Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Пространства румбе. Нелинейное уравнение первого горщка .
1. Пространства бесконечно дифференцируемых функшй Румье 14
2. Оператор суперпозиции 25
3. Оператор сдвига 37
4. Нелинейное дифференпиальное уравнение первого по - рядка в пространствах Румье 44
ГЛАВА II. Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с отклоняющиеся -аргументом
5. Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с постоянным запаздыванием в пространствах Румье
6. Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с переменным запаздыванием в пространствах Румье 73
7. Дифференпиалъно-операторное уравнение первого по рядка с отклоняющимся аргументом в птостранствах ультрараспределений Румье 85
8. Приложения I 89
ГЛАВА III. Уравнение второго порядка с отклоняемся лементом
9. Дифференциально-операторное уравнение второго порядка с постоянным запаздыванием в пространствах Румье 97
10. Дифференциально-операторное уравнение второго порядка с переменным запаздыванием в пространствах Румье 105
11. Дифтеренциально-операторное уравнение второго порядка с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений Румье 122
12. Приложения II 124
Литература 127
- Пространства бесконечно дифференцируемых функшй Румье
- Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с переменным запаздыванием в пространствах Румье
- Дифференпиалъно-операторное уравнение первого по рядка с отклоняющимся аргументом в птостранствах ультрараспределений Румье
- Дифференциально-операторное уравнение второго порядка с переменным запаздыванием в пространствах Румье
Введение к работе
В настоящей работе изучаются свойства гладкости решений линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах вида u'(i)+A(i)U(i)+ U(-i-co Ш) = / (і) (і) где А (і.) -неограниченный оператор, СО (i) , Cdt(-6), COz. (4)- числовые неотрицательные гладкие Функпии; а также свойства гладкости решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве вида и'Ш * J (4 , ге Сі)), (з) где j (-Ь?Х) - гладкая Функция двух переменных. и а) —*- Ht, utt)) С4) оператор суперпозиции. Грилем г год гладкостью мы понимает.'" принадлежность решения Ц Сі) уравнения (I) , (2), (3) пространству финитных слева бесконечно диФФеренгируемых Функиий или пространству Финитных слева бесконечно диФФепениируемых Функций Румье с ограничениями на рост производных при условии , что правая часть уравнения, принадлежит тощг не Функциональному пространству.
Теория линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с неограниченными операторными коэффициентами возникла и начала интенсивно развиваться в послевоенные годы в Фундаментальных исследованиях Э.Хилле [59] и К.Иосиды [$0] - 5 - Для построения решений задачи Коши однородного линейного дифйе - ренциального уравнения первого порядка с неограниченными и независящими от времени операторами А в правой части ими была применена теория полугрупп, получившая к тому времени значительное развитие. Б ртих исследованиях были выяснены условия на оператор А , стоящий в правой части уравнения, гаранти - рующие разрешимость задачи. Копій и непрерывную зависимость в том или ином смысле соответствующих решений от начальных условий. Основную роль в построениях Э .Хилле и К .Иосиды сыграл тот г^акт , что резольвента /?fA,A) оператора _Д является преобразованием Лапласа полугруппы Т ti) , порожденной оператором А , которая и дает представление решения для задачи Коши. Тем самым, полугруппу Т(-і) и, вместе с ней, решение задачи Коши Э.Хилле и К.Иосида получили в виде обратного прео -бразования Лапласа от резольвенты оператора А ,
Э.Хилле и К.Иосида рассматривали такие дифференциальные уравнения, задача Коши для которых была корректной, т.е. соот -ветствующая полугруппа Т (4>) была сильно непрерывной при 4.-0 . В работах многочисленных последователей Э.Хилле и К.Иосиды были получены соответствующие аналоги для случаев, когда полугруппа имеет те или иные особенности в нуле. Так в работе П.П.Забрейко А.В.Зафиевского 2 і J был рассмотрен случай, когда полугруппа имеет-в нуле интегрируемые особенности, в работе Г. да Лт)8то[68] были рассмотрены полугруппы со степенными особенностями.
В работах Т.Като Lib J и П.Е.Соболевского [S6] получены теоремы о разрешимости задачи Коши для однородных линейных дифференциальных уравнений с переменным оператором.
