Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Оптимизация траекторий выведения кла в атмосфере 31
1.1. Постановка задачи З 3
1.1.1. Уравнения движения З 3
1.1.2. Управление 35
1.1.3. Ограничения 35
1.1.4. Краевые условия 3 8
1.1.5. Функционал 40
1.2. Условия оптимальности 41
1.2.1. Сопряженная система 41
1.2.2. Условия трансверсальности 42
1.2.3. Интегралы движения 44
1.2.4. Условия оптимальности управления 44
1.2.5. Учет балансировки 53
1.3. Решение краевой задачи 57
1.3.1. Модифицированный метод Ньютона 5 7
1.3.2. Метод продолжения решения по параметру (МПР) 59
1.3.3. Селекция экстремалей 62
1.3.4. Особенности численной процедуры решения краевой задачи с учетом ограничений на фазовые переменные 64
1.3.5. Область сходимости 68
1.4. Анализ чувствительности выводимой массы к возмущениям оптимальной траектории 76
1.5. Контроль правильности работы программы 78
1.5.1. Анализ точности интегрирования системы уравнений 79
1.5.2. Анализ правильности формирования оптимального управления 80
1.5.3. Анализ правильности записи сопряженной системы и условий трансверсальности 80
1.6. Автоматизированный комплекс программ ASTER 83
1.6.1. Основные классы задач, решаемые комплексом ASTER 85
1.6.2. Структура комплекса ASTER 87
1.6.3. Расчетный модуль программного комплекса ASTER 89
1.6.4. Интерфейсный модуль программного комплекса ASTER 93
1.6.5. База данных программного комплекса ASTER 94
Глава 2: Качественный анализ влияния аэродинамических сил на оптимальные траектории и управление КЛА 95
2.1. Влияние аэродинамических характеристик КЛА на опти мальные траектории и законы управления 97
2.1.1. Влияние аэродинамических характеристик КЛА, усредненных по режимам полета, на структуру экстремалей 98
2.1.2. Влияние аэродинамических характеристик КЛА при до- и сверхзвуковых скоростях на структуру экстремалей 101
2.1.3. Влияние аэродинамических характеристик и тяги КЛА на параметры оптимальных траекторий и программ управления 107
2.1.4. Влияние аэродинамических характеристик и угла установки двигателей КЛА на параметры оптимальных траекторий и программ управления -. 110
2.2. Влияние начальных условий на оптимальные траектории и законы управления 114
2.2.1. Влияние начальной скорости 114
2.2.2. Влияние начальной высоты 114
2.2.3. Влияние начального угла наклона траектории 115
2.3. Анализ чувствительности выводимой массы к возмущениям оптимальной траектории 126
2.4. Классификация типов экстремалей в зависимости от аэродинамических свойств КЛА 134
2.5. Влияние аэродинамической формы КЛА на оптимальные траектории и законы управления 139
2.5.1. Аэродинамические формы КЛА 140
2.5.2. Влияние геометрических параметров компоновки на выводимую массу 144
Глава 3: Сквозная оптимизация ветвящихся траекторий выведения кла с дискретным множеством ветвей 150
3.1. Постановка задачи 151
3.2 Условия оптимальности 153
3.3 Редукция краевой задачи на основе проекции граничных ус ловий с правых концов боковых ветвей 154
3.4 Сквозная оптимизация выведения КТС с условием приведе ния отработавших ступеней в заданный район 15 8
3.4.1 Постановка задачи 158
3.4.2 Особенности краевой задачи 161
3.4.3 Особенности оптимальных решений при ограничениях на точки падения отработавших элементов 162
3.4.4 Примеры решений 165
Сквозная оптимизация выведения КТС с учетом требований безопасного разделения ступеней 167
3.5.1. Интегральный учет участка разделения при сквозной оптимизации траекторий выведения 169
3.5.2. Сквозная оптимизация ветвящихся траекторий выведения АКС с учетом разделения ступеней 170
Оптимизация режима установившегося полета АКС перед запуском PC 184
3.6.1. Область возможных установившихся режимов полёта СН 186
3.6.2. Оптимизация начальных условий маневра СН с PC 188
Глава 4: Сквозная оптимизация ветвящихся траекторий выведения кла с континуумом ветвей 191
4.1. Постановка задачи 191
4.2. Редукция краевой задачи на основе проекции ограничений с боковых ветвей на основную ветвь 194
4.3. Сквозная оптимизация траекторий выведения КЛА с учетом требований отказобезопасности 199
4.3.1. Приближенный синтез оптимального отказобезопасно- го управления 199
4.3.2. Решение на основе принципа максимума Понтрягина 205
Глава 5: Исследование неравновесных траекторий входа в атмосферу 210
5.1. Постановка задачи 213
5.2. Приближенное аналитическое решение фазовой и сопряженной систем 216
5.2.1. "Верхняя" область 217
5.2.2. "Нижняя" область 219
5.2.3. Высота h* склейки участков 222
5.3. Анализ точности аналитических решений 223
5.4. Структура оптимального управления 227
5.5. Эффективность управления 233
5.6. Влияние начальных условий 238
5.7. Влияние принятых допущений математической модели 242
5.7.1. Влияние условия склейки участков траектории 242
5.7.2. Влияние вращения Земли 243
5.7.3. Влияние изменений параметров атмосферы и аэродинамических характеристик 244
Глава 6: Исследование оптимальных траекторий и управления ктс различных схем 246
6.1. Оптимальное отказобезопасное выведение КТС с вертикаль ным стартом 246
6.1.1. Исходные данные 247
6.1.2. Нагрузки на ОК после экстренного отделения от РН в аварийных ситуациях 250
6.1.3. Влияние требований отказобезопасности на максимальную выводимую массу, оптимальные траекторию и программу управления КТС 256
6.2. Сквозная оптимизация выведения АКС с самолетом- носителем Ан-225 «Мрия» 265
6.2.1. Исходные данные 265
6.2.2. Влияние режимов установившегося полета СН с PC перед началом предрасцепочного маневра 272
6.2.3. Влияние требований безопасного разделения PC и СН 279
6.2.4. Влияние требования отказобезопасности выведения 291
6.2.5. Формирование требований по точности выведения АКС 294
6.2.6. Контроль точности решения оптимизационной задачи 300
6.3. Сквозная оптимизация выведения КТС со сбросом отрабо тавших элементов в заданные районы 302
6.3.1. Исходные данные 302
6.3.2. Влияние выбора полей падения разгонных блоков ступеней и створок головного обтекателя на полезную массу и оптимальную программу управления 305
6.3.3. Контроль точности решения оптимизационной задачи 326
6.4. Сквозная оптимизация выведения АРК КН "Воздушный старт" с самолетом-носителем Ан-124 «Руслан» 329
6.4.1. Исходные данные 332
6.4.2. Влияние режимов установившегося полета СН с РН перед началом предрасцепочного маневра 333
6.4.3. Влияние требований безопасного десантирования РН из СН 337
6.4.4. Влияние предельно допустимого для СН числа М полета 342
6.4.5. Контроль точности решения оптимизационной задачи 343
Основные результаты 345
Литература 351
Приложение 1.1 380
- Условия оптимальности
- Влияние начальных условий на оптимальные траектории и законы управления
- Редукция краевой задачи на основе проекции граничных ус ловий с правых концов боковых ветвей
- Сквозная оптимизация траекторий выведения КЛА с учетом требований отказобезопасности
Введение к работе
Проблема выведения космических летательных аппаратов (КЛА) на орбиты искусственных спутников Земли (ИСЗ) является одной из важнейших задач современной ракетодинамики. Практическое её решение в нашей стране и за рубежом до настоящего времени, в основном, связано с использованием космических транспортных систем (КТС) баллистического типа с вертикальным стартом. Для таких КТС атмосфера рассматривается как среда с сопротивлением, увеличивающая затраты топлива при выведении. В связи с этим программа управления традиционно выбирается так, чтобы движение в плотных слоях атмосферы происходило почти с нулевым углом атаки (программа гравитационного разворота) и КТС достаточно быстро преодолевала атмосферный участок при сравнительно невысоком уровне аэродинамических нагрузок (вертикальный старт).
Возможности дальнейшего повышения эффективности КТС такого типа за счет снижения аэродинамических потерь практически исчерпаны. Качественный скачок в развитии КТС возможен при коренном изменении отношения к роли аэродинамических сил в процессе выведения: от снижения влияния - к оптимальному их использованию. В целом, оптимизация управления КТС является одним из важных резервов практического увеличения весовой эффективности КТС, так как из-за значительного превышения (на полтора-два порядка) массы расходуемого топлива над полезной массой даже малая улучшающая вариация управления без изменения конструкции КТС может привести к заметному относительному росту выводимой массы.
Выведение КЛА на орбиту ИСЗ осуществляется, как правило, составными (ступенчатыми) КТС. При использовании традиционных стартовых комплексов на территории России и Казахстана существует проблема сброса отработавших элементов КТС в разрешенные зоны отчуждения. До недавнего времени эта проблема не относилась к числу первоочередных, носила подчиненный характер по отношению, например, к проблеме максимизации выводимой массы. В • результате, к концу 90-х годов общая площадь районов отчуждения, отведенных под падение отработавших частей КТС, составляла сотни тысяч квадратных километров. Распад СССР и возрастание самостоятельности регионов способствовали столь резкому обострению ситуации вокруг районов падения отработавших частей КТС, что в настоящее время эта проблема стала не менее актуальной, чем повышение выводимой массы. Это не могло не отразиться и на политике фирм, занимающих ведущее место в области космических пусковых услуг. Так, ГКНГЩ им. М.В. Хруничева создает ракету-носитель (РН) «Ангара» с крылатым, возвращаемым к месту старта, блоком первой ступени [1, 2], несмотря на то, что это неминуемо приведет к потере более трети массы полезной нагрузки. РКК «Энергия» активно включилась в разработку авиационно-ракетного комплекса космического назначения (АРК КН) «Воздушный старт» [3], в котором ключевую позицию занимает самолет-носитель Ан-124 «Руслан», обеспечивающий, наряду с другими преимуществами, возможность запуска РН с приэкваториальных широт над акваторией мирового океана, где проблема выделения районов падения частей РН пока еще не стоит так остро.
Одним из важнейших требований, предъявляемых к системам управления КЛА, является обеспечение безопасности полета. С точки зрения траєкторного управления составными КЛА учет требований безопасности подразумевает выполнение трех уровней ограничений [4- 6]:
- по нагрузкам на активном участке выведения [7- -10],
- по безопасному отделению отработавших элементов [11- -14] и возвращению их в заданные районы [7-йО, 15],
- по безопасному возвращению экипажа и/или полезного груза в нештатных ситуациях [4, 5, 16].
Таким образом, на траектории возвращения отработавших элементов КТС накладываются ограничения:
• по допустимым районам посадки (для многоразовых элементов) или падения (для одноразовых элементов КТС);
• по допустимым динамическим и тепловым нагрузкам (разрушение даже одноразовых элементов при входе в плотные слои атмосферы недопустимо, так как это привело бы к резкому увеличению области рассеивания);
• по допустимым числам Маха (при запуске с самолета-носителя);
• по безопасности разделения и др.
Выполнение этих ограничений зависит как от выбора траектории выведения, фактически задающей начальные условия для участка возвращения, так и от управления на этом участке. Тем самым, условия на участках возвращения отработавших элементов КТС связывают во взаимозависимый комплекс проблемы выведения КТС и возвращения в атмосфере ее отработавших элементов.
Наиболее полный и объективный анализ возможностей КЛА при выведении на орбиты ИСЗ может быть проведен на основе сквозного рассмотрения всех этапов полета с применением строгих методов оптимального управления.
Работы, связанные с решением проблемы оптимизации траекторий КЛА, можно разделить в соответствии со следующими направлениями исследований:
- методы оптимизации;
- численные методы;
- программная реализация;
- решение конкретных задач оптимального управления КЛА.
Исследования проблемы выведения космических аппаратов на орбиту искусственного спутника Земли (ИСЗ) берут свое начало в трудах К.Э. Циолковского [17], предложившего использовать многоступенчатые ракеты для снижения затрат топлива на выведение. О возможности повышения эффективности ракет за счет использования наклонного старта и подъемной аэродинамической силы указывал Ф.А. Цандер [18]. Теория полета космических транспортных систем изложена в монографиях Р.Ф. Аппазова, С.С. Лаврова и В.П. Мишина [7], Р.Ф. Аппазова, О.Г. Сытина [10], Д.Е. Охоцимского [19], В.И. Феодосьева [8], Ю.Г. Сихарулидзе [9], А.А. Лебедева, Н.Ф. Герасюты [20], В.М. Пономарева [21], М.С. Константинова, Е.Ф. Каменкова, Б.П. Перелыгина, В.К. Безвербого [22] и др.
Одной из первых работ, в которой запуск ракеты рассмотрен в вариационной постановке, является работа Д.Е. Охоцимского [23], посвященная максимизации дальности полета твердотопливных ракет. При решении задач полета ракеты на максимальную, дальность в отсутствии атмосферы [23] и оптимизации выведения на орбиту в плоско-параллельном однородном гравитационном поле [24] доказана, в частности, оптимальность мгновенного сжигания заряда в точке старта. В работах А. Миеле, Дж. Капеллари [25] и Дж. Лейтмана [26] показано, что оптимальная тяга при движении в плоско-параллельном гравитационном поле в пустоте принимает граничные значения.
В классических работах Д.Е. Охоцимского, Т.М. Энеева [24] и Д.Ф. Лоудена [27], заложивших теоретическую основу программ управления существующих космических транспортных систем и ракет, при условии пренебрежения влиянием атмосферы, получены простые формулы, определяющие оптимальное изменение угла тангажа (дробно-линейный закон изменения тангенса угла тангажа по времени для однородного гравитационного поля).
Использование принципа максимума Понтрягина [28-К30] дало новый импульс работам в области оптимизации траекторий космических аппаратов. На основе принципа максимума Понтрягина в работах В.К. Исаева, В.В. Сонина и А.И.Курьянова [31-ь35] исследована структура оптимального управления вектором тяги ракет при отсутствии аэродинамических сил. В частности, исследованы условия существования участков особого управления тягой в однородном плоско-параллельном гравитационном поле при отсутствии ограничений на дальность [33-f35]. Анализ особого управления ориентацией вектора тяги и скользящих режимов при оптимизации движения ракет в вакууме содержится в » работах [36+39]. Внимание особым оптимальным управлениям уделяется в монографиях [40+45]. В работе [46] исследована задача набора максимальной высоты с учетом зависимости массы конструкции аппарата от максимальной тяги.
Учет влияния аэродинамических сил на оптимальное управление выведением ракет начинался с работ, рассматривающих вертикальный подъём зонда на максимальную высоту (задача Годдарда). В работе [23] эта задача решалась при использовании различных моделей атмосферы и квадратичной зависимости сопротивления от скорости. Для случая однородной атмосферы получено решение в квадратурах. Исследования особого оптимального управления тягой в задаче Годдарда содержатся в работах С. Цзяна, Р. Эванса [47], Б. Гарфинкеля [48], Г. Гамеля [49], Д. Лоудена [27], Дж. Лейтмана и др. Исследование особых экстремалей в задаче оптимального набора высоты ЛА содержится в работах • А. Миеле [50]. Общие вопросы оптимизации на основе принципа максимума движения летательных аппаратов с тягой в атмосфере рассматривались в работах Н. Вина [51, 52] при сильном допущении об отсутствии связи между направлением вектора тяги и ориентацией ЛА.
Существует большое число работ, содержащих результаты численного решения оптимизационных задач и, в частности, задач траекторной оптимизации (см. например, [53+62]). Во многих случаях это подразумевает существование в той или иной степени самостоятельных разработок соответствующих вычислительных программ. Однако автономных программных комплексов, позволяющих не только получать отдельные "уникальные"(оптимальные) траектории, но и свободно проводить широкие параметрические исследования экстремалей с учетом практических ограничений, в литературе описано сравнительно немного. К их числу можно отнести работы [63+70] (см. также обзор [71]). Следует отметить, что за рубежом, благодаря более мощной вычислительной технике, особенное развитие получили прикладные комплексы программ оптимизации на основе прямых методов (в настоящее время в литерату ре упоминается о возможности решать задачи с числом оптимизируемых параметров до десятков тысяч). Поэтому подавляющее большинство этих программных комплексов основаны на использовании методов нелинейного программирования [71н-81].
Использование непрямых методов оптимального управления, принципа максимума Понтрягина, при проведении численных исследований такого же уровня упоминается сравнительно реже. В этой области, пожалуй, можно выделить группу немецких ученых, опубликовавших серию теоретический работ по приложению условий принципа максимума для оптимизации движения КТС с учетом разрывности фазового вектора и правых частей уравнений движения, ограничений на фазовые и управляющие переменные (см., например, [82, 83]), а также по применению метода соседних экстремалей для формирования алгоритмов траєкторного управления такими системами [84]. Однако, автору не известны работы с результатами численных исследований, проведенных с использованием этого математического аппарата. В работе [85] записаны в об-щем_виде необходимые условия оптимальности принципа максимума Понтрягина для случая движения составных аппаратов.
В работе [55] в приложении к задаче выведения на орбиту горизонтально стартующего одноступенчатого КЛА с комбинированной двигательной установкой (КДУ) предложена оригинальная идея выделения обобщенных переменных, используя которые вместо сопряженных переменных, удается понизить порядок интегрируемой системы дифференциальных уравнений (фазовой и сопряженной) и, соответственно, краевой задачи (с 4 до 3). Однако при этом существенно ограничивается класс рассматриваемых задач: допускается движения только одноступенчатых аппаратов в вертикальной плоскости без учета ограничений на управление и траекторию во внутренних точках, а граничные условия не должны содержать дальность. При этом теряется также ряд важных преимуществ принципа максимума по контролю за точностью решения задачи • и возможностью оценки влияния на функционал параметров задачи, о чем будет сказано ниже. Идея такой редукции сопряженной системы используется также в работе [86] для приближенного решения аналогичной задачи на участке полета в верхних слоях атмосферы КЛА с ракетным двигателем. Специальные приближенные методы решения задач оптимального выведения на орбиту для определенных классов КЛА, основанные на использовании результатов [24, 27] и различных способов учета малых поправок на влияние аэродинамических сил, разрабатывались в НИО-10 ЦАГИ, в НПО «Молния», в ВИКИ им. Можайского и ряде других организаций (см., например, [87, 88]). Расчеты сквозных оптимальных траекторий по проекту МАКС [57] на основе принципа максимума Понтрягина проводились в НПО «Молния» Б.М. Сумачевым и В.А. Лрошевским (ЦАГИ). Алгоритм управления, основанный на применении энергетического подхода, широко распространенного для приближенного решения задач набора высоты самолетом [50, 89+91], использован в [92] для формирования приближенного оптимального сквозного алгоритма выведения авиационно-космической системы (АКС). Близкие к рассматриваемым в данной работе задачи оптимизации набора высоты маневренными самолетами решались с использованием численных методов оптимального управления в отделе И.О. Мельца (ЦАГИ). В работах [44, 83, 84, 93] используется аппарат принципа максимума и метода соседних экстремалей для формирования алгоритмов оптимального траєкторного управления КЛА при выведении на орбиту. Алгоритмы терминального наведения на внеатмосферном участке выведения, основанные на решении двухточечных краевых задач на борту КЛА при использовании приближенных оптимальных программ управления на основе [24, 27J, описаны в работах [94+97].
В основе проведенных автором исследований лежит непрямой метод оптимизации - принцип максимума Понтрягина [28+30]. Для приложения методов оптимизации к исследованию систем с фазовыми ограничениями исполь зованы работы [28, 31, 44, 98+107], для исследования разрывных динамических систем - работы [44, 100, 107+109].
Выбор метода оптимизации определялся следующими объективными преимуществами принципа максимума Понтрягина перед прямыми методами и приближенными инженерными подходами, основанными на аппроксимации традиционных программ управления:
• не требуется априорного задания структуры управления, она получается из решения задачи;
• оптимальное управление в функциональном пространстве определяется с высокой точностью из решения двухточечной краевой задачи, число варьируемых параметров в которой не превышает размерности фазового вектора;
• существуют объективные критерии для оперативного контроля правильности и точности программной реализации метода и, при необходимости, локализации источника ошибок в блоках формирования оптимального управления, граничных условий и уравнений движения;
• каждое решение содержит дополнительную информацию о влиянии на функционал малых вариаций параметров задачи (аэродинамической компоновки, двигательной установки, граничных условий, ограничений и т.п.);
• каждое решение содержит дополнительную информацию о влиянии на функционал малых систематических и случайных внешних возмущений (вариаций термодинамических параметров атмосферы, ветра) и отклонений от номинальных характеристик КТС (двигательной установки, системы управления), действующих вдоль траектории.
Таким образом, принцип максимума Понтрягина обеспечивает получение целого комплекса разносторонней объективной информации с контролируемой точностью о предельных возможностях исследуемого объекта как в номинальных условиях, так и при действии широкого спектра возмущений на основании полу ft ченного номинального решения без сколько-нибудь заметных дополнительных вычислительных затрат (без решения соответствующих краевых задач).
Причины, сдерживающие широкое использование принципа максимума, как правило, связывают с трудностями решения двухточечных краевых задач и строгого удовлетворения его формальным условиям. Преодоление этих трудностей в приложении к рассматриваемому, классу задач выведения космических летательных аппаратов (КЛА) было одной из основных и первоочередных целей проведенного автором исследования. Разработанный в ЦАГИ із результате такого исследования комплекс вычислительных программ ASTER, снабженный удобным интерфейсом для Windows и базой данных с оптимальными решениями для широкого круга задач и типов КЛА, позволил в значительной степени автоматизировать процесс решения конкретных задач и, тем самым, дал возможность провести углубленный качественный анализ поведения экстремалей в зависимости от параметров, выдать практические рекомендации по повышению эффективности существующих ракет-носителей (РН). При решении многоточечных краевых задач, к которым сводятся оптимизационные задачи в результате применения принципа максимума Понтрягина, использован модифицированный метод Ньютона [33, 35, 110-И 12], учтены особенности численного расчета матрицы Якоби для функций невязок от варьируемых параметров [113, 114]. Для существенного снижения влияния выбора начального приближения на сходимость итерационной процедуры решения многоточечных краевых задач использован метод непрерывного продолжения решения по параметру [111,115-ГІ18].
При исследованиях ранее малоизученной проблемы неравновесного входа в атмосферу с докруговыми скоростями, обобщающей задачи, связанные с возвращением отработавших элементов КТС и спасаемых аппаратов в нештатных ситуациях, автор опирался на фундаментальные работы по проблемам входа в атмосферу с около- и сверхкруговыми скоростями [119-И22], оптимального пространственного маневрирования в атмосфере на режимах квазистационарного планирования [123, 124].
Количество публикаций, посвященных исследованию оптимальных траекторий КЛА и связанных с этим направлением вопросов, огромно. Поэтому более подробно ссылки на работы, близкие к исследованиям автора, даются ниже в соответствующих главах. Несмотря на обширность списка упоминаемой здесь и далее литературы, очевидно, что он может быть пополнен. Автор будет признателен за все указания такого рода.
Данная работа посвящена исследованию проблемы оптимального движения аэрокосмических аппаратов при выведении на орбиты ИСЗ с учетом влияния аэродинамических сил. Поскольку ограничения могут задаваться не только на активном участке выведения, но и на участках возвращения отработавших элементов КТС, необходимо сквозное рассмотрение в едином комплексе всех участков полета, т.е. учет ветвящегося характера этой траектории и особенностей движения отделяемых элементов.
Основное внимание уделено следующим направлениям:
- разработке методов, алгоритмов и комплекса программ сквозной оптимизации движения составных ЛА в атмосфере с использованием аэро- и ракето-динамических сил с учетом ветвящегося характера процесса и взаимного влияния ветвей;
- исследованию качественно новых явлений, в том числе бифуркационного типа, обусловленных наличием аэродинамических сил, и отражающих общие закономерности оптимального движения в атмосфере;
- исследованию проблемы неравновесного входа в атмосферу с докруго-выми скоростями, характерного для возвращаемых элементов КТС в штатных и нештатных ситуациях;
- разработке методического и программного обеспечения, сочетающего в себе строгость в соблюдении условий оптимальности с полнотой описания МО дели движения, для исследования динамики выведения как существующих так и новых поколений КТС, в частности, авиационно-космических систем, с учетом широкого спектра ограничений, принятых в практике баллистического расчета КТС в конструкторских бюро.
В качестве функционала при оптимизации выведения КЛА в работе используется традиционный для задач баллистики и управления критерий -выводимая на орбиту масса. Это позволяет в ходе изложения результатов проводить их сравнение с результатами других авторов и, главное, сосредоточить внимание на исследовании особенностей оптимального траєкторного управления КЛА, отражающих общие закономерности механики оптимального полета в атмосфере. Поскольку ряд полученных результатов указывает па возможность качественного влияния оптимизации управления КТС на принятие рациональных проектных решений, практический интерес представляет рассмотрение и других критериев, характерных для задач проектирования (например, полезной массы). В частности, влияние параметров и режимов полета КЛА на массу его конструкции предполагается учитывать в ходе дальнейших исследований, направленных на приложение разработанных методов и программ к реализации комплексной оптимизации КЛА по критерию целевого применения с учетом требований аэродинамики, динамики и прочности. Такие исследования с участием автора начаты в ЦАГИ по контракту с РОСАВИАКОСМОСОМ [125], но в данную работу не включены.
Работа состоит из 6-ти глав.
В первой главе дана постановка задачи оптимизации пространственного выведения КЛА с использованием аэродинамических сил. Описаны метод ее решения на основе принципа максимума Понтрягина и особенности численного алгоритма решения соответствующей краевой задачи. Приведены основные соотношения, позволяющие учесть традиционные ограничения на управляющие и фазовые переменные (угол атаки а, скоростной напор q, произведение q-a, нормальную и продольную перегрузки и силы и т.п.). Специально рассмотрен случай ограничения на угловую скорость, так как фазовая система описывает траекторное движение и не содержит уравнений движения относительно центра масс. Рассмотрены условия существования особого оптимального управления, которые в частном случае задачи Годдарда совпадают ,с известными условиями Цзяна-Эванса [47], а на фазовой плоскости особые экстремали являются аналогами особых решений Миеле [50].
Использование модифицированного метода Ньютона в сочетании с методами продолжения решения по параметру и селекции локальных экстремалей позволили в значительной степени автоматизировать процесс решения краевых задач, существенно снизив зависимость сходимости этой процедуры от выбора начального приближения и, тем самым, практически исключить необходимость вмешательства исследователя в процесс численного решения. Особое внимание уделено реализации преимуществ используемого непрямого метода оптимизации - принципа максимума Понтрягина, для объективного контроля правильности и локализации ошибок программной реализации метода (сопряженной системы, условий оптимальности и трансверсальности), определения влияния параметров задачи на функционал, оценки влияния на функционал действующих в полете возмущений.
Основные результаты, изложенные в первой главе, содержатся в научно-технических отчетах [126- 129] и опубликованы в работах [6, 13СМ-138].
Благодаря обеспечению регулярности решения рассматриваемого класса краевых задач с помощью комплекса ASTER, удалось провести широкие параметрические исследования оптимальных траекторий и законов управления выведением КЛА на орбиты ИСЗ. В результате выявлен ряд качественно новых особенностей поведения экстремалей в зависимости от аэродинамических характеристик и геометрических параметров компоновки КЛА. Результаты каче • ственного исследования локальных экстремалей в задаче выведения КЛА, в том числе, их классификация, приведены во второй главе.
Одним из важных результатов проведенного исследования является демонстрация существования двух качественно различных семейств оптимальных траекторий выведения, отличающихся структурой оптимального управления и оптимальными условиями старта. Характерным параметром, определяющим тип глобальной экстремали, является максимальное аэродинамическое качество Ктах. Для аппаратов, имеющих Ктах меньше некоторого критического значения К тах, оптимальным является традиционный для баллистических ракет квазилинейный закон изменения угла тангажа по времени [24, 27] (экстремали типа «5» - Ballistic, в предложенной классификации). При больших значениях Ктах оптимальные программы угла тангажа носят ярко выраженный колебательный характер (экстремали типа «А» - Aerodynamic, в предложенной jf. классификации). Критическое значение К тах принадлежит практическому диапазону и снижается при уменьшении начальной тяговооруженности КЛА. Смена типа оптимальной программы управления при вариации параметров КЛА часто носит бифуркационный характер. При этом скачком меняются и функции влияния параметров компоновки на выводимую массу. Эти отличия по сравнению с традиционными решениями иногда столь существенны (на порядки величин и по знаку), что могут оказать принципиальное влияние на выбор рациональных значений параметров КЛА, поэтому их целесообразно учитывать еще на ранних стадиях проектирования.
Указанные качественные изменения оптимальных законов управления и траекторий выведения КЛА при вариации несущих свойств КЛА демонстрируются и на примере исследования влияния геометрических параметров КЛА типичных форм: цилиндрических, конических и крылатых. Показано, что оптимальные законы управления могут претерпевать структурные изменения по сравнению с традиционными для КТС программами при установке консолей, площадь которых составляет всего несколько процентов от площади миделя ракеты. Причем смена структуры оптимального управления сопровождается качественным изменением зависимости максимальной выводимой массы от параметров КЛА: с увеличением площади консолей максимальная выводимая масса не снижается, а начинает резко возрастать.
Основные результаты, изложенные во второй главе, содержатся в научно-технических отчетах [129, 182] и опубликованы в работах [6, 132-ь134, 136, 139-5-146].
В третьей главе изложен подход к оптимизации ветвящихся траекторий выведения КЛА с дискретным множеством ветвей. Приведены специфические условия оптимальности типа принципа максимума Понтрягина [28, 107]. В качестве приложений разработаны методики сквозной, оптимизации выведения # КЛА с условием падения отработавших элементов в заданный район и с учетом требований безопасности разделения ступеней. Задача возвращения многоразовых носителей в район старта и особенности влияния этого участка на оптимальную траекторию выведения и выводимую массу достаточно подробно рассмотрены в ранних работах автора [15, 147-И51] и впоследствии вошли в его кандидатскую диссертацию (1977г.). В данной работе этот аспект проблемы сквозной оптимизации ветвящихся траекторий специально не рассматривается.
Предложена редукция краевой задачи на основе переноса граничных условий с внутренних точек боковых ветвей (траекторий падения отработавших элементов КТС) на основную ветвь (активный участок выведения). Обосновано появление дополнительных локальных экстремалей при введении ограничений на точки падения отработавших элементов.
Рассматриваемые требования безопасного разделения КЛА исключают их соударение и попадание одного аппарата в опасную зону работающих маршевых двигателей другого. В рамках решаемой на основе принципа максимума Понтрягина задачи сквозной оптимизации рассмотрены как случай интеграль ного учета изменения фазового вектора в процессе разделения, фактически сводящийся к разрыву фазового вектора в точке ветвления, так и детального моделирования траєкторного движения обоих аппаратов при разделении с ограничением их взаимной ориентации, исходя из перечисленных требований безопасности.
Основные результаты, изложенные в третьей главе, содержатся в научно-технических отчетах [127, 129, 152-ь157] и опубликованы в работах [6, 140, 144, 159-Ы65].
В четвертой главе изложен подход к оптимизации ветвящихся траекторий выведения КЛА с непрерывным множеством ветвей. Практически, задача с континуумом ветвей возникает, например, при оптимизации отказобезопасных траекторий выведения. Под отказобезопасными здесь и далее понимаются траектории выведения КЛА, с любой точки которых возможно возвращение на Землю спускаемого аппарата без превышения допустимых нагрузок при входе в плотные слои атмосферы.
Дано теоретическое обоснование сведения задачи к стандартной задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. С использованием аналитических решений, приведенных в пятой главе, проведен приближенный аналитический синтез управления КЛА на участках, где требования отказобезопасности являются существенными. Разработана методика численного решения задачи оптимизации отказобезопасных траекторий в строгой постановке на основе принципа максимума Понтрягина и приведены примеры таких решений.
Основные результаты, изложенные в четвертой главе, содержатся в научно-технических отчетах [129, 158, 166, 167] и опубликованы в работах [6, 16, 140,161,165, 168-170,177].
В пятой главе проведено теоретическое исследование проблемы входа летательных аппаратов (ЛА) в плотные слои атмосферы при условиях, сущест венно отличающихся от условий равновесного планирования (неравновесный вход в атмосферу). На практике исследуемые режимы неравновесного входа с докруговыми скоростями реализуются при возвращении отработавших элементов КТС, испытательных суборбитальных полетах ГЛА, аварийном прекращении выведения на орбиту ИСЗ, на пассивных участках полета ракет, при отключении двигателей ЛА на сверхзвуковых режимах полета и др. В частности, нерасчетные режимы входа в атмосферу испытал экипаж космического корабля «Союз-18-1» после аварийного прекращения выведения 3 ступени. В КБ «Салют» в конце 70-х годов проводились исследования причин разрушения отработавшей ступени РН при входе в плотные слои атмосферы, большой объем исследований неравновесного входа в атмосферу ВКС проводился в связи с проблемой обеспечения безопасности экипажа при аварийном прекращении выведения на орбиту МРКК «Энергия-Буран».
