Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата с неуправляемым космическим аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите
1.1. Уравнения движения центра масс космического аппарата 16
1.2. Постановка задачи оптимального управления 21
1.3. Необходимые условия оптимальности. Законы управления 23
1.4. Условия трансверсальности 26
1.5. Анализ задачи. Первые интегралы, понижение размерности краевой задачи 28
1.6. Переход к безразмерным переменным 34
1.7. Методика численного решения задачи 37
1.8. Примеры численного решения задачи. Анализ результатов 40
1.9. Выводы 49
Глава 2. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигуры
2.1. Постановка задачи оптимального управления 52
2.2. Необходимые условия оптимальности. Законы управления 53
2.3. Условия трансверсальности 54
2.4. Анализ задачи. Первые интегралы 56
2.5. Переход к безразмерным переменным 58
2.6. Пример численного решения. Анализ результатов 61
2.7. Выводы 66
Глава 3. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура
3.1. Постановка задачи оптимального управления 68
3.2. Необходимые условия оптимальности. Законы управления 70
3.3. Условия трансверсальности 70
3.4. Переориентация круговой орбиты космического аппарата при наличии двух переключений управления 72
3.5. Выводы 85
Заключение 87
Список литературы
- Постановка задачи оптимального управления
- Методика численного решения задачи
- Анализ задачи. Первые интегралы
- Переориентация круговой орбиты космического аппарата при наличии двух переключений управления
Введение к работе
Актуальность темы.
Одной из основных проблем, рассматриваемых в механике космического полета - астродинамике, является проблема построения оптимальных управлений и траекторий движения космических аппаратов (КА).
К настоящему времени как в российских, так и в зарубежных изданиях опубликовано множество статей и ряд книг по исследованию управлений КА и связанных с этой тематикой вопросов По оценкам специалистов, точное аналитическое решение пространственных задач оптимального управления движением КА вряд ли возможно. Поэтому приходится рассчитывать лишь на приближенные аналитические или численные методы решения получаемых краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА Сложность стоящих здесь задач, связанных с нелинейностью и высокой размерностью дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации, продолжает оставлять эту проблематику актуальной.
Разделы небесной механики, используемые в астродинамике, изложены в книгах Г.Н Дубоншна, М Ф Субботина, П Р Эскобала Круг вопросов, связанных с исследованием номинальных траекторий и параметров КА и с исследованием управления траекториями КА, а также взаимосвязь между ними подробно освещены в обзоре ГН Дубоншна, ДЕ Охоцимского и книге Р. Бэтгана. Задачам оптимального управления движением центра масс летательных аппаратов посвящены работы В В Малышева, Г В Можаева, М С Константинова, В В Салмина, Р 3 Ахметшина, Ю Н Лазарева, В.Е. Усачова, Г.Г Федотова, Н М Иванова, С.А. Ишкова, В А. Романенко и других современных авторов.
В этих и других работах для решения задач оптимального управления движением центра масс КА используются, как правило, классические уравнения движения в декартовых координатах или уравнения в классических оскулирующих элементах Эти модели астродинамики и обзор полученных на их основе решений задач оптимального управления движением КА приведены в справочном руководстве по небесной механике и астродинамике авторов В К Абалакина, Е П. Аксенова, Е А Гребенникова и др.
В последнее время для решения задач астродинамики стали использоваться новые уравнения движения центра масс КА в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля и уравнения ориентации орбиты в параметрах Родрига-Гамильтона Так, параметры Родрига-Гамильтона и кватернионы, компонентами которых являются параметры Родрига-Гамильтона, использовались для решения задач орбитального движения в работах В А Брумберга, А Ф Брагазина, В Н Бранеца, И П Шмыглевского, A Depnt'a Различные модели орбитального движения,
использующие параметры Родрига-Гамильтона и кватернионы Гамильтона, рассматривались ЮН Челноковым Эти модели были использованы им для решения ряда пространственных задач оптимального управления движением центра масс КА
Введение кватернионов в уравнения движения центра масс КА может быть осуществлено с помощью записи уравнений движения во вращающейся системе координат, одна из осей которой направляется вдоль радиуса-вектора центра масс КА При этом в уравнениях движения КА появляются переменные, характеризующие ориентацию этой системы координат В качестве таких переменных в астродинамике традиционно используются углы Эйлера или направляющие косинусы Использование углов Эйлера приводит к появлению в уравнениях движения КА громоздких тригонометрических выражений и дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются Использование направляющих косинусов приводит к существенному повышению размерности системы уравнений движения и к потере геометрической наглядности
Этих недостатков углов Эйлера и направляющих косинусов удается избежать, если в качестве параметров ориентации вращающейся системы координат выбрать параметры Родрига-Гамильтона В этом случае для описания ориентации вращающейся системы координат удобно использовать гиперкомплексную переменную - кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона. При этом в составе уравнений движения центра масс КА появляется дифференциальное кватернионное уравнение мгновенной ориентации используемой вращающейся системы координат или орбиты КА, имеющее компактную, симметричную и невырождающуюся (для любых ориентации оскулирующей орбиты) структуру.