Неоднородные уравнения изучались в работах її.Е.Соболевского, М.А .Красносельского, СГЛСрейна [SO] ^ [31] . Ими были рассмотрены условия, при которых известная формула, выражающая решение неоднородного уравнения через решение однородного, полученная формальным применением метода Лагранжа вариации произвольных постоянных, действительно определяет классическое или обобщенное решение. Значительная часть описанных выше результатов подытожена в монографии С.Г.Крейна [Вк]
Независимо от теории полугрупп дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с неограниченными операторами изуча - лись в работах М.И.Вишика [6] , О .А.Ладыженской [35J, ?6j , М.И.Бишика - О .А.Ладыженской [?] . Основой их исследований послужили различные неравенства вариационного типа, связывающие энергетические нормы решений с соответствующими нормами правых частей. Ш подход привел к новому понятию обобщенного решения , так называемого слабого решения. Существенное развитие эти методы получили в работах ЖД.Лионса и его последователей; они подытожены в известных монографиях Ж.Л.Лионса [78] и
К.Л.Лионса - Э.Мадженеса [38] , [82.] .
Другой подход к изучению линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициетами связан с использованием теории вероятностей и теории меры.. В.Феллер [69] построил решение смешанной задачи для параболического уравнения при помощи интегрирования по подходящему вероятностному процессу. К этому направлению относятся также работы Р.Фейнмана и Ю.АДалецкого-С.В .Фомина [70] 9 Ш] .
Дальнейшие исследования разрешимости диффет)енциалъно-операторных уравнений велись в различных направлениях. Так в работах Ю.А Дубинского [lb]~ll] дается классификация дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, приводятся корректные постановки _ 7 - задач и изучается их разрешимость.
В работах Н.И.Юрчука [6*-iJ и его последователей методом энергетических опенок исследован широкий класс дифйеренциально-операторных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами и переменными областями определения, выяснены корректные постановки задач, доказаны существование и единственность сильных : решений указанных задач.
Отметим еще одно направление, связанное с исследованием операторных уравнений вида Lu + g г< - , в которых оператор L обладает свойствами, аналогичными свойствам дифференциального оператора. Это прежде всего работы F.Гриваpa {?^[7 Особое место в развитии теории дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах занимают работы по дифференциально-операторным уравнениям с отклоняющимся аргументом. А.Д.Мышкис в своем обзоре 43J отметил данное направление как весьма перспективное и требующее дальнейшего изучения. В работах В.М.Барок - Я.И.Китомирского М и их после-доватей рассматриваются вопросы единственной и корректной разрешимости задачи Коши для уравнений в частных производных с отклоняющимся пространственным аргументом. Исследования Р.Г.Алиева [1] , [2] относятся к дифферен -циально-опетаторным уравнениям с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. С помощью теории полугрупп доказываются необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости этих уравнений. Дифференпиалъно-оперзторным уравнениям с запаздывающим аргументом и с ограниченньши операторными коэффициентами в бана ховом пространстве посвящены работы ТЛ.Заманова [2&1 и З.И.Рехлипкого ["0]915Ч]. Важные результаты, относящиеся к разрешимости дифференци - ально-операторных уравнений с отклоняющшлся аргументом в линейных функциональных пространствах, содержатся в работах М.Квапиша. i«*J , Я.Д .Мэмедова [391 , Л .А .Животовского- СБ. Норкина [і 7] . В.работах М.Артола [6S] и К.Байокки [61] доказаны существование и единственность решения уравнений (т) , (2) в пространствах суммируемых функций ./, (/R^X) (Х- банахово пространство), а также в пространствах Соболева. В связи с развитием теории пространств гладких бесконечно . дифференцируемых. (но не аналитических) функций и в связи с вариационной трактовкой граничных задач математической Физики , в теории дифференциальных уравнений с неограниченным оператором возникла новая важная задача: выяснить условия на правые части уравнений, при которых решения этих уравнений оказываются элементами того или иного пространства гладких функций. Эта задача (случай уравнения первого и второго порядков) для пространств Румье была поставлена Ж.