О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений Магомедова Елена Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Краевая задача и вспомогательные построения 22

1. Постановка проблемы и рассмотрение соответствующей краевой задачи 22

2. Асимптотическое представление для функции Грина 26

3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье 30

4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3) 34

5. Решение задачи (1)-(3) в случае однородного уравнения (1) 43

ГЛАВА II. Сведение к интегральным уравнениям 45

1. Интегро-дифференциальное уравнение для задачи (1)-(3) 45

2. Система интегральных уравнений 48

3. Решение системы интегральных уравнений 48

4. Дифференцируемость решений системы (38) и заключительные теоремы 51

ГЛАВА III. Задачи с постоянными коэффициентами 60

1. Многомерная смешанная задача для квазилинейной параболической системы 60

2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня 72

ГЛАВА IV. Случай плоской квазилинейной параболической системы второго порядка с переменной старшей частью 76

1. Постановка проблемы и вспомогательная граничная задача 76

2. Асимптотическое представление матрицы Грина и её полюсы 82

3. Формула интегрального преобразования 85

4. Сведение к интегральным уравнениям и основная теорема 88

Использованная литература 90

• Асимптотическое представление для функции Грина
• Система интегральных уравнений
• Задача о поперечных колебаниях упругого стержня
• Асимптотическое представление матрицы Грина и её полюсы

Введение к работе

Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [1], [2], [10], [14], [22], [26], [36], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это - метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.

Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.

Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах Стеклова В.А. [41], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня.

Для многомерной смешанной задачи ⁵-^A ₊ S_lU(t,x) = f{t,K), где Sj - самосопряженный оператор, порожденный выражением ^N д ( ЗиЛ -Ет" ^аік(^х)т- +ФК ijk=l V^Xi V "^Хк J метод Фурье обоснован Ладыженской О.А. [24].

Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для смешанных задач гиперболического и параболического типов в случае разделяющихся переменных получены Ильиным В.А. [15].

Для случая несамосопряженности пространственного оператора задачи обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функций в ряды по главным функциям оператора (либо пучков операторов), [7], [28]. ^jj\ Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения в ряд для неизвестного решения. Отметим в этом направлении работы Халилова З.И. и Коробейника Ю.Ф. и их учеников [13], [17]-[21], [43], [44], в которых использован обобщенный метод Фурье, примененный Бернштейном С.Н. в работе [5], относящейся к смешанной задаче для одного нелинейного гиперболического уравнения.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах [11], [12], [36], [45], относящихся к нелинейным задачам.

Отметим повышенный интерес к таким задачам в последнее время и значительное продвижение в их исследовании, особенно для параболических уравнений, что отчасти вызвано многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, [3], [48], [49], [50]. Отметим важные фундаментальные исследования Ладыженской О.А., Солонникова В.А., Уральцевой Н.Н. и их учеников [24]-[2 7] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида метода априорных оценок.

Сущность метода, использованного в работах [11], [12], [36], [46], состоит в том, что решение разыскивается в виде ряда по собственным функциям линейного пространственного оператора задачи с неопределенными коэффициентами. При нахождении этих коэффициентов приходят к бесконечной системе интегральных уравнений. Разрешимость полученной системы исследуется в определенных банаховых пространствах, при этом необходимым условием является самосопряженность указанного линейного оператора.

В нашей диссертации используется метод решения, предложенный Вагабовым А.И. [8], являющийся дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье из предшествующих работ, его комбинирования с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Мы целиком основываемся на аналитическом аппарате решения задачи и сводим ее к решению системы двух нелинейных интегральных уравнений особого вида. Простота схемы решения позволяет глубже вникнуть в содержание задачи и значительно увеличить диапазон рассматриваемых задач, в частности, отпадает существенность условия самосопряженности линейного пространственного оператора.

Дадим краткое изложение содержания работы, отметив ее существенные стороны. Предметом исследования первых двух глав является квазилинейное параболическое уравнение c{x)-^-¹ = -_T + f t,x,v,— , (1) ot дх V ox)

0<х<1, 0

ЦМ = («і ^ + «.о v)L₌₀ + (Д — + Ло<₌₁ = 0, /₂(v)_Sa₂vk0)+/?₂v(/,l) = 0, (2) и с начальным условием у(р,х) = ф). (3)

При решении задачи (1 )-(3) мы ставим вопрос в принципиальном плане о возможности переноса метода работы [8] на случай параболических уравнений с переменными коэффициентами в старшей части. Для этого в главах 1 и 2 на простой модели разрабатывается соответствующая теория, приложимая и к более широким классам параболических уравнений.

К данным задачи (1)-(3) предъявляются следующие требования:

1)с(х)>0, с(х)єС³[0,і];

2) f(t,x,v,w) - непрерывно дифференцируемая функция в замкнутой дФ дх области D: 00 константа; 3)а_ур₂^ + а₂р_;л№)*0; 4)н/(х)єС³[0Д у(х\ =0, 1 = 0,1,2. \x=0,J

По поводу условия 2) заметим, что решение нелинейной задачи естественно искать в окрестности решения соответствующей линейной задачи.

В случае с(х) = 1 и простейших граничных условий v(t,0) = v(t,l) = 0 задача рассмотрена в [8]. Простота этого случая определяется элементарностью резольвенты линейной части задачи и возможностью точных вычислений, связанных с нею.

В нашей ситуации положение меняется. Так, вспомогательное уравнение у" - Х²с(х)у = 0 уже не имеет решений элементарного вида. Таким образом, при изменении главной линейной части задачи картина исследования может существенно меняться.

В 1. гл. I дана постановка проблемы и введена в рассмотрение краевая задача с комплексным параметром X: у"-Х²с{х)у = 0, 0<х<1, (4) Uj(y) = 0, U₂(y) = 0. (5)

Приведена теорема о наличии экспоненциально асимптотических по X фундаментальных решений уравнения (4) в правой (левой) X полуплоскости: [а]=а + 0

, где (6)

Решения (6) представляют основу всех последующих построений, в частности, при построении функции Грина в этом же параграфе.

В теореме 2 найдена асимптотика нулей знаменателя функции Грина (спектр задачи (4)-(5)), указаны свойства этих нулей.

В теореме 3 получено экспоненциально убывающее при X асимптотическое представление функции Грина G(x,^,X) задачи (4)-(5) Опираясь на это представление, в теореме 4 доказана формула h(x) = Urn — \Хе^ех2 dX \G{x, \, X]c(^)h{^, (7) гІ0 ПІ _{L 0} і = |^ = я,!^я.!<||и||^>я,^х = ±|1я>>7, предельного интегрального представления для любой непрерывной на [0,l] функции h(x).

На основании теоремы 4 получена теорема 5 о разложимости функции h(x) в ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям задачи (4)-(5). Сумма ряда понимается в смысле суммирования по Абелю порядка 2. Указан естественный способ объединения слагаемых ряда в скобки по четыре, основанный на их «родстве» по четырем соответствующим собственным значениям X+_fc.

Важным связующим звеном работы являются леммы параграфа 4, относящиеся к интегралам, связанным с решением основной задачи.

В лемме 1 установлены формулы \X^2ke^x2'-^XadX = iJn~^_r^, \X^2k+!e^x2t-^XadX = ⁱ^a^_I^,t>0, а*0. (8) I dt^k 4t І 2 dt^k t^3/2 ]e~^x2dx<^e-^R2 , R>0. (9)

Лемма 2 доказывает абсолютную и равномерную сходимость интегралов вида J_s = jX^se^l2{t^dx)e~^K \-№*> ї+l |ф^ '

I_s = \X^se^x2{f-^dX\E(x,lX)e ^{lo ]} ^J/(T,iv,w>ft,

0<х<1, 07yi. При этом справедливы оценки max(jj₀|,|/₀|) 4я>⁸

А ² С

С'¹ м⁷

М =max\f(T,4,v,v/„...,w_n].

Это решение является первой компонентой решения системы (26). Во втором параграфе рассмотрена прикладная задача о поперечных колебаниях упругого стержня: д²и д⁴и . _Л —- +—- = 0, 0<х<1, t>0, dt² дх⁴ д²и х=0,1 х=0,1 _W, ди\ ( \ ot \_t=0 где ,, с⁶[од], р<*> |_од =0, к = 0А; <р₂ є с⁴[од], *><*> |₀₁ =о, *=<й.

Задача (27)-(29) иллюстрирует важность тех построений, которые проведены в 1 и с помощью которых мы приводим простую конструкцию решения этой задачи: / ГГ г"^Х~^ 1 [ТУ⁰⁰ ;(*~^ где v|/_;(x) и V|/₂(x), -oo; (jc), ф₂ (х); v±7 =

Целью четвёртой главы является перенос теории и результатов первых двух глав на случай систем параболических уравнений. В принципиальном плане вся теория естественно переносится на рассматриваемый случай. Подробно обсуждаются лишь вопросы изучения вспомогательной линейной краевой задачи и построения соответствующей системы интегральных уравнений. В остальной части обобщение теории тривиально. Постановка проблемы здесь повторяет прежнее, - рассматривается задача (1)-(3) с той разницей, что теперь с(х), v(t,x), f t,x,v,—- , а¹, р^г, а^]', р⁷'⁰, \\г(х) - V ох) пхп матрицы.

Предполагается, что с(х) є С⁵[о,7], её характеристические числа различны при всех х, их вещественные части положительны, аргументы этих чисел и аргументы их разностей не зависят от х; f(t,x,v,vt) - непрерывно дифференцируемая матричная функция от скалярных и матричных аргументов в замкнутой области D = D(T):

0<х<1, 0, дФ „w < Q iv(/,x)l[ = max^v(/,x)(, |v[ = maxjv^j, Ф(г,х) - решение задачи (1)-(3) при det{a^]^²D(0)}+(-l)ⁿ⁺¹det{a²^D(l)}^0, D²(x) - диагональная форма матрицы с{х); у(х)еС³[0,1], V⁰⁾(<₌₀₎i ⁼⁰' i = 0,l,2.

В 1. гл-IV изучена вспомогательная краевая задача у"-Х²ф)у = 0, 0<х<\, (31) U\y) = 0,U\y) = 0. (32)

Комплексная X -плоскость разбивается на конечное число секторов S с центром в 0, в каждом из которых устанавливается наличие двух фундаментальных матричных решений уравнения (31), аналитических в секторе S и имеющих в нём асимптотические представления вида ;,,,[,, т'^х) т^іх) Е(х,Х)\ ^Х}^ У(хЛ)= m(x) + —Y-^{L +} —^ ⁺ -^T-^ \^е у²(х,Х) = \т(х) + т²\х) т^х± ₊ (жА)1 "^х/««« где т(х) - некоторая w х л-матрица, для которой т (х)с(х)т(х) = D (х), т^і,к є С³~^к[0,l], і,к = 1,2, Е - обозначает покомпонентно ограниченную при XeS ,Х»1, матричную функцию.

В теореме 22 устанавливается покомпонентное строение матрицы Грина G(x,,,A,) = іруіх&Х)]" задачи (31)-(32). Далее на основании теоремы 22 и формул (33) в 2 доказывается

Теорема 23. В каждом секторе S при Щ »1 для элементов матрицы Грина справедливы асимптотические представления -e ^Cl Є ^C2 in Є„,,(*Л) ^j^ ^Xt'^dtк,1=1 ^ gy(x,,A)-- hA detM(^) *=n+l detM() X\_9kd( ij^rff при 0<<;e, при X < % < 1.

Полюсы матрицы Грина образуют счётное множество, состоящее из 2\х (|_i< п) групп. Значения 5-ой группы лежат в полосе П_$ конечной ширины, содержащей луч d_s. Все лучи d_s лежат внутри секторов — , -Л. Jqx/C и₂₁(\)=[а₂т\(0)]+1р₂т\(1)] є о , и₂₂{Х) = [а₂ц{0)] + ]р₂т\(і)] * " Здесь мы пишем квадратные скобки, избегая их развернутых представлений, как в формулах (6).

Исходя из формул (12), получим

А&)=-2[а₂]Х + [_а]]\(е-*^х +е^), (13) і а₂=а₁а₂+$₁$₂, х=/ф(СУС-

Теорема 2. Корни А(Х) лежат в полосе конечной ширины, содержащей мнимую ось, и при росте \к\ имеют асимптотику

Х% *-{ 1п\А\ +1(±argA + 2Ы) }, к = 0;±1;±2;..., (14) где Л = ^ + г_Л|/ а, а₂ \^аи

При а_; ф а₂ корни Х_к - простые, начиная с некоторого \к\, а при а, = а₂ корни, начиная с некоторого \к\ > N, - простые, сближающиеся по два, либо двукратные. В указанной полосе вне б-окрестности корней (14) справедливо неравенство |Д(А,)|2>С₈|Л|, С_ь>0. (15)

Доказательство. Корни Д(Я,), X Ф 0 найдутся из уравнения chjX = L^aiA => е^хХ - [А], е^%х = [A ], откуда х^ ^w ЩА + К- ^аг8 ^ ⁺ 2Ы), к є Z, откуда имеем формулу (14).

Утверждения о кратности нулей и неравенство (15) обоснованы [36, с.74] и в более общей ситуации [52, с.26].

2. Асимтотика Gfe&X).

Разлагая A(x,t_)>X) по первой строке, имеем:

А{х,Х)= g⁰{x,l)A(X)- у,(х.Х)' g₂ftA) и₂₂(Х) %№л) и_и(л) g₂(4,X) щЩ + у₂(х,Я)-

Опираясь на формулы (6), (12), получим: -к fat; _[0^ ₊ «,Ы>)-^Ф)_[фЯфЬ ₊ ¹ % а/Рг^+азМ^)^^)" е ⁵ +е

Или проще, по существу: ^{К Ъ} ' 2Х

Д(А.) + _{1-1 и}

О 4 J + ... где b_t - константы, а точки в продолжении суммы означают 4 слагаемых экспоненциально убывающих при ReX^> +оо.

Из равенства (16), с учетом неравенства (15), вне 8-окрестности нулей в полосе, содержащей мнимую ось, получим теорему.

Теорема 3. В правой А,-полуплоскости имеет место асимптотическое по X представление:

, Е_](х,^Х)_с

Ко о J

, Е₂{х,Х)_{с и}

А о J

Г, і А (17) (18)

КО х J ^{, ЕАХЛ)}_С

Е₃(х,^,Х) + ..., ReX>0 + —^—-—-е где , непрерывные функции, аналитические при ReX>0, |Х,|»7 ХфХ_к и ограниченные вне 5-окрестности нулей (14). Точки в продолжении суммы означают 4 слагаемых, типа четырех написанных впереди.

Замечание. Вывод асимптотики (17) мы отнесли к правой X-полуплоскости. Совершенно аналогичная асимптотика (убывания по X при X —> оо ) может быть получена для левой А--полуплоскости.

3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье

Определим последовательность С_п, п -1,2,--- концентрических окружностей радиусов R_n -> qo с центрами в 0, таких, что С_п проходят вне 6-окрестности нулей (14) и в кольце между С„ и С_п+1, п» 1, находятся 4 нуля Х~_к, А,* _А для некоторого номера к (не исключено совпадение Х⁺__к = Х~__к,

К = ^-к )

Определим также контур L = L_l ul₂, направленный снизу вверх, где

1₇=()Л,| = я)пГ|а^А.|<0^=(|Я,|^я)пГ|агяЯ.| = ±|1, Н»1.

Теорема 4. Для любой непрерывной функции h(x), 0<х< 1, справедлива формула предельного интегрального представления h(x) = Urn — fХе^єХІ dX [g{x, , Л)с(<*)іі( V^ » 0

Сходимость в правой части равномерна по х V[ot,|3] <= (0,l).

Доказательство получим, подставляя в интеграл формулы (19) выражение (17). При этом пределы, соответствующие всем слагаемым из (17), кроме «старшего», равны нулю. Действительно, установим это для выражения вида г^ '- -¹ J₁(x) = lim\-—dXJe ^k V|/_;ft>/^ где V|/, - непрерывная на [0,l] функция.

Переходя к пределу под знаком интеграла, запишем Jj(x) в виде Jj{x)= Urn J

И—»00 \argk\<- (x 1 Л -X _{W у} \0 x J _V/fe)^ и дадим оценки интегралов по X в (20). Так dx^x_c -^ХН , _Wl , _f dX j ^f_e * v/teteH j ^j_e-N^>fe^ |А.|=и " 0 \ar_gX\<^ |А.|=и ^ 0 |argA.|<— Z₀ _?. < —M₂ J e ^z dz = —M₂ -

Из этих оценок понятно, что J j (х) = 0. Равенство нулю других пределов соответствующих слагаемых из (17) устанавливается однотипно, например, возьмем выражение -лії+і W і -. |+f Ця;

И ^ГЛ * J

И—»-00 |arg^ _Z -fjcp^-fz

У₂(х)|< limM₂n \e dz=lim2M₂e l-e²'\-+0

И->оо _ Я-»0О V у ^ Стремление к нулю равномерно при х є [a, (3j.

Для доказательства формулы (19) остается вычислить предел ( \ J -* {ф<^ ^⁷¹^ * L 0 соответствующий «старшему» слагаемому в (17).

Вычисляя интеграл по А,, (см. ниже лемму 1) найдем ^0 2л/тсє ₀

Совершим замену 2-JEy - \(pdC,, имеем Jo**; Jq*«;

Переходя к пределу под знаком интеграла, нетрудно обосновать, что

Л/Я -ф(х) _-00 л/Я -ф(^х)

Если л: є [а,р], то стремление к /г(х) равномерно.

Теорема доказана.

Теорема 5. Для любой непрерывной функции h(x), 0<х<1 справедлива формула суммируемости по Абелю порядка 2, [28], -/ 2 ' h(x) = lim lim — J Іе^гХ dk\G{x, Д >fe>fe>^, 0 < x < 1, (21) zlO n->oo 2ni q 0 в ряд по собственным элементам краевой задачи (4)-(5). Сходимость равномерна по х є [а, р] с (0,7).

Доказательство. Пусть L означает контур, симметричный L относительно начала координат А.-плоскости. Учитывая четность по X подинтегральной функции в (19), имеем -/ 2 ⁷ h(x) = lim J Xe^zX dX\G{x^,X)c(^)h(^)d^ . (22) гіо 2m _L[JL- ₀

Принимая во внимание, что предел интеграла в (22) по дугам окружностей С_п, расположенным в вертикальной полосе, лежащей между L и L ~, равен нулю, а также аналитичность подинтегральной функции, придем к формуле (21).

Замечание. Заменяя интегралы по окружностям С_п суммой вычетов по полюсам функции G(x,h₎,X), лежащим внутри С_п, естественно группируя слагаемые, перепишем формулу (21) в другой редакции: -Т-^ Г-^ Г ^- Г-^ Г Хе^гХ (іХ\с(х,^Х)с(ф{^. (23)

2%i ем _k=N і і і і * ^k »\c_k c__k c_k c__k J 0

Отметим, что в случае непрерывной дифференцируемости h(x) сходимость ряда в теореме 5 имеет обычный смысл и следует положить є = О и отбросить Нт. N₀ - число полюсов (14), для которых |fc|+_к или X_k. В случае кратных полюсов, имеем, что Х⁺_к-Х_к и J+ J следует с* с* заменить одним интегралом J. # 4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3)

Лемма 1. Пусть t > 0, а Ф 0, тогда j^A-l*^ _re--^f_a^,_k--0,U,. (24) Je^_*'«fc: —e"*\ R>0. (25)

Сходимость интегралов равномерна по t є (0,7^і). _*t _І /л—Xt~^XadX = e ^4t \e ^ ^Ut) d\ =

2 2 2 2^{a a} iao ^a oo . [— a-77 r „,' . " f л.^г , * " ^77 r -*' , W7C L ^fl a -100 Vt -oo V* _ І г'оо _ f[i iqo /~ _ ^1 /^-^^ = /^ l2vd\i+-e~« j^'d]i=^l-^-e ^4t. L -i«> 4t __ia0 2f/2

Формулы (24), (25) при любом k можно получить, взяв А:-ую производную по t от обеих частей найденных формул. При этом производится дифференцирование под знаком интеграла. Такая операция допустима, так как все интегралы (24), (25) сходятся равномерно по t.