Использование кватернионов открывает новые возможности в решении задач астродинамики, повышает эффективность их аналитического исследования и численного решения Так, их использование позволяет построить новые кватернионные первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации, полученных с помощью принципа максимума, позволяет в ряде случаев существенно уменьшить размерности краевых задач оптимизации, построить регулярные алгоритмы их решения
Диссертационная работа посвящена изучению трех задач оптимального управления орбитальным движением КА с использованием новых кватернионных оскулирующих элементов орбиты
задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите,
задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры (изменяющей в процессе управления свои размеры и форму);
- задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА,
рассматриваемой как недеформируемая фигура (не изменяющая в процессе
управления свои размеры и форму).
Следует отметить, что задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите, решается на основе новой модели движения центра масс управляемого КА, предложенной Ю Н. Челноковым. В этой модели для описания мгновенной ориентации орбиты управляемого КА используется новый кватернионный оскулирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты. Это позволяет рассматривать общую пространственную задачу оптимального управления движением центра масс КА в центральном ньютоновском гравитационном поле как композицию двух взаимосвязанных задач* задачи управления формой, размерами орбиты КА и положением КА на орбите и задачи управления ориентацией мгновенной орбиты КА. Такой подход открывает дополнительные возможности в аналитическом и численном изучении задачи Эта модель также использована в работе для решения задачи оптимальной переориентации орбиты КА, форма и размеры которой в процессе управления деформируются, восстанавливаясь к конечному моменту времени.
Целями работы являются:
- Аналитическое и численное изучение трех пространственных
задач оптимального управления движением центра масс КА в центральном
ньютоновском гравитационном поле с использованием уравнений
движения в новых кватернионных оскулирующих элементах:
1) задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном
поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по
эллиптической кеплеровской орбите,
2) задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА,
рассматриваемой как деформируемая фигура,
3) задачи оптимальной переориентации орбиты КА,
рассматриваемой как неизменяемая фигура.
- Разработка алгоритмов и программ численного решения краевых
дифференциальных задач, к которым сводятся задачи оптимального
управления движением центра масс КА
Научная новизна работы заключается в следующем-
- построены новые кватернионные дифференциальные уравнения
двух краевых задач принципа максимума для решения задачи о встрече в
центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с
неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите,
и задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА,
рассматриваемой как деформируемая фигура, использующие новые
кватернионные оскулирующие элементы орбиты,
построены для решения двух вышеназванных задач законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности,
найдены первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач;
установлены преобразования, существенно упрощающие исходные нелинейные дифференциальные уравнения краевых задач,
получено с использованием новой модели орбитального движения КА численное решение задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите, показана эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимального управления в случаях, когда начальная или конечная орбита КА не является круговой или близкой к круговой,
получено численное решение задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры,
предложено решение задачи переориентации недеформируемой круговой орбиты КА для случая двух переключений управления
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью используемых методов решения и использованием алгоритмов численного решения краевых задач оптимизации, разработанных и апробированных ранее для задач изучаемого класса.
На защиту выносятся:
1 Решения двух пространственных задач теории управления
орбитальным движением КА в центральном ньютоновском
гравитационном поле, построенные с использованием новых моделей
орбитального движения в кватернионных оскулирующих элементах
- задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном
поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по
эллиптической кеплеровской орбите,
- задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА,
рассматриваемой как деформируемая фигура
2 Первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач.
3 Нелинейные преобразования, упрощающие системы
дифференциальных уравнений краевых задач и понижающие их
размерности
4 Характерные особенности численного решения изучаемых задач
оптимального управления с использованием кватернионных
оскулирующих элементов.
5 Решение задачи переориентации недеформируемой круговой
орбиты КА для случая двух переключений управления.
Практическая ценность. Полученные законы оптимального управления орбитальным движением КА могут быть использованы в
качестве законов программных управлений при построении систем управления орбитальным движением КА, использующих в качестве исполнительных устройств реактивные двигатели. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения программных управлений орбитальным движением КА и математического моделирования управляемого движения КА
Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы в лаборатории механики, навигации и управления движением ИПТМУ РАН (г Саратов, 2004-2006 гг) при выполнении работ по заданию президиума РАН (тема № 0120 0403260 «Разработка кватернионных и бикватернионных моделей и методов механики твердого тела, методов пространства состояний в задачах динамики и управления движением») и проекта РФФИ № 05-01-00347 «Кватернионные модели и методы динамики и управления движением космических аппаратов»
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (2003-2006), на научных семинарах Института проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов, 2003-2005); на Международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития прецизионной механики и управления в машиностроении» (г Саратов, 2006)
Публикации. По результатам исследований опубликовано семь научных статей, список которых приводится в конце автореферата.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, приложения Общий объем составляет 121 страницу, в том числе 32 рисунка, список использованной литературы включает 82 наименования.
Постановка задачи оптимального управления
В перечисленных выше работах для решения задач оптимального управления движением центра масс КА используются, как правило, классические уравнения движения в декартовых координатах или уравнения в классических оскулирующих элементах.
Эти модели астродинамики и обзор полученных на их основе решений задач оптимального управления движением КА приведены, например, в справочнике по небесной механике и астродинамике авторов В.К. Абалакина, Е.П. Аксенова, Е.А. Гребенникова, ВТ. Демина, Ю.А. Рябова [57].
Классические модели астродинамики имеют ряд недостатков (использование углов Эйлера приводит к появлению в уравнениях движения КА громоздких тригонометрических выражений и дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются, а использование направляющих косинусов - к существенному повышению размерности системы уравнений движения и к потере геометрической наглядности), что затрудняет решение задач оптимального управления движением КА.
В последнее время для решения задач астродинамики ряд авторов, таких как В.А. Брумберг, А.Ф. Брагазин, В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский, Ю.Н. Челноков, Я.Г. Сапунков, A. Deprit стали использовать новые уравнения движения центра масс КА в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля и уравнения ориентации орбиты в параметрах Родрига-Гамильтона.
Введение кватернионов, компонентами которых являются параметры Родрига-Гамильтона, в уравнения движения центра масс КА может быть осуществлено с помощью записи уравнений движения во вращающейся системе координат г, одна из осей которой (ri) направляется вдоль радиуса-вектора центра масс КА. При этом в уравнениях движения КА появляются переменные, характеризующие ориентацию этой системы координат. В качестве таких переменных в астродинамике традиционно используются углы Эйлера или направляющие косинусы, о недостатках которых было сказано ранее. Этих недостатков углов Эйлера и направляющих косинусов удается избежать, если в качестве параметров ориентации вращающейся системы координат выбрать параметры Родрига-Гамильтона. В этом случае для описания ориентации вращающейся системы координат удобно использовать гиперкомплексную переменную - кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона. При этом в составе уравнений движения центра масс КА появляется дифференциальное кватернионное уравнение мгновенной ориентации вращающейся системы координат, имеющее компактную, симметричную и невырождающуюся (для любых ориентации оскулирующей орбиты) структуру.
