Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Условия оптимльиости для некоторых задач управления системами составного типа 13
1. Задача оптимального управления с фиксированной продолжительностью действия управления 13
2. Задача оптимального управления с ограниченной продолжительностью действия управления 29
3. Задача терминального управления составными системами 33
ГЛАВА II. Достаточные условия оптимальности для составных систем с фиксированным временем 44
1. Линейные составные системы с линейным терминальным функционалом 44
2. Линейные составные системы с общим линейным функционалом 53
3. Линейные составные системы с выпуклым терминальным функционалом 61
4. Нелинейные составные системы с фиксированным моментом переключения 67
ГЛАВА III. Существование оптимальных управлений 74
1. Существование оптимальных управлений для задачи с фиксированной продолжительностью действия управления 74
2. Существование оптимальных управлений для задачи с ограниченной продолжительностью действия управления 82
3. Уравнение для времени оптимального быстродействия 86
ГЛАВА ІV. Примеры 90
Приложение 107
Литература 109
- Задача оптимального управления с ограниченной продолжительностью действия управления
- Линейные составные системы с общим линейным функционалом
- Нелинейные составные системы с фиксированным моментом переключения
- Существование оптимальных управлений для задачи с ограниченной продолжительностью действия управления
Введение к работе
Основы математической теории оптимального управления были заложены во второй половине пятидесятых годов. Центральная роль здесь принадлежит принципу максимума Л.С.Понтрягина (см. Понтря-гин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и Мищенко Е.Ф. [І]), открытие которого по сути дела послужило началом новой математической дисциплины.
В настоящее время весьма активно изучаются нестандартные задачи оптимального управления (см.например, следующие работы: Величенко B.B.[lJ-jl, Розова В.Н.[і]-[з], Медведев В.П. и Розова В.Н. [I], Захаров Г.К. и Плотников В.И.[іЗ, Захаров Г.К.[її, [2], Ащепков Л.Т.[1],[2], Харатишвили Г.Л.[і] Арсенашвили А.И.[і], Авалишвили Н.М.Щ).
Настоящая диссертация посвящена изучению некоторых классов ^составных систем. Следуя Величенко В.В.[2}, составной системой назовем систему управления, описываемую на разных интервалах времени разными дифференциальными уравнениями и некоторыми конечными связями для стыка траекторий.
Задача оптимального управления несколькими объектами с последовательным во -времени режимом их работы описывается составными системами. Такие задачи возникают из практики, например, управляемый аппарат запускается с другого управляемого аппарата (космического, наземного, подводного, надводного и т.д.). Известны также случаи, когда на космическом аппарате устанавливаются двигатели двух типов с последовательным режимом включения (см. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев B.B.[l]). Последовательный режим предусматривает, что в каждой точке траектории может быть включен только один двигатель.
В диссертации рассматриваются следующие задачи управления:
-.4 -
Задача А. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:
Эс = &(эО 4-4,(х,а).яГ у (I)
где хе R. ^ функции 4i ' R """^ R и
f ' R * J: —> R » непрерывны по совокупности переменных и непрерывно-дифференцируемы ПО "ЗС ;
характеристическая функция отрезка С^Д^+Ц *tiе Г0/Г1 $1-мм1>0.
Под управлением мы будем понимать пару (^ ілЮ, -t^.') . Управление (иЛ-Ъ ii) назовем допустимым, если \А'.І0,Т]-*Р ' измеримая функция и 4Д в |_0, Ч1] . Мы будем говорить, что допустимое управление fvA.(A); 4і) , "Ь <= о; ТЗ переводит систему (I) из точки Х0 в точку эсЛ, если соответствующее ему решение хШ уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию х[) — ^о , определено на отрезке о тЗ и удовлетворяет конечному условию ос (/Г) — ^1
Предположим теперь, что заданы еще функции /f. v. R -"> R. , 7 D^x p _ь> (^ непрерывные вместе с част-
ными производными -Xit ^ ?** . тогда задача А формулирует-ся следующим образом:
В фазовом пространстве к даны две точки 0Со эс4 . Среди всех допустимых управлений (vaVO, 4-*Л » переводящих систему (I) из точки Х0 в точку ЭС'4 , найти такое, для которого функционал
V о
принимает наименьшее возможное значение; здесь ЭС(т) - абсолютно непрерывное решение уравнения (I), соответствующее допустимому управлению ^UlA), i^ , *t [#, ТЗ , с начальным условием xlo) — х0, а Т - момент прохождения этого решения через точку Xi#
Задача Б. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:
зс =^fc*o +4^^)-^ , (і)
'где
функции -^ * К "—> R ; fc' К * Г —5> R непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по
Под управлением будем понимать тройку (иЛ*Ъ ^?^) Управление (нІЛ, "^іД^ назовем допустимым, если U *. К/Ч""^* - измеримая функция и О < "t^ < {^ < ф; -— {^ ^, ^ . Будем говорить, что допустимое управление (,иЛ"Ь ^., ); "t^LP/f1] пеРев0ДИТ систему (I) из точки Х0 в точку ЭС^, если соответствующее ему решение х({) уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию xlo)~X0, определено на отрезке 0;ТІ и удовлетворяет конечному условию ХІТ)- Х|/ Задача Б формулируется следующим образом:
даны две точки ^с0 ^с^_ .
- б -
Среди всех допустимых управлений (иЛ*)/ І д., 4^ 1 переводящих систему (I) из точки Х0в точку XL, найти такое, для которого функционал
принимает наименьшее возможное значение; здесь функции
1. t (? *-?> |^ 1 : (^ х Р—> (^ непрерывные вместе с частными
производными ^Зті/о^ /^>с>^1~ абсолютно непрерывное решение уравнения (I), соответствующее допустимому управлению
( иЛі) , "t i-^); *t є[о/р] с начальным условием XU) ~ ссА і а Т - момент прохождения этого решения через точку х.
Задача В. Пусть управляемый процесс, рассматриваемый на фиксированном отрезке времени^ описывается двумя системами дифференциальных уравнений:
ос ^ ( U, ц) ; о ^ і <Т } xl^ х 0Со } (2) *
^ =0i^> > t*4&T,att)*k(*<^ (3)
где хє R^, ^ е R функции ^ : R х р -> R у
Q : R kQ "~> R непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по компонентам х, 4 соответственно;
и « Р е >&'), а/ <= Q е Q (^), te^Tj. мо_
мент переключения с одной системы на другую, заранее не задан.
Под управлением мы будем понимать тройку (и (.-) ?V(4) fi) .
Управление является допустимым, если функции
U: fO^D —і>Р, V : [,Т] —> Q. измеримые и ЧГВ>,Т]. Под решением системы (2), (3) понимаем пару (xHJ; і е 1
ЧІ*Ь) "fc^fcTjJ r#e #ІІ)- абсолютно непрерывное решение системы (2), на &,%] с начальным условием 'Xlo) = x0, а ч (і) - решение системы (3) на [т, Т7] с начальным условием
^)~ к(?СС^>) - Здесь [с I R^-^R* непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим функционал
Ь 1
где (^ - непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция,
функции -|о ; (^*хр—ь> ?
Среди всех допустимых управлений (^vj^O; иЧ'Ъ т} найти такое, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Допустише управления, доставляющие решение поставленной задачи, назовем оптимальными.
Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Первая глава посвящена необходимым условиям оптимальности для сформулированных выше задач. Во второй главе приводятся достаточные условия оптимальности для составных систем (см. Задачу В.) В третьей главе доказываются теоремы существования оптимальных управлений для задач А и В. В четвертой главе приведены примеры, иллюстрирующие теоремы глав I, П. В приложении приводятся некоторые вспомогательные факты, использованные в главах П, Ш.