Л.Лионсом и решена в работах Ж.ЛДионса - Э. Мадженеса [22] КЗайокки [66] . В пространствах Берлинга эта задача решена в работах Я.В.Радыно - М.Тэд -жури Ц*В] и М.Таджури i"?J, **]. В других пространствах бесконечно дифференцируемых функций задача о гладкости решений дифференциальных уравнений рассматривалась в работах М .Жеврея |>3] . И.М.Гельфанда - Г.К.Шилова [3],ti0] , Г.Е.Шилова /*ОД . В монографии Ж.Л.Лионса - Э.Мадженеса [8X1 поставлена задача о гладкости по "t решений задачи Коти для дифференциально-операторных уравнений с запаздыванием Сем. проблему 14.14 , стр. 205) . Решению этой проблемы посвящены вторая и третья главы настоящей работы. Переход к. пространствам Румье позволяет изучать дифференциальные уравнения в более широких пространствах распределений, нежели пространство распределений Шварпа , а это в свою очередь_, позволяет установить существование и единственность слабых решений для неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными. С другой стороны, изучение гладкости слабых решений позволяет выяснить, когда эти слабые решения являются класси -ческими. В первой главе настоящей работы доказывается гладкость решений нелинейного уравнения (3) в пространствах Румье. Для этого необходимо чтобы оператор суперпозиции (4) действовал в пространствах Румье. Изучению оператора суперпозиции (интерес представляет нахождение достаточных и даже необходимых условий, при которых оператор суперпозиции действует в том или ином функциональном пространстве; является ограниченным, непрерывным , вполне непрерывным, дифференцируемым в том или ином смысле, монотонньм и др} в различных функциональных пространствах (: пространствах непрерывных и непрерывно дифференциБуег/ых функций, в пространствах интегрируемых в степени р (iips*1**) функций, пространствах Соболева, пространствах Орлича, идеальных пространствах и др.) посвящены работы К.Каратеодори 1??1 , В .В .Немыикого [44J ]kSj , М.А.Красносельского [J6],[X7] , М.М.Вайнберга [4], IS] , П.Е.Забрейко [*83ЛОЯЛ*01 » П.П.Забрейко - Е.Т\ Пустыльнш-а І22.] , М.А.Красносельского - Л.А'.Ладыженского LSZ] , Л.А .Ладыженского [3?] , Красносельского М.А. - П.П.Забрейко - Е.И.Пустыльника - П.Е.Соболевского [ЛВ] , М.А.Красносельского - Г.М.Вайникко - П.П.Забрейко - Я.Б.Рутицкого В.Я.Стеценко [ZS] , М. А.Красносельского - Я .Б .Руттщкого -Р.М.Султанова [3 3] , М Маркуса - В Ж. Мизеля [S3] - 1862 а также другие работы. Аналогичные вопросы в пространствах бесконечно дифференцируемых функиий рассматриваются в работах Г.А.Джанашия іЗ] к А.Фридмана [?і] . В $2 настоящей работы оператор суперпозигии рассматривается в пространствах Румъе Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения 3) в различных Функтнчонрльннх пространствах изучены в работах [^Л^^Л^Л^Л^Л^Л^^Л^^Л^Л^- Перейдем к изложению содержания Работы по главам. В первой главе изучаются оператор суперпозиции (&) , оператор сдвига,а также разрешимость уравнения (3) в пространствах Румъе. В $1 вводятся необходимые понятия и пространства, прйво -дятся их топологические свойства. В *2 изучаются условия, при которых оператор суперпозиции (4) действует в пространстве Румье, является там ограниченным и вполне непрерывным. В S3 изучаются условия, при которых оператор сдвига К (і) —* гс(сіС-Ь)) действует в пространстве Румъе, явля -ется там ограниченным и вполне непрерывным. В $4 доказывается существование решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения (3) в пространствах Румъе, а также существование решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Во второй главе изучаются вопросы гладкости пиФФеренциаль-но-операторного уравнения (I) первого порядка с заназдыва - - II - нием в пространствах Финитных слева бесконечно дифференцируемых функций, в Финитных слева пространствах Румье, а также существование решения ди-"ференциалчю-оперрторного сравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений Румье. В^5 доказывается существование решения уравнения (Г) в случае постоянного запаздывания (u)(t)= t ъб) в пространствах: финитных слева бесконечно дифференцируемых функций и в финитных слева пространствах. Румте при условии, что правая часть уравнения принадлежит соответствующему простван-ству. В 6 изучаются те же вопросы для уравнения (I)} что и в предыдущем параграфе, однако функция запаздывания СО (і) зависит от t . Класс пространств Румъе, на которые распространяются результаты параграфа, несколько уже чем в *5. В 7 результаты № 5, 6 переносятся на пространства ультрараспределений Румье. В 8 приведены некоторые приложения теорем, полученных в 6 5, 6, 7, а также примеры однородных и неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными, к котошм приложит/1 ы данные теоремы. В третьей главе изучаются вопросы гладкости диФФетэенпи-ально-операторного уравнения (2) второго порядка с запаздыванием в пространствах финитных слева бесконечно дифференцируемых Функций, в Финитных слева пространствах Румье, а также существование решения диФФеренциально-операторного уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений Румье. В $9 доказывается суцествование решения уравнения (2) в случае постоянных Функций запаздывания Сд (t)= Tt ъ О , с*)г (4) - Tt z> О в пространствах финитных слева бесконечно дифференцируемых Функций и в Финитных слева' птосттанствах Румье. Б 10 изучаются те же вопросы для уравнения (2), что и в предыдущем параграфе, но функпии запаздывания Ь)л(4) и СО^СЬ)зависят от ± . Класс пространств Румье, на которое рас - пространяются результаты параграфа, несколько уже нежели в 9. В ЯП результаты 9, 10 переносятся на пространства ультрараспределений Румье. В 12 приводятся некоторые приложения, а также примеры разрешимости неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре каФедры функционального анализа Белгосуниветхитета имени В.ИЛенина, на Гродненском городском семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям /1984 г./, в УП-ой школе по теории операторов в Функциональных просттэанствах в Минске /1982 г./,в УШ-ой школе по теории операторов в Функциональных пространствах в Риге /1983 г./, на конференции молодых ученых Белгосуниверситета имени В.И Ленина / 1983 г./, на П-ой Межвузовской конференции молодых ученых "Развитие фудаментальных и 'прикладных исследований" в Ленинграде /1984 г./, во Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" в Минске /1984 г./. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [91] - [9Ю . На защиту выносятся следующие результаты: 1, Теорема об ограниченности и полной непрерывности опера тора суперпозиции (А) , действующего в пространствах Румье. 2. Теорема об ограниченности и полной непрерывности опера- - ІЗ - торг сдвига V(-і) —? Wfft (-^действующего в пространстве Румье. Теорема о регулярности решений нелинейного дифференциального уравнения (3) в пространствах Румье. Теоремы о регулярности решений дифФеренпиально-оператор-ного уравнения (I) первого порядка с постоянные и переменным запаздыванием в пространствах финитных слева бесконечно дифференцируемых функций. Теоремы о регулярности решений дифференциально-операторного уравнения (I) первого порядка с постоянным и переменным запаздыванием в Финитных слева пространствах Румье. Теоремы о регулярности решений диФФеренциально-опеватор-ного уравнения (2) второго поряд*а с постоянным и переменным запаздыванием в пространствах Финитных слева бесконечно дифференцируемых функций. Теоремы о регулярности решений дифферент? рльно-оператор-ного уравнения (2J второго порядка с постоянным и переменным запаздыванием в Финитных слева пространствах Румье. Переход к. пространствам Румье позволяет изучать дифференциальные уравнения в более широких пространствах распределений, нежели пространство распределений Шварпа , а это в свою очередь_, позволяет установить существование и единственность слабых решений для неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными. С другой стороны, изучение гладкости слабых решений позволяет выяснить, когда эти слабые решения являются класси -ческими. В первой главе настоящей работы доказывается гладкость решений нелинейного уравнения (3) в пространствах Румье. Для этого необходимо чтобы оператор суперпозиции (4) действовал в пространствах Румье. Изучению оператора суперпозиции (интерес представляет нахождение достаточных и даже необходимых условий, при которых оператор суперпозиции действует в том или ином функциональном пространстве; является ограниченным, непрерывным , вполне непрерывным, дифференцируемым в том или ином смысле, монотонньм и др} в различных функциональных пространствах (: пространствах непрерывных и непрерывно дифференциБуег/ых функций, в пространствах интегрируемых в степени р (iips 1 ) функций, пространствах Соболева, пространствах Орлича, идеальных пространствах и др.) посвящены работы К.Каратеодори 1??1 , В .В .Немыикого [44J ]kSj , М.А.Красносельского [J6],[X7] , М.М.Вайнберга [4], IS] , П.Е.Забрейко [ 83ЛОЯЛ 01 » П.П.Забрейко - Е.Т\ Пустыльнш-а І22.] , М.А.Красносельского - Л.А .Ладыженского LSZ] , Л.А .Ладыженского [3?] , Красносельского М.А. П.П.Забрейко - Е.И.Пустыльника - П.Е.Соболевского [ЛВ] , М.А.Красносельского - Г.М.Вайникко - П.П.Забрейко - Я.Б.Рутицкого В.Я.Стеценко [ZS] , М. А.Красносельского - Я .Б .Руттщкого -Р.М.Султанова [3 3] , М Маркуса - В Ж. Мизеля [S3] - 1862 а также другие работы. Аналогичные вопросы в пространствах бесконечно дифференцируемых функиий рассматриваются в работах Г.А.Джанашия іЗ] к А.Фридмана [?і] . В $2 настоящей работы оператор суперпозигии рассматривается в пространствах Румъе Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения 3) в различных Функтнчонрльннх пространствах изучены в работах [ Л Л Л Л Л Л Л Л Л Перейдем к изложению содержания Работы по главам. В первой главе изучаются оператор суперпозиции (&) , оператор сдвига,а также разрешимость уравнения (3) в пространствах Румъе. В $1 вводятся необходимые понятия и пространства, ПРЙВО -дятся их топологические свойства. В 2 изучаются условия, при которых оператор суперпозиции (4) действует в пространстве Румье, является там ограниченным и вполне непрерывным. В S3 изучаются условия, при КОТОРЫХ оператор сдвига К (і) — гс(сіС-Ь)) действует в пространстве Румъе, явля -ется там ограниченным и вполне непрерывным. В $4 доказывается существование решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения (3) в пространствах Румъе, а также существование решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Во второй главе изучаются вопросы гладкости пиФФеренциаль-но-операторного уравнения (I) первого порядка с заназдыва - II нием в пространствах Финитных слева бесконечно дифференцируемых функций, в Финитных слева пространствах Румье, а также существование решения ди-"ференциалчю-оперрторного сравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений Румье. В 5 доказывается существование решения уравнения (Г) в случае постоянного запаздывания (u)(t)= t ъб) в пространствах: финитных слева бесконечно дифференцируемых функций и в финитных слева пространствах. Румте при условии, что правая часть уравнения принадлежит соответствующему простван-ству. В 6 изучаются те же вопросы для уравнения (I)} что и в предыдущем параграфе, однако функция запаздывания СО (і) зависит от t . Класс пространств Румъе, на которые распространяются результаты параграфа, несколько уже чем в 5. В 7 результаты № 5, 6 переносятся на пространства ультрараспределений Румье. В 8 приведены некоторые приложения теорем, полученных в 6 5, 6, 7, а также примеры однородных и неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными, к котошм приложит/1 ы данные теоремы. В третьей главе изучаются ВОПРОСЫ гладкости диФФетэенпи-ально-операторного уравнения (2) второго порядка с запаздыванием в пространствах финитных слева бесконечно дифференцируемых Функций, в Финитных слева пространствах Румье, а также существование решения диФФеренциально-операторного уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений Румье. Независимо от теории полугрупп дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с неограниченными операторами изуча лись в работах М.И.Вишика [6] , О .А.