Введение к работе
Актуальность темы. Исследование предельных переходов в дифференциальных уравнениях, проводимое в настоящей диссертации, инициировано задачами математического моделирования различных физических процессов в средах с сильно меняющимися (во времени и в пространстве) свойствами.
Один из подходов к такому моделированию основан на теории усреднения дифференциальных операторов, которая быстро развивается в последние 25-30 лет в работах Н.С.Бахвалова, Н.Н.Боголюбова, В.В.Жикова, Г.А.Иосифьяна, С.М.Козлова, В.А.Марченко, Ю.А.Митро-польского, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, И.В.Скршшика, Е.Я.Хрусло-ва, А.С.Шамаева, А.Бенсуссана, Ж.-Л.Лионса, Г.Папаниколау, Е.Сан-чес-Паленсия и многих других. С теорией усреднения тесно связана теория G-сходимости операторов, начатая в работах Э.Де Джорджи и С.Спаньоло и развитая затем в работах Л.Тартара, Ф.Мюра, В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Дк.Дал Мазо и многих других авторов.
В диссертации предлагается другой подход, основанный на исследовании сходимости решений уравнений со слабо сходящимися коэффициентами, при помощи которой и осуществляется переход от "микроскопических" к "макроскопическим" параметрам рассматриваемых сильно неоднородных сред. Такое исследование имеет, очевидно, как теоретический, так и прикладной интерес.
Отдельные результаты, связанные с этим подходом, были ранее получены для некоторых частных классов линейных эллиптических и параболических уравнений.1-4
В первой главе диссертации дано развитие теории предельного перехода для широкого класса квазилинейных параболических и эл~
1 Хасьминский P.S. 0 принципе усреднения для параболических и эл
липтических дифференциальных уравнений и марковских процессов с
малой диффузией // Теория вероятн. и ее примэн. 1963. Т. 8,
* 1. С. 3-25.
2 Сенаторов П.К. Коэффициентная устойчивость решений обыкновен
ных дифференциальных уравнений второго порядка и параболических
авнений на плоскости // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, 4. С. 754-758.
3 Марков В.Г., Олейник О.А. 0 распространении тепла в одномерных
дисперсных средах // Прикл. матем. и механ. 1975. Т. 39, * 6.
С. 1073-1081.
4 Жиков В.В., Козлов СМ., Олейник О.А. О G-сходимости параболи
ческих операторов // УМН 1981. Т. 36, № 1. С. 11-56.
липтических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами. В диссертации впервые рассмотрены также вопросы предельного перехода в обратных задачах для эволюционных уравнений со слабо сходящимися коэффициентами (этим вопросам посвящена глава 2).
Теория обратных задач для дифференциальных уравнений интенсивно развивается в последнее время. С точки зрения приложений это направление тесно связано с задачами нахождения неизвестных характеристик сред, материалов по данным физических экспериментов. Если при решении обычных краевых задач (прямых задач) необходимо найти решение соответствующего дифференциального уравнения, удовлетворяющее краевым условиями, то в обратных задачах неизвестным является также один или несколько коэффициентов уравнения или его правая часть. Для определения этих неизвестных величин в обратных задачах приходится задавать больше дополнительных условий, чем в соответствующих прямых задачах: помимо обычных краевых условий задаются еще так называемые условия переопределения. Такие задачи можно также интерпретировать как задачи управления: при решении задачи нам необходимо найти неизвестный коэффициент уравнения (управление) так, чтобы соответствующее решение краевой задачи удовлетворяло бы дополнительному условию (условию переопределения). Постановки самих обратных задач, исследуемых в диссертации и их разрешимость рассматривались в работах А.И.При-лепко, И.А.Васина, Д.Г.Орловского, В.В.Соловьева, Дж.Кэннона, Я.Лина и др.
Бри исследовании возможности предельного перехода в дифференциальных уравнениях со слабо сходящимися коэффициентами представляет большой интерес получение оценок отклонения решений таких уравнений от решения соответствующего предельного уравнения в норме того или иного функционального пространства. Этим вопросам посвящена глава 3 диссертации. Ранее близкие вопросы для некоторых классов линейных эллиптических и параболических уравнений и систем с дивергентной главной частью, а также для систем обыкновенных дифференциальных уравнений изучались в работах Н.С.Бахва-лова, А.А.Злотника, Г.А.Иосифьяна, О.А.Олейник, А.С.Шамаева.
Последние две главы диссертации посвящены приложениям теории предельного перехода в параболических уравнениях со слабо сходящимися коэффициентами к вопросам асимптотического при t — +ю по-
ведения решений задачи Коши и первой краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений.
Проблемы асимптотической близости решений задачи Коши и их стабилизация различными методами и при различных условиях на данные задачи изучались в работах А.К.Гущина, В.В.Жикова, Т.И.Зеленяка, В.П.Михайлова, В.Д.Репникова, Ф.О.Порпера, С.Д.Эйдельмана, С.Каменомостской и др. В основном исследовались линейные дивергентные уравнения Недивергентные уравнения рассматривались в линейном случае с одной пространственной переменной и в случае периодических и почти-периодических коэффициентов. Для исследования указанных вопросов асимптотического поведения решений задачи Коши В.В.Жиковым5 был предложен метод, основанный на замене независимых переменных вида (t,x) —* (k2t,Kx) (k. - большой параметр), сведении исходной задачи к задаче усреднения вспомогательного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами и применении оценки Нэша6 решений параболических уравнений в норме Гельдера .
В четвертой главе диссертации используются оценки решения в гельдеровской норме и идея сведения исходной задачи об асимптотическом поведении решений к задаче исследования вспомогательных уравнений с быстро осіщллирующими коэффициентами. Для решения последней задачи применяются методы, разработанные в главе 1. При этом оказывается возможным исследовать случаи как дивергентных, так и недивергентных квазилинейных параболических уравнений и доказать асимптотическую близость решений задач Коши для уравнений, коэффициенты которых могут не удовлетворять ограничениям, наложенным в работах других авторов.
В главе 5 изучается вопрос о сходимости при t —> +00 решений параболических уравнений в ограниченной области с однородным граничным условием к решению краевой задачи для "предельного" эллиптического уравнения при условии сходимости коэффициентов параболического уравнения к соответствующим коэффициентам эллиптического уравнения в некотором слабом смысле.
5 Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений //
Матем. сб. 1977. Т. 146, №12. С. 597-616.
6 Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic
equations // Amer. J. Math. 1958. V, 80, n. 4. P. 931-954.
Большинство полученных ранее результатов других авторов по этой тематике доказаны в предположении сходимости при t — +<» коэффициентов параболического уравнения к коэффициентам эллиптического ураванения в том или ином сильном смысле, например, в норме с, Ъ2 и др.
В работе А.Арозио7 в случае линейных параболических уравнений
с дивергентной главной частью условие сильной сходимости коэффи
циентов было ослаблено. Это сделано с привлечением теории
G-сходимости линейных параболических операторов, примененной к
семейству операторов, полученных из исходного путем замены неза
висимых переменных (t,x) —»- (t+k,x), k=1,2
Мы используем эту замену и сводим исходную задачу об асимптотическом поведении решений к вопросу о предельном переходе в последовательности краевых задач для параболических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами, после чего применяются результаты Главы 1. Такая методика позволила, в частности, допустить осциллирующие коэффициенты в рассматриваемых уравнениях, а также рассмотреть случай квазилинейных уравнений недивергентной структуры второго порядка и случай недивергентных уравнений высокого порядка.
Цель работы - состоит в развитии теории предельного перехода для широкого класса прямых и обратных задач для линейных и квазилинейных параболических и эллиптических уравнений со слабо сходя щимися коэффициентами, получении точных условий, позволяющих осуществить указанные предельные перехода, получении оценок скорости сходимости решений краевых задач для рассматриваемых уравнений, а также в приложении результатов по предельному переходу в параболических уравнениях к исследованию асимптотического при t — +«> поведения решений квазилинейных параболических уравнений с нерегулярными коэффициентами.
Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.
1. Для различных классов квазилинейных параболических и эллиптических уравнений (второго и высокого порядка, с дивергентной и
7 Aroaio A. Asymptotic behavior as t — со of solutions of linear parabolic equations with discontinuous coefficients // Comm. Partial Dlff. Equations. 1979. V. 4, n. T. P. 769-794.
- ъ -
с недивергентной главной частью), а также для линеаризованных систем Навье-Стокса получены условия, при которых из слабой сходимости коэффициентов уравнений следует сходимость решений соответствующих краевых задач к решению предельной задачи. Основное из таких дополнительных условий (и единственное в линейном случае) состоит в слабой равностепенной непрерывности старших коэффициентов по независимым переменным. Доказана эквивалентность этого условия условию сходимости старших коэффициентов в некотором пространстве линейных функционалов. Приведены примэры функций, удовлетворяющих таким условиям, а также примеры, характеризующие точность доказанных теорем.
-
Впервые рассмотрен предельный переход в обратных задачах для эволюционных уравнений со слабо сходящимися коэффициентами.
-
Установлены точные по порядку малости оценки скорости сходимости решений краевых задач для квазилинейных параболических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами к решению предельней задачи.
-
Доказаны теоремы об асимптотической при t —> +«> близости решений двух различных задач Коши для квазилинейных параболических уравнений (как с дивергентной, так и с недивергентной главной частью) при условии, что некоторые предельные средние от разности коэффициентов и от разности начальных функций равны нулю. В случав линейных уравнений с одной пространственной переменной получена оценка близости таких решений.
5. Установлены теоремы об асимптотической близости решений
первой краевой задачи в ограниченной области для квазилинейных
недивергентных параболических уравнений второго порядка, а также
для линейных параболических уравнений высокого порядка к решению
первой краевой задачи для соответствующего "предельного" эллипти
ческого уравнения при условии близости коэффициентов исходного
параболического и предельного эллиптического уравнений в некото
ром слабом смысле.
Отметим, что хотя большинство результатов диссертации получены сразу для квазилинейных уравнений, однако, все они являются новыми и для соответствующих линейных уравнений.
Общая методика исследований. В диссертации используется метод априорных оценок теории дифференциальных уравнений, а также мето-
да теории функций и функционального анализа.
Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы математическом моделировании физических процессов в сильно неоднородных средах, в теории G-сходимости, в задачах гидродинамики, в теории обратных задач для эволюционных уравнений, в исследованиях по асимптотическому поведению при больших временах решений прямых и обратных задач для эволюционных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:
на семинарах по дифференциальным уравнениям и математическому анализу в Московском Государственном университете, в Вычислительном Центре РАН, в Математическом институте им. В.А.Стеклова, в Московском инженерно-физическом институте, в университетах городов Милан, Феррара, Пиза, Флоренция, в Международном Центре теоретической физики в г. Триесте;
на мевдународных конференциях: 9 Советско-Чехословацком совещании "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики" (Донецк,1986); Чехословацкой конференции EQUADIPP-7 (Прага,1989); Международной конференции "Некорректные задачи в естественных науках" (Москва,1991); Европейском конгрессе математиков (Париж,1992); Второй школе по композитным материалам и усреднению (Триест, 1993); Второй европейской конференции по параболическим и эллиптическим проблемам (Метц,1994);
на совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического Общества в МТУ (1982,1994);
на Республиканских конференциях "Нелинейные задачи математической физики" (Львов,1985; Донецк,1987,1991; Черновцы,1989; Севастополь, 1993);
- на Школах по теории операторов в банаховых пространствах
(Новосибирск,1985; Новгород,1989; Ульяновск,1990);
- на Воронежской зимней математической школе 1991 г.
и многих других.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация имеет объем 284 страницы и состоит из введения, пяти глав, разбитых на 17