Использование вращающейся системы координат порождает семейство различных моделей орбитального движения КА [61], отличающихся видом используемых скоростных переменных. В качестве таких переменных могут быть взяты проекции вектора абсолютной угловой скорости вращающейся системы координат или проекции вектора скорости центра масс КА, или проекции вектора момента скорости центра масс КА на оси вращающейся системы координат. Многообразие моделей движения центра масс КА обусловливается также наличием в исходных уравнениях движения центра масс КА, записанных во вращающейся системе координат, произвольно задаваемого параметра, имеющего смысл проекции вектора угловой скорости вращающейся системы координат на направление радиуса-вектора КА. Наиболее часто используются два способа задания вращения системы координат вокруг радиуса-вектора КА. В первом из них проекция вектора угловой скорости вращающейся системы координат на направление радиуса-вектора КА полагается равной нулю, во втором ось г[з направляется вдоль вектора момента скорости К А, а ось М1, по-прежнему, вдоль радиуса-вектора центра масс К А. Выбор модели движения КА, наиболее удобной для решения конкретной задачи оптимального управления, может быть сделан на основе сравнительного анализа решений, получаемых с помощью различных моделей движения КА. Использование кватернионных моделей орбитального движения открывает новые возможности в решении задач астродинамики, повышает эффективность их аналитического исследования и численного решения. Так, их использование позволяет построить новые кватернионные первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации, полученных с помощью принципа максимума, позволяет в ряде случаев существенно уменьшить размерности краевых задач оптимизации, построить регулярные алгоритмы их решения [61, 64, 65, 68].
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению задач оптимального управления орбитальным движением КА с использованием новых кватернионных оскулирующих элементов орбиты и содержит три главы основного текста.
Методика численного решения задачи
На рисунках 1.1 - 1.20 приведены результаты численного решения краевой задачи, описанной в пункте 1.4. Алгоритм численного решения задачи реализует модифицированный метод Ньютона и описан в пункте 1.7. Для численного решения задачи уравнения и соотношения краевой задачи оптимизации были записаны в безразмерной форме, приведенной в пункте 1.6.
Задача оптимального управления решалась для космических аппаратов, начальные декартовы координаты и проекции векторов скоростей центров масс которых на оси инерциальной системы координат задавались равными [14] (здесь и далее расстояние измеряется в метрах, скорость - в м/с, секторная скорость - в м2/с, истинная аномалия - в радианах, время - в секундах): для управляемого КА (хь х2, х3 - декартовы координаты КА в системе координат X, Vi+, v2+, v3+ - проекции вектора скорости КА v на оси системы координат X)
Соответствующие этим значениям декартовых координат и проекций скоростей К А начальные значения используемых переменных таковы: для управляемого КА г = 38408892.760349, vi = 134.182630, с = 121952747611.169187; Хо = 0.628251, Xi=- 0.640246, Х,2 = -0.057108, Х.3 = 0.438321; для неуправляемого КА г = 63986302.604446, vi = 881.365577, с = 69359716387.313665; Хо = 0.427774, А./= -0.600342, \2 = - 0.213604, Х3 = 0.641071.
Соответствующие этим значениям величины, характеризующие форму, размеры начальных орбит КА, начальные положения КА на орбитах и ориентации начальных орбит КА, равны: для управляемого КА (еог - эксцентриситет, аог - большая полуось, рог -параметр орбиты) еог = 0.0500, аог = 37405335.0739, рог= 37311772.8297, 9 = 2.178685; Л0ОГ = 0.679417, АЛ = -0.245862, Л20Г = -0.593909, Л30Г = -0.353860; для неуправляемого КА е = 0.8257, а = 37936238.7597, р = 12069167.7304, ф = 2.954779; Л0 = 0.678175, Л/= -0.268667, Л2 = - 0.577802, Л3 = -0.366116.
Начальные значения используемых безразмерных переменных для выбранных масштабирующих множителей R = 37000000.0, V = 3282.220738, С = 121442167306.088539, Т= 11272.855470 соответственно равны: для управляемого КА г = 1.038078, V! = 0.040882, с = 1.004204; для неуправляемого КА г = 1.729360, УГ = 0.268527, с = 0.571134. Результаты численного решения задачи для приведенных числовых значений начальных декартовых координат и проекций скоростей управляемого и неуправляемого КА в случае, когда N = 0.35, ртах = 0.101907, а = 0 (случай быстродействия, малое отличие в ориентациях начальных орбит управляемого и неуправляемого КА) приведены на графиках (рис. 1.1 - 1.20). На этих графиках приводятся законы изменения безразмерных фазовых и сопряженных переменных и управлений, для простоты записи верхние индексы " над этими величинами, а также над временем t на графиках не ставятся.
