Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ проблемы и решаемые задачи 10
1.1 Аэродинамическая стабилизация движения космических аппаратов 10
1.2 Схема исследований и решаемые задачи 16
2 Математическая модель движения связки космический аппарат - аэродинамический стабилизатор в атмосфере 20
2.1 Динамические уравнения движения системы 20
2.2 Дифференциальные уравнения движения системы в атмосфере 28
2.3 Интегралы невозмущенного движения системы 31
3 Применение метода увеличения периодов колебаний для ускорения численного моделирования движения тросовой системы в атмосфере 38
3.1 Теоретические основы метода увеличения периодов колебаний 38
3.2 Преобразованная система уравнений движения тросовой системы в атмосфере 42
3.3 Алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний 43
3.4 Численные результаты применения метода увеличения периодов колебаний для расчета движения тросовых систем 45
4 Устойчивость связки космический аппарат - аэродинамический стабилизатор при движении в атмосфере 51
4.1 Статическая устойчивость механической системы 51
4.2 Устойчивость движения системы в атмосфере с учетом гироскопических слагаемых 60
4.3 Оценка влияния на устойчивость движения системы демпфирующих моментов 65
4.4 Оценка влияния на устойчивость движения системы изменения длины троса 69
5 Выбор параметров тросовой системы 77
5.1 Постановка задачи проектирования 77
5.2 Исследование влияния на собственные частоты параметров тросовой системы 79
5.3 Анализ влияния параметров тросовой системы на величину натяжения троса 83
5.4 Определение параметров тросовой системы исходя из заданных значений ее собственных частот 87
5.5 Анализ движения и выбор параметров тросовых систем для различных
форм космического аппарата и аэродинамического стабилизатора 92
Заключение 103
Список использованных источников 107
Приложение А. Компоненты матриц 111
Приложение Б. Матрицы перехода между системами координат 114
Приложение В. Уравнения движения центра масс 115
Приложение Г. Аэродинамические характеристики конуса с закруглением 116
- Аэродинамическая стабилизация движения космических аппаратов
- Дифференциальные уравнения движения системы в атмосфере
- Преобразованная система уравнений движения тросовой системы в атмосфере
- Устойчивость движения системы в атмосфере с учетом гироскопических слагаемых
Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных и наиболее ответственных этапов космического полета является спуск с орбиты на поверхность планеты. Традиционно применяемые конструктивно-компоновочные схемы космических аппаратов (КА) не всегда могут обеспечить выполнение ограничений, накладываемых тактико-техническими требованиями на контролируемые характеристики пространственного движения КА в атмосфере. Стремление повысить эффективность решаемых при спуске задач путем введении новых аэродинамических схем КА обуславливает необходимость решения принципиально новых проектно-баллистических задач, связанных с обеспечением устойчивости движения в атмосфере. Одним из перспективных средств обеспечения устойчивого движения КА является использование связанных с ним с помощью специальных тросов аэродинамических стабилизаторов (АС). Систему «КА-трос-АС» будем называть тросовой системой (ТС).
ТС могут быть использованы для аэродинамической стабилизации движения КА на различных участках полета: на низких орбитах движения вокруг Земли или других планет, имеющих атмосферу; в верхних слоях атмосферы (на высотах 100-200 км) для предварительной стабилизации движения перед спуском; в плотных слоях атмосферы для обеспечения устойчивого движения перед приземлением. В настоящее время изучается возможность применения ТС для стабилизации движения аварийных спускаемых средств пилотируемых орбитальных комплексов, а также разгонных блоков ракет-носителей для уменьшения районов их возможного падения. Применение ТС позволяет снизить требования к аэродинамическим характеристикам КА и их отклонениям от номинальных значений, так как выбором параметров троса и АС можно обеспечить практически любой запас статической устойчивости системы.
Поэтому актуальной является задача аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС.
Тема работы поддержана грантом РФФИ, в котором автор является исполнителем (проект № 07-01-96606, научный руководитель Заболотнов Ю.М.).
Цель работы. Целью диссертационной работы является построение математической модели пространственного движения системы «КА-трос-АС» в атмосфере, получение и исследование условий устойчивости движения системы и определение на этой основе значений параметров АС и троса, обеспечивающих заданные характеристики ее движения.
