Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Свойства решений системы дифференциальных уравнений с запаздыванием 13
1.1. Постановка задачи 13
1.2. Непрерывная зависимость решений от начальных дан ных и параметра 15
1.3. Исследование свойств решений: оценка и структура 22
Глава II. Двухточечная краевая задача системы дифферен циальных уравнений с запаздыванием 36
2.1. Решение двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием по линейной части 36
2.2. Исследование системы (1.2) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части 42
2.3. Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части 55
Глава III. Математические модели 60
3.1. Исследование системы (1.3) при f(t,X) = 0 в критиче ском случае 60
3.2. Модель в экономике 72
3.3. Моделирование в иммунологии 76
Приложение 82
Заключение 91
Литература 92
- Непрерывная зависимость решений от начальных дан ных и параметра
- Исследование системы (1.2) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части
- Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части
- Моделирование в иммунологии
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе изучается система дифференциальных уравнений с запаздыванием. Правая часть системы нелинейна и непрерывна по фазовым переменным. Матрица соответствующей линейной однородной системы непрерывна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задача исследования: поиск условий существования малых ненулевых решений двухточечной задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности нулевого решения.
В период становления классической механики господствовало мнение, что скорость изменения (движения) реальных систем в настоящий момент зависит только от их состояния (положения) в этот же момент времени. Стало быть, для описания таких систем с целью предсказания их поведения в будущем вполне пригодны обыкновенные дифференциальные уравнения
x'(t) = F(t,x(t)), ґє[ґ0,оо[,
х = (х,, х2,..., х„), F = (Fl5 F2,..., F„).
Более детальное изучение окружающего нас мира привело исследователей к необходимости учитывать во многих случаях то, что состояние физических систем в данный момент времени существенно зависит от их состояний в прошлом.
В 70-х годах XIX в. Больцман предложил теорию упругого последействия, в основе которой находилось соотношение
ф(ґ)= ^k(t-x)T(x)dx ,
— СО
где ф - деформация; Т - напряжение деформируемого тела; к -
функция релаксации. Эта теория получила дальнейшее развитие в работах Вольтерра.
Понятие последействия в механике Вольтерра переносит в область биологии [14], и далее возводит явление последействия в общий принцип естествознания (принцип остаточного действия) и развивает теорию интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, учитывающих остаточные, наследственные эффекты в поведении динамических систем.
По свидетельству академика Ю.Н. Работнова [54], теория линейной наследственности Вольтерра нашла приложения в ряде разделов механики и математической физики (механика деформируемого твердого тела, теория поведения полимерных материалов при умеренных напряжениях, описание внутреннего трения в металлах, когда амплитуды напряжений очень малы).
Другим классом математических моделей явлений и процессов с последействием являются дифференциально-функциональные уравнения. Такие уравнения содержат операции дифференцирования и сдвига аргумента, поэтому пригодны для описания движения систем, скорость которых в данный момент зависит не только от состояния в данный момент, но и от прошлых состояний. В простейшем случае систем с запаздыванием вместо обыкновенных дифференциальных уравнений следует рассматривать уравнения
x'(t) = F[t,x(t\x(x(t))l где x{t) = t- Д(ґ), Д(ґ)>0.
В плане классификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом различаются случаи сосредоточенного
и распределённого
а (О
x(t) = jp(t, х )x(t -x)dx+ fit), a if) > О
запаздываний.
Известно, что специалисты по математической физике XVIII в. изучали дифференциально-функциональные уравнения в связи с попытками распространения механики конечных систем на сплошные среды, но в дальнейшем для развития механики сплошных сред стали применяться уравнения в частных производных. Замечательным является опосредованное возникновение дифференциально-функциональных уравнений в процессе решения краевых задач для уравнений в частных производных гиперболического типа, описывающих различные волновые процессы. Дифференциально-функциональные уравнения всё чаще используются непосредственно как математические модели реальных явлений и процессов в различных областях естествознания, в частности в биологии, экономики, физике. В ряде работ [59, 60, 78] на основе анализа различного рода экологических систем показано, что для их описания можно использовать уравнения с сосредоточенным или распределённым запаздываниями.
Динамические системы с запаздыванием и процессы, происходящие в таких системах, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом или системами таких уравнений. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, которыми описываются динамические процессы в реальных системах, как правило, являются нелинейными. Но так как линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом сравнительно легче поддаются исследова-
нию и теория таких уравнений разработана достаточно хорошо то, при решении различных теоретических и особенно практических задач нелинейные системы приближенно заменяются линейными. Такая линеаризация задач во многих случаях является законной. Но иногда, как, например, в теории колебаний, линеаризация уравнений является недопустимой, так как приводит к весьма грубым и даже ошибочным результатам. Поэтому разработка теории систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, в частности теории колебаний нелинейных систем с запаздыванием, имеет большое теоретическое и практическое значение.