Теперь подробно остановимся на содержании каждой главы.
В I первой главы доказываются теоремы о необходимых условиях оптимальности для задачи А (с интегральным критерием ка-
чества - теорема I.I.I, для быстродействия - теорема I.I.2). Во втором параграфе приводится и доказывается теорема о необходимых условиях оптимальности для задачи Б. При доказательстве этих теорем о необходимых условиях оптимальности управления ( U(«)^> і*. ) используются игольчатые вариации (см. Л.С.Понтрягин и др.И)» Э.Б.Ли, Л.Маркус[1]), с учетом взаимного расположения Т^/Ьг,)
В третьем параграфе на основе идей монографии У.Флеминга, Р.Рищела[Ґ\ получено необходимое условие оптимальности для задачи В с терминальным функционалом.
Отметим, что в работе Медведева В.А. и Розовой B.H.jjQ получены необходимые условия оптимальности для составных систем с интегральными критериями качества, а наличии фазовых ограниче- , ний-в работах Захарова Г.К. 2 и Ащепкова Л.Т.[2].
Г.Л.Харатишвили и его ученики изучали составные системы с точки зрения быстродействия и ими получены необходимые условия оптимальности по быстродействию. Заметим, что размерность системы в этих работах одинакова, т.е. предполагается, что м(т)~ХСО и допустимые управления предполагаются кусочно-непрерывным (см. например, Харатишвили Г.Л.рГІ, Арсенашвили А.И.ВД).
Задачи А, Б по своей постановке являются новыми. Задача В является более традиционной для теории составных систем. Все эти задачи видимо можно было рассмотреть с помощью методов Л.Т.Ащепкова[2]. Но в диссертации этого не делается по двум причинам: I) управления ЦЛІ) рассматриваются в классе измеримых функций, а не в классе кусочно-непрерывных функций; 2) получение принципа максимума на основании чрезвычайно общего результата Л.Т.Ащепкова[2]требовало бы не меньше выкладок, чем их _ сделано в диссертации на основе традиционного аппарата.
В I второй главы приводятся необходимое условие оптимальности (теорема П. I.I) и достаточное условие локальной оптимальности управления ( uHjtrM,^} (теорема П. 1.2) для линейных составных систем с линейным функционалом (&)^(Т)) (см« задачу В). В конце этого параграфа показано, что некоторые условия теоремы П. 1.2 можно ослабить, в случае, когда вторая система имеет вид м ^ ЯГ (теорема П. 1.3).
В 2 дается достаточное условие оптимальности управления (uO) 1Г('),т) для линейных составных систем с общим линейным функционалом.
В 3 рассматриваются линейные составные системы с выпуклым1 терминальным функционалом. Доказана теорема о достаточном условии глобальной оптимальности управления (иЛЛ, гг(.0 , <г) При доказательстве этой теоремы использованы некоторые соображения Благодатских В.И.[з].
В четвертом параграфе на основе метода приращений (см. Габа-сов Р., Кириллова Ф.Щ) доказывается теорема о достаточном условии оптимальности управления (ыЛО >!/*(). Т) » при фиксированном *t для составных систем вида:
с критерием качества
ч Ы->, v(->) = у 1р)) +- ^ііхці)+0*щ№
+
[з;(^о+
- ю -
При t- Т эга теорема уточняет и обобщает результат Р.Габасова, С.В.Чураковой[і].
В I третьей главы доказано, что множество достижимости 2(41) системы (I) (см.задачу А) является компактом, непрерывно в метрике Хаусдорфа зависящим от времени Т . Далее,с использованием этих фактов доказаны теоремы существования оптимальных управлений для задачи быстродействия (теорема Ш. 1.2) и для задачи терминального управления (теорема Ш. 1.3).