Ладыженской [35J, ?6j , М.И.Бишика - О .А.Ладыженской [?] . Основой их исследований послужили различные неравенства вариационного типа, связывающие энергетические нормы решений с соответствующими нормами правых частей. Ш подход привел к новому понятию обобщенного решения , так называемого слабого решения. Существенное развитие эти методы получили в работах ЖД.Лионса и его последователей; они подытожены в известных монографиях Ж.Л.Лионса [78] и К.Л.Лионса - Э.Мадженеса [38] , [82.] . Другой подход к изучению линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициетами связан с использованием теории вероятностей и теории меры.. В.Феллер [69] построил решение смешанной задачи для параболического уравнения при помощи интегрирования по подходящему вероятностному процессу. К этому направлению относятся также работы Р.Фейнмана и Ю.АДалецкого-С.В .Фомина [70] 9 Ш] . Дальнейшие исследования разрешимости диффет)енциалъно-операторных уравнений велись в различных направлениях. Так в работах Ю.А Дубинского [lb] ll] дается классификация дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, приводятся корректные постановки задач и изучается их разрешимость. В работах Н.И.Юрчука [6 -iJ и его последователей методом энергетических опенок исследован широкий класс дифйеренциально-операторных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами и переменными областями определения, выяснены корректные постановки задач, доказаны существование и единственность сильных : решений указанных задач. Отметим еще одно направление, связанное с исследованием операторных уравнений вида Lu + g г - , в которых оператор L обладает свойствами, аналогичными свойствам дифференциального оператора. Это прежде всего работы F.Гриваpa {? [7 J/B которых приведены условия разрешимости таких двучленных и более общих абстрактных операторных уравнений; как частный случай получены теоремы о разрешимости дис№ерештиально-операторных уравнений. Особое место в развитии теории дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах занимают работы по дифференциально-операторным уравнениям с отклоняющимся аргументом. А.Д.Мышкис в своем обзоре 43J отметил данное направление как весьма перспективное и требующее дальнейшего изучения. В работах В.М.Барок - Я.И.Китомирского М и их после-доватей рассматриваются вопросы единственной и корректной разрешимости задачи Коши для уравнений в частных производных с отклоняющимся пространственным аргументом. Исследования Р.Г.Алиева [1] , [2] относятся к дифферен -циально-опетаторным уравнениям с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. С помощью теории полугрупп доказываются необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости этих уравнений. Дифференпиалъно-оперзторным уравнениям с запаздывающим аргументом и с ограниченньши операторными коэффициентами в бана ховом пространстве посвящены работы ТЛ.Заманова [2&1 и З.И.Рехлипкого ["0]915Ч]. Важные результаты, относящиеся к разрешимости дифференци ально-операторных уравнений с отклоняющшлся аргументом в линейных функциональных пространствах, содержатся в работах М.Квапиша. i« J , Я.Д .Мэмедова [391 , Л .А .Животовского- СБ. Норкина [і 7] . В.работах М.Артола [6S] и К.Байокки [61] доказаны существование и единственность решения уравнений (т) , (2) в пространствах суммируемых функций ./, (/R X) (Х- банахово пространство), а также в пространствах Соболева. В связи с развитием теории пространств гладких бесконечно . дифференцируемых. (но не аналитических) функций и в связи с вариационной трактовкой граничных задач математической Физики , в теории дифференциальных уравнений с неограниченным оператором возникла новая важная задача: выяснить условия на правые части уравнений, при которых решения этих уравнений оказываются элементами того или иного пространства гладких функций. Эта задача (случай уравнения первого и второго порядков) для пространств Румье была поставлена Ж.Л.Лионсом и решена в работах Ж.ЛДионса - Э. Мадженеса [22] КЗайокки [66] . В пространствах Берлинга эта задача решена в работах Я.В.Радыно - М.Тэд -жури Ц В] и М.