Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Сингулярно возмущенная система уравнений в частных производных первого порядка с разными степенями малого параметра 18
1 Постановка задачи и особенности ее решения 18
2 Главные члены асимптотики 20
3 Построение членов асимптотики до четвертого порядка включительно 24
4 Обоснование асимптотики 40
Глава 2. Сингулярно возмущенные уравнения в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости 45
1 Метод дифференциальных неравенств для уравнений в частных производных первого порядка 45
2.1.1 Лемма о дифференциальных неравенствах 46
2.1.2 Теорема о нижнем и верхнем решениях 47
2 Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных
2.2.1 Постановка задачи и условия 49
2.2.2 Асимптотическое поведение решения .53
2.2.3 Пример 56
3 Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных в случае, когда линия пересечения корней выходит на начальное множество 58
2.3.1 Постановка задачи 58
2.3.2 Построение асимптотики решения 60
2.3.3 Нижнее и верхнее решения 69
2.3.4 Основной результат 74
4 Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных в случае задержки смены устойчивости 75
2.4.1 Постановка задачи и условия
2.4.2 Основной результат 77
Глава 3. Сингулярно возмущенные системы уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости 85
1 Метод дифференциальных неравенств для систем уравнений в частных производных первого порядка 85
3.1.1 Теорема о нижнем и верхнем решениях 86
2 Система быстрого и медленного уравнений .89
3.2.1 Постановка задачи и условия 89
3.2.2 Составное устойчивое решение вырожденной задачи 90
3.2.3 Асимптотическое поведение решения 93
3 Система двух быстрых уранений 99
3.3.1 Постановка задачи 99
3.3.2 Составное устойчивое решение вырожденной системы 100
3.3.3 Существование и асимптотика решения .102
Список литературы 111
- Построение членов асимптотики до четвертого порядка включительно
- Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных
- Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных в случае задержки смены устойчивости
- Составное устойчивое решение вырожденной задачи
Введение к работе
В последние десятилетия ведется активное исследование сингулярно возмущенных задач асимптотическими методами. Это вызвано потребностями физики, химии, биологии и других наук, с одной стороны, и с внутренними потребностями развития нелинейной теории дифференциальных уравнений с другой. После основополагающих работ академика А.Н. Тихонова ([41],[42],[43]) и последовавших за ними работ А.Б. Васильевой ([14]) сингулярно возмущенные задачи интенсивно изучаются. В разное время асимптотическими и численными методами, позволяющими строить приближенное решение в тех или иных сингулярно возмущенных задачах занимались Бабич В.М., Булдырев B.C. [1], Бахвалов Н.С. [2], [3], Панасенко Г.П. [3], Боглаев Ю.П. [4], Боголюбов Н.Н. [5], [26], Митропольский Ю.А. [5], [31], Ван-Дайк М. [13], Васильева А.Б. [15]-[17], Бутузов В.Ф. [6]-[12], [15]-[17], Люстерник Л.А., Вишик М.И. [19], Волосов В.М., Моргунов Б.И. [20], Дулан О., Миллер Дж., Милдерс У. [22], Ильин A.M. [23], [24], Коул Дж. [25], Крылов Н.М. [26], Ломов С.А. [29] Мас-лов В.П. [30], Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. [32], Моисеев Н.Н. [33], Найфе А.Х. [35], Нефедов Н.Н. [9]-[11], [36], Федорюк М.В. [46], Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. [47], Lebovitz N.R., Schaar R.J. [27], [28], O Malley R.E. [38], Scheider K.R. [9]-[ll], [36], Smith D.R. [40], Чанг К., Хауэс Ф. [48] и другие.
В рамках научного направления, основанного академиком А.Н. Тихоновым, в последние годы ставится и решается ряд задач, свя Введение занных с построением асимптотик решений методом пограничных функций, и в частности, рассматриваются задачи, где нарушаются условия теоремы А.Н. Тихонова об изолированности корня вырож-деного уравнения.
