Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Интегральное уравнение плавного перехода
I. Краевая задача Карлемана для полосы
2. Уравнение плавного перехода в пространствах обобщенных функций 33
3. Интегральное уравнение плавного перехода в пространстве 60
4. Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения 81
ГЛАВА II. Приложения уравнения плавного перехода
5. Дифференциально-разностное уравнение типа плавного перехода 98
6. Приложения к задачам математической физики 108
7. Обобщенная краевая задача Карлемана со сдвигом в область аналитичнсоти 118
Литература
- Уравнение плавного перехода в пространствах обобщенных функций
- Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения
- Приложения к задачам математической физики
- Обобщенная краевая задача Карлемана со сдвигом в область аналитичнсоти
Уравнение плавного перехода в пространствах обобщенных функций
Для любого целого числа m о рассмотрим гильбертово пространство W (ІИ) основных функций которые не только п раз дифференцируемы, но и достаточно быстро убывают на бесконечности:
Через обозначим построенное на W(R) пространство обобщенных функций. С помощью применения преобразования Фурье и дальнейшего изучения возникающей краевой задачи Римана, в работе [8], исследовались уравнения типа свертки в пространствах обобщенных функций ІЛСДО . Там же приводятся исторические сведения. Зависимость разрешимости уравнений типа свертки в пространствахWT от чисел т , п , не обязательно целых, исследовал В.В. Шевчик [63].
Для того, чтобы ввести пространства основныхWjJflR.) и обобщенных функций W?(fiO для произвольных вещественных чисел ОІ , fi , нам понадобится ряд сведений теории шкал банаховых пространств [30-32].
Определение 2.1. Семейство банаховых пространств Е (0 оС« 1 ) с нормами ІІосІЦзсеЕос ) называется шкалой пространств, если: Пространство Ел плотно вложено305 в Е при jb oc , Причем IIXlld =S CCoC.Jb) ІІХІІ ,XEj3 . Существует функция Ct ,jb, ) , конечная во всех точках области Qdszjb % ± , такая, что для всех хе Ei
Введенные в работе [8] пространства L -m;- и им сопряженные l2\w\; п\ для т , п целых совпадают с W (lR)иV\C(R)соответственно и отличаются лишь обозначениями. Пространство Е1 плотно вложено в Е0 , если 1. Из ас є Е следует, чтоасбЕ0 и Ел плотноСуществует постоянная Сої , такая, что Если Cd« і , то говорят, что Е л нормально вложено в Е о Если I , то шкала банаховых пространств EAназывается нормальной. Пусть Е (О« Й=І ) семейство банаховых пространств такое, что при jb пространство Eyj плотно вложено вЕ .
Определение 2.2. Семейство Е обладает интерполяционным свойством, если всякий линейный оператор А , ограниченный в Ei и Е0 , одновременно является ограниченным Другими словами, если ЕЛ обладает интерполяционным свойством, то из того, что А (Е1 )ПХ(Е0) должно следовать, что А Х(ЕЛ) , где (Есс) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Е .
Известен ряд интерполяционных методов построения шкал банаховых пространств. В работе [30] предложен метод построения аналитических шкал банаховых пространств Е .
Комплексный метод интерполяции предложен Кальдероном [18]. В этом случае семейство банаховых пространств Ел (o«a( і ) называется шкалой, построенной комплексным методом интерполяции. Для таких шкал справедлива
Теорема 2.1. Е - непрерывная нормальная шкала, соединяющая Е,, и Е0 , обладающая интерполяционным свойством.
Два указанных метода связаны между собой. Семейство банаховых пространств Ел аналитической шкалы Е совпадает со шкалой, построенной комплексным методом, соединяющей пространства Е1 и Е0 .
Гильбертовы шкалы являются наиболее распространенным видом шкал банаховых пространств. Пусть 3-0 - гильбертово пространство, 3 - неограниченный положительно определенный, самосопряженный оператор, действующий в нем. Пусть К - множество элементов х , на котором определены все степени оператора 3 . В результате пополнения М по каждой из норм получим семейство гильбертовых пространств Hot которое является аналитической шкалой. Оператор Э называется порождающим оператором гильбертовой шкалы. Пространство Соболева W2 (Ю - функций, заданных на вещественной оси, с нормой
Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения
Таким образом, в случае выполнения условия (3.19), разрешимость уравнения (3.1), (3.2) и число линейно независимых решений зависят лишь от индекса уравнения эе = =ае2
Наличие нулей в "общей полосе. В случае нарушения условия (3.19) внутри полосы cu y решения задач Карлема-на (3.20) и (3.21) 3Vo и QzU} допускают полюса в полосе б1 у б1+1 и соответственно в некоторых точках Z1 2 , связанных с нулями функций 1+ К j (X) в полосе Не ограничивая общности, будем считать, что или с учетом предположения а)
Предположим, что все нули Zn с кратностями VK функции 14 K2fe) в полосе Qz Ц ві расположены следующим образом: 1) индексам к.=и 4і,...,6і отвечают нули в полосеc\z дп\Хк 6л 1; 2) индексам k. = -6,+1,..., 4 - нули в полосе %л \ OwZ а2+1 ; 3) ИНДеКСаМ к--бх+1,---, Иг - НуЛИ В ПОЛОСе Q-,+ 1 3hiZi &І. Проследим за нулями D-3) групп при аналитическом продолжении второго равенства (3.17) с прямой 4=x+i az до прямой =эс-н&, . Для нулей 1)-й группы получаем, что точки 2к+2і, k= +1,..., -С, возможно являются полюсами функции ЯГСг.) в полосе й1+2 у 61+1 . Действительно, у функции (Z) допускаются полюса в точках 2ц + і , к=п м в полосе
Аналогично для 3)-й группы: функция $ (z} допускает полюса в точках 2к.-К , к= г+і --» ПІ в полосе Qz.+\ У ві+1 .
Здесь, как и в случае выполнения условия (3.19), снова приходим к решению задачи Карлемана (3.20), допускающему полюса в указанных выше точках в полосе в у в.,+ 1 . Соответ ствующие формулы приведем ниже.
Аналогично предыдущему будем обозначать: 4)индексами к «і,..., WA нули ZK С кратностями VK функции 1-+K () , расположенными в полосе az MzK 61-1 ; 5) индексами нули в полосе б) индексами к=тг-и ,..., Пл. - нули в полосе aLi\ Зси2Гк б-, . Аналитически продолжим первое условие задачи (3.18) с прямой = ос+ї&і до прямой4-oa icxz с учетом расположения нулей 4)-6) групп в полосе вг у ёА В равенстве справа функция iQe) , аналитическая в полосе 4г у i , следовательно, и слева функция аналитически продолжима в эту полосу, причем функция Я2 fe+i) , а следовательно, и слагаемое 0+ (3)3 (z+i) аналитически продолжимы до прямой. Анализ первого слагаемого С1+К-,(4)3 Я2Ї4) показывает, что функция Qz (%} допускает полюса в нулях 6) группы Zn , k = ryij.+i,.-., УУЛ в полосе а2-м у б1 . Эти полюса не попадают в полосуаг у Q2-f1 . Точки ZK-L , К= ГИ2+І,---»КІІ являются полюсами функции Я С2- -1Ї в полосе а2 у бі-1 , если при этом [I-V-K/ K-OJ+O , 1+K2feK-L)«Q, к ИЪ-н»"-. Ч , (з.зо) то Я fe) в указанной полосе полюсов не имеет, если 1+M2K.-04D, HKifcirO .k-wfe+v.., ,. (3-31 то точки ZK-L являются полюсами функции Я\ Cz) в полосе q2 у -1 uz-H. Далее нули 5)-й и 4)-й групп являются полюсами функции ЧІ (2) соответственно в полосе fKу С}2+1 ио у б1- 1 - 73 И в этом случае аналитическое продолжение приводит к за-даче (3.21), решение которой (3.21 ) %fz.) допускает полюса в указанных выше точках в полосе аг с\$ Аг-И.
Но у функции Фг+(2.) не допускаются полюса в общих нулях функций 1+Kj GO , j=M.2 в силу свойств функции Si Cz).
Заметим, что одновременное выполнение условий (3.28) и (3.30) возможно только, когда некоторые нули функции 1+ Кд&) из полосы Qt-H JhiZ & 1 совпадают со сдвинутыми на плюс і нулями функции Ц-Кг(х) из полосы a2 wz 6i-1 , то есть в достаточно специальном случае.
