Введение к работе
Актуальность темы. Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.
История развития дробного интегродифференцирования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Важным шагом в развитии дробного интегродифференцирования стала книга, написанная Самко С.Г., Килбасом А.А. и Маричевым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов.
В последние годы возрос интерес к исследованию так называемых дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования, так и приложениями таких конструкций в различных областях науки: в физике, механике, химии, инженерии и других областях науки и естествознания. В связи с этим мы приведем список авторов монографий и обзорных статей по этой тематике: Oldham К.В., Spanier J.; Miller K.S., Ross В.; Carpintery A., Mainardi F.; Gorenflo R., Mainardi F.; Podlubny I.; Hilfer R.; Metzler R., Klafter J.; Нахушев A.M.; Иеху A.B.; Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. и др.
Дифференциальные операторы дробного порядка могут иметь различные формы. Обзор методов и результатов в теории дифференциальных уравнений дробного порядка был дан в двух обзорных статьях Килба-са А.А. и его расширенный вариант представлен в монографии Kilbas А.А., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. Math. Studies. V. 204. Elsevier. 2006.
Среди одномерных линейных дифференциальных уравнений наиболее изучены уравнения, содержащие дробные производные Римана-Лиувилля. В восьмидесятых годах двадцатого века началось исследование одномерных дифференциальных уравнений с модифицированными дробными производными Римана-Лиувилля. Такая конструкция была введена итальянским механиком Капуто М. в 1967 году, и названа дробной производной Капуто. Но правильнее было бы называть ее дробной производной Герасимова-Капуто, так как в 1948 году советский механик Герасимов А.И.
в одной из своих работ ввел частную производную аналогичного вида.
Одновременно началось изучение дифференциальных уравнений с частными дробными производными. Большинство исследований в области обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка было посвящено теоремам существования и единственности решений дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля. В работах многих ученых изучалась задача типа Коши. Эти работы базировались на сведении рассматриваемой задачи к интегральному уравнению Воль-терра второго рода с последующим применением известных методов для исследования этого уравнения: принцип неподвижной точки, метод последовательных приближений и др. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начально-краевых задач применяется также метод интегральных преобразований.
Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого и второго порядков в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп и теорией косинус-функций) начато в работах Хилле Э. и Иоси-ды К. в 1948 г. В настоящее время имеются монографии Данфорда Н. и Шварца Дж., Иосиды К., Крейна С.Г., Като Т., Голдстейна Дж., Хилле Э. и Филлипса Р., Фатторини Г. и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп и косинус-функций, а также обширные обзоры Крейна С.Г. и Хазана М.И., Васильева В.В., Крейна С.Г. и Пис-карева СИ. научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —> оо и т.д.
В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них Кочубей А.И., Костин В.А., Бажлекова Е., Глушак А.В., Clement Ph., Gripenberg С, Londen S.-O. и др.
Дробное исчисление функций одной и многих переменных, и в том числе исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка, продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.
Цель работы. Исследование разрешимости задачи типа Коши для дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля; нахождение операторной функции Коши, позволяющей решать задачу ти-
па Копій для неоднородного уравнения; установление однозначной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений с дробными производными Адамара; исследование разрешимости ряда обратных задач.
Методы исследования. Используются методы функционального анализа и теории операторов в банаховом пространстве, метод сведения к интегральным уравнениям, а также метод последовательного приближения.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:
-
установление критерия равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Римана-Лиувилля;
-
получение достаточных условий существования аналитического разрешающего оператора этой задачи;
-
нахождение операторной функции Коши, позволяющей определить решение неоднородной задачи;
-
установление критерия равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара;
-
нахождение достаточных условий разрешимости обратной коэффициентной задачи для дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара;
-
доказательство равномерной корректности задачи типа Коши с двумя дробными производными Адамара.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, в ней приводятся условия разрешимости некоторых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка. Полученные результаты могут быть использованы при установлении корректной разрешимости конкретных уравнений математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих международных и российских конференциях:
-
XVI Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". V Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Ростов-на-Дону. 27 мая - 3 июня 2008.
-
Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". VII Школа молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик. Эльбрус. 17 - 22 мая 2009.
-
I Всероссийская конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Кабардино-Балкарская республика пос. Терскол. 6-9 декабря 2010.
-
Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород. 17-21 октября 2011.
-
Международная молодежная конференция "Прикладная математика, управление и информатика". Белгород. 3-5 октября 2012.
-
Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород. 26 - 31 мая 2013.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [13]. Работы [8], [11] и [12] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
В совместных работах с научным руководителем Глушаком А.В. руководителю принадлежит постановка задач и руководство работой. Автору диссертации принадлежит выбор методик исследования и их реализация.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на одинадцать пунктов, и списка литературы, включающего 66 источников. Общий объём диссертации 99 страниц.
Похожие диссертации на Разрешимость начальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными
