Введение к работе
Актуальность темы
Ряд задач математической физики и, в частности, механики деформируемого твердого тела и нелинейной оптики, приводит к краевым задачам для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. В работе Г. Г. Онанова, А. Л. Скубачевского1 рассматривается задача об упругих деформациях трехслойной пластины с гофрированным наполнителем. Математическая модель этой задачи описывается сильно эллиптической системой дифференциально-разностных уравнений. Некоторые задачи нелинейных оптическігх систем с двумерной обратной связью приводят к нелинейным параболическим функционально-дифференциальным уравнениям с преобразованиями аргументов типа поворот, сдвиг, растяжение, сжатие (см. М.А. Vorontsov, N. G. Iroshnikov, R. L. Abernathy2).
Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений рассматривались в работах А.Б.Антоневича, В.С.Рабиновича и др. Результаты этих работ аналогичны результатам для локальных эллиптических задач, т.к. авторами предполагалось, что выполнены некоторые ограничения, например, сдвиги аргумента - карлемановские или уравнение рассматривается во всем пространстве R" п т.д. Теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в ограниченной области Q С К" была построена в работах А.Л.Скубачевского3. Им были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гордннга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмо-вой и нетеровой разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области Q даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях QT С Q (Ur Qt = Q)
Оказалось, что эти задачи также тесно связаны с нелокальными эллиптическими задачами и теорией многомерных диффузионных процессов. Так, в известной работе А. В. Бицадзе, А. А. Самарского4 решалась краевая задача для эллиптического дифференциального оператора второго порядка с краевыми условиями, связывающими значе-
'Онанов Г.Г. Скубачевский А.Л. - Прпкл. мех., 1979, т.15, N5, с.39-47. 2Vorontsov М.А., Iroshnikov N.G., Abernathy R.L. - Chaos, Solitons and Fractals, 1994, v.4, N8/9, p.1701-1716.
3Skubachevskii A.L. - J. Differential Equations. 1986, v.63, N3, p.332-361. 4Бшіадзе A.B., Самарский A.A. - ДАН СССР, 1969, т.185, N4, с.739-740.
ния функции на части границы с ее значениями на внутреннем многообразии (см. также W. Feller5, А. Л. Скубачевский6.)
В отличие от краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов в литературе не изучены. Более того, не проводилось систематических исследований даже в одномерном случае, хотя известны работы, посвященные начальной задаче для функционально-дифференциального уравнения со сжатием аргумента (см. Т. Kato, J. В. Mcleod7.)
В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов, а также краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом в одномерном случае.
Цель работы
Основной целью диссертации является исследование обобщенных решений краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих сжатия и растяжения аргументов в старших членах.
Новизна результатов
В диссертации впервые проводится подробное исследование краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованными аргументами в старших производных. Важной отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что область, где ставится уравнение, содержит начало координат - неподвижную точку для операторов сжатия и растяжения. Под действием преобразований аргумента внутри области Q оказывается счетное число сдвигов границы dQ , стягивающихся к началу координат. Это создает принципиальные трудности в их исследовании по сравнению со случаем дифференциально-разностных уравнений.
С другой стороны, такие задачи обладают рядом новых свойств, например, наличием бесконечномерного ядра, состоящего из негладких функций даже в том случае, когда аргумент подвергается только
5Fellcr W. - Ann.Math, 1952, v.55, N3, р.468-519.
6Скубачевский А.Л. - Дифференц. уравнения, 1989, т.25, N1, с.127-136.
7Kato Т., Mcleod J.B. - Bull. Amer. Math. Soc, 1971, v.77, N6.
сжатиям (не выводящим за границы области). Нетерову разрешимость удается при этом получить, если рассматривать решения в подходящих весовых пространствах.
Новым в диссертации является также решение проблемы коэрци-тивности на основе специального символа уравнения - результата преобразований Фурье и Гельфанда функционально-дифференциального оператора.
Новый подход применялся и для исследования уравнений с переменными коэффициентами, поскольку традиционный способ "замораживания" коэффициентов оказывается затруднен в силу особого характера нелокалъности операторов.
Структура диссертации
Похожие диссертации на Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом
