Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Смешанная краевая задача для линейных эллиптических систем с двумя независимыми переменными
I. Постановка задачи и некоторые общие утверадения 17
2. Основная смешанная краевая задача 27
3. Об одном случае задачи наклонной производной для эллиптических систем на плаз кости 49
4. Основная смешанная краевая задача плоской теории упругости 58
ГЛАВА 2. Основная смешанная краевая задача для линейных эллиптических систем с кусочно-постоянными коэффициентами бб
5. Основная смешанная краевая задача для эллипти ческих систем с кусочно-постоянными коэффи циентами бб
б. Основная смешанная краевая задача плоской теории упругости для кусочно-однородной среды 8
- Основная смешанная краевая задача
- Об одном случае задачи наклонной производной для эллиптических систем на плаз кости
- Основная смешанная краевая задача для эллипти ческих систем с кусочно-постоянными коэффи циентами
- Основная смешанная краевая задача плоской теории упругости для кусочно-однородной среды
Введение к работе
В диссертации изучаются смешанные краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, коэффициенты которых либо постоянны, либо кусочно постоянны.
Сформулируем прежде всего постановку смешанной краевой задачи.
Пусть -О- - конечная односвязная область на плоскости Я , ограниченная достаточно гладкой кривой Г . Положительным направлением на Г назовем направление, при движении вдоль которого область SL остается слева. Пусть Г4 и G. две дуги, на которые Г разбивается (фиксированными) точками , ^ , причем началом дуги Г- является точка ,С= I, 2. Через **(*) будем обозначать единичный вектор внешней, по отношению к Л , нормали к Г ъ точке хеГ% х- (х1зх^
Рассмотрим в J7. систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
где А>о} С - заданные постоянные, вещественные мую матрицы, а л<с (*х.) - искомый АГ7 - мерный вектор ? эс^ (x^}jc^)
Система (0.4) называется эллиптической, если del С ^о и характеристическое уравнение
%(%)=: А+ 2 62 -+ С Р^ } не имеет вещественных корней. Дважды непрерывно дифференцируемый в J2 вектор уОс(эс) удовлетворяющий в SL системе (о. 4) f назовем регулярным ре-
шением системы (0.4) .
Требуется определить регулярное в Л решение системы (о. О удовлетворяющее следующим краевым условиям
(0.1) кол')
Условия, накладываемые на ю- мерный вектор *f(x) и на матрицы р'М , рг(ос) будут уточнены ниже.
Под 4^М , -0/^.(^) в левой части равенств (о.і) (C.Z1) понимаются предельные значения на Г искомого вектора 4*(я) и его частных производных первого порядка. Впервые смешанная краевая задача (для уравнения Лапласа) была поставлена Заремба [iJ . Изучение смешанных краевых задач для эллиптических уравнений занимает важное место в теории уравнений смешанного типа [2J, L$3% 4], L-52 . Для уравнений как второго, так и высшего порядка смешанные краевые задачи подробно изучались многими авторами [6], ІЧЗ , 1%1 , U] (см. также библиографию в [10] ,[41] ) В настоящее время теория таких задач также интенсивно развивается /V^J, L43] ,
Для эллиптических систем смешанные краевые задачи изучены менее полно, особенно если иметь в виду, что зачастую требуется указать эффективный метод для нахождения решения задачи в целом.
С этой точки зрения весьма полезным является метод, основанный на использовании теории функций одного комплексного переменного [33, L41 % [S4J, US] % [U] .
Этим методом исследованы многие краевые задачи для эллип-
- 5 -тической системы (о. "і) , из которых упомянем, например, задачу Пуанкаре [t/] , [і' ?3 .
Среди смешанных краевых задач для эллиптических систем изучена лишь так называемая основная смешанная краевая задача плоской теории упругости [Щ], [15]. Тем не менее, задача (оЛ)> (о.г1) может быть достаточно полно изучена упомянутым выше методом для широкого класса систем вида [о. у,
Оказывается естественным при этом выделить случай, когда условие (О. Я ) принимает вид
^1
А"=А , А2^С , A" + A*= г& г (о.г')
J. . # л ч
и следовательно р (х.) - 21A слыг-*с ? У=<,2 .
Отметим еще, что если />7 zz-Eoomx^ ї ^2^ fcei/iXj t где - единичная матрица порядка /ет, то соответствующая задача приводится к задаче Дирихле и здесь не рассматривается.
