Введение к работе
Актуальность темы. Высокий уровень развития современных технологий свидетельствует о важности использования систем управления различными процессами в промышленности и о необходимости исследования соответствующих задач управления. Поэтому теория оптимального управления является современным и актуальным направлением науки. О многообразии сфер применения теории управления распределенными системами, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами (работы А.Г. Бутковского, К.А. Лурье), с теорией игр и задачами позиционного управления, с обратными задачами динамики управляемых систем (работы Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипо- ва, А.И. Субботина и др.) Большой вклад в развитие теории управления распределенными системами внесли Ж.-Л. Лионс, Ф.П. Васильев, Г. Фат- торини и др.
Практическое исследование задач оптимального управления для различных систем многие исследователи зачастую проводят с помощью нахождения численного решения. Однако, для полного исследования необходимо выяснить при каких условиях на параметры задачи существует решение. Данная работа посвящена рассмотрению вопросов разрешимости задач оптимального управления для линейных распределенных систем, не разрешенных относительно производной по времени, а также нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности для таких задач. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или дифференциально-алгебраические системы), так и о распределенных системах.
Задачи управления для дифференциально-алгебраических систем исследуют в своих работах Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Г.А. Курина, Ф.Л. Льюис, Л. Пандолфи. Управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени, исследовалось в работах Г.А. Свиридюка, А.А. Ефремова, М.В. Плехановой, В.Е. Федорова. Однако никто из перечисленных авторов не рассматривал ранее задачи с одновременным действием распределенного и стартового управления. Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется актуальной.
Цель работы. Пусть U, X, Y - гильбертовы пространства, операторы L Є L(X; Y) (линейный и непрерывный), ker L = {0}, B Є L(U; Y), оператор M Є Cl(X; Y) (линейный, замкнутый плотно определенный в X). Предполагается, что оператор M сильно ^,р)-секториален\ т. е пара операторов L, M порождает разрешающую аналитическую полугруппу уравнения LU(t) = Mu(t). Поскольку ядро оператора L нетривиально, эта полугруппа является вырожденной и параметр p Є {0}UN является харак-
хСвиридюк, Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 3. С.604-616.
теристикой ее вырожденности (максимальная высота M-присоединенных векторов оператора L, попадающих в ядро единицы полугруппы).
Рассмотрим задачу оптимального управления
Lx(t) = Mx(t)+ y(t) + Bu(t), (1)
x(0) = v, (2)
(u, v) Є Ud, (3)
J (X,u,v ) = 2\\x — x\\Hri (0,T;X) +
Nlll ~ 112 ,N
2 \\u u|Hr2(0,T;X) + 2
где Z - пространство X или подпространство в нем, снабженное другой нормой, непустое выпуклое замкнутое подмножество Uq пространства U = L2(0,T;U) х Z - множество допустимых управлений, пара (u, v) Є U задает управление, N1, N2 > 0, r1 Є {0,1}, r2 Є {0,1,... ,p + 1}, y Є Hp+1 (0, T; Y), х Є Hri (0,T; Y), u Є Hr2 (0,T; Y), v Є Z - заданные функции.
Множество W троек (х, u, v) Є Zr х U, удовлетворяющих условиям (1) - (3), назовем множеством допустимых троек задачи (1) - (4). Решение задачи (1) - (4) состоит в нахождении троек (x,u,v) Є W, минимизирующих функционал стоимости J:
J (x,u,v) = inf J (x,u,v).