Во втором параграфе доказывается теорема о том, что множества достижимости fy[i) системы (I) (см. задачу Б) является компактом, непрерывно в метрике Хаусдорфа зависящим от времени t (теорема Ш. 2.1) и теорема существования оптимального управления для задачи Б, в случае быстродействия (теорема Ш. 2.2).
В третьем параграфе этой главы приводятся уравнения для времени быстродействия в линейных задачах А и Б:
і = A DC +U'\T у Хіо) Є Mo > xW еіНх)
AU>lQ(r), uepeQ(r),
і, -t^lAA+U, о, і ФІАА-лу
і, -ібїААХ
и для задачи А и для задачи Б
тр _^ ІМ{ .
- II -
Четвертая глава состоит из четырех примеров, которые иллюстрирует некоторые теоремы глав I, П. В примере I указываются конкретные траектории, соответствующие выбранным начальным точкам, на которых выполняются все возможные случаи теоремы I. 1.2
Во втором примере показано, что теорема П. I.I является лишь необходимым условием оптимальности и не является в общем случае достаточным условием оптимальности.
В третьем примере^применяя теорему П. 1.2 к конкретной составной системе} находятся оптимальные управления.
В четвертом примере показано, что как с помощью теоремы П. 3.1 можно найти оптимальное управление.
Диссертация завершается приложением, в котором приведены некоторые понятия и утверждения, используемые в главах П и Ш. Основные результаты диссертации:
Доказан принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с фиксированной продолжительностью действия управления и для задачи оптимального управления с ограниченной продолжительностью действия управления.
Получены достаточные условия для линейных составных систем с фиксированной продолжительностью и свободным правым концом.
Получены теоремы существования оптимального управления для ряда рассмотренных автором задач.
На основании разработанных методов изучены интересные примеры.
Список основных обозначений
у - квантор общности:"для всех",
"^ - квантор существования: "существует",
-квантор следования: "из... следует...", (х I J?Jcj - совокупность элементов х, обладающих свойством Р, R - совокупность всех действительных чисел, R - евклидово К- мерное пространство, С3^)- скалярное произведение элементов х, Ч , |xi - евклидова норма в R, Д - замыкание множества А,
jic (R J ~ множества непустых компактов из R , Ynti А - лебеговская мера множества А, О F(^^)- первая вариация отображения F в точке ос , |Yod)(ft,hJ- значение второй производной функции на эле- ( менте X і
С\, чО - опорная функция множества Г ,
-с - операция транспонирования матрицы.
В диссертации принята следующая система ссылок. Формулы, теоремы, леммы каждого параграфа имеют двойную нумерацию. При ссылках на результаты данной главы сохраняется двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа. Если же результат относится к другой главе, то используется тройная нумерация, причем первая цифра обозначает номер главы.
- ІЗ -
Задача оптимального управления с ограниченной продолжительностью действия управления