Главной проблемой при неравновесном входе в атмосферу является минимизация тепловых и динамических нагрузок на ЛА, которые могут значительно (на порядки) превосходить уровень нагрузок при квазистационарном планировании. Несмотря на актуальность, проблема неравновесного входа в атмосферу с докруговыми скоростями оставалась теоретически мало исследованной, поскольку в многочисленных работах, посвященных проблеме входа в атмосферу (см., например, [119-7-121, 171]), основное внимание уделялось исследованиям квазистационарного входа с около- и сверхкруговыми скоростями.
Помещение результатов этого исследования в диссертационную работу логически обусловлено двумя причинами. С одной стороны, они непосредственно используются в 4 и 6 главах при синтезе оптимального отказобезопасно-го управления выведением КТС. С другой стороны, полученные результаты носят достаточно общий характер и расширяют представление об особенностях оптимального движения КЛА в атмосфере.
В основе исследования лежит идея прямого сращивания аналитических решений в характерных областях с малым и доминирующим влиянием аэродинамических сил, с использованием которого получены конечные формулы для фазовых и сопряженных переменных в виде функций только текущего угла наклона траектории или высоты. В качестве функционала рассмотрен максимум функции достаточно общего вида:
b = n\ax{pKhvKv), где р - плотность атмосферы, v - скорость, t - время, Kh, Kv - константы, x = 2Kh/ Kv 1, что позволяет при соответствующем выборе значения параметра аз исследовать как максимальные скоростные напоры так и максимальные тепловые потоки.
Установлен ряд общих свойств динамики пассивного полета таких ЛА в атмосфере. Доказано, в частности, что относительная (в долях местной круговой скорости) критическая начальная скорость (пересчитанная на апоцентр) v r crit max, при которой реализуются наибольшие скоростные напоры и перегрузки (эг = 1), для любых ЛА в атмосферах планет Солнечной системы удовлетворяет неравенству \_ crit max — j— • Аналогично получены оценки критической скорости в общем случае для произвольного as (функционала Ф).
Проведен синтез управления аэродинамическими силами и вектором тяги, минимизирующего функционал Ф. Качественно исследована структура оптимального управления в зависимости от параметров ЛА и начальных условий. Доказано, что законы управления, минимизирующие максимальные динамические и тепловые нагрузки, могут быть двух типов. Первый тип соответствует традиционным представлениям и реализует максимальное торможение аппарата на всей траектории возвращения. Однако доказано, что область его опти мальности ограничена определенным диапазоном скоростей vQ, заведомо меньших круговой скорости:
Vcrltmin V0 Vcrit„u,x L (B1)
Вне области (В1) минимизация тепловых и динамических нагрузок может достигаться разгоном ЛА (второй тип оптимального управления).
Если функционалом является максимальный скоростной напор (а? = 1), то для ЛА, аэродинамическое качество которых превышает некоторое бифуркационное значение (К « 1.8), область (В1) вырождается, и во всем рассматриваемом диапазоне докруговых скоростей оптимальным является второй, "нетрадиционный", тип управления. При этом максимальная перегрузка монотонно убывает с ростом начальной скорости v0.
Показано, что полученные приближенные аналитические решения хорошо согласуются с результатами численного интегрирования полных уравнений движения для ЛА с любым аэродинамическим качеством в широкой области начальных условий. Эта область характеризуется следующими параметрами:
• начальный угол наклона траектории - не ограничен, 9 є (-л/2 , я/2),
• скорость v0 в апоцентре (при 9 0 в условном апоцентре) - от околозвуковой (-350 м/с) до околокруговой (-7900 м/с - для Земли), высота апоцентра h0 - больше высоты равновесного планирования /гстац. Вместе с тем, приведены аналитические оценки погрешности полученных выражений для функционала, обусловленные упрощениями математической модели, а также поправочные формулы для настройки параметров модели, позволяющие при необходимости повысить точность в практических приложениях.
Основные результаты, изложенные в пятой главе, содержатся в научно-технических отчетах [166, 302] и опубликованы в работах [140, 147, 165, 168, 172-179].
Шестая глава посвящена приложениям разработанных теории, методик и комплекса программ сквозной оптимизации ветвящихся траекторий выведения « для исследования различных проектов КТС. Приведены результаты исследования оптимальных траекторий с учетом ограничений по отказобезопасности для вертикально и горизонтально стартующих КТС типа МРКК "Энергия-Буран", АКС «AH-225\Interim HOTOL», МАКС, с учетом требований безопасного разделения ступеней (АКС AH-225\Interim HOTOL, МАКС, АРК КН «Воздушный старт»), ограничений на допустимые районы падения отработавших ускорителей и головного обтекателя для РН типа "Протон-М" и "Рокот".
Учтены ступенчатость КТС, возможность использования существенно различных компоновок ступеней и двигательных установок на всех этапах выведения. Например, при выведении АКС в качестве первой ступени используется тяжелый дозвуковой самолет-носитель (СН) с ВРД, а в качестве второй -ракетная ступень (PC). Для каждой ступени учтены соответствующие ограничения по допустимым режимам полета, нагрузкам, углу атаки и др. При оптимизации выведение КТС рассматривается как ветвящийся процесс, причем учтен не только интегральный вклад каждой ветви траектории в общий функционал (выводимую на орбиту массу), но и взаимозависимость допустимых управлений на различных ветвях. Приведены примеры сквозной оптимизации ветвящихся траекторий выведения АКС с учетом ограничений на допустимую взаимную ориентацию СН и PC в процессе разделения из-за опасного воздействия струй двигателей PC на СН. Строгий подход к оптимизации траекторий выведения АКС позволил установить ряд новых эффектов, заметно улучшающих и одновременно упрощающих процесс выведения таких систем.
Демонстрируются нескольких локальных экстремалей в задаче оптимизации выведения КТС, обусловленных ограничением допустимых районов падения отработавших элементов. Получены области значений параметров, при которых эти экстремали доставляют глобальный максимум выводимой массе. Продемонстрированы преимущества оптимальных пространственных маневров, в том числе, на атмосферном участке полета.
Полученные численные решения сопровождаются оценками их погрешности, обусловленной погрешностями численного интегрирования фазовых и сопряженных систем уравнений, отслеживанием точек разрыва и нарушения гладкости фазовых переменных и правых частей уравнений движения, выполнения краевых условий и др.
Основные результаты, изложенные в шестой главе, содержатся в научно-технических отчетах [128, 129, 152-fT56, 167, 18І4-182] и опубликованы в работах [144, 1594-165,170].
В разработке программного комплекса ASTER и проведении с его помощью исследований на разных этапах совместно с автором принимали участие (в хронологической последовательности): Э.Н. Дудар (НПО "Молния", исследование приближенных моделей оптимального выведения КЛА) [129, 131], М.Н. Милеев (НПО "Молния", оптимизация на основе принципа максимума Понтрягина траекторий выведения КЛА с упрощенной моделью аэродинамических сил без учета фазовых ограничений и ветвления траекторий) [129, 132-Й34, 153, 182], А.П. Мелешин (НПО "Энергия", адаптация комплекса к исследованию ряда перспективных проектов КТС), О.В. Янова (ЦАГИ, учет фазовых ограничений и ветвящегося характера траекторий выведения ступенчатых КЛА, расчет целого ряда приложений к реальным РН и АКС) [6, 127-Н29, 144, 154 -160, 163, 164, 169, 179, 180], А.А.Голиков (ЦАГИ, разработка современного интерфейса, расширение математической модели для исследования оптимальных траекторий выведения ГЛА с ГПВРД, исследования влияния аэродинамической формы КТС на структуру оптимальных траекторий и законов управления) [6, 139,141, 142, 144-=-146,186].
Результаты проведенных исследований и рекомендации нашли отражение в технических предложениях и эскизных проектах КТС "Энергия-Буран", АКС на базе самолета-носителя Ан-225 "Мрия" (проекты МАКС [57], совместный российско-британский проект Interim HOTOL), использованы при анализе эф фективности РН "Протон-М", "Ангара" и "Рокот", перспективных многоразовых КТС, включая АРК КН "Воздушный старт" [3] на базе самолета-носителя Ан-124 «Руслан», ВКС с горизонтальным и вертикальным стартом, а также при анализе ряда альтернативных зарубежных проектов.