При t>t₀>0 это видно непосредственно. При малых же t интегралы (24), (25) сами малы. Установим, наконец, оценку (25). \e-*dx= \e-(>^+Rydy = e-^R2 le-y²e-^2Rydy<^e-^R2 R 0 0 2

Лемма 2. Интегралы вида J_s = \X^sdX\e * ^fe^K'^(/_tV(x,^v,wyu, -ц]₊) іф^/С t

I_s = ftdkJEjix&X}! ^ ) d^\e^{x (}'~^t)/(^v,w>/t ,s = 1,0, L 0 0 сходятся абсолютно и равномерно при 0<х<1, 00\,\l₀\)amax\f\, Vet, -<а<1.

Доказательство. Деформируем контур L в L_n так, что L_n_=\argX = ±j,\X\>0^ _R= "+"при<*, "-"при>х

IvdC, _{МфЙ) N«pfe)}

2 \ "г _{\Ц1 ф'(*Г} ^11J _ф²_{ЙГ N} const. і -А.

Итак, f | е

Теперь имеем при 5 = 7 |/_у | < С [maxl/l^x je ² J|A,| < Сmax\f\ Г , \е~^у dy =Сmax\f\ -Jt, о ^D о ^D о -v ґ - т ₀ о 2

Для проверки равномерной сходимости интеграла J₁ рассмотрим при большом R интеграл _{т п \мА~{1-хаы Стах\АV Л T-v^} J _1R-Cmax\f\\dx^e ² аЩ< т=>—- )-j— \е ^у dy.

На основании леммы 1 _{» , /г _^!fc)}

Следовательно, R^J(t-x) _R t_ . *e ² 242 Cmax\f\ \² 2 _t Cmax\f\ r— = Cmax\f\j^_T=^dx = ta \ Є-У dy< ^V^ ₀ y/t-T К ₀ К и J_lR можно сделать как угодно малым, выбирая большое R. Таким образом, обоснована абсолютная и равномерная сходимость интеграла J). В случае J₀ действуем подобным же образом. J₀ = \e^x2^d\\e~^X \к\=Н о

I 1\^^п \argX\<- гй)<%1/(і&у,чг)і*і + І її -і-⁷¹ о \arg к \—±— І в I ₃ \\\>H

Используя полученные выше оценки, найдем _-к^ш -е ^{z D} _{н N} J₀\}tmax \f\ + C₂jmax\f\dx\ -d\l\ = t 00 - V^і e ^y = Cjt max\f\ + С₂ max\f\ \dx J dy < C{t max\f\ + _>»(?< + С2 max\f\ j dx, и оценка для J₀ очевидна. Такие же рассуждения реализуются для оценки в случае 1₀. Разобьём интеграл /_; на два слагаемых 1_} = // + //, где l\ = JXdX\Ej(х,$,Х)е ^^оо) d%\е^{х {t}~^z)f{x,4,v,w)dx, Lj О О _{-ц U} фс/ t

1] = \ЫХ\Е_}{х,\Х^ ^{[о }} ^j/^(f-^TV(T^,v,_Wyx

Очевидно,

Для оценки Ij воспользуемся оценкой і -Ц№ ^{J|e-*r- |=j}_e ^{» * =} _w ft"*; \\k\> H) r\\\argX\ = ±— и, дословно повторив оценку случая J_h получим v 3 j < C4tmax\f\, что завершает доказательство леммы.

Из доказанной леммы с учетом (17), а также из возможности формального дифференцирования по х интегралов J₀, Jj вытекает

Следствие. Пусть /(x,,v,w) непрерывная в D функция. Справедливы оценки: - — \XdX lG(x,^,X)d^\f(x,^y^V^2{t~^z)dT amax\f\, Va, - < C(a,s)max\f\ldx]^j- = _ C(a,s,H)_t тах\ /1. Н D '^Jl

Лемма следует из оценки (27). Лемма 4. Интегралы вида !se^x2tdX\e « r^feM^, -xl 1+] |<рл; JA.V'<&,/(*, 5,A> ^ ^; cfe)y(№ сходятся абсолютно и равномерно по t є[/₀,г] \ft₀ >0, 0<х<1, \/s єZ .

Доказательство очевидно при s отрицательных. При s є N контур L заменим эквивалентным контуром L_n=\\\\>0,arg\ = ±

Переходя к абсолютным величинам под знаком интегралов, имеем ~щ²* _{щ*е 2}^] _{тах|лйМ^МИ^Н^ММШ>^} ^{2 d}_y= = тах\ц{^)-с{^{^\ \x^se ^х dxlo; о

В случае второго интеграла имеем:

Г і л x— [e ²^ d<24nm&\0.3 і _*fe)

Таким образом, і i4n <2-J7u max V/max

Неравенства (48), (49) показывают, что система интегральных - (лп\ dv dw уравнении (4/) относительно «неизвестных» —, — определяет оператор dt dt сжатия в пространстве C?(0,l) при достаточно малых / и, следовательно, позволяет однозначно найти решения, которые не что иное, как производные по t от v и w.

Более подробно объяснения приведены в [8]. Аналогично устанавливается существование

Как следствие теорем 10, 11, получаем теорему существования и единственности задачи (1)-(3).

Теорема 12. При условиях 1)-4) 1, гл. I при 00, где t₀ -некоторое малое число, задача (1)-(3) имеет единственное классическое решение.

Доказательство. Теорема 10 утверждает существование единственного решения (v,w) системы (38) при t0. Теорема 8 утверждает, что v(t,x) будет единственным решением задачи (1)-(3). При этом предполагалось д²у д\ _Л наличие непрерывных производных , —-, которое обосновано в dtdx дх теореме 11.

