Введение к работе
Актуальность темы. В ряде разделов математической физики (в гидродинамике, теории упругости и др.) фундаментальное значение имеет дифференциальное уравнение (с сингулярной линией у=0)
д и д и и ди .
—- + —— + - — = (), /i = const>0, (0Л)
etc2 ду2 У ду к которому приводят различные трехмерные задачи с той или иной симметрией области задания или возможной симметрией в искомом решении. Например, если в трехмерном уравнении Лапласа для тела вращения перейти к цилиндрическим координатам, то в меридианальнои плоскости получится уравнение (0.1).
В мировой литературе уравнение (0.1) получило широкую известность под различными названиями: уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу (ЭПД); уравнение GASPT {Gydrodynamical Axially Symmetric Potencial Theory), мы будем называть его уравнением ООСТП - уравнением обобщенной осесим-метрической теории поля.
С 1 2
Кстати, если положить g = *,7 = — У , то из (0.1) получим уравнение
д2и д2и ди „ \+и
4W+W+e'*iB0,e=~r' (0-2)
относящееся к тем вырождающимся дифференциальным уравнениям, которые были изучены М.В. Келдышем в 1951г. Им впервые было показано, что на той части границы, на которой происходит вырождение, задавать значение искомой функции некорректно. Вместо задачи Дирихле (когда значение искомой функции должно быть задано на всем контуре) корректной будет задача Е, когда на отрезке (-1,1) требуется только ограниченность искомой функции, а сама она не задается (см. также известный обзор М.М. Смирнова по вьірождаюіциеся уравнениям). Мы фактически сразу рассматриваем
решения, непрерывные в замкнутой области - поэтому об ограниченности решений на / мы говорим лишь в порядке обсуждения. Такую «видоизмененную» задачу М.В. Келдыша-будем называть задачей типа.
Пусть L обозначает верхнюю полуокружность х2 + у2 = I, I отрезок (-1,1) оси ox, a G полукруг в верхней полуплоскости. Полукруг и полуокружность симмегричньте с G и L относительно оси ох обозначим через G и Т , а В GiJ'Xj Помимо общепринятого обозначения класса функций ;ч"Г/'',!Ы непрерывно дифференцируемых внутри области C'(G) будем писаіь «.іцс л(\,у) >-Cj(G),е^гіп и(\,\)^С (G) и непрерывна вп.іоіь до іраннцьі. Через
N2(G) обозначаемся подкласс из C2(G) функций для которых у^ - — = 0,
х->0 ду
а М2(В)-кл&сс функций, принадлежащих соответственно классам C2(G) и
C2(G') и образующих в В единую непрерывную функцию вместе с
выражением \у\* , 0<д<1; Н a(L)-класс функций удовлетворяющих на L
условию Гёльдера с показателем а (0<а<1); H#^(L)-класс функций производные порядка к которых принадлежат классу Ha(L); С W(L)-класс функций, имеющих непрерывные производные порядка к (кЩ, причем старшие производные которых принадлежат классу W{L) -классу функций, где норма определяется как сумма максимумов модулей предельных значений изнутри области и извне.
В работе швейцарского математика П. Генричи (P. Henrici) за 1953г. была дана формула представления аналитических по (х,у) решений (0.1) через голоморфные функции ф(г)
. ч 1 \ ф[х + іу{1-2а)];
Ф,У) = —Ґ ті — ~d
Wl) Ы\-а)] 2
В работах Ю II. Кривенкова за 1957-1960 гг. было доказано, что всякое решение уравнения (0.1) из класса C2(G) обязательно будет аналитическим
по х, у (вне оси ох). Кроме того, им даны еще другие интегральные представления, подобные (0.3).
Большую известность приобрели работы американского математика А.Вайнштейна, связанные с исследованиями обобщенных уравнений типа (0.1) и с соответствующими вопросами теории потенциала и общей теории поля. По известным его работам в данной области науки закрепилось наименование: уравнения GASPT.
В 1963 г. у нас в Таджикистане (в изд. Академии наук) была опубликована монография Л.Г. Михайлова «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным, уравнения с сингулярными коэффициентами», в которой впервые были рассмотрены уравнения
|z|d-w = a(z)w + e(z)w + c(z), где w = u + iv, z = x + iy, 2д~ =дх+іду
2 h
\x\ Am + \x\ Y в}(х)дх,и + c(x)u = fix),
/ = 1 '
где x = (x ,...,x ), 1*1 = Ei?
1 " *=1*
которые в начале координат испытывают вырождение порядка до нулевого или, следуя Л.Г. Михайлову будем называть их: «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами».
В 1970 г. указанная монография Л. Г. Михайлова в переводе на английский язык была издана престижнейшими научными издательствами Голландии и Германии.
Начиная с 1959 года в Академии наук по дифференциальным уравнен-ниям с сингулярными коэффициентами Л.Г. Михайловым была развернута большая работа по подготовке научных кадров. Одним из тех, кто к нему поступил на работу в самый первый начальный период, был Н. Раджабов, которому была предложена тема (очень заинтересовавшая его на многие
годы): «Осесимметрическая теория поля и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу». Главное состояло здесь в том, что различные граничные задачи для (0.1) и подобные ему для других уравнений бьши приведены к краевым задачам теории аналитических функций комплексного переменного.
Насколько нам известно из печати (реферативный журнал Математика, обзор М.М. Смирнова и т.д.) по существу не было работ, посвященных приближенным методам решения задачи типа Е и других краевых задач для (0.1). Подчеркнем, что как в самом дифференциальном уравнении, так и во всех интегральных представлениях и в формулах, дающих решения краевых задач, имеются сингулярности - и это представляет собой наиболее значительное затруднение.
Цель работы. Получение приближенного решения краевых задач для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярной линией в виде конечной суммы и оценки погрешности полученных решений в различных классах.
Метод исследования. Он заключается в преобразовании тех или иных граничных задач для (0.1) к краевым задачам аналитических функций комплексного переменного, теория которых разработана в школах Н.И.Мус-хелишвили, Ф.Д. Гахова, Л.Г. Михайлова. Используется также методика аппроксимации функций тригонометрическими интерполяционными полиномами.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Впервые получены приближенные решения краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией и даны оценки погрешности в различных классах.
Для краевой задачи смешанного типа впервые дано теоретическое исследование, а также интегральное представление решений и его приближенное решение в виде конечной суммы. Получены также приближенные решения некоторых краевых задач для итерированного уравнения (0.1).
Полученные в диссертации приближенные решения устремлены к решениям прикладных задач из гидродинамики, теплопроводности и теории упругости. На их основе легко составить алгоритм решения на ЭВМ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов (г. Душанбе, 1984, 1987, 1989), на семинаре кафедры "Теория функций и приближений" Казанского государственного университета под руководством профессора Габдулхаева Б. Г. (1987 г.), на апрельской научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава 11 У (Душанбе, 1993), на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа и теории функций "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными" под руководством профессора Н. Раджабова (1989, 1994гг.), на объединенном заседании кафедр "Моделирования и информатики", "Механики и вычислительных методов" и "Прикладная математика" (10.05.1987г.); на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Душанбе, 1998), на третьей международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту (Душанбе, 2002).
Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ. Статья [2] написана в соавторстве с Н.Н. Юханоновым и ее результаты принадлежат авторам в равной мере.
Структура н объём диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти параграфов со сквозной нумерацией. Общий объём работы составляет 80 страниц. Библиография состоит из 50 наименований.