Цель работы заключается в получении достаточных условий существования малых ненулевых решения двухточечной краевой задачи системы п дифференциальных уравнений с запаздыванием
x = A(t)x + A(t, X)x + B(t, XXx + f(t, X)+f(t, x, T^x, x), (0.1)
в которой Ait), A(t,X), S(t,X)- непрерывные (пхп) - матрицы, fit, Х), fit, х, у, X) - непрерывные и-мерные вектор-функции, Гц -
оператор сдвига (определение дано в 1.1 первой главы).
Методика исследования. Задача поиска условий существования нетривиальных решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) сводится к задаче поиска условий существования ненулевой неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.
Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [53] и A.M. Ляпуновым [32]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, осно-
ванные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем в виде степенных рядов, составленных по степеням малого параметра и малых начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [7, 8], И.Г. Малкин [33, 34], Л.И. Мандельштам [35, 36] и другие ученые. Основные идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В Немыцкого и В.В. Степанова [45].
Для исследования квазилинейных и нелинейных систем без запаздывания особенно широкое распространение получили следующие методы: Пуанкаре-Ляпунова-Малкина исследования периодических и почти-периодических решений [7, 8, 15, 32, 33, 34, 47, 53], эквивалентной линеаризации нелинейностей [27], осреднения [10, 40, 41, 58], сравнения [17], асимптотические методы [9, 38, 61].
В работе [17] уравнением сравнения является дифференциальное уравнение, не имеющее периодических решений, за исключением состояния равновесия. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.
Г.В. Каменковым [22] был развит метод исследования колебаний нелинейных систем с помощью функций Ляпунова. Он рассматривал системы как с одной, так и со многими степенями свободы, квазилинейные и существенно нелинейные. Особенно эффективный метод построения периодических решений квазилинейных и существенно нелинейных систем был предложен им при исследовании систем второго порядка. После перехода к полярным
координатам г, в им была введена замена
натам г, в им была введена замена г = V+ ^ju'{Vu^>+...+Vm'ujmi)), где
z=l
и\к) - некоторые полиномы от sin#, cos#, подлежащие определению. Этот метод, кроме ответа на вопрос о существовании периодических решений по членам с конечной степенью /л и исследования проблемы устойчивости, позволяет решить задачу об оценке той величины малого параметра, при которой и менее которой построенные периодические решения существуют. Методом функций Ляпунова решается задача о существовании периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений в статье [16].
В теории колебаний нелинейных систем с запаздыванием методы Пуанкаре-Ляпунова-Малкина нашли развитие в работах Н.Н. Красовского, А. Халаная, Л.Э. Эльсгольца, С.Н. Шиманова и др. [26, 69, 73, 74, 75]. В прикладных работах [9, 30] применяется метод эквивалентной линеаризации. Асимптотический метод Крылова-Боголюбова для систем с запаздыванием частного вида впервые применен в работе СИ. Тетельбаума и Г.Н. Рапопорта [66]. Эти методы получили дальнейшее развитие в работах Рубаника В.П. [56, 57], Азбелева Н.В., Максимова В.П., Рахматуллиной Л.Ф. [2 - 6] и их учеников.
Книга В.П. Рубаника [56] посвящена теории периодических решений линейных и квазилинейных колебательных систем с запаздыванием, особое внимание уделено изложению асимптотических методов исследования колебаний в квазилинейных системах с запаздывающими связями и их приложениям.
В работе Б.Г. Гребенщикова [19] рассмотрена нестационарная линейная неоднородная система с запаздыванием, линейно завися-
щим от времени t:
x(t) = A(t)x(t) + B(t)x(ju t) + fit), (0.2)
t>t0>0, /л = const, 0</л < 1, x(?i) = cp(ri) : /лt0 <77<t0, с почти периодическими матрицами и вектор-функцией. Для системы (0.2) найдены условия существования единственного почти периодического решения, которое является асимптотически устойчивым.
В работе М.Т. Терёхина [64] изучается проблема существования ненулевого периодического решения функционально-дифференциального уравнения вида
x{t)=A{A)x{t) + {FAx\t)x{t), (0.3)
где x(t) - и-мерный вектор, а(я\ (FA)(t) - ихи-матрицы, ЯєЕт - параметр, Es - s -мерное векторное пространство. Для исследуемой системы получены достаточные условия того, чтобы Л0 = 0 являлось бифуркационным значением параметра Я системы (0.3) Приводится пример.
Основными методами исследования большинства работ [6, 11, 19, 29, 62, 63, 64, 69], содержащих исследования по проблеме существования решения двухточечной краевой задачи системы с отклоняющимся аргументом, являются методы функций Грина, последовательного приближения, малого параметра и осреднения.
Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения существования ненулевых решений двухточечной краевой задачи в малой окрестности тривиального решения. В отличие от работ [6, 19, 29] в диссертации рассмотрена система дифференциальных уравнений запаздывающего типа, имеющая векторный параметр и запаздывание специального вида. Запаздывание носит такой характер, что не требуется вводить начальную функцию, как для систем с постоянным запаздыва-
ниєм, вместо этого начальное условие выглядит также как и классическое: х(6) = а, то есть начальный промежуток вырождается в точку. Также в работе не используется метод разложения решения по степеням параметра и начальных данных. Результаты настоящей работы применимы для исследования систем функционально-дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, в критическом случае порядка выше первого. В отличие от работ [62, 63, 64, 65, 69], посвященных исследованию проблемы существования решения двухточечной краевой задачи (или периодических решений), в основе исследований, содержащихся в диссертации, лежит специальным образом построенный вид решения системы (0.1), что позволило для решения двухточечной краевой задачи существенно привлечь свойства нелинейных частей системы. В диссертационной работе используется метод решения нелинейных недифференциальных уравнений отличающийся от методов, использованных в работах [1, 21].
Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы и приложения.
В 1.1 главы 1 вводятся основные определения (оператор сдвига и малое решение). Формулируется постановка задачи. В 1.2 главы 1 доказана теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решений системы функционально-дифференциальных уравнений от параметра и начальных данных. В 1.3 главы 1 находятся оценки решений, исследуется структура решений системы (0.1)
В главе 2 получены достаточные условия существования не-
нулевых решений двухточечной краевой задачи системы с параметром (0.1), с использованием свойств нелинейных членов. В 2.1 двухточечная краевая задача решается по первому приближению. В 2.2, 2.3 исследования ведутся с использованием нелинейных членов системы. Приводятся примеры.
В главе 3 рассмотрен частный случай системы (0.1), построены математические модели: 1) модель динамического взаимодействия сегментов финансового рынка; 2) математическая модель противовирусного иммунного ответа. В построенных моделях найдены условия существования ненулевых решений двухточечной краевой задачи.
В приложении содержится анализ программы написанной автором для численного решения систем дифференциальных уравнений с параметром и запаздыванием. Проводится тестирование программы на системах дифференциальных уравнений, для которых решение найдено в аналитическом виде. Результаты представлены в виде графиков.
Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [12, 13, 20, 34, 50, 51, 52, 70], по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием - из [5, 42, 43, 56, 72, 74], по качественной теории - из [11, 24, 25, 44, 45, 48, 49, 69, 71, 75], по функциональному анализу - из [23, 31, 67], по линейной алгебре - из [18, 28].
На защиту выносятся следующие положения:
Структура решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений вида (0.1).
Достаточные условия существования решений двухточечной краевой задачи системы (0.1) по первому приближению.
Алгоритм разрешимости решения двухточечной краевой задачи в критическом случае (когда решение двухточечной краевой задачи зависит от нелинейных членов системы).
Достаточные условия существования нетривиального решения системы дифференциальных уравнений (0.1) частного вида.
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета, на VIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения - XII» в г. Воронеж, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Основные результаты исследований опубликованы в работах [80-89].
Непрерывная зависимость решений от начальных дан ных и параметра
Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия: 1. вектор-функция F{t, х, у, Я) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К О на множестве [0, со ] х D(S0) х D(S0) х Л(0); 2. система (1.1) при Я = 0 имеет определенное на сегменте [о, со] решение х = y/(t) такое, что i//Q S0. Тогда существует 8 0, что для любой точки (а,А), удовлетворяющей неравенствам \а-у/(о\ 8, \Я\ 8 , система (1.1) имеет единственное решение х = cp(t, or, Я) с начальным условием ср(0, а, Я) = а, определенное и непрерывное на множестве {(t, а, Я)\ t є [О, со] \а - у/(6\ 5,\Я\ 5 }и \\ р(-, а, Я)\а S0. Доказательство. Из множества [0,CO]XD(S0)XD(S0)XA(S0) МОЖНО выделить замкнутое подмножество следующим образом: выберем 0 S S0 такое, что точка (t,x,y, Я)є[о,со]хВ(30)хО(30)хА(30) и х- //()!, , \\y-y/(-)\\t S, \Я\ 3. Введем обозначения: E,(S)={(t, х, Я)\ {t, х, Я) є [0, co]xD(S0)xA(s), X-I//QL S }, E2(s) = {(t, x, у, Я)\(t, х, у, Я)ф, + 0)хф0)хЛ(4 \\Х-У І, Ь- it 4 Вектор-функция F(t, х, у, Я) на множестве [о, со] х D(S0) х D(S0) х A(S0) определена и непрерывна, следовательно, она обладает этими же свойствами на множестве Е2(д). Кроме того множество E2(s) замкнуто и ограничено, поэтому F(t,x,y,A) по теореме Кантора равномерно непрерывна на множестве Е2(д). Это значит, что л (Ує 6)(33, 0,Зг S)(Vt є [О, со])(Ух, у є Г(з))(УЯ є Л( ))х-1//(-) t 5, Выберем 0 и 5 0 такими, что — [еКсо-\) —, 5 тш—,5х Введем обозначения: U(s)= {а, Я)\ \a - у/Щ 5,\Я\ ё\ v(d)= {(t, а, Я)\ t є [О, a], \ a - y/(o] 8, \Я\ 8 \. Задача сводится к тому, чтобы доказать, что вектор-функция cp(t, а, Я) определена и непрерывна на V\S). Доказательство будем вести методом последовательного приближения.