Таджури i"?J, ]. В других пространствах бесконечно дифференцируемых функций задача о гладкости решений дифференциальных уравнений рассматривалась в работах М .Жеврея 3] . И.М.Гельфанда - Г.К.Шилова [3],ti0] , Г.Е.Шилова / ОД . Пусть {Еп} последовательность норлированных пространств такая, что для всякого tiuJM пространство Еп. вложено в Еуі4.4 » и вложение является вполне непрерывным. Следуя Ж.Се -баштьян-й-Силва Jj54j и Д.А .Райкову L49] , назовем последовательность іЕн} регулярной последовательностью нормированных пространств, а индуктивный предел назовем регулярньм индуктивным пределом. Напомним некоторые важные свойства регулярных индуктивных пределов /см. [49J lJ b]), которые мы будем использовать в дальнейшем. А. Регулярный индуктивный предел является отделимым немет-ризуемым локально выпуклым пространством. Б. Для того, чтобы множество ]f было замкнуто в регу лярном индуктивном пределе Е - &т СИСІ А, , необходимо и достаточно, чтобы множество ///? было замкнуто в топологии En. при П=і}А}..,. В. Для того чтобы множество Н было ограничено в пространстве Е=&УУІ i/idL En. , необходимо и достаточно, чтобы существовал номер fiteM такой, что Н с Е т- и К было ограничено В Ет Г. Регулярный индуктивный предел последовательности банаховых рефлексивных пространств является полным рефлексивным мояте-левским т.е. кадое ограниченное множество в Е является относительно компактным локально выпуклым пространством, Д. Для того, чтобы отображение J- индуктивного регулярного предела Е = -t4rn мс{ Е . в топологическое пространство F было непрерывным, необходимо и достаточно чтобы сужение / на Ем, было непрерывным в топологии пространства Е . для всех /гбДҐ . 1.4. Пространства SDj (j(X). Рассмотрим некоторую возрастающую к бесконечности последовательность положительных чисел {Ln,i Определение 1.2. Обозначим через Ь ы (JC, X) иядуктивный предел дьц(х,х)= & get ймсъи.х). Заметим, что, так как /L } является кофинальным подмно -жеством множества действительных чисел больших нуля, то Из свойств индуктивного предела рефлексивных банаховых прост -ранств (см.п. 1.3; и І?1 ]) вытекает, что пространство Ю (Ж Х) является отделимым неметризуемым полным рефлексивным (т.к. уц (ЗС, L,- X) рефлексивно (см. tBZ])) . локально выпуклым пространством, В силу леммы 1,3 , последовательность банаховых пространств{ (.КДд, jR4j является регулярной. Следовательно, пространство 5L(Jf,/RAj монтелевское. Лемма 1.4 ([№]) . Пространство « (J{J() устойчиво относительно дифференцирования. Лемма 1.5 (IWJ) . Если f(i) 6 &р(Х9Х) и Определение 1.3. Обозначим через j Ш3Х) пространство бесконечно дифференцируемых функций, определенных на прямой /R со значениями в Л. , таких, что для всякого компактного множества Зі с/Ц сужение функции У на Зі принадлежит g (К,Х) Естественно наделить пространство (ik X) топологией проективного предела пространств ) ( Jf) относительно непрерывных отображений %\, . M(/R X) — Sbu&jX) т.е. самой слабой локально выпуклой топологией, при которой все отображения Z-ц непрерывны из SjbifUJC) в оОун СКДj, где tj -сужение функции У на компакт Зі , Л пробегает множество всех компактов на прямой IR . Из свойств проективных пределов Сем. LSZ]}1б0]) вытекает, что локально выпуклое пространство (В( Х) является отделимым полным рефлексивным (а при Jf jR 1, монтелевским) пространством, устойчивым относительно дифференцирования. Ввиду леммы 1.5 , локально выпуклое пространство ($} X) является алгеброй относительно умножения. Ввиду того, что ЯВм (Зі X) неметризуемо, пространство м (IR, X ) также неметризуемо. Пространства g)+Jt (7КД] } _ (JR,X). Определение 1.4. Обозначим через g) (Га ё] [, X") замкнутое подпространство пространства Js / j / v-\ см. определение I.l) , образованное сужениями бесконечно дифференцируемых :функций У (і) на отрезок f#,/j такими, что Из п. 1.2 следует, что пространство b« ftfl, $7 i,.Xj не вырождается в нуль. Из п.1.2 следует также, что пространство о&и ftfl, ft, Z,, JT) является банаховым по норме (і.II). Как и в случае уц ([0,4],htX) доказывается, что при // /, простран ство (1Р,(3 9Х) непрерывно вложено в gf baJ X) а при Jf jR вложение вполне непрерывно. Важные результаты, относящиеся к разрешимости дифференци ально-операторных уравнений с отклоняющшлся аргументом в линейных функциональных пространствах, содержатся в работах М.Квапиша. i« J , Я.Д .Мэмедова [391 , Л .А .Животовского- СБ. Норкина [і 7] . В.работах М.Артола [6S] и К.Байокки [61] доказаны существование и единственность решения уравнений (т) , (2) в пространствах суммируемых функций ./, (/R X) (Х- банахово пространство), а также в пространствах Соболева. В связи с развитием теории пространств гладких бесконечно . дифференцируемых. (но не аналитических) функций и в связи с вариационной трактовкой граничных задач математической Физики , в теории дифференциальных уравнений с неограниченным оператором возникла новая важная задача: выяснить условия на правые части уравнений, при которых решения этих уравнений оказываются элементами того или иного пространства гладких функций. Эта задача (случай уравнения первого и второго порядков) для пространств Румье была поставлена Ж.Л.Лионсом и решена в работах Ж.ЛДионса - Э. Мадженеса [22] КЗайокки [66] . В пространствах Берлинга эта задача решена в работах Я.В.Радыно - М.Тэд -жури Ц В] и М.Таджури i"?J, ]. В других пространствах бесконечно дифференцируемых функций задача о гладкости решений дифференциальных уравнений рассматривалась в работах М .Жеврея 3] . И.М.Гельфанда - Г.К.Шилова [3],ti0] , Г.Е.Шилова / ОД . В монографии Ж.Л.Лионса - Э.Мадженеса [8X1 поставлена задача о гладкости по "t решений задачи Коти для дифференциально-операторных уравнений с запаздыванием Сем. проблему 14.14 , стр. 205) . Решению этой проблемы посвящены вторая и третья главы настоящей работы. Переход к. пространствам Румье позволяет изучать дифференциальные уравнения в более широких пространствах распределений, нежели пространство распределений Шварпа , а это в свою очередь_, позволяет установить существование и единственность слабых решений для неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными. С другой стороны, изучение гладкости слабых решений позволяет выяснить, когда эти слабые решения являются класси -ческими. В первой главе настоящей работы доказывается гладкость решений нелинейного уравнения (3) в пространствах Румье. Для этого необходимо чтобы оператор суперпозиции (4) действовал в пространствах Румье. Изучению оператора суперпозиции (интерес представляет нахождение достаточных и даже необходимых условий, при которых оператор суперпозиции действует в том или ином функциональном пространстве; является ограниченным, непрерывным , вполне непрерывным, дифференцируемым в том или ином смысле, монотонньм и др} в различных функциональных пространствах (: пространствах непрерывных и непрерывно дифференциБуег/ых функций, в пространствах интегрируемых в степени р (iips 1 ) функций, пространствах Соболева, пространствах Орлича, идеальных пространствах и др.) посвящены работы К.Каратеодори 1??1 , В .В .Немыикого [44J ]kSj , М.А.Красносельского [J6],[X7] , М.М.Вайнберга [4], IS] , П.Е.Забрейко [ 83ЛОЯЛ 01 » П.П.Забрейко - Е.Т\ Пустыльнш-а І22.] , М.А.Красносельского - Л.А .Ладыженского LSZ] , Л.А .Ладыженского [3?] , Красносельского М.А. П.П.Забрейко - Е.И.Пустыльника - П.Е.Соболевского [ЛВ] , М.А.Красносельского - Г.М.Вайникко - П.П.Забрейко - Я.Б.Рутицкого В.Я.Стеценко [ZS] , М. А.Красносельского - Я .Б .Руттщкого -Р.М.Султанова [3 3] , М Маркуса - В Ж. Мизеля [S3] - 1862 а также другие работы. Аналогичные вопросы в пространствах бесконечно дифференцируемых функиий рассматриваются в работах Г.А.Джанашия іЗ] к А.Фридмана [?і] . В $2 настоящей работы оператор суперпозигии рассматривается в пространствах РумъеПространства бесконечно дифференцируемых функшй Румье
Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с переменным запаздыванием в пространствах Румье
Дифференпиалъно-операторное уравнение первого по рядка с отклоняющимся аргументом в птостранствах ультрараспределений Румье
Дифференциально-операторное уравнение второго порядка с переменным запаздыванием в пространствах Румье
Похожие диссертации на Дифференциально-операторные уравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах Румье