Константы движения в этом варианте решения задачи равны N0 = 0.0, Ni = 5.5692, N2 = - 6.1538, N3 = - 1.7521. В ходе решения задачи была обнаружена необходимость комбинации двух моделей движения управляемого КА: "старой" (1.1.5) и "новой" (1.1.6Н1.1.9). Необходимость сочетания двух моделей вызвана существованием особой точки типа сингулярности - в процессе управляемого орбитального движения в некоторый момент времени орбита управляемого КА становится близкой к круговой (эксцентриситет принимает значение, практически равное нулю), что приводит к вырождаемости "новой" модели, тогда как "старая" модель помогает избежать этой сложности, так как остается регулярной.
Модели были скомбинированы следующим образом: с начального момента времени и до момента времени t = 0.2 безразмерных единиц использовалась "новая" модель, затем на интервале 0.2 t 0.3, где орбита управляемого КА становится близкой к круговой орбите и уравнения задачи становятся близкими к вырожденным, использовалась "старая" модель, а с момента времени t = 0.3 безразмерных единиц и до конечного момента времени задача снова решалась на основе "новой" модели.
На рис. 1.1 - 1.6 приведены законы изменения в безразмерном времени t переменных Aj0r, Nj0r, (j = 0,3), характеризующих угловое движение системы координат 4, связанной с мгновенной орбитой КА, и сопряженных переменных Mj0r, (j = 0,3). Законы изменения фазовых переменных г, vb с и управлений рк, (к = 1, 2, 3) изображены на рис. 1.7, 1.8 соответственно, законы изменения сопряженных переменных р, sb е, имеют вид, приведенный на рис. 1.9, а законы изменения угловых переменных (ptr, ф , характеризующих положения управляемого и неуправляемого КА на их орбитах - на рис. 1.10.
Время, через которое управляемый КА встретится с неуправляемым КА, составило 3.4570 безразмерных единиц или 38970 секунд (10.8251 часа). Значения фазовых координат управляемого КА (г, vb с) и неуправляемого КА (г , vi , с ) в конечный момент времени полностью совпали: г = г = 1.1176, Vi = vi = - 0.7437, с = с = 0.5711 безразмерных единиц. Расхождение значений истинных аномалий управляемого и неуправляемого КА (ф = 3.6865 и ф = 3.6818) составило 0.005 рад. Из анализа рис. 1.1 - 1.6 видно, что переменные Aj0r, Mj0r, являются медленно изменяющимися переменными с момента, равного 0.5 единиц безразмерного времени. Законы изменения фазовых и сопряженных переменных имеют плавный характер.
По компонентам управления pi и р3 вектора управления (рис. 1.8) имеется одно "переключение" (знак каждой из компоненты изменяется на всем интервале управляемого движения один раз), а по компоненте управления р2 -два "переключения", причем второй момент "переключения" управления рг и момент "переключения" управления рз совпадают. Максимальное значение управления рз, играющего определяющую роль в управлении ориентацией орбиты КА, более чем в пять раз меньше максимальных значений управлений pi, р2 из-за близости ориентации начальной орбиты управляемого КА и орбиты неуправляемого КА.
Две пиковые точки на графике для переменной ф№ совпадают с моментами перехода от одной модели к другой (t = 0.2004 и t = 0.3006 безразмерных единиц), третья точка соответствует моменту безразмерного времени t = 0.4008. Из графика видно, что имеется два участка "попятного" движения управляемого КА на промежутках времени (0, 0.2) и (0.3, 0.4).
Анализ задачи. Первые интегралы
На рисунках 2.1 - 2.11 приведены результаты численного решения краевой задачи, описанной в пункте 2.3. Алгоритм численного решения задачи реализует модифицированный метод Ньютона и описан в пункте 1.7. Для численного решения задачи уравнения и соотношения краевой задачи оптимизации были записаны в безразмерной форме, приведенной в пункте 2.5.
Задача оптимального управления решалась для космического аппарата, начальные декартовы координаты и проекции вектора скорости центра масс которого на оси инерциальной системы координат задавались равными [14] (здесь и далее расстояние измеряется в метрах, скорость - в м/с, секторная скорость - в м2/с, истинная аномалия - в радианах, время - в секундах): (хь х2, х3 - декартовы координаты КА в системе координат X, vi+, v2+, v3+ -проекции вектора скорости КА v на оси системы координат X) X! = 23399727.8, х2= 23962416.6, х3 = - 18801552.4; Vl+ = - 1434.76751, v2+ = -564.26402 v3+=-2778.92505.