В заключение рассмотрим вопрос о разложимости в ряд Фурье по собственным функциям задачи (4)-(5) для решения v(t,x) задачи (1)-(3). Тем более, что в работах предыдущих авторов это делалось. Обратимся к формулам (33), (32) для v(t,x).

Переходя в них от интегралов по контуру L к пределу интегралов по контурам С_п, (см. лемму 6), то есть к рядам, указанным в формуле (23), и используя (36), найдем:

2m_s=0c о v Л у _{— Е}

2т _k=N V^C* ^C-A ^Ck ^c-k J ^U

2m _s=o_c X 0

1 ^N0 fl\^{] (} J ¹ _-ZJT^^teJ- '<'->*- _{— X}

2яї _A=yv _{W' <}^a/ t,^,v,

,*'(<-*)

В ряде (50) вычеты, соответствующие «возмущению» / линейной задачи, берутся от функций с убывающим множителем —р. Это обстоятельство при малых t обеспечивает относительную стабильность ряда (50) к случаю fmO.

Теорема 13. Решение задачи (1)-(3), указанное в теореме 12, разложимо в ряд Фурье (50) по собственным элементам задачи (4)-(5) при естественной группировке слагаемых, указанной в замечании к теореме 5.

Асимптотическое представление для функции Грина

Представления для элементов функции Грина и ее знаменателя. Опираясь на формулы (6), (8)-(11), найдем) и21(\)=[а2т\(0)]+1р2т\(1)] є о , и22{Х) = [а2ц{0)] + ]р2т\(і)] " Здесь мы пишем квадратные скобки, избегая их развернутых представлений, как в формулах (6). Исходя из формул (12), получим А&)=-2[а2]Х + [а]]\(е- х +е ), (13) где і а2=а1а2+$1$2, х=/ф(СУС о Теорема 2. Корни А(Х) лежат в полосе конечной ширины, содержащей мнимую ось, и при росте \к\ имеют асимптотику (16) где bt - константы, а точки в продолжении суммы означают 4 слагаемых экспоненциально убывающих при ReX +оо. Из равенства (16), с учетом неравенства (15), вне 8-окрестности нулей в полосе, содержащей мнимую ось, получим теорему. Теорема 3. В правой А,-полуплоскости имеет место асимптотическое по X представление: непрерывные функции, аналитические при ReX 0, Х,»7 ХфХк и ограниченные вне 5-окрестности нулей (14). Точки в продолжении суммы означают 4 слагаемых, типа четырех написанных впереди. Замечание. Вывод асимптотики (17) мы отнесли к правой X-полуплоскости. Совершенно аналогичная асимптотика (убывания по X при X — оо ) может быть получена для левой А--полуплоскости. Определим последовательность Сп, п -1,2,--- концентрических окружностей радиусов Rn - QO С центрами в 0, таких, что Сп проходят вне 6-окрестности нулей (14) и в кольце между С„ и Сп+1, п» 1, находятся 4 нуля Х к, А, А для некоторого номера к (не исключено совпадение Х+_к = Х _к, К = -к ) Определим также контур L = Ll ul2, направленный снизу вверх, где 17=()Л, = я)пГа А. 0 =(Я, я)пГагяЯ. = ±1, Н»1. Теорема 4. Для любой непрерывной функции h(x), 0 х 1, справедлива формула предельного интегрального представления h(x) = Urn — fХеєХІ dX [G{X, , Л)с( )іі( V » 0 X 1 . (19) Сходимость в правой части равномерна по х V[ot,3] = (0,l). Доказательство получим, подставляя в интеграл формулы (19) выражение (17). При этом пределы, соответствующие всем слагаемым из (17), кроме «старшего», равны нулю. Действительно, установим это для выражения вида г - -1 J1(x) = lim\ убывающих при ReX +оо. Из равенства (16), с учетом неравенства (15), вне 8-окрестности нулей в полосе, содержащей мнимую ось, получим теорему. Теорема 3. В правой А,-полуплоскости имеет место асимптотическое по X представление: непрерывные функции, аналитические при ReX 0, Х,»7 ХфХк и ограниченные вне 5-окрестности нулей (14). Точки в продолжении суммы означают 4 слагаемых, типа четырех написанных впереди. Замечание. Вывод асимптотики (17) мы отнесли к правой X-полуплоскости.

