Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Структура решений системы дифференциальных уравнений с отклонением ...17
1.1. Постановка задачи 17
1.2. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра 19
1.3. Исследование структуры решений 27
Глава II. Двухточечная краевая периодическая задача системы дифференциальных уравнений с отклонением 47
2.1. Решение двухточечной краевой периодической задачи методом разбиения пространства на прямую сумму подпространств 47
2.2. Существование ненулевых решений операторного уравнения (2.16) 65
Глава III. Решение двухточечной краевой периодической задачи методом линейного преобразования 90
3.1. Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной краевой периодической задачи зависит от линейной части 90
3.2. Модель динамики валового внутреннего продукта 100
3.3. Моделирование в химических процессах 107
Заключение 113
Список литературы
- Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра
- Существование ненулевых решений операторного уравнения (2.16)
- Модель динамики валового внутреннего продукта
Введение к работе
В данной работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящая от параметра. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.
Впервые дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине XVIII в. (Кондорсе, 1771г.), но систематическое изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX в., особенно в конце 40-х годов, в связи с потребностями ряда прикладных наук. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе.
Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают многие процессы с последействием, такие уравнения появляются, например, всякий раз, когда в рассматриваемой физической или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в некоторый момент, предшествующий данному.
Системы с последействием и запаздывающими связями, динамические процессы в которых описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, встречаются даже в таких науках, как биология, медицина (про цессы размножения, распространения эпидемий и др.), экономическая статистика [78, 80-82, 84, 89].
При исследовании динамических систем с последействием и запаздывающими связями часто приходится встречаться с различными колебательными процессами [7, 9, 12]. Колебательные процессы в системах с запаздыванием, так же как и в обыкновенных динамических системах, могут быть в одних случаях полезными, необходимыми, в других же случаях -вредными, нежелательными. И в тех и в других случаях необходимо уметь устанавливать наличие или отсутствие колебаний, а если они есть — исследовать их характер и интенсивность. Поэтому исследованию колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках.
Естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом являются уравнения с вольтерровыми операторами или уравнения с последействием. Уравнения с последействием оказываются иногда очень близкими по своим свойствам к уравнениям дифференциальным. Это обстоятельство вызвало специальное направление в изучении уравнений с запаздывающим аргументом, посвященное поискам аналогий с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Процессы, происходящие в динамических системах с запаздыванием, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, которые, как правило, являются нелинейными. Проблема исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Общего подхода к решению этой проблемы не существует. Концепция дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом мало изменилась со времен Эйлера, и укоренившиеся здесь традиции стали мешать исследованиям. Попытки приспособить, например, классические приемы теории устойчивости для изучения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не всегда достигали цели. На основании сказанного видно, что разработка теории систем нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в частности теории колебаний нелинейных систем с отклонением, имеет большое теоретическое и практическое значение.
Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра
Актуальность темы. В данной работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящая от параметра. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.
Впервые дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине XVIII в. (Кондорсе, 1771г.), но систематическое изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX в., особенно в конце 40-х годов, в связи с потребностями ряда прикладных наук. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе.
Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают многие процессы с последействием, такие уравнения появляются, например, всякий раз, когда в рассматриваемой физической или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в некоторый момент, предшествующий данному.
Системы с последействием и запаздывающими связями, динамические процессы в которых описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, встречаются даже в таких науках, как биология, медицина (про цессы размножения, распространения эпидемий и др.), экономическая статистика [78, 80-82, 84, 89].
При исследовании динамических систем с последействием и запаздывающими связями часто приходится встречаться с различными колебательными процессами [7, 9, 12]. Колебательные процессы в системах с запаздыванием, так же как и в обыкновенных динамических системах, могут быть в одних случаях полезными, необходимыми, в других же случаях -вредными, нежелательными. И в тех и в других случаях необходимо уметь устанавливать наличие или отсутствие колебаний, а если они есть — исследовать их характер и интенсивность. Поэтому исследованию колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках.
Естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом являются уравнения с вольтерровыми операторами или уравнения с последействием. Уравнения с последействием оказываются иногда очень близкими по своим свойствам к уравнениям дифференциальным. Это обстоятельство вызвало специальное направление в изучении уравнений с запаздывающим аргументом, посвященное поискам аналогий с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Процессы, происходящие в динамических системах с запаздыванием, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, которые, как правило, являются нелинейными. Проблема исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Общего подхода к решению этой проблемы не существует. Концепция дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом мало изменилась со времен Эйлера, и укоренившиеся здесь традиции стали мешать исследованиям. Попытки приспособить, например, классические приемы теории устойчивости для изучения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не всегда достигали цели. На основании сказанного видно, что разработка теории систем нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в частности теории колебаний нелинейных систем с отклонением, имеет большое теоретическое и практическое значение.
Существование ненулевых решений операторного уравнения (2.16)
Проблема существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. С этой целью, конечномерное векторное пространство разбивается на прямую сумму трех подпространств с помощью собственных элементов вспомогательного линейного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов. Исследование операторного уравне ния проводится с помощью разложения форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.