Пусть точка (а, Я) є U\S). Нулевое приближение определим следующим образом: ср0 (t, а, Я) = y/(t) + а - f//(o). Функция cp0(t, а, Я) определена и непрерывна на множестве V\S) и р0(-, а, Я)-(//(-)1 = \се- у/Щ 5 5 для любого Я, \Я\ 5 . Таким образом, точка (t, cp0(t, а, Я), Я)єЕ1(з) и (р0(о, се, Я) = а . Первое приближение положим t (px{t, а, Я) = сс + F\, р0(, а, Я), Тцф0(, а, Я), Я)йЕ, . о Для функции выполняются следующие утверждения: (о, ее, Я) = ее, функция непрерывна на V(s). Найдем оценку нормы (-, а, Я)-(р ,а, Я\ t \F(Z, pQ(Z, а, Я), 7 0(, а, Я), Я) -{)+{о) По условию вектор-функция х = y/(t) является решением системы (1.1), поэтому верно равенство y/(t) = F(t, y/{t), TMy/(t), я\ откуда t после интегрирования будем иметь y/(t)-y/(o)= \F{, у/( ), Тцц/{), ЯЩ. Тогда {ср , а, Я)-(р0{, a, X\\t \[Щ Ро(%, а, Я), Тм р0(, а, Я), Я) F(Z, W{), 7 ( ), 4 4 st sa . Заметим, что есо = —{Ксо +1 -1) —\eKw -1) —. Кроме того, К К 2 (-, а, Я)- //(- 1 (-, a, !)-«%(, a, Л) + «%(-, a, Д)- -ґ ( -l)+ 5, следовательно, (f, (ґ, а, Я), Я)єЕ1(д). Второе приближение зададим аналогично первому: t p2(t, a, X) = a + JF\g, (рх{, а, Я), Т р , а, Я), Я)йЕ, . о Очевидно ср2 (о, а, Я) = а . Так как функция срг if, а, Я) непрерывна на множестве V\S), точка (t,(pl(t,a,X),X)&El($) и на множестве E2(s) вектор-функция F(t,x,y,A) непрерывна, то вектор-функция ср2it, а, Я) непрерывна на V\S). Найдем оценку для нормы \ р2(;а,Л)-щ(;а,Л)\\(- t jHf, ri, а, Л), Тмщ& а, Л), л)-1 , %( а, Л), 7 0( а, Л), л\щ о JKmax{ (s, а, X)- p0(s, а, Я\г\Тц{(р1{я, а, X)- p0(s, а, ЯЩ J d Ks— 2! Покажем, что второе приближение не выходит из области \\x-w(;)\t S, \\ р2(; а, Я)-у/{)\( \\ р2(; а, Я)-срг{, а, Я)\t + \срг(, а, Я)-у/(;)\( Ks — + sco+5 —ieKw-\)+5 5. 2! Кх
Таким образом, точка it, cp2{t, а, Я), Я)&ЕХ{5). Третье приближение зададим равенством t p3(t, а, X) = a + JF\g, cp2i , а, Я), Тц р2{{;, а, Я), Я)йЕ, . о Функция p3(t,a,X) непрерывна на множестве V\S), з \\ р3(,а,л)- р2(,а,л]\ к2є— и к(-, а, л)- (-)11 5 . Следовательно, точка 3! (і,ср3(і,а,Я),Я)єЕ1(з). Продолжая далее, получим функциональную последовательность приближений {cpkif, а, Я)}, где
Исследование системы (1.2) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2.1): x = A(t)x + A(t, A)x + B(t, X)TMx + f(t, A)+f(t, x, Тмх,л). (2.1) Пусть x = x(t,/j,a,A) - малое решение системы (2.1), 2(t, X)=A (t, я)+о(яй), ММЫМ)+Фг), Да)=7(А)М)+фА), f{t,x,y, Я) =fM(t, x,y,X)+o{z\q), где z = (x,y,A), AM{t,A), WM), f{Pi){t, A) - формы порядка рг, р2, р3 по A, f{q\t, х, у, А) - форма порядка q по z = (х, у, А), причем порядок по х и у не меньше 2, тогда, согласно теореме 1.6, решение можно представить в виде х(ґ, ft, a, A) = [x{t, o)+H (t, ц, A)}x+gM(t, Я)+/М(/, д z)+J{A\Pi)+cl{A\ )x+o\z\q), где z = (a, А), р12 =mm{pl, р2}, H{Pa)(t, ц, Я), gM(t, я) - формы порядка ри и р3 по Я, f{q){t, z) - форма порядка q по z . Из условия х(со) = х(о) = а получим систему Е-Х(со, 0)-#(-)(М A)}x = g (A)+f 5)+фА)+4Г} +0Йв). (2.5) Далее будем предполагать, что rang(E-X(a,6)) = r п, ри 1, m r. Пусть Е-Х(со,0) К О К - гхп-матрица, rankK = г . Это пред