Таким образом, точное число полюсов 2 t к= 1,2,..., и1 (с учетом порядка)функцииФГ ) (а тем самым H4VZ.) , см. (3.20 )) в полосе t y ci+i равно Z.v ic=№-V при выполне-нии условия (3.29) HM-V-Z, V ПРИ выполнении условия (3.28) Аналогично, точное число полюсов z , и= 1,2,..., иг функции ЯУї/О (или Q&) ) в полосе а У й -М равно M V при НІ выполнении условий (3.31) H -V-X в случае (3.30). Общее решение краевых задач (3.20) и (3.21), в которых Я ч &) аналитична в полосе G Jinz 6 +1 всюду, за исключением точек Zl , где она имеет полюса; Pzfe) - аналитична в полосе Qt Omz Q i всюду, за исключением точек Ик , где она имеет полюса, можно получить сведением к задаче Ри-мана (I.I6) с помощью функций (I.I2):
Приложения к задачам математической физики
Постановка задачи. Эквивалентные интегральные уравнения. Пусть заданы Ак(х) , =0,1,..., непрерывные на сомкнутой вещественной оси R функции, G-frO е. La (IRJ Требуется найти функцию ФСО {{ , S\ по краевому условию :К = ХАкСх)Ч оМ=6Чх),х НІІ , (7.1) здесь ск = Ыо« о( «- - о(пы »и = & - вещественные числа. Частным случаем (7.1) является краевая задача Карле - 119 -мана для полосы «{ Зго . р f рассмотренная в первом параграфе. Задача (7.1) является т -элементной ( го -го порядка) со сдвигом во внутрь области аналитичнсоти Зт ./5 . Это усложняет ее исследование по сравнению с двухэлементной задачей Карлемана, которая допускает решение в квадратурах. Ввиду линейности уравнения (7.1): ХЯ5 = G- , общее решение можно записать в виде общее решение соответствующего однородного уравнения, а Я ( .) -какое-то частное решение неоднородного уравнения. Также можно проследить аналогию с обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами порядка щ . Например, порядок уравнения можно понизить на единицу, если известно одно частное решение 901(z) однородного уравнения (соответственно на n , если известно У] линейно независимых решений уравнения). Действительно, представим неизвестную функцию в следующем виде
Заметим, что Действительно, из того, что 6 = о следует, что щи с СинМ-и . А из условия следует, что одновременно должны выполняться условия что невозможно ни при каком Случай Ук = 0 возможен лишь при Исходная задача (7.1) при этом будет симметричной трехэлементной задачей) для которой в работе [3,4] при 01=-1 , j&« і выяснены условия нормальной разрешимости, вычислен индекс. Задаче (7.10) отвечают следующие эквивалентные интегральные уравнения:
Можно указать и другие способы представления коэффициентов, приводящие к решению задач (7.10), (7.12) в квадратурах.
Пусть, например, в задаче (7.10) АСх)-1 (чего всегда можно добиться при А(%)+J) ), а&(х)=НС(х) . Задача (7.10) приводится к последовательному решению краевых задач Карлема-на: что проверяется непосредственной подстановкой. Разрешимость исходной задачи зависит от числа ae=inolC(x), справедливы теоремы Нетера (формулировка аналогична теореме 1.5). Решение ty{Z) задачи (7.19) находится по формулам (2.12)-(2.18), в которых следует положить Ч:= D , А:= & . При решении задачи (7.20) дополнительных решений ( эе 0 ) и условий разрешимости ( е 0 ) не возникает. При этом постоянная С определяется однозначным образом из условия принадлежности-ffz") пространству-Ц-У, #$ для того, чтобы решение исходной задачи принадлежало пространству функций ф е-ЭДн,рЙ . Решение находится с помощью преобразования Фурье Т :
Аналогичным образом можно получить решение в случае $.,60 =ddkVx+ Л , d - постоянная. Если учесть, что свертка вл е М З х хН )) может представлять собой интегральный оператор (например, сингулярный интегральный оператор), допускающий решение преобразованного уравнения в квадратурах, то получим еще некоторые случаи решения задачи (7.12) в замкнутом виде. При этом коэффициент B lx) может не являться функцией, непрерывной на сомкнутой оси. Пусть В )= -s$nx . В этом случае задача (7.12) будет иметь единственное решение.
Обобщенная краевая задача Карлемана со сдвигом в область аналитичнсоти
Спектральные свойства оператора, отвечающего площадной задаче Карлемана, исследовал В.В. Шевчик [64]. Решение уравнений типа плавного перехода или соответствующих им задач Карлемана нашло применение в ряде задач математической физики для клиновидных областей. К одной задаче теплопроводности эти применения были даны Л.Я Тихоненко [51], к контактным задачам теории упругости - Г.Я. Поповым, Л.Я Тихоненко [431, [42]. В монографии Ф.Д. Гахова, Ю.И. Черского [8], имеющей основополагающее значение, выделен класс задач математической физики, содержащих экспоненту в краевом условии, которые приводят к решению задачи Карлемана. Даны примеры приближенного решения этих задач. Ряд задач математической физики, сводящихся к обобщенному функциональному уравнению Карлемана со сдвигом во внутрь области аналитичности, исследуется в работах Н.Л.. Василевского, А.А. Карелина, П.В. Керекеши, Г.С. Литвинчука [3, 4], А.А. Карелина, П.В. Кереке-ши [21] сведением к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом, находятся условия нетеровости и формула для индекса. Современное состояние развития теории сингулярных уравнений со сдвигом отражено в монографии Г.С. Литвинчука [33],там же содержится подробная библиография.
Ряд проблем, относящихся к уравнению плавного перехода (I), оставались нерешенными. В частности, они включают в себя вопросы изучения уравнения (І) в шкалах пространств обычных и обобщенных функций, в классах функций показательного роста. Разработка методов точного и приближенного решения уравнения в важных для практики случаях. А также изучение уравнений типа плавного перехода. Этим вопросам и посвящена данная работа.
Настоящая диссертация состоит из двух глав. В первой главе изучаются уравнения плавного перехода (І) в шкале пространств W J(R) , в пространствах функций показательного роста {а, Ь) и находятся приближенные решения. На основе изученной задачи Карлемана для полосы и уравнения (I) во второй главе исследуются дифференциально-разностные уравнения типа плавного перехода, краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторые вопросы обобщенной задачи Карлемана со сдвигом внутрь области.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе переносятся результаты Ю.И. Черского [57] по задаче Карлемана для полосы Q««Jmz 1 для случая задачи Карлемана А(«)Ф(х+гД) + С(х)Ф(х+і/»«(7(х , xeR. (4) Здесь 1R. - вещественная ось, А(х)т 0 , C(X) Q непрерывные функции из W(10 - класса Винера, G(x)e La(R). С помощью сведения к задаче Римана (Теорема 1.4) доказываются теоремы Нетера, решение находится в квадратурах (Теорема 1.5).
При дополнительных ограничениях на коэффициенты задачи (4) в пп. 1.3, 1.4 решение строится методом факторизации. В этом же параграфе рассматривается схема Ю.И. Черского решения интегрального уравнения плавного перехода (I) (Теорема 1.6), исследуется союзное уравнение в Ь2(Й0.
Во втором параграфе уравнение (I) рассматривается в пространствах основных функций Wm (Ю , которые не только п раз дифференцируемы, но и достаточно быстро убывают на бесконечности, с нормой а также в пространстве обобщенных функций V\T (R), построенных наW1J (40 Основным является результат о том, что число решений и условий разрешимости подсчитываются по формулам (3) и не зависят от чисел n ,m , в отличие от соответствующих выводов для парного интегрального уравнения І8]. Рассматриваются также случаи нецелых чисел n ,m .
В третьем параграфе уравнение (I) рассматривается в классах функций показательного роста {а, в) . Исследование опирается на теорию уравнений типа свертки в {а, б} , изложенную в работе Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [8], где также дана история вопроса (см. также [15], [56]). В зависимости от взаимного расположения полос аналитичности преобразований Фурье от ядер и свободного члена возникают различные краевые задачи типа Карлемана, в тон числе и односторонние [16]. В этом параграфе рассмотрено несколько частных, но характерных случаев. Здесь разрешимость и число решений уже зависят от взаимного расположения нулей функций l + Kj(Z) , j= \,г (Теорема 3.1, п. 3.4). Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения уравнения (I) рассматриваются в четвертом параграфе. Используя решение уравнения (I), удается построить решение уравнения плавного перехода вида
Похожие диссертации на Уравнения плавного перехода и некоторые их приложения