Таким образом, в настоящей работе рассмотрены как общие вопросы оптимизации ветвящихся траекторий КЛА в атмосфере, так и их важные практические приложения. Все рассмотренные задачи направлены на комплексное решение проблемы повышения эффективности авиакосмических транспортных систем с учетом практических ограничений, обусловленных требованиями безопасности полета. Разработаны эффективные методы их решения, базирующиеся на применении принципа максимума Понтрягина и сквозном рассмотрении всех этапов полета как КТС, так и их элементов. Разработанные методы доведены до практической реализации в автоматизированной комплексе вычислительных программ и проведены подробные параметрические исследования. Результаты проведенных исследований позволили сделать как ряд качественных выводов, расширяющих представление об общих закономерностях оптимального движения ЛА в атмосфере, так и сформулировать практические рекомендации для перспективных и существующих КТС.
Основные результаты проведенного автором исследования содержатся в более чем 100 научно-технических отчетах, 70 статьях, опубликованных в научных изданиях ЦАГИ, РАН и за рубежом, и докладывались на международных, всесоюзных и отраслевых конференциях, в том числе, на 43-45, 47, 48 и 51 Конгрессах IAF (1992 - 2000гг.), 19 - 22 Конгрессах ICAS (1994 - 2000гг.), 8 - 10 Всесоюзных съездах по механике, 15-19 Всесоюзных конференциях по оптимальному управлению в механических системах, обсуждены на научных семинарах по динамике полета и управлению в ЦАГИ, НПО «Молния», отдела баллистики НПО «Энергия», на межкафедральном научно-исследовательском семинаре под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. В.А. Егорова, проф. В.В. Сазонова и доц. К.Г. Григорьева на мехмате МГУ им. М.В. Ломоносова, проходили рецензирование при участии в конкурсах на Премию им. Н.Е. Жуковского (1990) и премий ЦАГИ (1988,1996).
Автор считает своим долгом отметить большую роль В.А. Ильина в формировании подхода к решению научных задач, реализованного в представленной работе. Автор благодарен Г.П. Свищеву, Г.А. Павловцу, В.Л. Суханову, Г.С. Бюшгенсу, В.Я. Нейланду, Г.И. Загайнову, В.Л. Суханову, А.И. Курьянову, В.А. Ярошевскому, В.И. Кобзеву за внимание к работе и поддержку на различных ее этапах.
Автор в полной мере осознает, что завершение представленной комплексной работы, доведение ее до практических результатов было бы невозможно без активной, инициативной и самоотверженной поддержки научных сотрудников отдела 40 НИО-15 О.В. Яновой и А.А. Голикова, за что он им искренне благодарен.
Автор пользуется случаем выразить свою признательность Р.Ф. Аппазову, Т.М. Энееву, В.А. Высоканову, Ю.А. Цурикову, В.Д. Володину, Э.Н. Дудару за обсуждение постановок и результатов исследования отдельных задач.
Условия оптимальности
Правый конец фазовой траектории КЛА определяется условиями движения по заданной орбите ИСЗ. Оптимальное движение КЛА с ДУ большой тяги вне атмосферы характеризуется наличием продолжительного пассивного участка [187, 188]. Поэтому участок траектории выведения КЛА после вылета за условную границу атмосферы (где влияние аэродинамических сил на функционал и оптимальную программу управления незначительно) можно приближенно заменить кеплеровой траекторией, касательной к заданной орбите ИСЗ, а непродолжительный активный участок в окрестности точки касания заданной орбиты можно заменить импульсом скорости в апогее переходного эллипса. В последнем случае граничные условия с правого конца траектории выведения КЛА можно перенести, применяя законы Кеплера, на правый конец активного участка полета КЛА: где нижним индексом a отмечены переменные в инерциальнои системе координат, va = v + со х R, в- угол наклона траектории к местному горизонту, iop6 - наклонение заданной орбиты к плоскости экватора. При выведении КЛА на круговую орбиту с радиусом Rop6 скорость vaf и выводимая масса гпорб с учетом доразгонного импульса на заданной орбите ИСЗ равны:
Если исследуется движение КЛА в вертикальной плоскости, то последнее в (1.14) условие отсутствует. Одно из условий (1.14) служит признаком окончания траектории (определяет tj), например, tf: va(tf)-vaf=0. (1.17)
Во внутренних точках траектории допускаются разрывы фазового вектора и правых частей фазовой системы уравнений (1.1). Скачкообразные изменения массы обусловлены разделением ступеней составного КЛА, сбросом груза или элементов конструкции. Скачки составляющих вектора скорости и радиус-вектора могут быть связаны, например, с желанием исследователя ввести упрощенный учет изменений фазового вектора КЛА в процессе разделения ступеней. Моменты времени t„ в которые имеют место скачки фазового вектора или разрывы правых частей уравнений движения, в общем случае зависят от фазового вектора и определяются неявным образом из соотношений вида: при заданных связях (1.1), (1.7), (1.18). Поскольку стартовая масса КЛА в дальнейшем полагается фиксированной, задача (1.19а) эквивалентна задаче на максимум выводимой массы: ный вектор, соответствующий вектору скорости v; Рт - сопряженная пере менная, соответствующая массе т, h=R-\ - высота, Я - множитель Лагран фазовых ограничений первого порядка (1.10), (1.11). При этом только следует иметь в виду изменение знака множителя Лагранжа при движении по границе (Х, 0 при (7=0). При движении по границе (1.9) в (1.21) следует положить дх Эх Выражения для частных производных функций fT для ограничений на угол атаки, нормальную перегрузку, аэродинамическую силу (1.8) и скоростной напор, тепловой поток, допустимую скорость полета (1.11) приведены в Приложении 1.1. Условия трансверсальности на левом конце траектории (t=tj) имеют вид [28, 29]: а) для задачи (1.13а) начальный сопряженный вектор свободен, б) для задачи (1.136) На правом конце траектории сопряженные переменные должны удовлетворять условию трансверсальности [29] на допустимых вариациях фазового вектора (см. ограничения (1.14)): x Rf, 6va/) = 0. Для свободных вариаций bmf, btf должны выполняться условия Из (1.23) с учетом связи 5v = 8va -cox6R следует, что векторы Yf -Sf хсо и S/ могут быть представлены в виде следующих линейных комбинаций: где j 4 — произвольные множители. Умножая векторно первое равенство на R„ а второе на va, и складывая, исключим С (/ =1, 2, 3) т + В угловых точках, например, при выходе на изоперегрузочный участок, ЧҐ = Ч? . Однако, правые части сопряженной системы при этом терпят разрыв. Поэтому для обеспечения требуемой точности численного интегрирования угловые точки должны определяться из решения в общем случае нелинейного уравнения (1.25а) (например, методом хорд) с достаточной точностью. На участках траектории, где фазовая система (1.1) автономна, при оптимальном управлении имеет место первый интеграл [28]: Если автономность системы сохраняется на всей траектории и граничные условия не зависят явным образом от времени, то в силу (1.26а) и условия трансверсальности на правом конце траектории (1.24а) на оптимальной траектории имеем первый интеграл: Наряду с (1.26а), для верификации программ оптимизации (см. разд. 1.5.1) полезным оказывается свойство постоянства гамильтониана автономной системы при фиксированном управлении: iu= JlX ч В соответствии с принципом максимума Понтрягина [28] оптимальное управление определяется из условия при оптимальном полете без скольжения плоскость симметрии KJIA, так же как и при независимом управлении тягой и аэродинамической силой [51], проходит через векторы v и S. Указанный результат допускает простую геометрическую интерпретацию. Вектор 2=Т+А определяется текущим вектором скорости V, углом атаки а и ориентацией плоскости симметрии КЛА, проходящей через v. Поскольку 2 зависит только от а, то при a = fix и изменении ориентации нормали к плоскости симметрии КЛА е вектор I будет описывать поверхность Рис. 1.2. кругового конуса К, ось кото рого проходит через вектор скорости v (см. рис. 1.2). В силу (1.27), оптимальному управлению соответствует та кое положение вектора на поверхности К, при котором его проекция на S максималь на. Такое положение 1ор1 оп ределяется пересечением плоскости Р, содержащей векторы v и S, с К. Это означает, что при оптимальном управлении вектор 2 должен лежать в плоскости Р и, следовательно, плоскость симметрии КЛА должна проходить через векторы v и S. Заметим, что при начальных условиях (1.136) в силу (1.226), (1.28) sino:op((?,) = etJxeT/ -О, т. е. при оптимальной ориентации вектора скорости в момент старта КЛА выведение начинается с нулевым углом атаки. Необходимое условие существования особого управления ориентацией КЛА имеет вид тождества: S = 0. Однако, если скорость изменения массы р не зависит от фазового вектора, что характерно для ракетных двигателей, то для автономных систем (1.1)