Фундаментальные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом были впервые сформулированы А.Д. Мышкисом в работе "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом"" (1949-1950). Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Н.В. Аз-белев [1-6], Л.Ю. Эльсгольц [74-76], В.П. Рубаник [48], Ю.А. Митрополь-ский [40] и многие другие.
Основными методами исследования большинства работ по изучению систем с отклоняющимся аргументом [1, 11, 19-20, 31, 51-52, 54-57, 59, 61-69] являются методы малого параметра и усреднения, асимптотические методы, методы функций Грина.
В указанных выше работах при помощи асимптотического метода и« метода усреднения Ю.А. Митропольского [40] построены асимптотические решения для автономных и неавтономных дифференциальных урав-. нений с запаздыванием, рассмотрены резонансные и нерезонансные случаи для неавтономных систем, предложен метод исследования одночастотных колебаний в нелинейных системах с запаздыванием со многими степенями свободы, а также метод усреднения, позволяющий исследовать периодические решения таких систем. Книга Л.Ю. Эльсгольца и С. Б. Норкина [76] охватывает все разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Особое внимание уделено теории периодических решений линейных и квазилинейных уравнений, а также изложению приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В работе Н.В. Азбелева, В.П. Максимова [3] рассмотрено функционально-дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом Mt) = f(t,x{h{t)\x(g(t)) ,te[a,b], (0.2) () = ф(?) х(д) = у/{д), если д а. Для уравнения (0.2) и некоторых его обобщений с помощью интегральных неравенств Вольтерра построены априорные оценки решений. На основе этих оценок сформулированы признаки разрешимости задачи Коши и задачи с краевыми условиями вида ь х(а) J D(s,3:(a),x(s))cfc = /3. а В книге Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной [5] рассматриваются различные типы уравнений с последействием, излагается теория устойчивости систем с последействием. Особое внимание уделено проблеме разрешимости краевых задач и применению конструктивных методов для их исследования.
Проблема устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом изучается в работе В.В. Малыгиной [37]. Доказана теорема об эквивалентности равномерной асимптотической устойчивости и экспоненциальной оценки функции Коши. На основе этой теоремы получены признаки устойчивости решений уравнений с переменным коэффициентом и запаздыванием. В частности рассмотрено уравнение x(t) + t,ak(Ox(t-rk(t)) = 0,t T, (-) = 0, если д т, где ак, гк- непрерывные ограниченные функции. Работа Н.В. Азбелева, П.М. Симонова [6] посвящена изучению устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом. Рассматривается скалярное уравнение с запаздывающим аргументом x(t)-p(t)x(h(t)) = r(t),t 0, х(д) = р(д),есті h(g) 0, и возможность его представления в виде уравнения Lx = f, (0.3) где оператор L - линейный и вольтерров. Для уравнения (0.3) получены признаки -устойчивости, т.е. однозначной разрешимости задачи Коши Lx = f, х(0) = ау в пространстве D. Для установления факта D -устойчивости использована, в частности, схема Ж-метода [5].
Модель динамики валового внутреннего продукта
Среди прочих методов в теории функционально-дифференциальных уравнений особое место занимает конструктивный метод [35, 50]. Для определенного класса дифференциальных систем и уравнений конструктивный метод позволяет установить корректную разрешимость так называемой главной краевой задачи, а также позволяет построить приближенные решения таких задач с гарантированными границами погрешности. Основные идеи конструктивного метода исследования содержатся в работах зарубежных авторов [85-88]. Работы [85-86] посвящены построению конструктивных методов исследования обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. В [87] рассматриваются интервальные методы анализа операторных уравнений. В работе [88] предлагаются конструктивные методы исследования разрешимости нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим модель колебательных реакций в гликолизе. Колебания в гликолитической системе наблюдались многочисленными исследователями. Наиболее ранней (1957 г.) является работа Дайсенса и Амеца. Было обнаружено, что при добавлении глюкозы (GLU) в гликолитической системе возникают колебания концентрации восстановленного фосфопириди-нового нуклеотида (NADH). Подобные колебания концентрации NADH в клеточном экстракте были обнаружены позднее Чансом и др., а затем Гош и Чане описали в той же системе колебания концентраций фруктозо-1,6-дифосфата FDP и глюкозо-6-фосфата G6P.
Модель гликолитической системы, предложенная Сельковым [17], основана на превращениях фосфофруктокиназы: где 5, - это фруктозо-6-фосфат F6P (субстрат), поставляемый со скоростью v и необратимо превращающийся в 52; 52 - это фруктозо-1,6-дифосфат FDP (продукт), который выводится со скоростью v; V - свободный неактивный фермент фосфофруктокиназа PFK. V становится активным в сочетании с несколькими молекулами продукта, образуя комплекс VS2; g - степень активации PFK гликолитическими интермедиата-ми 5, и 52, kf (/ -1,5) - скорость протекания /-той реакции.
В данной математической модели отклонение является функцией времени h(t), которое затрачивается на взаимодействие молекул в химических реакциях, и предполагается, что отклонение допускает только конечное число выходов за пределы промежутка моделирования.
Похожие диссертации на Двухточечная краевая периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