Когда же матрицы р , /=і і не имеют указанного выше вида, то, предполагая вектор 4(^) достаточно гладким на /J , получаем, что условие (ол) эквивалентно следующему
*иСГ. ) г 4(То) } где ^/@4 означает производную по длине дуги з , отсчитываемой от некоторой фиксированной точки (например , ) на дуге Pf . Поэтому достаточно изучить следующую краевую задачу
- б -
где заданные ^w матрицы f>K , = I, 2 являются достаточно гладкими на / всюду, за исключением, быть может точек <у } ] = I, 2, в которых они испытывают разрывы первого рода.
Следуя Н.И.Мусхелишвили, задачу (о.2)% (о.ъ) будем называть основной смешанной краевой задачей для эллиптической системы
'(»0 .
Для системы уравнений плоской теории упругости эта задача изучена как в случае односвязной //47,/V57, так и в случае многосвязной LiS]% [19] области Л .
Задачу (о.4), следуя А.В.Бицадзе /3J, будем называть задачей наклонной производной с кусочно-непрерывными коэффициентами для системы
Первая глава диссертации посвящена изучению задачи (о.г) (О.Ъ) и задачи (О.У) для системы (0/1) методом, основанным на использовании теории функций одного комплексного переменного [3].
Не менее часто возникает необходимость изучения вышеприведенных задач для системы (0.1) , коэффициенты которой претерпевают
разрыв 1-го рода вдоль некоторой кривой Г0 , лежащей в области Л, ; при этом вдоль кривой Г0 задаются дополнительные, так называемые контактные условия.
Когда краевые условия не являются смешанными, такие задачи как для одного эллиптического уравнения, так и для эллиптических систем изучались многими авторами ':* , 121] , /^-2J, [23].
Во второй главе диссертации изучена основная смешанная краевая задача для системы (о.4) , коэффициенты которой предполагаются кусочно-постоянными; она названа основной смешанной краевой (контактной) задачей.
Пусть на плоскости R* заданы достаточно гладкие, замкнутые кривые Гх , Z = о, I, 2, причем кривая Га расположена
внутри конечной области, ограниченной кривой П , а кривая /J внутри конечной области, ограниченной кривой Г0 . Через Slx обозначим конечную двусвязную область с границей П, ОГ^ ) ^ = ^ г
На каждой из кривых П. , *г = О, I, 2 положительное направление выберем так же, как и выше, при рассмотрении задачи (o.z) , (аз) и обозначим через ^г соответствующие нормали. Точки Сх разбивают
кривые Cj на дуги (jz , 7, = I, 2 причем началом дуги //г , относительно выбранного на /у положительного направления, является точка г *
Основная смешанная краевая (контактная) задача формулируется следующим образом:
определить совокупность ^ (*-) ,= I, 2 регулярных решений системы
удовлетворяющих следующим краевым
WYx) - 4^№) 5 ?с ^П-f
*- К. > ' )
и контактным
A, it (хл won,*/ ^ У A 4t с<ъп0х -*/0:1(х)/;
J,K~-f J}K=f
условиям.
і К.
Здесь Аъ » j}K- = I» 2 - заданные, постоянные в^1г, вещественные wk/w матрицы, связанные с А^., 3^3 С^ согласно (о.з ) , а ^ Ф- искомые вещественные /ет - мерные векторы tz=/J. Во второй главе приводится также решение основной смешанной краевой (контактной) задачи для неоднородной системы уравнений плоской теории упругости. Эта задача возникает при исследовании механических характеристик сверхпроводящих магнитных систем термоядерных установок типа ТОКАМАК
Отметим еще, что в близкой постановке такая задача изучена другим методом в работе /^ Контактные задачи теории упругости изучались также многими авторами [-23] (см. библиографию в p4]9l2-4J),
Перейдем к формулировке основных результатов, полученных в диссертации.
Введем классы функций в которых разыскивается решение сформулированных выше задач.
Пусть У&) - функция точки г = x^ix^ ЛИнии Ґ1 (замкнутой области il), удовлетворяющая условию НМ9 т.е. такая, что для любых двух точек 2*, 2^ на Г {т.Л ) имеем
где ^, f/ - положительные постоянные, причем о<у У . Если функция yfe) удовлетворяет на Г (наЛ ) условию М(У) » то будем говорить, что функция у(ї) принадлежит классу НС}1) на Г (на SL ), или, если не требуется указания р у у Н .
Определение I. Будем говорить что функция у 2) принадлежит классу Но на Г (у(гМ0)9 если она удовлетворяет условию Н на (закрытых) дугах Гу ^ jw, 2. , а в точках %4? z имеет разрыв первого рода.