Методы исследования. Достижение цели работы основано на использовании методов механики, математики и численного анализа, а также методов и подходов, развитых В.В. Белецким, Е.М. Левиным /1/, В.А. Ярошевским /2/, К.Б. Алексеевым, Г.Г. Бебениным /3/, Н.С. Аржаниковым /4/ и др.
Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:
Построена математическая модель пространственного движения тросовой системы в атмосфере, учитывающая динамику вращательного движения концевых тел вокруг их центров масс.
Получены и исследованы условия устойчивости тросовой системы в атмосфере, зависящие от геометрических и массово-инерционных характеристик КА и АС.
Предложен алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний для ускоренного численного расчета движения тросовой системы в атмосфере.
Проведены параметрические исследования статических условий устойчивости движения ТС в атмосфере.
Практическая ценность исследования. Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты исследования движения ТС в
атмосфере доведены до математических моделей, удобных для инженерных расчетов и позволяющих осуществлять анализ альтернативных проектных решений при спуске КА в атмосфере.
Разработанное программное обеспечение позволяет производить расчет пространственного движения ТС в атмосфере с учетом вращательного движения концевых тел.
Результаты исследования использованы для независимой оценки альтернативных схем спуска с орбиты легкой капсулы при осуществлении эксперимента с тросовой системой, проводимого Европейским космическим агентством совместно с ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ - Прогресс» (г. Самара).
Результаты работы, выносимые на защиту:
Математическая модель пространственного движения ТС в атмосфере, учитывающая динамику вращательного движения КА и АС относительно их центров масс.
Алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний, обеспечивающий ускоренный расчет процесса спуска ТС в атмосфере с заданной точностью.
Метод определения условий статической устойчивости движения ТС в атмосфере, зависящих от геометрических и массово-инерционных характеристик КА и АС.
Результаты параметрического анализа статических условий устойчивости движения ТС в атмосфере.
Апробация результатов исследования. Основные научные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на российско-европейских летних аэрокосмических школах (г. Самара, 2003, 2004г), всероссийском научном семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2003 г), академических чтениях по космонавтике (г. Москва, 2004 г.).
Публикации. Результаты исследований опубликованы в 6 печатных работах /5-1 ОД в том числе в двух журналах, рекомендованных ВАК /9-10/.
В первой главе сформулирована научно-техническая задача аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС. Проведен аналитический обзор исследований в данной предметной области. На основании проведенного в работе анализа имеющихся результатов по аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС сформирована схема исследований, проведенных в диссертационной работе.
Вторая глава работы посвящена построению математической модели пространственного движения связки КА - АС в атмосфере. Описываются системы координат, силы, действующие на механическую систему в атмосфере, и допущения, использованные для вывода уравнений движения. Для невозмущенного случая движения тросовой системы, когда КА и АС представляют собой симметричные тела, а скоростной напор постоянен, получены несколько интегралов движения системы: 1) интеграл, аналогичный интегралу энергии; 2) интеграл, описывающий закон сохранения проекции вектора кинетического момента системы на направление вектора скорости центра масс системы; 3) интегралы, описывающие законы сохранения проекций векторов кинетических моментов каждого тела на их оси симметрии.
Третья глава посвящена применению метода увеличения периодов колебаний для ускорения численного моделирования движения тросовой системы в атмосфере. Сущность данного метода заключается в построении преобразованной системы, быстрые переменные которой изменяются с меньшей частотой, что позволяет существенно ускорить процесс численного расчета. Вид преобразованной системы выбирается исходя из инвариантности уравнений первого приближения метода усреднения для обеих систем, что ведет, например, к совпадению амплитуд колебаний быстрых переменных. Предлагается алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов для систем, характеризуемых несколькими частотами.
8 Алгоритм основан на сравнении оценок частот колебаний некоторой «эталонной» системы (для этой системы коэффициент подобран заранее) и рассматриваемой системы, расчет которой производится. Показывается, что применение метода увеличения периодов колебаний для расчета движения тросовой системы в атмосфере позволяет в десять и более раз уменьшить объем вычислений на ЭВМ.
В четвертой главе анализируются вопросы устойчивости движения тросовой системы атмосфере. Прежде всего, было рассмотрено плоское движение связки «космический летательный аппарат - аэродинамический стабилизатор». Для получения статических условий устойчивости движения тросовой системы, состоящей из осесимметричных тел (не обязательно сферических), рассматривается случай малых колебаний системы относительно положения равновесия. Производится оценка влияния гироскопических и демпфирующих сил на частоты малых колебаний системы и на ее статическую устойчивость. Для этого рассматривается пространственная модель движения тросовой системы, когда угловые скорости вращения тел вокруг их осей симметрии отличны от нуля. В последнем разделе главы оценивается влияние изменение длины троса на устойчивость движения тросовой системы в атмосфере. Показывается, что изменением длины троса можно улучшить динамическую устойчивость системы.
В пятой главе рассматриваются вопросы выбора параметров аэродинамического стабилизатора и длины троса при заданных проектных параметрах космического аппарата. При выборе параметров АС и троса необходимо, прежде всего, учитывать традиционные критерии, возникающие при проектировании космических и спускаемых летательных аппаратов. К этим критериям проектирования нужно отнести стоимость изготовления аппаратов и их массу. К подбираемым параметрам можно отнести: массу АС, длину троса и размеры АС. Считается, что размеры АС в определенных пределах можно изменять, не изменяя его формы, то есть, сохраняя
9 пропорциональность между основными его геометрическими характеристиками. Для выбора параметров тросовой системы предлагается использовать методику, основанную на задании требуемых собственных частот системы и в совместном решении трех нелинейных уравнений, составленных из условия, чтобы характеристическое уравнение имело заданные корни. В последнем разделе главы рассматривается анализ и выбор параметров для трех вариантов тросовой системы: «цилиндр-полусфера», «цилиндр - цилиндр» и «конус - конус». Аэродинамические характеристики рассматриваемых тел определялись по методу Ньютона для гиперзвуковых скоростей полета в атмосфере.
Аэродинамическая стабилизация движения космических аппаратов
Методы пассивной стабилизации движения космических аппаратов широко используются в настоящее время и будут использоваться в будущем при управлении движением КА различного назначения. При правильном выборе проектных параметров такие методы существенно эффективнее и проще активных методов стабилизации, которые неизбежно требуют затрат энергии. Пассивные методы стабилизации, применяемые в настоящее время, могут основываться на различных физических принципах. В зависимости от природы действующих сил можно выделить гравитационную, аэродинамическую и магнитную стабилизацию движения КА. Физическая сущность любого вида пассивной стабилизации движения КА заключается в создании восстанавливающего момента, который обеспечивает устойчивые колебания системы относительно заданного направления. В качестве такого направления в зависимости от вида стабилизации могут использоваться местная вертикаль (гравитационная стабилизация), направление вектора напряженности магнитного поля (магнитная стабилизация) и направление вектора скорости (аэродинамическая стабилизация). Заданный восстанавливающий момент обеспечивается выбором параметров механической системы. Так при гравитационной стабилизации относительно местной вертикали, как правило, совершает колебания главная связанная центральная ось, соответствующая минимальному моменту инерции КА. При магнитной стабилизации - ось, проходящая через полюса магнита, установленного на КА. При аэродинамической стабилизации - ось, проходящая через центр масс КА и его центр давления (точка приложения равнодействующей аэродинамических сил). При любом виде пассивной стабилизации кроме существования восстанавливающего момента
желательно наличие диссипативных моментов, которые обеспечивают асимптотическую устойчивость соответствующих положений равновесия рассматриваемых механических систем.
Применение космических тросовых систем открывает новые возможности использования любого вида пассивной стабилизации IXI при управлении движением КА и космических станций. Однако в этом случае задача выбора проектных параметров, обеспечивающих устойчивость заданных положений равновесия рассматриваемых механических систем, существенно усложняется, так как их уже нельзя рассматривать как абсолютно твердые тела.
