА соотношением
(13)
– параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбитальной системы координат в инерциальной системе координат
Величины и заданы. Подлежат определению оптимальный закон управления и величины
Использование уравнений (11), описывающих собой ориентацию орбитальной системы координат, для решения задачи переориентации орбиты имеет преимущества перед использованием кватернионного ОДУ ориентации орбиты (2). Уравнение (11) является при (в случае круговой орбиты) и линейным ОДУ с постоянными коэффициентами, а уравнение (2) – линейным ОДУ с переменными коэффициентами. Поэтому уравнение (11) удобнее и эффективнее в сравнении с уравнением (2) с аналитической точки зрения. Но уравнение (2) имеет преимущество перед уравнением (11) с точки зрения численного решения, поскольку переменные в сравнении с переменными являются медленно меняющимися функциями времени и истинной аномалии.
C помощью принципа максимума задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений 10-го порядка и 8 краевыми условиями, дополненными двумя условиями трансверсальности и равенством гамильтониана нулю в конечный момент движения, имеющим место для оптимального управления ( где – кватернионная сопряженная переменная) и оптимальной траектории.
Кватернионное уравнение (11) сведено для круговой орбиты и постоянного управления к уравнениям движения четырехмерного одночастотного гармонического осциллятора, их общее решение известно.
Учет известных первых интегралов и использование в качестве новых переменных компонент кватерниона позволяют понизить порядок полученной системы дифференциальных уравнений краевой задачи (без ее усложнения) на 6 единиц и привести ее к дифференциальным уравнениям линии переключения управления
(14)
В диссертации получена формула для периода функции переключения управления где Верхний знак берется, если на первом активном участке движения управление и нижний – в противном случае.
Показано, что уравнения (14) имеют 4 первых интеграла, не являющиеся независимыми. Они являются глобальными (сохраняют постоянное значение во все время управляемого движения КА). Также были найдены три первых интеграла, определяющих общее решение системы (14) в неявном виде. Два из них являются локальными (для них точка переключения управления является точкой разрыва первого рода).
В третьей главе диссертационной работы рассмотрена задача оптимальной переориентации орбиты КА посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты, с использованием кватернионных дифференциальных уравнений в отклонениях:
(15)
где – кватернион текущей ориентации орбиты КА.
Требуется определить ограниченное по модулю управление ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями (15), из заданного начального состояния
в конечное состояние, принадлежащее многообразию
и минимизирующее функционал
Кватернионная переменная характеризует отклонение ориентации орбиты КА от ее требуемого положения, задаваемого кватернионом . Величины и заданы. Подлежат определению оптимальный закон управления и величины
Сформулированная задача оптимальной переориентации орбиты КА сведена с помощью принципа максимума к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений 10-го порядка и 8 краевыми условиями, дополненными двумя условиями трансверсальности и равенством гамильтониана нулю в конечный момент движения, имеющим место для оптимального управления, аналогичного (8), и оптимальной траектории.
Кватернионное нестационарное уравнение (15) для круговой орбиты и постоянного управления сведено к линейному однородному ОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами относительно переменной построено общее решение этого уравнения, найдено общее решение для компонент векторной части кватерниона Аналогично сопряженное нестационарное неоднородное кватернионное дифференциальное уравнение сведено в этом случае к линейному неоднородному ОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами относительно скалярной части сопряженного кватерниона, построено его общее решение и найдены компоненты векторной части сопряженного кватерниона.
В диссертации разработаны алгоритмы и программы численного решения этой задачи. С их использованием построены примеры численного решения задачи оптимальной переориентации орбиты КА.
Начальные и конечные значения угловых элементов орбиты КА задавались равными: вариант 1 (малое различие начальной и конечной ориентаций орбиты КА): вариант 2 (большое различие начальной и конечной ориентаций орбиты КА): Конечные значения элементов орбиты отвечают ориентации орбиты одного из спутников орбитальной группировки ГЛОНАСС.
Начальные и конечные значения компонент кватерниона ориентации орбиты соответствующие этим значениям угловых элементов, равны: вариант 1: вариант 2:
а) Фазовые переменные б) Безразмерное управление
Рис. 4. Эллиптическая орбита
На рис. 4 приведены графики изменения параметров орбиты в процессе управляемого движения и закон изменения управления для варианта 2
Численное исследование показало, что при увеличении эксцентриситета орбиты пропадают участки активного движения КА, на которых управление принимает максимальное по модулю значение; уменьшается количество смен знака управления.
В четвертой главе диссертационной работы рассмотрена задача переориентации круговой орбиты КА при наличии трех точек переключения релейного управления.
Кватернион ориентации орбитальной системы координат в конечный момент времени в соответствии с (13) и кватернионной формулой сложения конечных поворотов имеет вид:
(16)
Здесь – кватернион конечного поворота на -м активном участке движения КА, первая пара знаков берется в случае нечетного вторая – в случае четного; верхний знак берется, если на первом активном участке движения КА иначе берется нижний знак; – длительность (в радианной мере) -го активного участка движения КА ,
Рассмотрена следующая задача: зная (или ), найти при условии, что Эта задача вытекает из решения задачи оптимального (в смысле быстродействия) разворота орбиты КА с помощью принципа максимума, которое, как показано в главе 2, осуществляется с помощью релейного управления.
Для решения задачи из (16) получена система четырех трансцендентных уравнений относительно трех переменных (). Разработана программа для численного решения указанной системы уравнений с использованием метода Ньютона решения системы нелинейных уравнений. В качестве конечной ориентации брались долгота восходящего узла и наклонение орбиты одного из спутников орбитальной системы ГЛОНАСС. Параметры задачи полагались равными: Примеры результатов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Установлено, что знак управления на первом участке активного движения КА (указанный в первом столбце) оказывает существенное влияние на длительность разворота орбиты. Так, на разворот орбиты из начального положения при на первом участке активного движения КА затрачивается значительно меньше времени, чем при В то же время переход из начального положения орбиты происходит быстрее при на первом участке активного движения, чем при Необходимо отметить, что разница между и не должна превышать а между и –
Рассмотрены два частных случая, когда длительности двух средних участков активного движения КА равны конкретной величине: и когда равны «длины» двух средних участков активного движения КА и, кроме того, равны «длины» двух крайних участков активного движения КА. Для них построены аналитические решения задачи.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.