- 9 -Если функция /- &/V*) = Ч>*(*) еНс } o*f < J , то будем говорить, что f (г) 6 Нр на f , или, если не требуется указания ,ipeH.* . (Заметим еще, что увеличив на произвольно малое >
Скажем, что fft)6 Н^ на Г > ч. >/ У , если «pfc) *--раз дифференцируема на /^ и б/^/^г ^* , где под производной с//^/ , ^^(Xi-t-cx* } (^<-i^Jc2_)ef1f будем понимать V'с/Лб; в качестве параметра <ь взята длина дуги кривой Г , отсчитываемая в положительном направлении от некоторой фиксированной точки на Г
Определение 2. Функцию гг(а) заданную в Л \ { У :]
назовем функцией класса №р f~Cl) t если функция /г-^-/"t/Y*),
o*f>
Очевидно, на границе Г области Л функция тгс^) принадлежит
классу Мр
Будем говорить, ЧТО тГ(х) & Нл (-&-) , X 7? / ес„
-- -— -?
ли тГ(х) раз дифференцируема и все ее частные производные порядка ъ принадлежат классу Нр (л\ Когда не требуется указания f , то употребляем вместо ^г№) обозначение ^4
Согласно общему представлению регулярных решений системы [0.1) полученному АЗ.Бицадзе Г13 имеем
j^i Сті к~о J<-
х" (а*>*0 е -Г2 , о б _rz
^
- 10 -Tj'l(zj) - произвольные голоморфные функции аргумента z,-= ^/^ удовлетворяющие условию %<.()- і верхний индекс к функции 4j-e указывает порядок производной по г- . Здесь и всюду ниже предполагается, что каждый из ^ - мерных векторов Сек) есть некоторое фиксированное, нетривиальное решение вполне определенной системы линейных алгебраических уравнений L*].
ПуСТЬ *1 фиксированное Целое ЧИСЛО, Причем I. * C"*xKj)- /t
если K-i^z для всех J- <,..-j г и ^ > / в противном случае. Теорема I. Формула (0.2) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между регулярными в J2. решениями системы (О. 4) класса fy (Л)п набором [ Р) голоморфных функций ^() аргумента ^-= эс^^х^ ^ Зу^^>о , УиЮ)=о эН^-Л,^1,.-.,^,
lit- K;-t , _. ч
классов Щ ( -П-) } причем некоторые комбинации функций
этого набора являются более гладкими, чем входящие в них слагаемые.
Пусть dl - элемент длины достаточно гладкой дуги L , целиком лежащей в -Л и соединяющей некоторую фиксированную г0 и переменную г точки области J2 , *-()- нормаль, направленная вправо, если за положительное направление на L выбрано направление от г0 к 2 .
Теорема 2. Пусть
L.,J-1
тогда справедлива следующая формула
(О. /)
// , KJ С-і
- II -
интегрирование ведется вдоль L , Є - произвольный постоянный вещественный вектор размерности тп ^ векторы ґ и) ґ и) ґ и) - . .
ъ муио матрица Х-, (Ъ)~ АН+ ?-A*2-i- Я А1 + ЯЯ А .
Дальнейшие результаты получены в предположении, что
где Z/О есть целая часть А" , а система ^.^)слабо связана по А.В.Бицадзе М . Для определенности будем считать, что линейно независима система векторов / - Q# J
Б этих предположениях в формуле (О. 8) следует считать 44(0)-0 > а выражения для AjV ? j~ /,іг принимают, соответственно, вид
r и) ^ (і) л і/) , _ cJ)
где <Г, = Ciff ,j=
Приведем дальнейшие результаты относительно задачи (0.2), (аз) решение которой будем разыскивать в классе функций CfM.}f)H*CxL)
В силу теорем I, 2 получаем, что задача (ол) , (о.З) для системы (OJ) при вышеуказанных предположениях эквивалентна еле- I дующей краевой задаче теории функций одного комплексного переменного.
Определить совокупность голоморфных функций ^ (zj) аргументов 2j= ac-f-* ^j^a , х^ Яі > , j= ^---^ ^-^ C^xJfJl принадлежащих классам
и удовлетворяющих краевым условиям
где в левой части (a'6) , (oJ?) под (Ajf)U) понимаются предельные значения выражений (о./5), (о.-/*/) на П .
