Введение к работе
Актуальность работы. В связи с исследованием краевых задач для обобщенных систем Коши—Римана в диссертации рассматриваются вопросы интегрального представления решений системы Моисила— Теодореску в ограниченной области трехмерного пространства.
Краевые задачи для эллиптических уравнений и систем играют важную роль в математической физике. Несмотря на то, что, уже начиная с восемнадцатого века, большое число работ было посвящено граничным задачам этого типа, теория краевых задач для общих эллиптических систем была развита только во второй половине двадцатого века. В основе этой теории лежат работы И. Г. Петровского, М. И. Вишика, Я. Б. Лопатинского, В. С. Виноградова, А. И. Кошелева, Ю. М. Березан-ского, В. А. Солонникова, М. С. Аграновича, С. А. Назарова, Б. А. Пламе-невского, А. И. Янушаускаса, Л.Хёрмандера, С.Агмона, А. Дуглиса, Л. Ниренберга, Ф. Браудера, М. Шехтера, Я. А. Ройтберга и других.
Особая роль в исследовании общих краевых задач для эллиптических систем принадлежит Я. Б. Лопатинскому.1 В его работе впервые было получено условие согласования коэффициентов системы уравнений с коэффициентами граничных операторов, достаточное для сводимости граничной задачи общего вида к регулярным интегральным уравнениям. В настоящее время это условие называют условием Шапиро—Лопатинского или условием дополнительности. В этой работе Я. Б. Лопатинский описал метод сведения граничной задачи в ограниченной выпуклой области к системе регулярных интегральных уравнений при помощи построенных им потенциалов. Ранее подобный метод применяла З.Я.Шапиро для систем с постоянными коэффициентами.
В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимают обобщенные системы Коши—Римана. В пространстве М3 для вектор-функции и{х) = (щ,и2,щ,щ) это системы
ди ди ди
>4х4
ах- Ьа2^ Ьазт^ = 0, а3 Є
ОХ\ ОХ2 OXz
для которых характеристическая матрица М() = а\^\ + й2^2 + о-з^з обладает свойством М()МТ'() = |<^|2, где Т - символ матричного транс-
1 Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям// Укр. мат. журн. - 1953. - Т. 5, №2. - С. 123-151.
понирования. Простейший аналог этой системы впервые был предложен и исследован в работе Гр. К. Моисила и Н. Теодореску.2
Повышенный интерес к исследованию этих систем объясняется особой их значимостью как в математике: в теории аналитических функций нескольких переменных, функциональном анализе, геометрии векторных полей, теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, так и в физике: в квантовой механике, теории поля, теории геофизических полей.
Обобщенным системам Коши—Римана посвящен ряд исследований, содержащихся в работах А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, В. С. Виноградова, Е. И. Оболашвили, И. Р. Шафаревича, Гр. К. Моисила и Н. Теодореску, А. А. Дезина, А. П. Солдатова, А. Д. Джураева, В. И. Шевченко и других.
В современной теории эллиптических краевых задач важное место занимает решение проблемы нахождения эллиптических систем с нете-ровыми или фредгольмовыми задачами. Эта проблема была поставлена в монографии А. В. Бицадзе.3 Именно в ходе известных работ А. В. Бицадзе впервые началось изучение краевых задач для трехмерных аналогов системы Коши—Римана. При этом в качестве представителя такой системы выбиралась система Моисила—Теодореску. Важно отметить, что исследования этих задач касались, в основном, случая полупространства.
В диссертационной работе основное внимание уделяется исследованию разрешимости задачи Римана—Гильберта для системы Моисила— Теодореску в ограниченной области. В связи с этим проводится анализ условия Шапиро—Лопатинского, которое обеспечивает фредгольмовость этой задачи. Анализ этого условия позволил установить однозначную разрешимость задачи типа Шварца и найти новое интегральное представление решений рассматриваемой эллиптической системы.
Цель работы.
Исследовать условие дополнительности задачи Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.
Для оператора Моисила—Теодореску найти постановку задачи, сопряженной к задаче Римана—Гильберта.
Исследовать граничные свойства обобщенных интегралов типа Коши в трехмерном пространстве.
2Moisil Gr. С, Theodorescu N. Fonctions holomorphes dan Pespace// Mathematica. - 1931. - V. 5. -P. 142-153.
3Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966.
4. Получить новое интегральное представление общего решения системы Моисила—Теодореску в ограниченной области. Научная новизна.
Впервые дано явное описание условия дополнительности задачи Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску.
Найдена постановка сопряженной задачи Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску.
Исследованы граничные свойства обобщенных интегралов типа Копій в классах Гельдера.
Впервые предложена постановка задачи типа Шварца для системы Моисила—Теодореску и доказана ее однозначная разрешимость.
Получено новое интегральное представление общего решения системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.
Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы методы теории функций и функционального анализа, сингулярных интегральных уравнений и теория интеграла типа Коши.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития общей теории краевых задач для эллиптических систем в ограниченных областях.
Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на VI-VIII школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», в рамках, соответственно, Российско-Азербайджанского (Нальчик-Эльбрус, 2008), Российско-Абхазского (Нальчик-Эльбрус, 2009), Российско-Болгарского (Нальчик-Хабез, 2010) сипозиумов; на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, 2009); на конференции, посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н.Врагова (Новосибирск, 2010); в ходе Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2010); на международной конференции, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, 2011) и восьмом международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011). Также результаты диссертации были представлены на первой Всероссийской конференции молодых ученых (КБР, Терскол, 2010).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Публикации [2]-[5] выполнены в изданиях из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. В совместных с А. П. Солдатовым статьях [2]-[7] научному руководителю принадлежат постановка задач и выбор методик исследования, а соискателю - реализация указанных методик.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации составляет 94 страницы, библиография - 81 наименование.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А. П. Солдатову за постановку задач, поддержку и внимание к работе.