Нетрудно видеть, что рассматриваемая в теореме 1.2 пара функций (,u.oC0; V0 СО; удовлетворяет соотношениям (1.8), (1.9) принципа максимума при — Т0 с функциями Y ) = Ї Л); fW (см- С1-11)» О-12) ) Обозначим через (зСоЫ, Ч0(о) соответствующее тройке ( ц01\) _, и;(О Т0) решение системы (1.1)-(1.3), где положено Т-Т0, Тогда из выполнения соотношений максимума (1.8), (1.9) следует, что функции постоянны соответственно на отрезках Г0,То"] CTOJTJ Очевидно, что многозначное отображение Ш[Р,уС,4)) является компактнозначным и зависит от (f,4) полунепрерывно сверху относительно включения (см. Приложение). Из условий теоремы 1.2 и леммы I (см. Приложение) вытекает, что при(тл)б (см. (I.I7) ) Таким образом, при ( ) Q- многозначное отображение \М$)Ч,6)) является одноточечным, что в сочетании с полунепрерывностью сверху относительно включения обеспечивает непрерывность функции UlT, ) при (x ) -G- Отсюда следует, что интеграл в (1.22) определен даже в смысле Римана. Из формул (1.25), (1.23) далее следует, что U ,W = U di0jd) почти при всех [0;Тъ ] , т.е. Тогда в силу (1.26), (1.18), (1.20)-(1.22) и равенства (.1 %)= ) получаем, что (сравните с (1.10) ) JK40fit.,t-„),x„ и.))=Л0е с.) Л)) =ЛДгНБэах Итак, показано, что для тройки ( UoC-), U"e(«), Т0 ) выполнены необходимые условия I) - 3) теоремы I.I. Отметим еще, что факт существования производных будет выведен из условий теоремы 1.2 в процессе ее доказательства. Доказательство теоремы. Из формул (І.ІЗ), (I.I4) и соотношений (1.23), (1.24) следует, что — (Q ; уо1Т)) — L СТ0) . Покажем, что для достаточно малой окрестности S точки Х0 выполнено неравенство ( (. 0 Ы. Л ) . (1.27) Отсюда и из определения функции о(СТ) как максимума функционала — ((х ч (Ч1)) по допустимым парам ( иЛО, ь о) при фиксированном С легко следует, что для любой допустимой тройки (u(.«), LT(-), Т) где Z S бУДет выполнено неравенство (1.1$. Для доказательства неравенства (1.27) при достаточно малых 1т-Т0 достаточно показать, что о С/і) дифференцируема при Из первого условия теоремы следует (см.леммы П.І), что функция С (Р if) дифференцируема в точках (X,l), где (Т,- ) є G-, причем функция UU ) — как отмечалось в замечании 1.2, является непрерывной по (f,3) G- Далее, функция —А является непрерывной функцией своих аргументов. Итак, при ф)е6 функция -с у — определена и непрерывна. С помощью теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, полу-1 чаем (см. (I.I4) ): Отметим, что (см. (I.II) ) Из соотношений (1.30), (I.3I) с помощью элементарных преобразований и формул (1.22)-(1.24) вытекает, что при е(Г0-є Т + є) - 51 Отсюда из предположенной теоремы и в силу леммы П.І следует, что функции /YCl± \ ytljlX) дифференцируемы при "С-То и чт (см.(1.20), (I.2I) ) выполнены искомые соотношения (1.28), (1.29). Теорема доказана. Замечание 1.3. Отметим, что из условий теоремы 1.2, леммы П.І и формул (I.I4), (I.I9), (1.24) вытекают следующие формулы при t є Ст0-ц te+o : Условия теоремы 1.2 несимметричны относительно управляемых объектов, описываемых соответственно уравнениями (I.I), (1.2): на первый объект накладывается существенно больше требований, нежели на второй. Отметим один частный случай, в котором удается упростить и ослабить требования на первый объект.