Используя для функций i/jc (Щ/) известное представление И.Н.Векуа f/5j , [32J , /3 3J полученную краевую задачу теории функций редуцируем (эквивалентным образом) к отысканию решений wft) системы интегральных уравнений
- ІЗ -
+ іJ №$&*(<-V-t^M* +Жс/^Г(иІЇГ^М + Є, (0Д8)
класса f-/*(r), удовлетворяющих условию
где компонентами in- мерного вещественного вектора
pit)-(fa, fa, ^,^,..,^0^^^0-^-/^)
являются функции y^te), участвующие в представлении И.Н.Векуа функций Mete;), а м- мерный векторе и аиу^г матриць] я ГО /#} 7 #;(Ы), і=<ґ,я, з, введены в 2 гл.І.
Отметим здесь, что коэффициенты системы (0.18) испытывают разрывы 1-го рода по "і в точках
В случае, когда ранги матриц *#/, /#/постоянны на Г , а коэффициенты системы (0.18) являются достаточно гладкими, такие системы изучены в работах[з^] ,[35] ,[*ь]. Введем как и в 2 гл.1 матрицы
Пусть выполнено условие a) clei^^O коэффициенты полинома окІ(Т-іЄ) э где Т~ f ' j вещественные, а его корни Ч- ,j-i-,^f, не лежат на вещественной полуоси (о, +е).
Пусть ?7гр } о<$<1 } минимальный из углов, составляемых с положительным направлением вещественной оси лучами, исходящими из начала координат на которых лежат корни полинома
с/еі(Г-]Є) . a ft = /-/ .
Теорема 4. Пусть, кроме условия а) выполнено следующее условие-^). Г - кривая класса С , а вектор ^еН0С^)ПНо(г)л Тогда I). Однородная система /V/f= О (союзная однородная система
/Vy~o ) имеет в классе функций Н&(г), где fa-l-? (в союзном классе(%) ) конечное число'(") линейно независимых решений.
2). Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения /Vp- {+д в классе И/* заключаются в том, чтобы
1Ш) + 9)$ШсН ^О , р --/,...,<", (0.20)
где {vlo] f>~ -/?... jf/ - полная система линейно независимых решений союзного класса союзной однородной системы /Vl>=o.
3). С* ~Cf ~ эп^ ? эс^ - индекс решений класса Н^(г) системы уравнений /V/r= + G , причем
*^ = Лг 1*1 MlS-'SV-L S*J- + " Ц]г , (0.21)
где S-S ,4*=Гъ? предельные значения на Г функции <Аг)- г^' } однозначной в области Л с разрезом вдоль простой дуги, соединяющей точки о и "*. , связаны в точке Г*, соотношением
d(tx-o) ^ijJfo-w), *-<*, j*/,...,"* , а ІШ)]
означает приращение функции 4#іпри обходе контура Г один раз в положительном направлении g. - ^Р 27rtfj > o
4). Если вектор/ +3 удовлетворяет условиям разрешимости (#20) то-'-' справедливо включение
В качестве следствия теоремы 4 доказана следующая Теорема 5. Пусть выполнены условия tf), ^) предыдущей теоремы, а вектор / удовлетворяет условиям (0.20) тогда задача (0.1), (0.2), (0.3) нетерова в классе функций сЧ-ё) П ц(jl) причем ее индекс эе = э^+иТ, где есть ранг матрицы М
*1.
В 3 главы I изучена задача наклонной производной с коэффициентами, имеющими разрывы 1-го рода в точках . , j = I, 2 для системы (о-4)»
При исследовании этой задачи получены результаты, в некотором смысле близкие к только что сформулированным результатам относительно задачи lo.i) , Ю.і)% (о. ъ) .
Нетеровость задачи (oj) , (о.У) доказана в классе функций
с2(-п.) пн (л) .
В качестве примера в 4 гл. I рассмотрена известная Lf4]f и$J основная смешанная краевая задача плоской теории упругости для односвязной области.
Во второй главе изучена задача (0.5) , (отб)% (ОЛ)щ Схема ее исследования близка к схеме исследования задачи (о.1)у (о.Ъ) (см. гл.1). Полученные результаты близки к результатам полученным при исследовании задачи (ол)у (о.З) , Приведем поэтому лишь результаты б, относящиеся к исследованию однородной основной смешанной краевой (контактной) задачи для неоднородной системы уравнений плоской теории упругости [ЗЯ]9[3 3]^
Теорема 9 утверждает, что эта задача не может иметь более одного решения из класса функций С (-&) Г) Н» С л.-) j=s,2
Далее, теорема 10 утверждает, что соответствующая этой задаче система интегральных уравнений однозначно разрешима в классе функций fa ^Гго) , ^ Муг (Гг) ^ ^ - х, 2, причем выполнены аналогичные (о.23>) включения.
Следствием этой теоремы является утверждение об однозначной разрешимости исходной задачи в классе функций С (-О-ъ)ПНу (М^) при любой правой части F (*} И С-П^) г.- J02.
Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту АН СССР А.В.Бицадзе за помощь, оказанную при выполнении данной работы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] , [39].
Основная смешанная краевая задача
Для системы уравнений эллиптического типа рассмотрим основную смешанную краевую задачу
Предполагаем при этом, что комплекснозначная функция -6(-1)-х/э) + С ХьС ъ) являющаяся параметрическим представлением границы Г1 области S1 , где 3 - длина дуги, отсчитываемая от неко-торой фиксированной точки на Г принадлежит классу С , а в жор-дановой нормальной форме матрицы (Х- U-S) имеется о( жордановых клеток размером Zx Z , а остальные клетки числом м - 2 суть скаляры ( о : L [""A ] , [ Л] - целая часть м/2. ). Кроме того предполагаем, что система (2.4) слабо связана.
Определение 3 [2J . Система (2J) называется слабо связанной, если совокупность іУі- мерных векторов линейно-независима.
Как известно [Z] в этом случае множество / -мерных векторов [Ссо і можно разбить на два подмножества [fyf и // такие, что системы [ЇЩ}9 { ІЇЛ являются линейно независимыми. Без ограни чения общности можно считать, что линейно независима система век торов . Тогда постоянный -мерный вектор в формуле общего представления (4.9) следует считать равным нулю, а функ ции ]//- (2j) считать подчиненными условию о е _а .
Задачу (2.1) , (2.3) в этих предположениях будем рассматривать в классе функций С (-&)ПНр(Л.) где значение (3 будет установлено ниже.
Лемма I. Задачи (2J) , (2.1) , (2.3) и задача определения совокупности jf; голоморфных функций Ifj c (Zj) классов удовлетворяющих следующим краевым условиям A,f = 4U) , і еЪ , (2.6) где в левых частях (2.6) , {2Л) стоят предельные значения выражений Hj Р (см. (/-/я) , U-М) ) на/ эквивалентны.
Доказательство. Согласно теореме I (-) - Лі ff + /. .2ZT , у () а согласно теореме 2 /) =. = „2у (UW ))di +9, где 1 АГ/ ) . Переходя к пределу при г —? - 6 /J в выражении для А1р и при 2 - -і Гт. в выражении для /І2У, в котором «0= f. [_ С Гг получаем, учитывая (2.2),(2.3) утверждение леммы.
Для решения полученной краевой задачи теории функций воспользуемся интегральным представлением И.Н.Векуа голоморфных в одно связной области -ІІ функций ftfe) класса Н$(Щ% х О . Лемма 2. Zy«5jf Пусть голоморфная функция (z) 6 Н 1 (JT) тогда существует единственная вещественная функция Ю &//. (г) и единственная вещественная постоянная К. такие, что при 2 6Л имеют место формулы
Доказательство леммы приведено в//57,/^J для голоморфных функций ^г) 6 Н (-12-)) ХъО , для голоморфных функций классов Н-а (-а-) } Xi^o утверждение леммы приведено в [33].
Постоянная И в правой части приведенных выше формул равна нулю, если Т н*. fl)=- О , что в дальнейшем всегда выполняется. Согласно лемме 2 для функций ^ имеем Ниже интегрирование ведется по параметру 4 , поэтому будем всегда писать Г7 вместо fj . Целью дальнейших рассмотрений является получение системы интегральных уравнений для функций ffj'c , к которой редуцируется задача (2.5") , [2.6), (-?. т2) . Соответствующее утверждение будет сформулировано после того, как упомянутая система интегральных уравнений будет получена.
Об одном случае задачи наклонной производной для эллиптических систем на плаз кости
Пусть вновь -GL с fi - конечная односвязная область, "граница которой f7 является кривой класса С . В области -О. рассмотрим эллиптическую систему с постоянными коэффициентами АМхэг + Z3 tC x + C L .x O , , е J2 СМ) где Д , 8 , - заданные вещественные постоянные матрицы порядка /п. х ы , а УС(Х) - (M-jM?--- мм(х.)) - искомый вещественный м - мерный вектор»
Как и в 2 ограничимся изучением систем вида (&S) для которых жорданова нормальная форма матрицы 01 ( 1.5 ) имеет клеток размером ZxZ , а остальные клетки - суть скаляры; кроме того считаем, что система (SJ) слабо связана.
Пусть точки , , разбивают Г на две дуги , /I, причем началом при обходе -J2 в положительном направлении служит точка Сс с V, Z . Положительным направлением на Г считаем, то при движении вдоль которого область SI остается слева.