ставление можно всегда получить, умножая слева на неособенную матрицу, которая исходную матрицу преобразует к нужному виду. Систему (2.5) запишем в виде Ка = Н (М, A)a+g (A)+f}q\M, 5)+4 )+4 + I (2.6) #HA ) = яНя)+/2(в)(к z)+o[A\ )+d\A\P-]x+J{z\q). Предположим, что ръ ри, q рп и lim Д- f z) + o\z\q Рп U m z)+o{z\ lim д- о І1ІЙ2 0. Введем замену Я = ре, е - т -мерный вектор, р = \Я\ 0, \е\ = 1, тогда систему (2.6) можно записать (2.7) \Ка = р Н {/л, ер,+о(рй2), [н (М,е)а = о(р). Обозначим матрицу н{/л,е)- ( к Л и вектор-функцию \fat,a,p,e)- ( p H{ \iu,e)a+({p ) Используя обозначения систему (2.7) представим в виде H(ju,e)cc = v(ju,a,p,e). (2.8) Теорема 2.3. Если найдется такой вектор е,\е\ = 1, для которого йеШ{/л,е) 0, Р3 Рп-,Ч Р lim Ц- о U Рп lim U- o m z)+0{z\ Рп и 0, то система дифференциальных уравнений (2.1) имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи. Доказательство. Так как по условию det#(//, е) 0, то существует обратная матрица Н_1(и, е). Оператор Г : а Н 1{/л, e)v(/j, а, р, е) имеет в области D(S0) неподвижную точку. Действительно, пусть \а\ 50, тогда выберем такие числа Sl 0 и 52 0, для которых o(pPl2) ,_.—г, при p Sl и 1 2\H{jU, е\ \(p) ё» \Н{М, є] при р 82. Положим = mink, 8,, 82, {і\н-1{іл, е\ \H \JU, ef A (или 8 = minfo, 8„82}, ес ли н[Рп\/л, е) = 0), тогда \н 1{/л, e)v(/j, а, р, е) 0 при р 8. Следовательно, по принципу
Шаудера оператор Г в области D(80) имеет неподвижную точку a GD(80) при любом фиксированном р 8. Значит система дифференциальных уравнений (2.1) имеет малое ненулевое решение x = x\t, /л, а , Л ), Л = ре, являющееся решением двухточечной краевой задачи. Теорема доказана. Пример 2.2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 2-го порядка с запаздыванием [xj (t) = a Xj (t) + /l Xj (t) + Л, /L2Xj (ju, t) + Л\ + Л\хг {t)x2 {pi21), \x2(t) = Л\х2it) + Л,Л2х2(ju2t) + % + Л\х\(д і), где ju,, ju2 - числа, 0 //1 l, 0 //2 1. Найдем условия, при которых эта система имеет решение двухточечной краевой задачи. Введем обозначения = ( і, х2), л = (л,, л2), 2 У (а 0\ vo оу А(Л): о л22У ,В(А): о л,л т л о Ч ЧУ , fix, у, Л) v іУ\ J Тогда исследуемую систему можно записать в виде х = Ах + А(л)х + В(л)Тмх + /(Л) + f(x, Тмх, Л). Фундаментальная матрица системы х = Ах имеет вид X(t,s)- v 0 1, Решение предыдущей системы в точке t = со , согласно теореме 1.6, можно представить в виде x(t, ju, a, X) = [x(t, 0)+H(t, ju, A)]z+g{t, A)+f{t, ц, a, Я)+(\я\ъ)+с)(Я\2}х+(\{а, Xf), f у где Ній Я)- a(l -д) со %соеаа + \еаа-е аа) (eaw-\) /Ijdf. /(//, а, і): a 2a px V іМ -(eflft,-l) Л3 о (х\. л Введем замену 1 = ре, є = (е13 е2), р = \Я\ О, У = 1, тогда / H{ju,e)- fx_eaco 0 (є, +eje 4«.Ае): f f 2 ай? . р є, 0Є + V 2 (e-_eM-)L+0(p2) а( Возьмем вектор Є = 1. ? л. очевидно, И = і и det/f (/г, є): 1_е "» о о Зо Зо (і-еаа,) 0, следовательно, выполнено условие теоремы 2.3, и исследуемая система дифференциальных уравнений имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи х = x(t, ju,a, X), Я = \ р, — при любом достаточно малом р 0. Пусть а1,а2,...,ап_г линейно независимые решения системы [Е - х(со, о)]ог = 0 .