Совершенно аналогичная асимптотика (убывания по X при X — оо ) может быть получена для левой А--полуплоскости. Определим последовательность Сп, п -1,2,--- концентрических окружностей радиусов Rn - QO С центрами в 0, таких, что Сп проходят вне 6-окрестности нулей (14) и в кольце между С„ и Сп+1, п» 1, находятся 4 нуля Х к, А, А для некоторого номера к (не исключено совпадение Х+_к = Х _к, К = -к ) Определим также контур L = Ll ul2, направленный снизу вверх, где 17=()Л, = я)пГа А. 0 =(Я, я)пГагяЯ. = ±1, Н»1. Теорема 4. Для любой непрерывной функции h(x), 0 х 1, справедлива формула предельного интегрального представления h(x) = Urn — fХеєХІ dX [G{X, , Л)с( )іі( V » 0 X 1 . (19) Сходимость в правой части равномерна по х V[ot,3] = (0,l). Доказательство получим, подставляя в интеграл формулы (19) выражение (17). При этом пределы, соответствующие всем слагаемым из (17), кроме «старшего», равны нулю. Действительно, установим это для выражения вида г - -1 J1(x) = lim\-—dXJe k V/;ft / где V/, - непрерывная на [0,l] функция. Переходя к пределу под знаком интеграла, запишем Jj(x) в виде Jj{x)= Urn J И—»00 \argk\ dX (x 1 Л -X W у \0 x J № V/fe) (20) и дадим оценки интегралов по X в (20). Так Z0 dxxc -ХН , Wl , f dX j fe v/teteH j je-N fe А.=и " 0 \argX\ А.=и 0 argA. — Z0 _?. —M2 J e z dz = —M2 n Из этих оценок понятно, что J j (х) = 0. Равенство нулю других пределов соответствующих слагаемых из (17) устанавливается однотипно, например, возьмем выражение -лії+і W і -. +f Ця; И ГЛ J И—»-00 Я.=Л arg Z -fjcp -fz У2(х) limM2n \e dz=lim2M2e l-e2 \-+0 И- оо _ Я-»0О V у Стремление к нулю равномерно при х є [a, (3j. Для доказательства формулы (19) остается вычислить предел -—dXJe k V/;ft / где V/, - непрерывная на [0,l] функция. Переходя к пределу под знаком интеграла, запишем Jj(x) в виде Jj{x)= Urn J И—»00 \argk\ dX (x 1 Л -X W у \0 x J № V/fe) (20) и дадим оценки интегралов по X в (20). Так Z0 dxxc -ХН , Wl , f dX j fe v/teteH j je-N fe А.=и " 0 \argX\ А.=и 0 argA. — Z0 _?. —M2 J e z dz = —M2 n Из этих оценок понятно, что J j (х) = 0. Равенство нулю других пределов соответствующих слагаемых из (17) устанавливается однотипно, например, возьмем выражение -лії+і W і -. +f Ця; И ГЛ J И—»-00 Я.=Л arg Z -fjcp -fz У2(х) limM2n \e dz=lim2M2e l-e2 \-+0 И- оо _ Я-»0О V у Стремление к нулю равномерно при х є [a, (3j. Для доказательства формулы (19) остается вычислить предел

Система интегральных уравнений

Доказательство. 1) Любое решение задачи (1)-(3) по теореме 6 служит решением уравнения (33), а, следовательно, и системы (38), второе уравнение которого получено дифференцированием по х обеих частей (33). Законность дифференцирования по х под знаком интеграла в (38) следует из леммы 3 и формулы (17). 2) первая компонента решения системы (38) служит решением dv уравнения (33), так как w = —. Согласно теореме 8, v - решение задачи (1) дх (3). Запишем систему (38), используя (17), (18) в развернутой форме: В записи системы (39) точки в продолжениях сумм означают еще по 7 слагаемых типа последнего. Будем рассматривать систему (39) в пространстве С,2[0,/] вектор-функций (v(t,x), w(t,x)) непрерывных в области D с нормой (v,w)i= max (v,w). 0 х 1 Теорема 10. Система интегральных уравнений (39) однозначно разрешима в пространстве C/[0,7J при условиях 1)-4) 1 гл. I, если t t0, t0 достаточно мало. Доказательство. Из лемм 2, 3 и оценок (26), (27) следует, что интегральные операторы 4(v,w), i?(v,w) правых частей системы (39) имеют оценки При этом заметим, что оценку (26) для главного «плохого» слагаемого мы можем распространить подавно на другие более «регулярные» слагаемые интегралы. Из (40) следует, что если Cmax\f\4 t Q, то операторы правых частей системы (39) не выводят заданные функции v, w из области D. Покажем, что оператор правой части системы (39) является оператором сжатия в С/(0,7). Для этого оценим разности A(y],w]) A(V2,W2), B(V1,VJ])-B(V2,W2) для любых v/,v2,w/,w2 из D: 0 Таким образом, мы приходим к оценке тех же интегралов, что и в правых частях системы (39) с той лишь разницей, что вместо / поставлена разность По теореме о конечных приращениях [47, с.249] имеем w2).(42)