Влияние начальных условий на оптимальные траектории и законы управления
Изменение скорости і), в момент старта КЛА влияет на оптимальные траектории выведения и функционал ту вследствие трех причин: 1. Увеличение vt приводит к сокращению необходимого для разгона КЛА до заданной орбитальной скорости vop6 идеального (по Циолковскому) запаса характеристической скорости Avxap= vop6 - vh что способствует увеличению т/. -Av хар 2. Увеличение vІ приводит к возрастанию скоростного напора qt и уси лению влияния аэродинамических сил на начальном участке выведения КЛА. Вследствие этого при малых несущих свойствах КЛА (Ка К л) увеличива ются затраты топлива на преодоление аэродинамического сопротивления, а при достаточно высоких несущих свойствах КЛА (Кя К а) определяющей тенденцией является снижение расхода топлива КЛА при выведении из-за снижения гравитационных потерь. 3. Увеличение vt означает увеличение начального числа Маха М„ что приводит к сокращению участка М4 = МІ-М, полета КЛА на дозвуковой скорости. При этом снижается влияние Кд на оптимальную траекторию вы ведения КЛА и, в частности, возрастает критическое значение К а. Проведенные исследования [182] подтвердили наличие указанных тенденций изменения параметров оптимальных траекторий КЛА при вариации vt. 2.2.2. Влияние начальной высоты Увеличение начальной высоты ht приводит к увеличению начальной потенциальной энергии КЛА, тяги двигателей и к снижению скоростного напора в окрестности точки старта КЛА. Первые два фактора обуславливают увеличение выводимой на орбиту ИСЗ массы КЛА и снижение 9iopl с ростом /г,-. Третий фактор ослабляет влияние аэродинамических сил, а следовательно, и величины Кд, на структуру оптимальных траекторий выведения КЛА и функционал т/, поэтому увеличение ht должно приводить к возрастанию критического значения К д. Проведенные расчеты (см. рис. 2.20, 2.21 и 2.13) подтверждают указанные качественные соображения. В предыдущем разделе исследованы оптимальные траектории выведения КЛА после старта под оптимальным углом к горизонту ві=9іор1. Исследование такого класса траекторий позволяет, с одной стороны, сформулиро « вать объективные требования к наилучшим условиям запуска КЛА, а с другой стороны, получить оценку сверху для выводимой на орбиту массы т/. Рассмотрим теперь, к каким изменениям описанных выше оптимальных решений приводит фиксация начального угла наклона траектории. Характерны два «предельных» случая: #=90 и в( = 0.
Траектории выведения КЛА с традиционным вертикальным стартом ($ = 90) характеризуются малыми начальными (после непродолжительного вертикального участка) скоростями полета. Изменение траєкторного угла происходит быстро и без дополнительных энергетических затрат. Вследствие этого, участок «завала» траектории, на котором происходит уменьшение траєкторного угла до оптимального значения, практически не влияет на последующее оптимальное движение КЛА. (Оптимальные траектории выведения КЛА с вертикальным стартом будут еще рассмотрены в последующих главах.)
Ниже исследован другой важный класс траекторий выведения КЛА - с нулевым начальным углом наклона к горизонту 0t = 0. С одной стороны, старт КЛА на режиме квазигоризонтального полета является новым для ракетно-космической техники и имеет ряд практических преимуществ при старте с самолета-носителя (см. [129, 223]). С другой стороны, исследование такого класса траекторий выведения КЛА позволяет получить оценку снизу для доставляемой на орбиту ИСЗ массы т/ (конечно, если оптимальный угол наклона траектории больше нуля). Такие оценки приводятся ниже в форме потерь Am/ массы, выводимой на круговую орбиту ИСЗ высотой hop6 = 200 км, из-за использования горизонтального старта вместо наклонного с 0( = 6iopt. Сравнительный анализ оптимальных траекторий и программ управления для указанных двух типов старта проведен в следующих диапазонах изменения параметров: 1 /Гд 6, 0.24 АМ 0.47, 0.9 п 1.35,
Как было показано в предыдущих разделах угол наклона траектории КЛА ( opt существенно сти критического значения К[ величина 0iopt рез при достаточно больших КА К К л могут сущ чески, нижняя граница области значений КА, при к оказывается старт КЛА с квазигоризонтального pi ствует меньшим значениям Кд, чем К , посколь снижается влияние # на функционал шДсм. [129])
Потери Arrif могут строго обращаться в ноль лишь при достаточно больших К" «4- 6 (см., например, рис. 2.22). Но зависимости AmfK таковы, что при снижении КА по сравнению с К потери массы \Arrif возрастают очень медленно. Если задаться некоторой допустимой погрешностью єт в определении максимальной выводимой массы КЛА гп/, то область значений Ка Ка, в которой Am, єт, окажется в практическом диапазоне значении KR для рассматриваемого класса аппаратов. На рис. 2.23 приведены области значений максимального дозвукового аэродинамического качества и начальной тяговооруженности КЛА, при которых старт КЛА с в, = 0 отличается по выводимой массе ш/от строго оптимального # = віор( не более, чем на ет. Поскольку с увеличением щ величина К д смещается в сторону больших значений (см. табл. 2.1), то соответственно увеличивается и гранич ное значение Кл, начиная с которого Am, єт (см. рис. 2.23), то есть старт КЛА с режима горизонтального полета практически не отличается от оптимального (6}= відрі). є =150 кг 100 кг 50 кг
Редукция краевой задачи на основе проекции граничных ус ловий с правых концов боковых ветвей
Рассмотрим расширенный функционал
Использование принципа максимума Понтрягина позволяет исходную задачу поиска оптимального управления в функциональном (бесконечномерном) пространстве свести к решению краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3.3), (3.6). Число варьируемых параметров такой краевой задачи не превышает размерности п фазового вектора на основной ветви. Как было показано в предыдущем разделе, в случае ветвящихся траекторий каждая боковая ветвь Ъ{ увеличивает размерность рассматриваемого фазового пространства на п{. Размерность краевой задачи при этом возрастает не более чем на п{. Как будет показано ниже, в ряде практически важных случаев размерность краевой задачи при учете боковой ветви возрастает всего на одну-две единицы. Редукция краевой задачи достигается с помощью проекции граничных условий (всех или части) с правых концов боковых ветвей в точку ветвления. При этом краевая задача для ветвящейся траектории сводится к многоточечной краевой задаче с одной (основной) ветвью. Использование этого метода значительно упрощает и уско ряет процедуру решения краевой задачи, поскольку выполнение краевых условий на правом конце боковой ветви в этом случае обеспечивается без каких-либо дополнительных вычислительных процедур. Проекция граничных условий требует, вообще говоря, 2-кратного интегрирования фазовых и сопряженных уравнений для боковой ветви. Будем считать, что правые части фазовой системы для боковых ветвей не зависят от сопряженных переменных (например, при фиксированном управлении или аналитическом синтезе оптимального управления). Тогда эту процедуру можно заменить однократным интегрированием только фазовой системы, а сопряженный вектор вычислять с помощью переходной матрицы. При описании метода рассмотрим одну из боковых ветвей с одной точкой ветвления. На правом конце ветви (в момент Т) должно быть выполнено условие (3.1) и соответствующее условие трансверсальности (3.7), которое определяет связь между фазовыми и сопряженными переменными.