Составим пх(п-г) -матрицу G = [аг, а2, ..., ап_г ]. Тогда с помощью замены a = Gp, /? - (п-г)-мерный вектор систему (2.5) можно привести к виду Н (и, A)fl+g \A)+f (ju, zp)+o\ )+4гКФ/)=0 в котором H{PI2)(JU,A)=H{PI2\JU,A)G, zp =(/3, А) - (и + да - г)-мерный вектор. Обозначим и-мерную вектор-функцию (форму порядка р = тт{рп+\, р3, q}uo z р) H iv, A)P+gM{A)+f zp\ еслиА =q = Pn+l, H( \ju, Л)Р+ \Л\ еслиА =Pu +1, q Pu +1, #Ы(/А )P+f{q){iLi, zp\ еслщ = ри +1, p3 pu +1 , u(zp)= gW{A)+f{q)(]U, zp\ есшфз = д2 +1, #Ы(//, Д)Д если? #2 +1, з #2 +1, (й)(4 если з ри +1 , 3 , /W(". Л ecq pn+l,q p3 . Тогда предыдущая система примет вид u(zp)=c\zp\P). (2.9) Сделаем замену переменных zp = ре, е - (п + т-г)-мерный вектор, р = If J О, \е\ = 1, тогда систему (2.9) можно записать
Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной задача зависит от нелинейной части
Рассмотрим систему x = A{t)x + F,(t, х, Тмх, Л)х + Р2(і, х, Тмх, Л)Гмх + /{і, Я), (2.15) в которой F,(t, х, у, Я) = К A) + &\t, z) + R (t, 2) + 0( )+0( )+0( ), F2(t, x, у, Я) = ф% A) + Q (t, z) + Q \t, z) + o(ip)+o(zf )+o(zp), 7М=7ЫМЙ ), где z = (x, у, A), z = (x,y), f{p)(t, A), R (t, Я) и ф\і, Я) - формы поряд-ка р, гх и qx по Л; R22\t, z) и Q[q2\t, z) - формы порядка г2 и q2 по z; R \t, z) и Q %\t, z) - формы порядка г3 и q3 по z. Тогда решение, согласно лемме 1.2, можно представить в виде x(t, ц, a, A) = [x(t, 0)+Hl \t, ц, A)+Hi \t, її, a)+H \t, її, z)\x+g{p){t, Л)+ + о{л\Р)+о{а\Р2+1)+[о{я\Рі)+ОІ\ )\х, где z = (а, Л), рг= minfc, qx}, 2 = min{r2, q2}, 3 = min{r3, 3}, H[Pl)(t,/л, Л) и gw(f, А) - А и -формы по A, H{2Pl\t, /л, а) - р2-форма по a, H \t, /л, z) - формы порядка р3 по z . Условие существования решения двухточечной задачи задается системой \Е-Х[О, 0)-Н (р, Я)-Н (р, а)-Н (р, z)\z = gf \A)+ + о\я\Р)+ o\a\P2+l)+ [о\я\Рі)+ o\zIй)\x . Как и в предыдущем параграфе будем предполагать, что гапк[Е - Х{со, 0)) = г п , m r . Пусть а1,а2,...,ап_г линейно независимые решения системы [Е- х{со, о)]ог = 0 .