Зададим на Г две вещественные матрицы /?у , f z порядка ЮУ из класса Но (г) и vn- мерный вещественный вектор / 6 Но (г) /) Н0" (Г)
Ниже будет изучена следующая краевая задача: определить регулярное в области-0. решение системы (Ъ. ) класса С (-&-) ПЩ (Л) удовлетворяющее краевому условию всюду на Г за исключением, быть может, точек , Г .
В левой части (3,2) под , , - - понимаются предельные значения на частных производных первого порядка искомого вектора 4/ (ъ)
Смешанная краевая задача для системы 63./), когда на Л задано условие 4с/г , а на /I - условие (з. 2) , где сводится к задаче (3-3.) в предположении, что 4М ,xe-Cf достаточно гладкая функция.
Сформулированная выше задача (З- ), (ЗЛ) будет изучаться по схеме, аналогичной изучению основной смешанной краевой задачи, поэтому изложение будет более кратким.
Дифференцируя выражение (3.3) по , с -- 2 7 и переходя К j пределу при (Хі гІ-ьСїі еГ получаем, что задача 3.-/) , 0«г) редуцируется (эквивалентным образом) к следующей краевой задаче теории функций одного комплексного переменного: определить голоморфные функции he (SJ) аргумента -zj ., - х + я,- г принадлежащие классам (3.4) и удовлетворяющие всюду на /-7 , за исключением, быть монет точек , 7 краевому условиюТаким образом справедливо следующее утверждение.
Теорема 3 . Краевая задача теории функций (ъ.4) , Гз.б-) , (з.б) редуцируется (эквивалентным образом) к отысканию решений класса Н Сг) системы интегральных уравнений (5JO) f удовлетворяющих условию)
Используя соотношения (2.43) 2, систему (Ъ.4о) записываем в операторном виде где матрицы имеют такую же структуру, как и аналогичные матрицы в 2, причем
Явный вид ядра интегрального оператора типа Фредгольма ft не понадобится далее. Оно является регулярным в смысле,указанном в 2.
Очевидно ранги матриц S0 , Ъа не превышают . Обозначим через $, матрицу порядка /«-хс , столбцами которой являются/w- мерные вектор,а через г- матрицу порядка /и x(fK- }} Будем разыскивать решение системы (4.22) в наиболее узком классе. Он совпадает, в сипу с классом функций Но (г) . Индекс решений этого класса системы уравнений ( fy.zz ) равен -2 , так как непосредственный подсчет по формуле (2.35 )с учетом явного вида матриц о, 4 дает
Но тогда из условий нормальной разрешимости системы уравне ний Мр- 1-+6 и теоремы единственности следует, что произ вольный двумерный вектор Є вполне однозначно определяется и при этом значении вектора Э система (4.2Z) однозначно разрешима. Если u)(-f) - решение системы уравнений ( 4.22 ) класса На Сг) то согласно Г20] ь ( 1 G НС г) п Hy (r) у так как {(+) є Но С г) О Но (г).
Отсюда и из вида взаимно-однозначных замен (4.20), (4.21) следует, что для компонент вектора уЩ выполнены включения (4.18) (см.также 2). Теорема доказана.
Следствие. Задача (4.7), (4.8) однозначно разрешима в классе функций С гС -) О Н (-ft). Доказательство следует из эквивалентности задачи (4.7), (4.8) и системы интегральных уравнений (4.19) и из только что доказанной теоремы.
Пусть на евклидовой плоскости rv заданы замкнутые кривые Гв7Я,и такие, что П, находится внутри конечной области, ограниченной кривой ГІ , а Пь - внутри конечной области, ограниченной кривой Г0 . Через - будем обозначать дву связную область с границей П, иГ , % = yf7z . Ниже всюду предполагается, что кривые / ъ = 0,/,;L принадлежат классу С3, Рассмотрим в . линейную эллиптическую систему где (ъ е-п аналогично для В , С ; - заданные вещественные постоянные /лх матрицы, а
Ограничимся, как и в главе I изучением систем і для которых жорданова нормальная форма матрицы OL. имеет в каждой из областей J2Y вид Точками 4 С = z- разобьем кривые на дуги /Jt причем началом дуги // при обходе /у против часовой стрелки служит точка
Обозначим через единичный вектор внешней, по отношению к конечной области, ограниченной С нормали
В этом параграфе рассматривается следующая задача: требовании, что -uJ(x є CZCJ2J) представляют собой решения системы (5. -1) в J7.J -, j- /, г 7 удовлетворяющие краевым и контактным условиям, понимаются предельные значения изнутри области sij вектора su,J(x) и его частных производных первого порядка на соответствующие контуры. Предполагается, что условия (5.2) , (5.ъ) выполнены всюду на Го УР )/ да исключением, быть может точек ъ = /,л. Задачу будем изучать в классах век-тор-функции cfrj - l-vz&c) таких, что М є CzCrzj)n Н (- їу) .
Для каждой из областей общее представление регулярных решений системы C$.4) имеет тот же вид (1.40) что и для односвязной области, однако функции вообще говоря не являются голоморфными; они имеют вид
столбцами которой являются векторы И ПОЛОЖИМ
Пусть выполнено следующее условие &). Матрица невырождена на f i , коэффициенты полинома МСГ - i F ) , где , вещественные, а его корни не лежат на вещественной полуоси (о(+ ?о).
Теорема 4. Пусть, кроме условия а.) выполнено следующее условие - ). Кривая/принадлежит классу , a/w- мерный вектор
Тогда I). Однородная система /Vf -0 (союзная однородная система/Vv=0) имеет конечное число ( ) линейно независишх решений в классе функций//,? (в союзном классе (Н) ) -2)Необходимоа и достаточное условие однозначной разрешимости в классе Hfi уравнения N\ 4 заключается в том, чтобы (3.13) где і Vto)- полная система линейно независимых решений союзного класса (##) союзной однородной системы /V V = О.
Основная смешанная краевая задача для эллипти ческих систем с кусочно-постоянными коэффи циентами
Доказательство. Заметим, что исходная краевая задача (S.i) (S.Z )7 (S.3 ) сведена (эквивалентным образом) к системе операторных уравнений (5.13), отличие которой от операторного уравнения (Z1f)i эквивалентного задаче (2,2),(231) состоит лишь в том, что коэффициенты уравнений системы (5.13) имеют разрывы 1-го рода по -Ь в точках tx , =- , и непрерывны при -ЬЫо . Поэтому для доказательства теоремы достаточно указать взаимно-однозначные замены, приводящие систему (5.13) к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными по -L коэффициентами, удовлетворяющей условиям нормальной разрешимости, и воспользоваться, как и в 2, известной теорией разрешимости таких системзз].
Из вида матриц Sk и ( -i)n следует,что их ранги на контурах Гп, ,п-аЛ1} ПОСТОЯННЫ И раВНЫ 2 к ,ск t и г( ь- )} т- , - , соответственно, вследствие условия а) теоремы. Поэтому применим к системе уравнений (5.22) тот же прием,что и в 2, а именно, совершим в (5.22) последовательно взаимооднозначные замены Ни,- Ft A Vn. , VH, - А (т А ьйи (5.27) п. где матрицы А , , , определим следующим образом: А (A MI j A(ij) 7 причем в качестве матриц А а) } А а; , взяты матрицы А1п , Аш (JJ? ) при. -ЬеГ , и матрицы A(i} , Аш о о при -bt-Пі. . При -Ь (= г о в качестве Ат;А(г) возьмем блочные матрицы ( J? ьА) , (о А соответственно. Диагональ ные операторы Г , ,6- , в (5.27) при -Ь & rh f п= с, /, zf выражаются через операторы Д , fai ,введенные в 2 гл.1:
В результате замен (5.27) система уравнений (5.13) преобразуется в эквивалентную ей систему сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами
В силу предположения а) теоремы получаем, что матрицы Sh ) h ,1=0,1,1 невырождены на/!,, л /,2 , причем матрицы, имеющие разрывы 1-го рода в точках \ у 4 , , невырождены на соответствующих (закрытых) дугах /J,. Дальнейшее исследование полученной системы уравнений (5.29), в силу вышесказанного, проводится аналогично 2, а именно, каждой из точек С? поставим в соответствие конечномерный оператор ТІ (построенный, как и в 2) и найдем корни характеристических полиномов c/etCT -ч). Вследствие условия а) определяющие класс функций, в котором разыскивается решение системы интегральных уравнений, определены корректно. Дальнейший ход доказательства аналогичен доказательству теоремы 4 и потому опущен. (Теорема доказана).
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы, причем векторы ініїї+вь + сі }п=о,і,х1 удовлетворяют условиям разрешимости (5.25). Тогда задача (5.1), (5.2), (5.3) нетерова в классе функций причем индекс дс решений этого класса может быть вычислен по формуле где матрица определена ниже.
Доказательство следствия вполне аналогично доказательству теоремы 5,поэтому остановимся лишь на пояснении формулы для индекса.