Метод аэродинамической стабилизации движения является основным методом обеспечения устойчивого движения неуправляемых КА (спускаемых аппаратов и спускаемых капсул) в плотных слоях атмосферы при возвращении полезных нагрузок из космоса на поверхность Земли и других планет. К настоящему времени накоплен значительный опыт проектирования неуправляемых КА, совершающих спуск в атмосфере. Значительный вклад в исследования неуправляемого движения КА внесли Ярошевский В. А. /2/, Иванов Н. М. Лысенко Л. Н. /11/, Каменков Е. Ф., Константинов М.С. /12/, Кузмак Г. Е. /13/, Шилов А. А. /14/, Дмитриевский А. А., Богодистов С.С. /15/, Асланов В. С. /16/, Заболотнов Ю. М. /17/, Тимбай И. А. /18/ и др. При проектировании неуправляемых КА, совершающих снижение в атмосфере, обеспечение заданного знака восстанавливающего момента осуществляется достаточно просто: центр масс КА должен быть расположен между лобовой частью КА (защищенной теплозащитой) и центром давления аэродинамических сил. При использовании для аэродинамической стабилизации тросовой системы с аэродинамическим стабилизатором выбор параметров усложняется из-за изменения взаимного положения тел в системе (взаимное положение центра масс и центра масс механической системы существенно изменяется).
Метод аэродинамической стабилизации движения КА по отношению к вектору его скорости с помощью ТС не является новым и описан в монографии Алексеева К.Б., Бебенина Г.Г. «Управление космическим летательным аппаратом» (1975 год) /ЗА Для усиления стабилизирующего действия аэродинамического момента в этой работе предлагается использовать стабилизаторы на тросе. Приводятся различные конструктивно-компоновочные схемы тросовой аэродинамической стабилизации движения КА. В качестве примера на рисунках 1.1 и 1.2 приведены схемы шарового и плоского стабилизаторов, которые приводятся в работе /3/ и могут использоваться на различных высотах. Кроме этих схем могут быть применены стабилизаторы конической формы. Стабилизаторы должны иметь складывающуюся конструкцию с целью уменьшения размеров КЛА при выводе на орбиту.
Дифференциальные уравнения движения системы в атмосфере
Поскольку трос натянут, сила натяжения троса совпадает по направлению с вектором гг=ВА. Если уравнения вращательного движения каждого тела записаны в главных центральных связанных системах координат, то проекции кинетических моментов на связанные оси имеют вид где і = 1,2.
Группируя в левых частях каждого из уравнений системы (2.15) - (2.17) слагаемые с множителями щ и перенося в правую часть другие слагаемые, получим следующую систему динамических дифференциальных уравнений, описывающих вращательное движение системы, в матричной форме.
Для проведения численных расчетов эти уравнения необходимо разрешить относительно производных фп ytii ап тогда r,= 0)z Sin pt - 0)у cos pt sma. (2.19) 0,= -/, cos or,, где і = 1,2,3. У,= Классические кинематические уравнения (2.19) при движении тел в атмосфере должны быть дополнены слагаемыми, учитывающими неинерциальность траекторной системы координат /2/, относительно которой вычисляются углы Эйлера. Тогда юг sin (р, - (йу cos pt sma, a, в); cos pt + a sin p, П_1 їП1 (2.20) 9І = » , -f,cosa„ где С ,,Срт1 - коэффициенты подъемных сил КА и АС.
Полная система уравнений в нормальной форме Коши (в скалярной форме) включает в себя девять динамических уравнений движения системы (2.18), девять кинематических уравнений Эйлера (2.20) и три уравнения движения центра масс системы (Приложение В).
На основании проведенного вывода дифференциальных уравнений движения можно сформулировать основные допущения рассматриваемой математической модели: 1. Трос считается невесомой геометрической нерастяжимой связью между телами. 2. Гравитационными моментами, действующими на каждое из тел системы и на систему в целом, пренебрегается. 3. Космический аппарат и аэродинамический стабилизатор считаются абсолютно твердыми телами, по форме близкими к телам вращения. 4. Изменение гравитационного ускорения в пределах размеров системы пренебрежимо мало.
Рассмотрим идеальный случай движения связки двух симметричных тел. Тогда центры давления и центры масс обоих тел будут расположены на осях их симметрии. Кроме того, в идеальном случае будем считать, что точки крепления троса также лежат на оси симметрии тел.