Начальные значения используемых безразмерных переменных для выбранных масштабирующих множителей R = 37000000.0, V = 3282.220738, С = 121442167306.088539, Т= 11272.855470 соответственно равны: г = 1.729360, vj = 0.268527, с = 0.571134.
Результаты численного решения задачи для приведенных числовых значений начальных декартовых координат и проекций скоростей и соответствующих им параметров начальной и конечной ориентации орбиты КА в случае, когда N = 0.35, ртах = 0.101907, а = 0 (случай быстродействия) приведены на графиках (рис. 2.1 - 2.11). На этих графиках приводятся законы изменения безразмерных фазовых и сопряженных переменных и управлений, для простоты записи верхние индексы "б" над этими величинами, а также над временем t на графиках не ставятся.
Законы изменения эксцентриситета орбиты КА еог, фазовых переменных г, Vi, с и управлений рь (к = 1, 2, 3) изображены на рис. 2.1 - 2.3 соответственно. Закон изменения угловой переменной фц-, характеризующей положение КА на его орбите, имеет вид, приведенный на рис. 2.4, а законы изменения сопряженных переменных р, Si, е - на рис. 2.5. Законы изменения в безразмерном времени t переменных Л/г, Nj0r, (j = 0,3), характеризующих угловое движение системы координат , связанной с мгновенной орбитой КА, и сопряженных переменных Mj0r, (j = 0,3) изображены на рис. 2.6 - 2.11.
Время, через которое ориентация орбиты КА займет требуемое конечное положение, составило 0.5924 безразмерных единиц или 6678.04 секунд (1.855 часа). Расхождение значения эксцентриситета орбиты К А, также как и расхождение значения модуля вектора момента скорости КА, в начальный и конечный моменты времени составило 0.002 безразмерных единиц. Из анализа рис. 2.1 - 2.11 видно, что законы изменения фазовых и сопряженных переменных имеют плавный характер, переменные Ajr, Nj0r (j = 0,3) являются медленно изменяющимися переменными.
Практически прямой линией является график для фазовой переменной qv По всем компонентам управления рь р2 и р3 вектора управления р имеется одно "переключение" (знак каждой из компоненты изменяется на всем интервале управляемого движения один раз), причем моменты "переключения" управлений рь р2, рз следуют друг за другом. Начальные и конечные значения модулей управлений рь р2, рз близки друг к другу, практически равны длительности положительных и отрицательных значений управлений рь р2, рз Из рис. 2.1 видно, что в процессе управляемого движения величина эксцентриситета меняется существенно (на 0.1 безразмерных единиц), причем изменение эксцентриситета (увеличение и уменьшение) носит симметричный характер.
График для сопряженной переменной Si пересекается в нуле с графиком для сопряженной переменной е в момент времени, чуть больший, чем t = 0.2833 безразмерных единиц. Также, данные графики являются практически симметричными относительно указанного момента времени. Кривые е, Si и р можно аппроксимировать прямыми линиями. Законы изменения сопряженных переменных р, Si, е содержат быстро меняющиеся составляющие.
Переориентация круговой орбиты космического аппарата при наличии двух переключений управления
В случае, когда задача переориентации решается для круговой орбиты при наличии двух переключений управления, решение задачи рассмотрено в двух постановках, использующих аналитическое решение кватернионного уравнения (3.1.2) для управления вида (3.2.5): 1. на основе рекуррентного использования этого решения; 2. на основе использования этого решения в сочетании с кватернионной формулой сложения конечных поворотов.
В первой постановке получены нелинейные алгебраические уравнения для решения задачи переориентации неизменяемой круговой орбиты КА в случае двух переключений управления, которые могут быть использованы и для нахождения условия разрешимости задачи переориентации круговой орбиты КА с двумя переключениями управления, накладываемого на начальную и конечную ориентации орбиты КА. Так как эти уравнения не являются достаточно наглядными и их аналитическое решение затруднено, в третьей главе рассмотрено несколько частных случаев, для которых эти соотношения упрощаются.
Во второй постановке получена система четырех алгебраических уравнений, которую возможно разрешить численно относительно ее неизвестных.