В качестве примера первого типа задач можно указать, например, систему двух уравнений из статьи [8], в одном из которых малый параметр є входит множителем при производной по времени, а в другом по пространственной переменной. При некоторых условиях в указаной работе была простроена асимптотика произвольного порядка, содержащая наряду с регулярной частью, два типа пограничных функций. Другим примером может служить задача из статьи [50], асимптотика решения которой обладает рядом особенностей, в частности, главный член регулярной части асимптотики описывается уравнением, отличным от вырожденного.
Введение при є — 0 от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи, которое строится с использованием устойчивого составного (вообще говоря, негладкого) корня вырожденного уравнения. Для доказательства существования решения и предельного перехода в работе [36] был применен метод дифференциальных неравенств. В последующие годы этот метод использовался для целого ряда других сингулярно возмущеннных задач, в том числе задач со сменой устойчивости.
Если функция F такова, что уравнение (0.3) имеет решение (гладкое, в отличие от составного устойчивого корня уравнения (0.2)), то его можно использовать в качестве нулевого приближения решения задачи. Такой подход был предложен в статьях [6], [7].
Целью работы является исследование асимптотического поведения решений ряда сингулярно возмущенных задач для уравнений в частных производных первого порядка, в том числе задач с разномасштабными пограничными слоями и задач с внутренними слоями, обусловленными пересечением корней вырожденного уравнения.
Особенностями асимптотики решения этой задачи являются четыре типа обыкновенных и три типа угловых пограничных функций с разными масштабами растянутых переменных. Установлено, что стандартный процесс построения асимптотики прерывается на пятом шаге. Для получения оценки остаточного члена порядка О (є5) вводится модифицированная угловая пограничная функция. В целом задача решается путем применения известных погранслоиных методов, а при доказательстве оценки остаточного члена используется принцип максимума.
Первый параграф начинается с постановки задачи и формулировки условий, достаточных для существования классического решения и построения асимптотики до четвертого порядка включительно.
Во втором параграфе приводится вид асимптотики решения задачи, включающей регулярную и погранслойные части, и строятся ее главные члены.
В третьем параграфе построение асимптотики завершается. Здесь наряду с постановками задач для пограничных функций и получением решений этих задач мы приводим доказательство некоторых соотношений (Лемма 1.1), связывающих пограничные функции, с тем, чтобы использовать их при проверке условий согласования краевых данных. Для утверждения об экспоненциальных оценках уг Введение ловых пограничных функций также потребовалось особое доказательство (Лемма 1.2).
В четвертом параграфе доказана теорема об остаточном члене, дающая обоснование построенного разложения.
Вторая глава посвящена рассмотрению трех задач Копій в случае смены устойчивости.
Построение членов асимптотики до четвертого порядка включительно
Исследования сингулярно возмущенных гиперболических систем дифференциальных уравнений имеют свою историю и перспективу. Некоторые результаты по построению асимптотик решений сингулярно возмущенных задач с частными производными первого порядка содержатся в [16]. В работе [8] построена асимптотика решения системы двух уравнений, в одном из которых малый параметр є входит множителем при производной по времени, а в другом - по пространственной переменной. Продолжению этого направления исследований посвящена настоящая глава.
Рассмотрим систему двух уравнений {є О - малый параметр) в области G = (0 х X) х (0 t Т) с краевыми условиями Отметим, что система (1.1) отличается от рассмотренной в [8] характером вхождения малого параметра в левые части уравнений -по отношению к [8] все коэффициенты при производных умножены на е. Это приводит к существенным особенностям асимптотики по сравнению с [8]. Во-первых, погранслойиых переменных будет теперь четыре, а не две, как в [8]. Это соответствует двум масштабам малого параметра (є и є2) при производных в уравнениях (1.1). Поэтому возникают четыре типа пограничных функций - два вблизи стороны t = 0 и два других - вблизи стороны х = 0 прямоугольника G = (0 х X) х (0 t Т). Во-вторых, невязку, вносимую в краевые условия указанными пограничными функциями, призваны устранить три типа угловых пограничных функций (в [8] угловых пограничных функций вообще не возникает). В-третьих, если в [8] построена асимптотика решения произвольного порядка, то здесь ситуация иная. Как показано ниже, без ограничения общности можно считать Ъ\ = 1, &2 = Ъ{х). Если Ь(х) - произвольная достаточно гладкая функция, то процесс построения непрерывных угловых пограничных функций прерывается на пятом шаге и построенные члены асимптотики до четвертого порядка включительно дают приближение к решению с точностью порядка 0(е5). Мы будем рассматривать классическое решение данной задачи, то есть решение, непрерывное в замкнутой области G, обладающее непрерывными производными первого порядка и удовлетворяющее уравнениям (1.1) в области G, а также краевым условиям (1.2). Очевидно, что заданные нулевые краевые значения (1.2) функций и и v согласованы до непрерывности в угловой точке (0,0). Для существования классического решения задачи нужно потребовать еще, чтобы они удовлетворяли в этой точке уравнениям (1.1), то есть потребовать выполнения следующего условия. Условие А\. /ДО, 0, є) = 0, і = 1,2. Тем самым будут выполнены условия согласования первого порядка в точке (0, 0), что наряду с гладкостью коэффициентов 6г-, ац и функций /г- обеспечивает существование классического решения задачи. Имея в виду построение асимптотики до четвертого порядка включительно, примем следующее ограничение. Условие УІ2. Функции bi(x), a,ij(x,t), fi(x,t,e), і = 1,2, j = 1,2, пять раз непрерывно дифференцируемы в области Gx x[0,oL гДе єо 0 некоторое число. Кроме того, потребуем выполнения еще двух условий. Условие А%. Ь((х) 0 при 0 х X, і = 1, 2. Условие Aj. cbn(x,t)-\-\ai2{x,t)\ —a, a22(x,t) + \a2i(x,t)\ —а при (x,t) Є G, где а 0 - некоторое число. Из Условия А\ следует, что an{x,t) 0, 0,22(00,t) 0, A(x,t) = = au(x,t)a22{x,t) — 12( , )021(0:, t) 0 в области G. Асимптотику решения задачи (1.1), (1.2) будем строить в виде (см. [16]): где щ, Vi - члены регулярной части асимптотики; ITjW, П , Qiu, QiV - пограничные функции, описывающие погранслой вблизи стороны t = 0 прямоугольника G; функции Q{U, Qiv, Щи, Щу - пограничные функции, описывающие погранслой вблизи стороны х = О прямоугольника G; PiU, P{Vy Siu, S{V, T{U, T{V - угловые погранич ные функции; т = -, = -, = — Г = — - погранслойные переменные. Здесь уместно отметить, что стандартный процесс построения гладких членов асимптотики (см.[16]) прерывается уже на втором шаге из-за негладкости угловой пограничной функции 52 (, 9) (см. Замечание в п. 1.3.5). Однако, если &і = 1, 62 = b(x) 0 (этого можно добиться заменой переменных х = / b 1(a) da), то функции о Siu(,0) будут гладкими при і = 1,2,3,4. Негладкими (но непрерывными) оказываются функции Т У(С,Т) И T4V(,T) (при і 4 функции Tiv((, т) будут разрывными). В результате удается построить гладкую асимптотику второго порядка и негладкую (но непрерывную) асимптотику четвертого порядка. Итак, проделаем указанную замену переменной и будем считать, что Ъ\ = 1, 62 = Ь(х). 1.2.1. Функции гїо(х, t), щ(х,і)
Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных
Используя уравнения для членов асимптотики, входящих В [/4 и У4, стандартным способом получаем для д\ и д2 оценки, равномерные BG:
Отметим, что если бы к С/4 и V4 не были добавлены члены eb{R u-\-Т511) и 5(f25w + S u), то 5і и 52 имели бы другие оценки, а именно, ді = о(є5 + є4ехр(- )), д2 = о(є5 + єАехр(- 2 Тем самым равномерно в области G функции gi имели бы порядок 0(є4), а не 0(є5), что не позволяет доказать справедливость представлений (1.57). Заметим также, что gi(x,t,e) - непрерывная функция в области G, в то время как g2(;r,, г) содержит слагаемое разрывное на линии х = eb(0)t. Это слагаемое разрывно, так как функции T v и Т и, как отмечалось выше, непрерывны в G, но являются негладкими, т.е. имеют разрыв производных, на характеристике С — Ь(0)т уравнения (1.42) для функций T{V. Разрывность функции ?2(ж,, є) затрудняет получение оценок (1.59). Чтобы преодолеть эту трудность, поступим следующим образом. Введем функ-цию Тз v(,r,), как решение уравнения (1.63) с такими же краевыми условиями, как для функции T%v (см. (1.42), (1.43)). Уравнение (1.63) отличается от уравнения для Т$и только коэффициентом при производной по : вместо коэффициента 6(0) в уравнении для T v в уравнении (1.63) стоит коэффициент b(e2Q. Написав уравнение для разности T v — T3V, легко получить оценку откуда следует, что e T v — є3Тз = О(є5). Заменим теперь в вы-ражений для VA (x,t,e) функцию Т3г на функцию Т$и, а функцию ТАУ на функцию TAV, которая определяется аналогично Тз - Для разности TAV — TAV справедлива оценка вида (1.64) и поэтому раз-ность между старой функций VA И новой (обозначим новую снова VA) является величиной порядка 0{еъ). Таким образом, для доказательства (1-57) по-прежнему доста-точно доказать справедливость оценок (1.59), где w\ = u — UA, w i = v — V5, VA - новая функция. Ее преимущество перед старой функцией VA состоит в том, что в выражение для g2(x,t,e) уже не будет входить разрывное слагаемое (1.62), поскольку в этом слагаемом 6(0) заменится теперь на Ь(е2) = Ь(х) и, значит, это слагаемое обратится в нуль. Итак, для w\ и W2 мы имеем систему уравнений (1.60), где теперь 91 и Qi - непрерывные в G функции, имеющие оценку (1.61). Отметим, что порядок О (є5) в краевых условиях получается за счет того, что ЩиУд удовлетворяют точно краевым условиям (1.2). При этом важную роль играют равенства (1.45) и (1.47). Отметим также, что краевые условия (1.65) согласованы до непрерывности в точке (0,0). Поэтому решение wi(x,t,e), W2(x,t,e) задачи (1.60), (1.65) является непрерывным в области G. Пусть (противоположный случай рассматривается аналогично) и пусть \wi(x,t, є)\ имеет максимальное значение в точке (XQ, to). Предположим также, что в этой точке wi(x,t, є) имеет положительный максимум (случай отрицательного минимума рассматривается аналогично). Докажем, что откуда непосредственно последуют оценки (1.59). Если XQ = 0 или t0 = 0, то оценка (1.67) вытекает из краевых условий (1.65). Пусть XQ ф 0, to Ф 0. Рассмотрим в точке (жо? о) первое уравнение из (1.60). Так как в указанной точке wi(x,t,e) имеет положительный максимум, а левая часть уравнения равна умноженной на є2 производной функции w\ вдоль характеристики t — to = є(х — XQ), TO в этой точке є — \- є —— 0 (знак может иметь место, если XQ = X или to — T) и, кроме того, w2(#o o? є) w\(xQ,tQ,e) в силу предположения (1.66). Следовательно, в точке (#о,о) спРавеДливЫ Глава 1. Система с разными степенями малого параметра неравенства О аціиі + 012 2 + gi (an + \ai2\)wi + \gi\ -а«7і(я?о, о,є) + \gi{xo,t0,e)\ (последнее неравенство получается с учетом Условия А ). Отсюда следует, что wi(xo,to,) a 1\gi(x0,to,e)\ = 0(еъ). Тем самым оценка (1.59) и теорема доказаны.
Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных в случае задержки смены устойчивости
Как уже было отмечено, составной корень u(x, t) является негладким на кривой Г. Чтобы преодолеть связанные с этим трудности, в [11] для различных сингулярно возмущенных задач в случае пересекающихся корней вырожденного уравнения использовалась процедура сглаживания негладкого составного корня. Позднее было установлено [6], [7], что более эффективным методом, позволяющим построить более точную асимптотику решения, является своеобразная регуляризация вырожденного уравнения. Она состоит в том, что вместо Глава 2. Уравнения в случае смены устойчивости 61 уравнения (2.28) рассматривается уравнение -&(ж, t) (и - /?і(ж, t)) {и - (р2(х, t)) + efi(u, х, t, 0) = 0, (2.33) т.е. в вырожденном уравнении наряду с главным членом, входящим в (2.28), сохраняется член порядка є. Учитывая, что k(x,t) 0 в области D, запишем уравнение (2.33) в виде (и - pi(x, t)) [и - ip2(x, )) - єд(и, ж, t) = 0, (2.34) где д(и, x,t) = k l(x, t)fi(u, ж, , 0). В силу Условия D% и равенства (2.30) g(u,x,t) удовлетворяет неравенству g(u{x,t),x,t) = g(u{x,t),x,t) 0, (ж, ) Є Г, (2.35) и поэтому уравнение (2.34) имеет два гладких в D корня относительно и. Обозначим их ip(x,t,e) и p (x,t,e). Из (2.34) для этих корней следуют равенства р(х, , є) = Ц(рі(х, t) + /?2(ж, 2)+ + [( /?i(ж,t) - (р2(х,t)f + 4#( (ж, , є), ж, )є]1/2}, ( (ж, І, Є) = { і(ж, І) + Р2(х, t) - [( і(ж, t) - (р2(х, t))2 + 4#( р (ж, t, є), ж, )є]1/2}. В свою очередь из этих равенств получаются следующие асимптотические формулы: ip(x,t,e) = u(x,t) + y/g(u(x,t):x,t) у/є + О (є), (x,t) Є Г, tp (x, t, є) = й(х, t) — y/g(u(x,t),x,t) - у/є + О(є), (ж, t) Є Г, ip(x,t,s) = u(x,t) + 0( /є), (іМ,є) = u(x,t) + О (у/є) j (x,t) Є D$, (2.36) ip{x,t,e) = u(x,t) + 0(є), (ж,г,є) = u(x,t) + 0(e), (ж,) Є D\Dgt (2.37) Глава 2. Уравнения в случае смены устойчивости где D - сколь угодно малая, но не зависящая от є -окрестность кривой Г. Таким образом, замена вырожденного уравнения (2.28) уравнением (2.33) является регуляризацией вырожденного уравнения в том смысле, что вместо негладких составных корней u(x,t) и u(x,t) получаются близкие к ним гладкие корни ір(х, і, є) и /? (#, t, є). Несложные вычисления показывают, что частные производные первого порядка по х и t функций ip(x,t, є) и tp (x,t,e) ограничены в области D равномерно по є. 2.3.2.2. Пограничные функции. Наряду с корнем (p(x,t,e) ре-гуляризованного вырожденного уравнения в асимптотику решения войдут пограничные функции, зависящие от растянутой перемен-ной г = — и играющие роль лишь в малой окрестности начального отрезка. Главный член По(ж,т, є) погранслойной части асимптотики в соответствии с методом пограничных функций [16,с.138-139] определяется как решение начальной задачи = По/, г 0, (2.38) П0(ж,0,) = и(х) -(р(х,0,є) = П(х,є), 0 ж 1, (2.39) где П0/ - f{tp(x, 0, є) + П0, х, 0, 0) - /(ф, 0, є), х, 0, 0) -= -к(х, t) [a(x, 0, є) + П0] П0, a(x,t,e)= [( pi(x,t) - (p2(x,t))2 + 4g((p(x,t,e),x,t)e] 0 (2.40) Функция По(ж,т, є) находится в явном виде а(х,0,є)И(х,є) - ехр{—к(х,0)а(х,0,є)т} По(ж,Т,е) = а + д0 р _ ехр _фі 0)а( 0) фу] (2.41) Из Условия D\ следует, что в некоторой достаточно малой (но не зависящей от е) J-окрестности точки XQ = ф(0) выполняется нера Глава 2. Уравнения в случае смены устойчивости венство П(х,е) CQ 0, \х- xQ\ 5, (2.42) и поэтому UQ(X, Т, Є) 0 при ж — а?