(x,u,v)eW
Рассматриваются задачи с различными функционалами (4): с компромиссными функционалами (N1, N2 > 0, r1 = 1, Z = X), с жесткими функционалами (не зависящими явно от функции управления, т. е. N1 = N2 = 0), с функционалами со слабой по t нормой функции состояния (r1 = 0), с функционалами с нормой графика оператора M (Z = domM) и др. Каждый из рассмотренных классов функционалов требует особенных методов исследования разрешимости соответствующих задач. Например, при рассмотрении задачи жесткого управления приходится требовать ограниченности множества допустимых управлений, переход к слабой норме по t в компромиссном функционале приводит к необходимости усиления нормы управления v по пространственным переменным в нем.
iIn ~n2 i^ii ~n2 -с
+ — Ilu - u\\h 2 (0 ,T;X) + — \\v - v\\z ^ inf, (4)
Таким образом, рассматриваемые в данной работе задачи управления предполагают одновременное управляющее воздействие двух типов - стартовое, т. е. управление процессом за счет выбора начальных данных v в условии (2), и распределенное, т. е. внешнее воздействие на систему посредством выбора функции u в уравнении (1). Назовем такое управление смешанным.
В приложениях часто возникают системы, описываемые в начальный момент времени не условием Коши (2), а так называемым обобщенным условием Шоуолтера
Px(O) = v, (5)
где P - проектор вдоль ядра разрешающей полугруппы однородного уравнения (1). Для уравнений, не разрешенных относительно производной по времени, это условие часто является более "физичным", так как предполагает задание начального состояния только для динамически изменяющейся части системы (1).
Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач смешанного оптимального управления вида (1) - (4) и (1), (3) - (5).
Методы исследования. В диссертации использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г.А. Сви- ридюка, В.Е. Федорова. В основной части работы рассматривается случай сильно (Ь,р)-секториального оператора M. Это позволяет установить однозначную разрешимость в смысле сильных решений x Є H 1(0,T; X) задачи Коши (2) и Шоуолтера (5) для уравнения (1).
Задачи смешанного оптимального управления (1) - (4) исследуются в данной работе с использованием предложенной ранее в работах Ж.-Л. Ли- онса, А.В. Фурсикова схемы исследования задач оптимального управления для распределенных систем, состояние которых описывается некорректными начально-краевыми задачами. Она позволяет, используя лишь условие нетривиальности для рассматриваемой системы и свойства минимизируемого функционала, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления. При этом важно, что нет необходимости выражать функции состояния x через функции управления u и v, поскольку для рассматриваемых систем, не разрешимых относительно производной по времени, это возможно лишь для функций управления из неплотного множества в пространстве управлений.
Новизна полученных результатов. В данной диссертационной работе, по-видимому, впервые исследуются задачи смешанного оптимального управления с различными функционалами стоимости для вырожденных распределенных систем, описываемых уравнением (1), не разрешимым относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. При этом, в отличие от работ других авторов, касающихся систем, не разрешенных относительно производной по времени, в работе рассмотрены различные классы функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального состояния системы, задачи с жестким управлением.
Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач смешанного оптимального управления для линеаризованной системы Буссинеска, линеаризованной системы фазового поля с нулевым временем релаксации, для содержащего многие уравнения теории фильтрации и теории полупроводников класса уравнений вида (1), в котором операторы L и M являются многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального по пространственным переменным оператора высокого порядка.
Помимо исследования разрешимости задач смешанного управления для вырожденных распределенных систем в диссертационной работе для ряда конкретных задач осуществлен вывод систем оптимальности - необходимых и достаточных условий экстремума.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. Они дают решения некоторых актуальных проблем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. И в то же время результаты диссертационной работы предоставляют методы исследования и поиска решений (с помощью систем оптимальности) задач оптимального управления для систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В.Е. Федоров), на семинаре Лаборатории дифференциальных и разностных уравнений Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф. Г.В. Демиденко, д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанов) и на следующих научных конференциях: Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", г. Стерлитамак, 2008 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г. Суздаль, 2008 г.; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна, 2010 г.; IX Международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", г. Челябинск, 2010 г., Международная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", г. Екатеринбург, 2011 г.
Данное исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-96007-р_урал_а, и Фонда помощи молодым ученым ЧелГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 работы - в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий. Список публикаций автора диссертации приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановки задач и некоторые идеи доказательств.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 129 страниц. Библиография содержит 155 наименований работ российских и зарубежных авторов.