В силу независимости правых частей уравнения движения на боковой ветви траектории от сопряженных переменных значения сопряженных переменных в начальной точке (t= т) боковой ветви Р(г) могут быть получены из решения матричного уравнения где (Г) - вектор сопряженных переменных на правом конце боковой ветви, А(Х) - переходная матрица, определяемая в результате однократного интегрирования системы уравнений для фазового вектора х на боковой ветви траектории. Далее приведена процедура получения этой матрицы в случае использования для интегрирования траектории выведения метода Рунге-Кутты 4-го порядка. Система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных является линейной системой с переменными коэффициентами: Рассмотрим ветвящуюся траекторию выведения как на рис. 3.2. Здесь обозначены: s{ - точка старта, В силу независимости правых частей уравнений движения (3.17) от управления выполнение граничных условий (3.24) обеспечивается либо путем двукратного интегрирования: фазовой системы в прямом времени и сопряженной системы в обратном времени, либо путем одной итерации по методу Ньютона, либо путем решения матричного уравнения (3.9) в результате однократного интегрирования фазовой системы уравнений на боковой ветви траектории. Как видно из (3.24), дополнительными свободными параметрами краевой задачи являются некоторые компоненты вектора Р2У. Их количество зависит от размерности фазового вектора. Для пространственного случая число варьируемых параметров, а, следовательно, и размерность краевой задачи, возрастает на 2 единицы. Для "плоской" задачи - на 1. Соответственно, возрастает и число невязок: в пространственном случае точка падения элемента КТС задается двумя координатами на поверхности Земли, в плоском случае - одной. Таким образом, краевая задача остается замкнутой. Для продолжения решения по параметру следует использовать в качестве опорного, на : ЛіииХНЛ уЩ ИЭ ПИГиЛ. иі апичсдии ДсиіГЯіи і.і1 uujicia ІШМІ/А ной, а дробно-линейной функцией времени, оптимальная и может содержать дополнительные участки полета с минима] На рис. 3.3 показаны полученные с помощью комплекс ные оптимальные прогг. угла тангажа вертикал КТС на внеатмосферно окончания работы I сту ции допустимого удале: в точке разделения будут соответствовать гло-Рис. 3.5: Качественная зависимость между начальным бальной экстремали при использовании КТС с углом наклона траектории 9t и расстоянием до точки падения невысокими несущими свойствами (экстремаль ускорителя 1-й ступени Lj. типа "В"). Наоборот, меньшие углы будут соот ветствовать глобальному оптимуму при использовании КТС с достаточно большим аэродинамическим качеством (экстремаль типа "А"). Таким образом в области L Lmax зависимость #,(/,) неоднозначна. Верхняя ветвь кривой соответствует начальным траекторным углам 6 , а нижняя - 6fL (рис. 3.5). Следовательно, зависимость максимально выводимой массы от дальности падения ускорителя 1 ступени также неоднозначна и имеет две ветви: которые соответствуют двум типам локальных экстремалей, различающимся по высоте. В зависимости от соотношения в, , І opt = О ласти L, L!mx зависимости mBf{L) И mAf{b) Рис 3.6: Различные типы зависи мости максимально выводимой могут иметь точку пересечения, которая шсш от дш1ьности точт тде. является бифуркационной точкой для оп- Ускорителя 1-й ступени U
Сквозная оптимизация траекторий выведения КЛА с учетом требований отказобезопасности
Ниже рассматриваются два метода синтеза отказобезопасного управления. Первый, названный «приближенным», основан на использовании приближенных аналитических решений для сопряженных переменных на участке возвращения СА по неравновесным траекториям с докруговыми скоростями. Эти решения приведены в главе 5. Второй, условно названный «точным», определяет функции Q(X ) и dQ/дх1 по результатам численного моделирования траекторий возвращения СА по достаточно полным моделям, после чего с помощью принципа максимума Понтрягина решается оптимизационная задача с соответствующими фазовыми ограничениями. При этом управление СА задается в соответствии с полученными в главе 5 аналитическими результатами синтеза оптимального управления при неравновесном входе в атмосферу.
Рассмотрим важный случай, когда на траекториях возвращения СА ограничены допустимые предельные скоростной напор и удельный тепловой поток, которые являются функциями скорости центра масс СА v и плотности атмосферы р: где KJh,KJv - постоянные. Для определенности будем считать, что /=1 соответствует скоростному напору, ау =2 - удельному тепловому потоку. В качестве ІУ (см. (4.10)) примем
Согласно (4.14), оптимальное управление \ (t) определяется из условия \,2\ Для фактического нахождения управления \lopt{t) будем использовать только первое из условий в (4.33); второе же условие только проверяется на найденном управлении v opl(t). При решении практических задач это не вызывает каких-либо затруднений, поскольку из двух ограничений типа (4.30) в большинстве случаев можно выделить такое, что его удовлетворение ведет к выполнению другого. При таком подходе для приближенного определения \ opt(t) можно воспользоваться результатами работ [172- 179] (см. главу 5).
Для траекторий входа СА в атмосферу с докруговыми скоростями характерно наличие явно выраженных максимумов скоростного напора и удельного теплового потока (4.31), соответствующих первому погружению в атмосферу. Поэтому траекторию входа СА до момента достижения максимума (4.30) можно разделить на два участка, соответствующих начальному движению в разреженных слоях атмосферы, где влияние аэродинамических сил мало («верхний» участок), и движению в плотных слоях атмосферы, где аэродинамические силы являются преобладающими по сравнению с гравитационными («нижний» участок). При сделанных предположениях «верхний» участок траектории практически представляет собой кеплерову траекторию, а движение на «нижнем» участке достаточно хорошо описывается уравнениями Аллена-Эггерса [231].
Будем считать, что фазовый вектор х = {v, 9, R) в начальной точке задан и склейка верхнего и нижнего участков траектории производится в момент t\ входа СА в плотные слои атмосферы, определяемый, например, условием где п - суммарная аэродинамическая перегрузка, без разрыва фазового вектора (рис. 4.4): отмечены значения сопряженных переменных на верхнем и нижнем участках соответственно, индексом / - значения фазовых переменных в момент tf=tj достижения максимума q (см. (4.32)). При К О особенность в (4.376) устранима (см. (5.32)). Структура оптимального управления СА определяется соотношениями (5.41).
Таким образом, подставляя решение Ч 2 (4.37а) в равенство (4.28), получим алгебраическое уравнение относительно управления КТС при движении по границе отказобезопасности. Разрешая это уравнение относительно и, получим синтез отказобезопасного управления КТС и = и(х).
Синтез отказобезопасного управления Используя полученные формулы для функций влияния на траекториях СА, получим соотношения для отказобезопасного управления выведением КТС.
Как показано в разделе 5.6, ограничения (4.3) становятся существенными при возвращении с участка траектории выведения, проходящего в разреженных слоях атмосферы. Назовем условно атмосферный участок выведения - участком I ступени, а последующий участок траектории выведения в разреженных слоях атмосферы - участком II ступени. Таким образом, требование отказобезопасности (в принятом здесь смысле) может быть существенно на участке полета II ступени.
Движение второй ступени в вертикальной плоскости под действием вектора тяги Т в ньютоновском гравитационном поле описывается следующими уравнениями: где a - угол между векторами тяги и скорости, f(x , u, t) = {fv,fafi(}- Будем полагать, что Т = const, и управление осуществляется только путем изменения ориентации вектора тяги.
Оптимальная траектория второй ступени будет содержать участки движения внутри области (4.3) и вдоль ее границы (4.33)
Управление, обеспечивающее движение по границе (4.39), определяется из условия (4.28), которое с учетом (4.37) принимает вид: Воспользуемся для синтеза управления на участке движения по границе (4.39) приближенным аналитическим представлением компонент сопряженного вектора (4.37а). Тогда с учетом (4.38) получим, что на участках движе ния по границе (4.39) угол а связан с текущими значениями фазовых переменных соотношением [168] где зависимость В от фазового вектора в текущей точке траектории выведения х = {v, 9, R) определяется формулой (5.36).
Для численной иллюстрации рассмотрим случай ограничения скоростного напора: Для простоты положим, что траектория выведения первой ступени фиксирована (гравитационный разворот - с нулевым углом атаки) и в начальной точке участка движения второй ступени
В рассматриваемом примере с учетом условия (4.43) оптимальная траектория второй ступени состоит из участка движения по границе примыкающего к начальной точке участка движения второй ступени, и следующего за ним до конца траектории участка движения внутри области (4.42). Оптимальное управление внутри области (4.42) определяется из условия максимума гамильтониана (4.24) при Mf)=0 с учетом непрерывности вектора множителей Лагранжа Mf) в точке схода с ограничения (4.44). Здесь это управление находилось приближенно с использованием известного закона Охоцимского-Энеева [24], Лоудена [27]: tg(0 + a) = at + b, где постоянные a, b выбирались из условия выхода на заданную круговую орбиту ИСЗ.
На рис. 4.5 в координатах {относительная скорость, высота} сплошной линией показана траектория выведения ракеты, участок движения второй ступени которой оптимизирован с учетом ограничения (4.42) на основе изложенной методики путем использования приближенного аналитического представления функции 2 (х )= 0 и вектора 8Q1 /дх] = Т2 (х1). Для сравнения