о 5: т 0, а на всем отрезке [0;1] для достаточно малых є справедливо неравенство а(х,0іє) + Т10(х,є) С1 0, 0 х 1. (2.43) Здесь и далее через Сг- (г = 0,1, 2,...) и С обозначаются подходящие положительные постоянные, не зависящие от є. Докажем неравенство (2.43). Так как ср(х, О, є) - а(х, О, є) = -{рі(х, 0) + ip2{x, 0) - [( (я, 0) - (я, О))2 + 4д(ф, 0, є), х, 0)є]1/2} = - і{у і(ас, 0) + v?2(», 0) - [Ыя, 0) - / 2(z, О))2 + +4(?( (ж, 0, є), х, 0)е}1/2} + О(є) - р (х, 0, г) + 0(e) -= й(х,0) + О(у/є) (последнее равенство следует из (2.36) и (2.37)), то а(х, 0, є)-\-И(х} є) = а(х, О, є) + (u(x) — (р(х, 0, є)) — u(x) — ( р(ж, 0, є) — а(ж, 0, є)) = = u(x) — u(x, 0) + 0(у/є). Но в силу Условия Z 4 гі(гс) — й(ж, 0) С 0 и, следовательно, для достаточно малых є выполнено неравенство (2.43). Лемма 2.2. Для достаточно малых є пограничная функция По(#, т, є) имеет оценку
Составное устойчивое решение вырожденной задачи
Если \х — XQ\ S, то а + П(1 — e z) С4 (см. (2.45)), поэтому F{z) CQZ 4- Сю и, следовательно, Таким образом, доказана оценка \р2{х,т,е)\ Сехр(-вкат), 0 ж 1, т 0. (2.50) Из равенства (2.47) и оценок (2.49) и (2.50) получаем искомую оценку типа (2.44) для ——(ж,т, є). Лемма доказана. Из Условия Ds и выражения (2.40) для a(x,t, є) следует, что а(хо,0,є) = 2лУд(ір(хо:Оіє))хо,0)є Су/є. Поэтому при достаточно малом 5 для \х — XQ\ 5 выполняется неравенство к(х,0)а(х,0,е) тпл/е, где m - некоторое положительное число, а для \х — х$\ 5 имеет место неравенство \ pi(x:Q) — (р2(х, 0) С 0 и поэтому к(х,0)а(х, 0, є) ае 0 (ээ - некоторое число). Следовательно, в силу доказанной леммы справедливы оценки: По(ж,т,є)\ Сехр(—гпу/ет), \х — хо\ 5, т 0, (2.51) П0(я,т,є) Сехр(-эет), , \х - х0\ 5, т 0. (2.52) Такие же оценки верны для тїІо(х,т, є) и ——(ж, г, є). ох Для построения нижнего и верхнего решений задачи (2.26), (2.27) нам понадобятся также пограничные функции первого порядка. Обозначим их соответственно Щ (ж, г, є) и Щ (#,т, є). Они определяются как решения следующих задач: где h(x,r,e) - функция, определенная равенством (2.46), Пі/ = /i(y ( 0. е) + n0(z, r, є), ж, 0,0) - Ь{ф, 0, є), х, 0,0), (2.54) Глава 2. Уравнения в случае смены устойчивости а в качестве Н(х,т,є) можно взять любую положительную функцию, экспоненциально убывающую по г и удовлетворяющую неравенству Я(я,т,є) 2&(ж,0)П0(ж,т,е), 0 х 1, г 0. (2.55) В уравнении для Щ перед функцией Я берется знак плюс,а в уравнении для Пі - знак минус. Решения задач (2.53) можно записать в виде, аналогичном (2.47) (при этом рі(ж,т, є) = 0), и далее станіт дартным способом нетрудно доказать, что