1. Рассмотрено решение задачи об оптимальной встрече двух КА в центральном ньютоновском гравитационном поле на основе новой кватернионной модели движения центра масс управляемого КА. Задача об оптимальной встрече двух КА сведена с использованием принципа максимума к краевой задаче, описываемой системой восемнадцати обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Найдено четыре скалярных первых интеграла и один кватернионный первый интеграл уравнений задачи. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Установлено условие, являющееся частным решением уравнения для переменной, сопряженной к истинной аномалии, при выполнении которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются. Показано, что размерность краевой задачи может быть понижена на семь единиц без усложнения уравнений задачи.
2. Выявлены характерные особенности численного решения задачи об оптимальной встрече двух КА в центральном ньютоновском гравитационном поле для случая малого отличия в начальных ориентациях орбит управляемого и неуправляемого КА (отличие по угловым элементам орбит составляет единицы градусов). Так, по компонентам управления pi и р3 вектора управления р имеется одно "переключение" (знак каждой из компоненты изменяется на всем интервале управляемого движения один раз), а по компоненте управления р2 - два "переключения", причем второй момент "переключения" управления р2 и момент "переключения" управления рз совпадают. Максимальное значение управления рз, играющего определяющую роль в управлении ориентацией орбиты КА, более чем в пять раз меньше максимальных значений управлений рь рг из-за близости ориентации начальной орбиты управляемого КА и орбиты неуправляемого КА; имеется два участка "попятного" движения управляемого КА. Построено численное решение задачи переориентации орбиты управляемого КА, решаемой в рамках задачи о встрече управляемого и неуправляемого КА. Установлено, что время, затрачиваемое на переориентацию орбиты КА, приблизительно в шесть раз меньше времени, необходимого для встречи двух КА. Проведенные исследования показали эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимального управления в случаях, когда начальная или конечная орбита КА не является круговой или близкой к круговой. Если же это имеет место, то необходимо использовать комбинацию моделей, одна из которых использует обобщенную истинную аномалию [65], а другая, изученная в первой главе диссертационной работы, - классическую истинную аномалию. 3. Рассмотрено решение задачи об оптимальном управлении ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, на основе новой кватернионной модели движения центра масс КА. Задача оптимальной переориентации орбиты КА сведена с использованием принципа максимума к краевой задаче, описываемой системой шестнадцати обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Найдено три скалярных первых интеграла и один кватернионный первый интеграл уравнений задачи. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Выявлено, что при выполнении условия, установленного в первой главе и являющегося частным решением уравнения для переменной, сопряженной к истинной аномалии, уравнения краевой задачи оптимальной переориентации орбиты также упрощаются. Показано, что размерность краевой задачи может быть понижена на шесть единиц без усложнения уравнений задачи.
4. Выявлены характерные особенности численного решения задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры. Практически прямой линией является график для фазовой переменной qv По всем компонентам управления рь р2 и р3 вектора управления р имеется одно "переключение" (знак каждой из компоненты изменяется на всем интервале управляемого движения один раз), причем моменты "переключения" управлений рь р2, рз следуют друг за другом и отстоят один от другого на время, равное 0.026 безразмерных единиц. Начальные и конечные значения модулей управлений рь р2, Рз близки друг к другу, практически равны длительности положительных и отрицательных значений управлений рь рг, рз- График для сопряженной переменной Si пересекается в нуле с графиком для сопряженной переменной е в момент времени, чуть больший, чем t = 0.2833 безразмерных единиц. Также, данные графики являются практически симметричными относительно указанного момента времени. Кривые е, Si и р можно аппроксимировать прямыми линиями. Время, необходимое на переориентацию орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, несколько меньше (приблизительно на 2%), чем время, затрачиваемое на переориентацию орбиты КА, рассматриваемой как задача об оптимальной встрече двух КА.
5. Предложено решение задачи управления ориентацией круговой орбиты КА, рассматриваемой как неизменяемая фигура, для случая двух переключений управления. Решение задачи рассмотрено в двух постановках, использующих аналитическое решение кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбиты КА на основе рекуррентного использования этого решения и на основе использования этого решения в сочетании с кватернионной формулой сложения конечных поворотов. Получены нелинейные алгебраические уравнения для решения задачи переориентации неизменяемой круговой орбиты КА в случае двух переключений управления. 6. Разработаны алгоритмы и программы численного решения двух краевых дифференциальных задач: задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите и задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры (изменяющей в процессе управления свои размеры и форму).
Похожие диссертации на Решение задач оптимального управления орбитальным движением космического аппарата с использованием кватернионных оскулирующих элементов орбиты