При спуске в атмосфере одним из возмущающих факторов, влияющим на движение системы, является медленное изменение скоростного напора q в зависимости от времени по сравнению с быстрыми колебаниями тел относительно их центров масс. Медленное изменение скоростного напора во времени можно учесть, введя некоторый малый безразмерный параметр є в уравнения движения центра масс системы.
Если положить є = 0, то есть считать, что скоростной напор системы не изменяется и что аэродинамические коэффициенты сил и моментов зависят только от угла атаки, то получается случай невозмущенного движения связки двух тел на тросе. Изучение свойств невозмущенного движения системы необходимо, так как невозмущенное решение используется в дальнейшем для анализа влияния различных возмущающих факторов на движение системы, на её устойчивость и т.д. Кроме того, получение таких важных характеристик невозмущенного движения, как его интегралы, позволяет провести тестирования построенной математической модели движения с помощью численных расчетов, так как значения интегралов движения при моделировании должны сохраняться.
Функцию, аналогичную потенциальной энергии системы, удалось составить только в частном случае движения связки двух сферических тел. При этом аэродинамические силы, действующие на сферические тела, направлены параллельно набегающему потоку. Поэтому потенциальную энергию системы можно составить по аналогии с потенциальной энергией двойного маятника в гравитационном поле /24/.
Преобразованная система уравнений движения тросовой системы в атмосфере
Вид преобразованной системы уравнений движения тросовой системы должен соответствовать виду общей преобразованной системы (3.12-3.13). Поэтому необходимо: 1) разделить все интегрируемые переменные на медленные и быстрые; 2) в правых частях дифференциальных уравнений выделить функции, характеризующие действие возмущений Хх (х, , .), У, (х.,у.). Разделение переменных и выделение возмущающих функций проведем исходя из опыта, который уже имеется при использовании метода увеличения периодов колебаний для расчета движения в атмосфере одного почти симметричного тела /21/. В этом случае вектора медленных и быстрых переменных будут иметь следующий вид х = [и,0хї,&л2,в хі]т, у = руХ,а 2І, 0у2,а)п,(оуг,О)іг,а, р,у\, где и - вектор параметров движения центра масс системы, а ,а ,а хг угловые скорости вращения тел относительно продольных осей, которые для случая невозмущенного движения являются их осями симметрии; б)Уі,со2і,о}уі,(оІ2ІсоУі,б}2} - компоненты угловых скоростей вращений двух тел и троса относительно поперечных осей связанных систем координат; а = (а„а2,аг), ф = (ф„ф2,ф,), y = (yl,y2,yi) - углы (углы Эйлера) атаки, собственного вращения и крена тел и троса.
В возмущающие функции (х, ,yt) в уравнениях для быстрых переменных необходимо включить демпфирующие моменты относительно поперечных осей каждого тела и другие малые возмущения, возникающие от асимметрии (геометрической и массовой) почти симметричных тел. Кроме того, в кинематических уравнениях для углов а,ф,у к малым возмущениям следует отнести слагаемые, возникающие от неинерциальности подвижных связанных систем координат. D.= l,K(q)D2 K(q)D D4iK(q)Di,K(q)D6 D1 K(g)Ds,K(q)Djt К(д) - коэффициент увеличения периодов колебаний системы, f(u,,at) - вектор функция правых частей дифференциальных уравнений движения центра масс системы (Приложение В), q -скоростной напор.
Коэффициент увеличения периодов колебаний к(х,) в преобразованной системе задается в виде /21/ к{ч)=к„к,, (3.19) где A const - постоянный по траектории коэффициент, определяемый инерционно-массовыми и аэродинамическими параметрами тел; Kq коэффициент, учитывающий изменение частот колебаний системы по траектории. Так как все частоты колебаний тел при их движении в атмосфере пропорциональны величине fq /2/, то коэффициент к определяется как отношение к -Ш- (з-20) где q{Hn) - скоростной напор на высоте начала применения метода увеличения периодов, q(H) - скоростной напор на текущей высоте. Обычно высота начала применения метода при спуске в атмосфере равна #„ -80-95 км.