Линейные составные системы с общим линейным функционалом
При сделанных предположениях при любом допустимом управлении ОШ,і±) + е[б ,Т] )ii.e ,T] и привольном Х(с?)б/Ио существует абсолютно непрерывное решение системы (1.1),(1.2) по теореме Каратеодори и оно. будет ограниченным на jOj T] некоторой константой:
Задача быстродействия заключается в нахождении допустимого управления (Щв);"Ьд) , переводящего фазовую точку из положения ЭССо) Є Mo в положение ОС(ГР)е Мі за минимальное время. Допустимое управление (л Л Ь } » доставляющее решение поставленной задаче, назовем оптимальным. Доказательство теоремы существования оптимального управления опирается на компактность множества достижимости Э(Т) системы (I.I). Множество достижимости ЖТНі) системы (І.І) при фиксированном tj_ для каждого момента V i± есть множество концов всех траекторий ос(«) системы (I.I) при начальном условии Х(о)с=- М0, соответствующих всем допустимым управлениям (11) при фиксированном иА. Пусть лДТ7) - множество достижимости системы (I.I), состоящее из концов всех траекторий Х.( ) системы (I.I), соответствующих всем допустимым управлениям ( U», Гх), где O Xj. -Т и ЭС(о) Мо Тогда очевидно, что -Теорема I.I. Пусть выполнены выше сформулированные условия и пусть при любом XЄ R множество fcp,2)-\\Р и)\ U е Г } выпукло. Тогда множество достижимости (Т) системы (I.I) компактно и непрерывно зависит от Т1 в метрике Хаусдорфа. Доказательство. Так как ЖТ) с: R » то Для доказательства компактности Т)(Т) достаточно доказать его ограниченность и замкнутость. Сначала докажем ограниченность. Выше было отмечено (см.(1.6) ), что на отрезке fjC Tj решения уравнения (I.I) с начальным условием ЭсСо) Є. 14 и при всевозможных допустимых Cutt \ 4.) » u \Рj S у ограничены равномерно. Поэтому Я) (Т!) лежит в некотором шаре конечного радиуса, т.е. (Т/ - ограниченное множество. Теперь докажем замкнутость filT) Пусть XL« в/Непоследовательность точек и пусть ос — ОС . Из определения множества достижимости следует, что существуют решения ос ("О, О с—Т1 t-i. 3 системы (I.I) с краевыми условиями со (TV— = эс ей(т), Sc Co) а Мо ПУТЬ решение?t.(t) получено действием некоторого допустимого управления (UіLm),ij.)« Так как семейство решений Х:. tt) j С - t Т1 t М7 равномерно ограничено и равностепенно непрерывно (ЭС.() -б/0 ТІ абсолютно непрерывны и почти всюду имеют ограниченную одной и той же константой производную: / мэсцШ КА „р [Ofl \/А то по теореме Арцелла, существует подпоследовательность равномерно сходящаяся к функции ос (4:) і [б, Т1 . Обозначим эту подпоследовательность снова через {xLCi)l . Тогда, пользуясь равномерной сходимостью X t) на C Tl заключаем, что предельная функция x(i) обладает свойствами: х(о)Є Мо L?)=X. х[Ь), і (ДГ7- абсолютно непрерывна и js В силу системы (I.I) имеем Так как 3cL(-L} —э ic С Ь) равномерно на C0,TJ и f - непре рывна, то I ( .(1)) —- 1 (xtH) равномерно на fo,T] » при = f кроме того, LlcO —$ Эс («О Mo .
Нелинейные составные системы с фиксированным моментом переключения
Пусть допустимое управление (ц(-) -і_) оптимально по быстродействию и зс(») - соответствующая оптимальная траектория системы (I), так что х(о)-( ( 0) (0)) " ХІТ) -(о -Л) 1