Пусть есть /и- мерный вектор, компонентами которого являются левые части (5.32),а М — матрица,определенная согласно правой части (5.32) с учетом обозначений (5.31). Тогда условия разрешимости (5.25) системы (5.29) записываются в виде
Если ранг матрицы У\ равен ( & w l ", / т) ), то очевидно, мояно удовлетворить % условиями из \ и остается еще С - , в соответствии с чем a= v r. Следствие доказано. Отметим еще,что если г = ?, а & \ то из предыдущего утверждения следует,что исходная задача безусловно разрешима при соответствующем подборе % произвольных постоянных, являющихся компонентами вектора .
Основная смешанная краевая задача плоской теории упругости для кусочно-однородной среды
Это является непосредственным следствием условий (5.5), условия (5.6) слабой связанности системы (5.1), а также равенств, получающихся интегрированием системы (5.1) в каждой из областей -Лт. ) " - 4,1 . Учитывая это замечание, можно получить конкретный вид матриц hjlt) , имеющих размеры bxw , /«xwy «ХЛ для j-o,i,г. соответственно; в дальнейшем он не потребуется.
В уравнении (5.13) содержится поэтому еще Ьм произвольных вещественных постоянных, являющихся компонентами векторов &j j=ib z , м вектора с/ .
Таким образом, сформулированная выше краевая задача теории функций (5.9) эквивалентна задаче отыскания решений системы (5.13) класса М НСГ0 )} fa G н (г ,) у x /,z} причем в обозначениях (5.15) (5.21)
Из вида матриц ctj , ij следует, что их ранги на rej Гч,і , 7=уд равны соответственно -? , 0 а при і.єґ\,я. ," = 42., их ранги не превышают о( . Кроме того, в точках коэффициенты системы (5.13) испытывают разрывы пер - 75 -вого рода по Ь . Поэтому к системе (5.13) известная теория не применима.
Для исследования системы (5.13) приведем ее прежде всего к операторному виду (5.22) где матрицы Sj , V и векторы у?у 6 определены выше, матрицы определяются через матрицы AfUtf : а интегральные операторы типа Фредгопьма определяются анало-гично соответствующим операторам в уравнении (2.23) 2 гл.1.
Отметим, что ядра интегральных операторов типа Фредгольма ft] , определенные на /J - имеют разрывы 1-го рода в точках є /у ; Ул= 2. и являются регулярными в смысле, ука занном в 2. Обозначим через S 5 S следующие столбцы которых определены согласно формулам (5.10). Потребуем выполнения следующего условия
а). Пусть dUilo , fiftSli и (при выполнении этого требования) пусть корни полиномов с вещественными коэффициентами (где Тх выра-жаются через 5 аналогично 2) не лежат на вещественной полуоси
Теорема 8. Пусть, кроме условия а) выполнено следующее условие {) контуры Fj t y= i; принадлежат классу
Тогда Однородная система (5.22)(союзная к ней однородная система /V y -o) имеет в классе (в союзном классе) конечное число решений
2) Для разрешимости неоднородной системы (5.22) в указан ном выше классе необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ус ловия где полная система линейно независимых решений союз-ной однородной системы в союзном классе
3) Индекс системы (5.22), рассматриваемой в указанном вы ше классе функций вычисляется по формуле м где матрицы S -, , ї = /,-г, определены выше, функции ate) 2f j однозначны в конечной области, ограниченной кривой Ггис разрезом вдоль простой дуги, соединяющей точки о и XZ) комплексные числа j j , где о RJI$XIJ 11 и вещественные числа fT , Д определяются через корни полинома с/ 7. -?/f J
Если векторы fjf(r) + lijtf + &j у-Ь гу )j-o,i/i/ удовлетворяют условиям разрешимости (5.25), то для решений (f ,K M системы (5.13) справедливы включения (5.21).
Доказательство. Заметим, что исходная краевая задача (S.i) (S.Z )7 (S.3 ) сведена (эквивалентным образом) к системе операторных уравнений (5.13), отличие которой от операторного уравнения (Z1f)i эквивалентного задаче (2,2),(231) состоит лишь в том, что коэффициенты уравнений системы (5.13) имеют разрывы 1-го рода по -Ь в точках tx , =- , и непрерывны. Поэтому для доказательства теоремы достаточно указать взаимно-однозначные замены, приводящие систему (5.13) к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными по -L коэффициентами, удовлетворяющей условиям нормальной разрешимости, и воспользоваться, как и в 2, известной теорией разрешимости таких систем
Похожие диссертации на Смешанные (контактные) краевые задачи для эллиптических систем