Так как частоты системы определяются не только величинами скоростного напора, но и инерционно-массовыми и аэродинамическими параметрами тел связки, то необходима методика, позволяющая заранее, априори, оценивать величину коэффициента Кп по заданным параметрам связки и троса (его длины). В данной работе предлагается использовать следующий алгоритм выбора коэффициента Кя: 1) задается тросовая система с заданными параметрами; 2) для этой (назовем ее «эталонной» ) системы производится выбор коэффициента увеличения периодов колебаний Кп, исходя из заданной погрешности вычислений на основании численных экспериментов; 3) аналитически оцениваются собственные частоты «эталонной» системы; 4) для другой системы, для которой необходимо провести численные расчеты, также оцениваются величины собственных частот; 5) на основании сравнения частот «эталонной» и рассчитываемой системы задается новый коэффициент увеличения периодов колебаний К„.
Приведенный алгоритм не требует проведения новых численных экспериментов на рассчитываемой тросовой системе, необходимо лишь уметь оценивать ее собственные частоты. В рассматриваемой задаче оценка частот рассчитываемой системы можно произвести для ее плоского движения в случае малых углов атаки тел связки и троса. Решая характеристическое уравнение системы (оно будет определено в следующей главе), можно определить собственные частоты колебаний «эталонной» и рассчитываемой тросовой системы.
Кэп = 0,5. В этом случае интегрирование обеих систем производилось методом Рунге-Кутты 4-ого порядка точности с переменным шагом. Выигрыш в трудоемкости вычислений составил приблизительно в 6 раз. Выигрыш определялся через отношение количеств шагов интегрирования для обоих случаев. В общем случае выигрыш в объеме вычислений в рассматриваемой задаче может достигать несколько десятков раз. Выигрыш зависит от собственных частот рассчитываемой тросовой системы. Кроме того, при больших собственных частотах рассчитываемой системы (в жестких системах) возникают трудности при численном интегрировании стандартными методами, так как жесткие системы требуют специальных методов интегрирования. Предлагаемый метод позволяет искусственно уменьшить жесткость системы и, тем самым, остаться в рамках классических методов интегрирования. На рисунке 3.3 приводится зависимость, характеризующая изменение коэффициента увеличения периодов колебаний по траектории спуска «эталонной» тросовой системы в атмосфере.
Больших затрат машинного времени требует расчет движения ТС «конус - конус», предназначенной для стабилизации движения легкой спускаемой капсулы с большой площадью миделя, так как тела, выполненные в виде расширяющегося конуса, имеют большой запас статической устойчивости, что неизбежно приводит к большим собственным частотам исходной системы, причем никаким изменением параметров самой тросовой системы не удается существенно уменьшить эти частоты. На рисунках 3.4 и 3.5 представлены расчеты зависимостей угла атаки троса от времени аъ(1), вычисленные в соответствии с исходной и «преобразованной» (Кп=0,\) системами. В данном случае выигрыш в трудоемкости вычислений составил 24 раза. Более подробно данная конфигурация ТС будет рассмотрена в разделе 5.5 На рисунках 3.6 и 3.7 доказан более сложный случай движения (по начальным условиям) тросовой системы в атмосфере (тела закручены вокруг продольной оси с угловой скоростью 2 рад/с) и их пространственное движение близко к прямой прецессии. Приводятся зависимости для угла атаки AC a,(t\. Как видно из этих рисунков, метод искусственного увеличения периодов колебании показывает свою работоспособность и в таких, случаях. Наблюдается совпадение верхней и нижней огибающих зависимостей а?(/}, что хорошо видно на графиках,
Устойчивость движения системы в атмосфере с учетом гироскопических слагаемых
Рассмотрим теперь влияние гироскопических слагаемых на свойства устойчивости движения системы КА и АС. Гироскопические слагаемые появляются в уравнениях движения системы в пространственном случае, когда тела, составляющие систему, имеют ненулевую закрутку относительно своих продольных осей юХ1 0, где / = 1,2,3. При рассмотрении условий устойчивости в пространственном случае, как и прежде, рассматривается невозмущенный случай: КА и АС представляют собой симметричные тела вращения, скорость и скоростной напор постоянны. Исследуется устойчивость невозмущенного частного решения системы дифференциальных уравнений а, = 0 (і = 1,2,3,), описывающих пространственное движение системы (2.18). Для получения условий устойчивости, как и ранее, рассмотрим малые углы атаки а,, положив в уравнениях движения sina к a,, cos а, «1 (/ = 1..3) и пренебрежем нелинейными слагаемыми по угловым скоростям. Кроме того, для приведения уравнений движения каждого тела к единой системе координат, рассмотрим уравнения движения в траекторнои системе координат, связанной с вектором скорости центра масс системы С. Получение уравнений движения твердых тел в траекторнои системе координат производилось во многих работах. В частности, здесь используется методика, изложенная в работе /17/.