Составим пх(п-г)-матрицу G = [a1,a2,..., ап_г]. Тогда с помощью замены a = G(3, Р - (п-г)-мерный вектор предыдущую систему можно привести к виду [н[ \р, 4+% /?)+#НА )WW(4+ + о{я\Р)+о{р\р )+[о{я\Рі)+о[2 )\р, в котором н1л)(р,л)=-н1л)(р,л)р, н )(р,р)=-н(2Р2\р,ср)с, Я3(й)(//, zp)=-H{3p,)(p, zp)G, zp = (/?, Я) - (и + да-г)-мерный вектор. Обозначим и-мерную вектор-функцию (форму порядка p = mm{pl, р2, р3, p-l}+l по zp) Л г, у3 \н {и, Я)+Щр \р, Р)+ЩРг)(н 0WW(4 еслид =р2=Рз =р-\, (н{ \р, 4+#НА Р)+ЩРі){и, 2Р}Р, еслиА =р2=Рз р-\, (й {р, Я)+Н {и, p))p+g(pM еслид =р2=р-\ ,Рз А , (ff V А)+Я3(й)(д Ір}р+ Щ еслид =р3 =р-1,р2 А , U(ZP)=\(H \JU, P)+H3M(JU, zp))j3+g {X}, еслид =р3 = p-l,Pl р2 , н[Р1\р, Я)р+ р\я\ еслид =/?-1,/?3 А ,А А Я (д ) +gw(4 еслид =р-\ ,Pl р2 ,р3 р2 НъРъ){ Zp)P+g{p\ если з =р-\ ,А р3 ,р2 р3 g[p) еслид /? —1 ,Д2 /?-1 ,/ /?-! Тогда система примет вид u(zp) = o\zp\Pj. (2.16) Сделаем замену переменных zp=pe, е - (п + т - г) -мерный вектор, р = If J 0, е = 1, тогда систему (2.16) можно записать u[e) APP) PF (2.17) Система (2.17) в точности совпадает с системой (2.10). Дальнейшие рассуждения ведутся аналогично рассуждениям предыдущего параграфа. Следует отметить, что для системы (2.17) справедливы теоремы 2.4 и 2.5., в формулировках которых необходимо заменить систему (2.1) на систему (2.15). Замечание 2.3. Теоремы 2.1, 2.3, 2.4 и 2.5 остаются справедливыми и в случаях, когда f(t, Л)=0 при любых ts[o, со] и ЛєЛ( 0). Пример 2.4. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 2-го порядка с запаздыванием гдех = (х,, x2) Fi(x, У, ) x(t) = Ax{t) + F1 (х(ґ), x(ju t\ X)x{t) + F2 (x(t), x(ju t\ Л)х(/л ї) + /(л), (2.18) Л- (-Я,, Л2, Лъ), Р2{х,У,Л)- fa 0\ v0 0у Ч +У2 Л -у + і2 гЛ1+Л3+х1-у2 Л3+х2+х1у2 Л1+х1 Л1+Л2+х2+х1у] \) Л2+у2-Лі \+yx+x2yXJ /л - число, 0 /л 1. \A2 J Найдем условия, при которых эта система имеет малое ненулевое решение двухточечной краевой задачи. Фундаментальная матрица системы х =
Ах имеет вид Решение системы (2.18), согласно лемме 1.2, в момент времени t = со можно представить в виде х(со, /л, а, Я) = [х{со, 0)+Н {/л, Я)+Н {/л, a)]a+ (2)(l)+o( 2)+o( 2)+0 )a, (Я1+Я3)соеасо + (Хг (еасо-емасо) (еасо-\) a{\-ju) а где (е-\)+ (е -\) (2Я1+Я2) со а (\ + Я3)со еаа+- 1 Laa - 2Яз(-а Н , Я) laco \ щсое + a2co #?W): е -е ( аю сое а а а a(l - /л) (еаа-\) Щеаа -i)+ /1 Ае{1+ аа -і) «2 а x {еаа -l) - -(e"a B-l) /ла (ял, {я\ (eaa -l) v im Из условия x(co) = x(o) = a получим систему [Е-Х{со,о)-Н /лЛ)-Н {/л,а)]х = Я)+о \% z = (a, Л). Заметим, что гапк[х(со,о)-Е] = \ 2, следовательно, ответ на поставленный вопрос может дать теорема 2.4. Система [Е-Х(СО, О)]ОГ = 0 имеет решением вектор (о, і). Тогда с помощью замены а /?, P&R предыдущую систему можно привести к виду Ї2Л, (е" -l)+l(e" -$У + Ще- -l)=o(f J21 а а ) а ((2-Я, + Я2 )со + Рсо)р + Я\ со = o\z где zp={p,X). Обозначим u\zp)- Ще"-І)+Це" -\)\р + Ще -і) а а ) а { 2Ях+Я2)со+рсо)р + Я22со предыдущая система примет вид u\zp)= o\zpN.
Моделирование в иммунологии
Математические модели в биологии рассмотрены в работах Марри Дж. [37], Марчука Г.И. [38], Митропольского Ю.А. [39], Романовского Ю.М., Степановой Н.В., Чернавского Д.С. [55], Coel N.S., Maitra S.C., Montroll E.W. [76], Cunningham W.J. [77], Mac-Donald N. [78]. В работах [38, 79] подробно описан процесс построения математической модели противовирусного иммунного ответа. Этим вопросом занимался так же Никишов А.А. [46]. Модель представляется системой дифференциальных уравнений с малым постоянным запаздыванием [38] Vf = nbECvE + pbnCv - YnMVf - yfVfF - kaCVf , Mv = YMMVf - aMMv - bMMvE , HE=bH[z{m)pHMv(t-zH)HE(t-zH)-MvHE\-bpMvHEE + ccH{H E -HE\ HB = tWp?)M /-r?))& /-r?))-M J-ftf М,Яв5 + а?)(&; -HB\ E = bp[ (m)PEMv(tE)HE(tE)E(tE)-MvHEE]-ricbECvE-riMb B = bf[ m)PBMv{t-zB)HB{t-zB)l -4)-MvHBB\+aB{B -в), (3.5) P = bf[ m)ppMv{t-zB)HB{t-zB)lit-zB)-MvHBB}+aXP -P), F = pfP-7lf7fVfF-afF, Cv = oCVf - bECvE - bnCv, m = jubECvE + фтСу - Am , где Vf{t) - количество «свободных» вирусов; Mv{t) - количество стимулированных макрофагов; HE{t) - количество Г-лимфоцитов-помощников, принимающих участие в клеточном ответе; HB{t) -количество Г-лимфоцитов-помощников, принимающих участие в гуморальном ответе; E(t) - количество Г-клеток-эффекторов (киллеров); B{t) - количество иммунокомпетентных В -лимфоцитов, способных принять сигнал к стимуляции от стимулированных макрофагов Mv и помощников Нв; P{t) - количество плазматических клеток; F(t) - количество антител; Cv{t) - количество зараженных вирусом клеток органа; m{t) - нефункционирующая часть пораженного вирусом органа.