Если с? {А f и -±, - КаіиІ +А, } - правильные точки функции и () , то при и =«(-), іЯ= ігШ, з: -=xUr) существует ненулевое решение (."t) системы (4) на ГО/Т7 такое, что I. (±) alii irtt) - Ыах Ф /) u irtf; Й. . /Ъ. Л, (б) П. функция постоянна на множествах {p,is). Кроме того 1) если О = ІІ_ і± - Т , то 2) если о iL + i± с Т , то 3) если о ti. iju tL+6 » то яиб либо - 92 4) если о - i± { = Т - it+ б , то 5) если О = tj. -"= Т ix + , то fACW ulW 0) 6) если о tx + Т ix+ С , то Теперь укажем экстремали Понтрягина, т.е. те траектории, соответствующие решениям уравнения (I), (2) и удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, которые иллюстрируют все возможные случаи теоремы І.Ї.2 . I. Пусть х(о) -(xtio), эсх(.оО = (i.Sy о) Тогда траектория хШ = (х Ш, хгЮ) , где (7) a:ttt)=-Af+f І axU) = -л., Q і Т переводит точку зс(о) в точку (0,-і) (см.Рис.І) и соответствует управлению (ЖОДІ) » гДе - 93 ( -і, О і 4, (8) причем т S Для этой начальной точки (1Ь,0) реализуется I) случай теоремы, т.е. выполняется соотношение о = i± i Т1, где іх= +б = G, Т- 5 В этом случае функция у it) ( Yjtt), f ty) О ± і Ъ, тде (9) есть искомая, т.е. является ненулевым решением сопряженной системы (4) и удовлетворяет условиям теоремы в случае I). Действительно, из (8) и (9) следует, что что равносильно условию максимума (6). Далее, если r \P/6j, то H(f(«,x«),uW,l) = и если -і ё (6,2] , то (ом.(З), (5), (7), (9) ) - 94 -Поэтому, функция Hw H b tyiT/ на множествах [#У&Д и (6,] постоянна. Теперь остапось проверить условие I). Так как f(%) f o f lo) = Ну , () = -2 (см.(9) ), («=:-2 (см.(7) ) и u(.o)=-i , u(6) =+і (см.(8) ), то отсюда следует, что
Существование оптимальных управлений для задачи с ограниченной продолжительностью действия управления
Теперь из третьего условия теоремы П.3.1 (из равенства И ах НіІЧ ЗС( Ю= jJ Нд.С ) и)уу)) получаем 1 (Т) Utt)- f t) и-(Т). Отсюда следует, что Т = 1 , ибо Vf Ct) - /0- t } fit ) =G + Т .Таким образом, из необходимых условий оптимальности нашли управление (ч,1?, Т) , где U=( i) , \Г (1,0) , t=±. Далее, так как с ( Р, fU)) = 1 , с (Q не зависит от г , то отсюда следует, что выполнено условие теоремы П.3.1, т.е. управление ( й , \Х , 1 ) - оптимальное.
Здесь мы приводим некоторые понятия и утверждения, которые были нами использованы в главах П и Ш. Эти факты заимствованы из книг В.И.Благодатского[1], [2], Определение I. Опорной функцией множества р be (R / называется скалярная функция c(F y) векторного аргумента \J 6 R определяемая условием c(F,Y) = WOL ({.if) . Определение 2. Опорным множеством компакта F в направлении IP 6 R называется совокупность всех точек і 6 F » Для которых выполняется равенство c(F, f) — (т; / Условимся обозначать его через U.(F} ) . Определение 3. Множества р bc(R j называется строго выпуклым в направлении [f [ , если его опорное множество Ul wJ) состоит из единственной точки. Лемма I. Опорная функция c(F; у) компакта F е Q (яи) дифференцируема в точке VPe R тогда и только тогда, когда множество г строго выпукло в направлении при этом %)—_ В пространстве ъс\М. ) можно ввести метрику к (А; В) между двумя множествами /\ ; В Є. bdiR ) по формуле Эта метрика называется хаусдорфовой. Многозначным отображением будем называть функцию F R — b (Rh") , т.е. функцию, аргументами которой являются векторы X в R , а значениями непустые компактные множества из пространства R Так как ( R р) (. btr(fw k) " метрические пространства, где р(х,ч)— Ix-JJl » то непрерывность многозначного отображения р(х) можно сформулировать в следующем виде: многозначное отображение FЫ) непрерывно в точке Х0» если V } 3 S 0 такое, что Далее, многозначное отображение f-(x) просто непрерывно, если Многозначное отображение f : [ .— ,-м ) называется полунепрерывным сверху в точке х0, если V о 9 0 такое, что При доказательстве достаточных условий оптимальности нами были использованы некоторые свойства опорных функций. Именно: 1. Пусть F е Q (R ") ТогДа 2. Пусть F -be (R ) выпукло. Тогда 3. Пусть A;B =bc(Rh) выпуклые множества. Тогда иЛемма 2. Функция C F,-) . К — R непрерывна.