Для получения уравнений движения в траекторной системе координат при малых углах атаки необходимо, прежде всего, линеаризовать матрицы перехода между различными системами координат.
После этого необходимо записать матрицу А, определяющую правую часть динамических уравнений системы (2.18). В этой матрице для невозмущенного случая первая и четвертая строки нулевые, так как для симметричных тел справедливы интегралы a)xi= const (/ = 1,2).
При записи уравнений в траекторной системе координат удобно воспользоваться комплексной формой дифференциальных уравнений /17/.
Уравнения (4.18) с учетом выражений (4.19) представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно комплексных углов атаки , / = 1,2,3. По сравнению с дифференциальными уравнениями для плоского случая уравнения (4.18) содержат гироскопические слагаемые, зависящие от угловых скоростей eoxj. Поэтому эти уравнения позволяют анализировать влияние на устойчивость движения системы закрутки каждого тела и определять собственные частоты системы в общем пространственном случае ее движения.
На рисунке 4.3 в качестве примера приводится зависимость одной из частот системы (наиболее низкой частоты) от угловой скорости вращения первого тела сохХ. Как видно из этого рисунка, влияние угловой скорости соА заключается в следующем: частота, определенная при а х1 =0 (жирная линия), разделяется на две частоты, которые расположены по обе стороны от исходной, то есть происходит расщепление частот на две. Однако следует заметить, что величины частот остаются все же близкими. Даже изменение угловой скорости вращения до величин порядка 10 рад/с не приводит к заметному изменению частот. Влияние угловой скорости в)хі на высшие частоты существенно меньше. Влияние угловых скоростей (охг,о)хЪ на частоты системы аналогично. Картина изменения частот при отрицательных значениях угловых скоростей сох],сох2,(охі совершенно такая же, то есть изменение частот системы зависит только от изменения модуля угловых скоростей сьл,в л,в хЪ. На изменение частот при увеличении угловых скоростей й)ЛІ,й хгіеохі влияют величины моментов инерции тел, входящих в систему. Причем основное влияние оказывают отношения моментов инерции Ixl I Ix, If2112. Чем это отношения меньше, тем на меньшие величины происходит расщепление частот. Следовательно, наибольшее по величине расщепление частот наблюдается для сферических тел.
Хотя матрицы В и D входят в характеристическое уравнение формально одинаково, однако влияние их на положение корней совершенно разное. Это связано с тем, что компоненты матрицы В чисто мнимые величины, а матрицы D - вещественные числа, то есть и математически и физически влияние этих матриц различно. Если наличие ненулевых компонент матрицы В лишь изменяло частоты системы (их становится больше, и они меняют свои значения), то отличие от нуля компонент матрицы D ведет, ведет, как и ожидалось, к появлению у корней вещественных частей отличных от нуля.
В данной работе рассматривался случай, когда диссипативная матрица диагональная. На рисунке 4.4 показаны положения двух комплексно сопряженных корней характеристического уравнения в зависимости от изменения параметра Д, для случая &л =сох2 =сохг = 0. Видно, что при Д, 0 появляются отрицательные действительные части корней, а при Д, 0 -положительные. Причем, частоты системы немного уменьшаются. Аналогично изменяются другие корни системы. Влияние параметра D22 такое же. В случае, когда имеются гироскопические члены, влияние диссипации несколько иное. Так как каждая частота при этом расщепляется на две, то на рисунке 4.5 показаны положения двух корней, отделившихся от исходной частоты, в зависимости от изменения параметра Д,. Хотя свойство устойчивости (Д, 0) или неустойчивости (Z)n 0) также определяется знаком параметра Д,, однако при увеличении этого параметра по абсолютной величине одна из частот увеличивается, а другая уменьшается, то есть расщепление частот увеличивается.