Положительные константы пир означают среднее число освобождающихся вирусов из одной зараженной клетки, погибшей в результате лизиса эффекторами и вирусного поражения соответственно. Константа ЪЕ характеризует степень взаимодействия между Су и Е, Ът - часть зараженных клеток, гибнущих за счет вирусного поражения, М - число макрофагов в организме, ут - коэффициент взаимодействия между макрофагами и Vf, С - число здоровых клеток в органе, а - характеристика взаимодействия между С и Vf, к - количество вирусов, проникающих в одну здоровую клетку, ум=8ут, 5 1, 5 - величина, обратная количеству свободных виру сов, которое может провзаимодействовать с одним макрофагом, ам - величина, обратная времени жизни стимулированных макрофагов, коэффициенты Ън, Ъ{], Ър, Ь{рв) характеризуют взаимодействия, Е,{т) описывает влияние степени поражения органа на стимуляцию иммунной системы, рн и р{в) - среднее число образовавшихся клеток в одном клоне, тн и т{в) - времена образования соот ветствующего клона, ан и а - величины, обратные временам клона, ан и а - величины, обратные временам жизни соответственно помощников НЕ и Нв, Н и Н - постоянные уровни соответствующих помощников в здоровом организме, г/с и г/м - количество Т -киллеров Е, необходимое для уничтожения одной зараженной клетки и макрофага. Для построения модели будем предполагать, что запаздывания являются некоторыми функциями времени, которые удовлетворяют двойному неравенству 0 //. (t) t на промежутке моделирования. Задача состоит в нахождении условий, при которых зараженный малой дозой вирусов орган через время t = со восстановится до первоначального состояния без медицинского вмешательства.
Введем новые обозначения: к = К, р = к2, п = к3, Мут=Л1, Гм =Mi, кА \, оС = Л2, Ьт=Л3, у, = Л4, bE=A5, ам =Я6, Ът = Л,, ан =Ag, bH = Л,, рн=Х[0, 6Р = Л„, а/ = Д2, "н Аз Рн \А р As Е Аб Лс \i Лм As РЕ Аэ В 20 Рв = К\ э аР = 22 э Рр = Къ э Pf = 24 э af = 25 э IfVf = 26 1 = Kl э = 28 M = - 29 f X\ і " V X2 і E X3 В X4 і = X5 і " = X6 Xl Xi V X9 Wl — X10 . Тогда система (3.5) запишется в виде v9? Л і — I /Li I /V і /L-о /Л і I /V о /L/Q Л Q /LA Л І Л О І /V о /L/c Л с Л п Л- — Лд/Li Лі /Lv-Л-о ЛтАтЛг _ v5 х3 = лДх3 -х3)+19[Ло 1о)х2и)хзи)-х2Хз]-Л1х2ХзХ5 Х4 Лгу ч — Х4/+- 131 4 1- 10/ //2jX4 //2j—X2X4J—/tj5X2X4X6 , — Л 6 1 5 — Х5 j—/15/Ц7Х5Х9 —/t7/tj8X2X5 + АіІ ЬЛ О/ ч/ З ч/ З/ ч/ З/ 2 Js 6 = 20 ( " 6 )+ Л5 [ ( ) ( 4 ) (U4 ) (/ 4 ) - 2 ] , x7 = Л22 (x7 - x7) + 5;у;(x10 )x2 {ju4)x4{ju4)x6 {ju4), x$ — A24x7 /t25x8 /t26x1x8, Л-Q — /LT Л-1 /LQ - Q S S Q 5 X10 — 3 27 28- 10 + 5 29 или в векторной форме х = А(л)х + /(л) + /{х,Тх,л), (3.6) где Тмх = {х2{ \ Х2{[Л2\ Х2(//3), Х2{[ЛА\ Хз ), Х3(//3), 4С"2), 4(/0 5С"з) б(/0):