для \х — хо\ -, т 0 от-т(±) функции Пі , а также тЩ и —- —, имеют оценки типа (2.51), (2.52). Замечание. Заметим, что пограничные функции определены в прямоугольнике (0 х 1) х (0 t Т), который не совпадает, вообще говоря, с областью D. Чтобы определить их во всей области Z), поступим так. Продолжим гладким образом функции &(ж,0), а(х,0, є) и П(ж,є), входящие в задачу (2.38), (2.39), за границы отрезка 0 х 1, и рассмотрим эту задачу при Хо х Х\, г 0, где Хо = min xo(t), Х\ = max жі(), to произвольно малое, но фиксированное при є — 0, положительное число. Аналогично определим Щ (ж,т, є) при Хо х Х\, т 0, а затем умножим функции По, Щ на гладкую срезающую функцию z/(), равную 1 при 0 t to и равную нулю при t 2. Тогда пограничные функции будут определены во всей области D, причем они равны нулю при t 2о, а при to t 2to в силу экспоненциальных оценок типа (2.51) и (2.52) являются величинами порядка o(eN), где N - любое число. После умножения на функцию v(t) сохраним за пограничными функциями старые обозначения. Глава 2. Уравнения в случае смены устойчивости 69 2.3.3. Нижнее и верхнее решения При построении нижнего и верхнего решений задачи (2.26), (2.27) будем рассматривать отдельно два случая в зависимости от величины показателя степени р в уравнении (2.26). 2.3.3.1. Случай р = 1 -Ь g В этом случае нижнее решение задачи (2.26), (2.27) построим в виде Щх, t, є) = ср{х, t, є) + По (ж, — ,5) + єП5-)(ж, —, є)ст6{х - -ф{)) -є (1 - (7д{х - ф{і))) - єа5{х - V (t)), (2.56) с где сг(х) - гладкая срезающая функция: а$(х) = 0 при \х\ -, О crs(x) 1 при - \х\ 5: TS(X) = 1 при \х\ 8, а в качестве 7 1 1 можно взять любое число из интервала - 7 т, + 9 Положительные числа 5 иіо (см. Замечание) возьмем такими малыми, чтобы выполнялись неравенства П0(ж,— ,е) 0 при ж — -0( )1 (5, 0 t t0; (2.57) ж жо т 51 Л1би точки (a?,t), лежащей в области А=(ж,і): ж- ( ) , 0 2 о. Тогда в области Ds выполнено неравенство к(х,0)а(х,0,є) ге О, и поэтому для функций Щ , тГО , — — справедливы оценки типа ох (2.52). Рассмотрим выражение для LelJ_ при 0 t to в трех областях, a) \х — ф(1;)\ -. В этой области а$(х — i/j(t)) = 0, поэтому U(x, t, є) = (р(х, t, є) + По (я, —, є) - є7, причем По(ж, —,є) 0. Имеем (для краткости записи аргументы у єр некоторых функций опускаєм): Глава 2. Уравнения в случае смены устойчивости LeU = eP + - ePA{x,t)- {ip+Uo)+k{x,t) ( р - + П0 - є?) х х ( р - р2 + П0 - є ) - efi(ip + По - 7, ж,t, є) = отт = О(є ) + [-—- - По/] + [к(х, t) ( р(х, , є) - c (z, t)) И , і, є) -Ф2(х, t)) - efi{4 {x, t, є), x, t, 0)] - e7/c(a;, t) (а(ж, t, є) + 2П0) + +є2 (а;,і)-П/і, (2.58) где П/і - функция, определенная равенством (2.54). Выражения в квадратных скобках равны нулю в силу того, что функция По(ж,т, є) удовлетворяет уравнению (2.38), а функция ip(x,t,e) - уравнению (2.33). Из неравенства (2.35) и выражения (2.40) для a(x, t, є) с учетом асимптотических формул (2.36) и (2.37) для ip(x,t,e) следует, что для достаточно малых S и є выполняется неравенство