С учетом (42) придем к оценке разностей (41) вида то правые части системы (39) определяют оператор сжатия в пространстве Следовательно, система (39) имеет единственное решение (v, w ). Дифференцируемость решений v(t,x) и w(t,x) системы (39) будем устанавливать путем обоснования возможности взятия производных от правых частей системы (38) или системы (39), которые выписаны подробно, по существу. Согласно лемме 3 и теореме 6, все слагаемые правых частей обоих соотношений (39) дифференцируемы на (0Л)х(0,Т) бесконечное число раз, кроме первого слагаемого. По крайней мере, от первого слагаемого в обоих соотношениях (39) нельзя брать производную по t под знаком интеграла по X. Поэтому перепишем систему (39), вычислив интегралы по А, в первых слагаемых, выделяя их главную часть. Исходя из асимптотики (6) и выражения (11) для g(x,Ef,X), раскроем подробнее смысл квадратных скобок в первых слагаемых: В первых интегральных слагаемых системы (45) сделаем замену переменного т: « = Ц, T = t /Ф С , d\i = Jq C 4-т) 3/2 и запишем систему (45) в виде: {t,x)= ф(/,д) + )лй{ JcprfC№ х 2л/7Г 0 j со е-Ц X т-/(г ( V Jq C 1Ф 2л/г Теорема 11. Решение (v, w) системы интегральных уравнений (46) _ dv dw d2v обладает непрерывными производными —, —, —=". dt dt дх Доказательство. Пусть (v, w) - решение системы (46) и пусть dv dw существуют — и—. Дифференцируя по t обе части соотношений (46), dt dt придем к системе двух интегральных уравнений линейных относительно dv dw «неизвестных» — и—: dt dt = Ф7(ХД,У )+ Ш)Ф 5 J d x «j — ц ц 9/(/ \(pdQ А )_ dv ,#,v,w ) 3v( ( Jprf-r -.#) at aw dt 2 t ot V7i x x KM ІФ я; ( -V v.w ) 4Г av av df dw ч , a aw dt J t H№ I 2 Jn 0 ІФ + - e (df dw df dw Ц dw dt dw dt J d\i + 2-ft ЛУМФМ І /6/(0 J 2 1% 0 Jcprf + + r T (df dw df dw\ И av a/ dw dt j d\i, (47) 24І где Ф;,Ф2 - известные функции, непрерывные на [0,Г]х [0,1\, см. лемму 5. Оценим нормы интегральных операторов в системе (47). Их два типа / (х Л і) Щ № d% \ d\i \ е » (df dw df dw\ о \% ; Ц № \dw dt dw dt J 2-ft maxlrdtimax % D ( df dw df dw max X dw dt dw dt —N - e ц J \ pdd$ j —у-ф. I I v k I 2-ft Интегрируя по частям и применяя лемму 1, имеем е » J Не И ъ \ 1=-1 ЫС НЄ ( е и ф 2V/ + 2 ]e d\x ) ІФ 2Л/7 2V? /Ф / 14 і U 2л/? " + Ле 241 № min X 4t ч г _у2 2y/nt г _у 54% -Г\\е dy+ ( \\уе ЧУ- ( \ ц \х) min ц {х) min q\x) № 2-sft Таким образом, і (х Л о + е (df dv df dw V v5v Э/ dw dt \d\i \ 5л/тї max X T)(x)ф(х) max\ D \ 8v df dw ) ( tmax\J x У dvdt dw} dt J (48) 2) Используя снова лемму (1), имеем И№ К" Jq ; -\i2 (df dv df dw dv dt dw dt j d\i \ 24i A hd, maxlrjQ;), max D df dv df dw max . l9t dw dt \\fiC Г і л x— [e 2 d 24nm&\ 0.3 і fe) ) max D df dv df 9w V7 max dv dt dw dt Таким образом,

Задача о поперечных колебаниях упругого стержня

При этом, согласно неравенству (76), к-я степень оператора!, является сжатием в пространстве матриц-функций Jj{t,x) из области D(T0). Следовательно, [20, с.77] уравнение (73), а вместе с ним система (70), имеет единственное решение, первая компонента v(t, х) которого служит решением задачи (51)-(53). 2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня В качестве приложения построений предыдущего параграфа рассмотрим известную задачу [23, с.183-197, с.300-325], имеющую приложение в строительном деле и описывающую поперечные колебания упругой балки: х=0,1 где рх єСб[0,і], ,(/ 01 =0, = 0,4; р2 eC4[o,l], } 01 =0, = 0,3 . Рассматривается наиболее встречающийся случай граничных условий (79), когда оба конца балки подперты. Нами предлагается исключительно простое решение этой задачи. В известной классификации Петровского [38] тип уравнения (77) не определен. В работе [6] такие уравнения предложено относить к гиперболическому типу. Решение u(t,x) задачи (77)-(79) будем конструировать с помощью решений v_, v+ двух уравнений которые являются также решениями уравнения (77). Таким образом, согласно формуле (54), решение u(t,x) ищем в виде Обозначим, как и в 1, через Ф}(х), Ф2( ) нечетные периодические с периодом 2 продолжения на всю вещественную ось функций ф;(х), ц 2(х). щ Подберем функции 4у, так, чтобы функция, определяемая по формуле (81), удовлетворяла условиям и\ =Ф}(х), — = Ф2(х). ot t=0 ф / ч - нечётная периодическая с периодом 2 функция, поэтому ФЛх)= lcksinkxx ск = 2 \Ф 3 {x)sink nxdx (84) к=\ о Выберем решение уравнения (83), имеющее вид: Теорема 20. При указанных условиях на фДх), ф2( ) решение задачи (77)-(79) существует в классическом смысле, единственно и представимо в виде (81), \\fj и \у2 определены формулами (85), (84), (83). Доказательство. Как уже показано, формула (81) формально определяет решение задачи (77)-(79). Для того, чтобы u(t,x) действительно являлось решением, остаётся показать, что правая часть в (81) представляет функцию, имеющую производные по х и t, фигурирующие в уравнении (77).

Отметим сначала, что функции \/;(х) и \\г2(х), определённые по формулам (85), четырежды непрерывно дифференцируемы при наших условиях на ф7, ф2. Дадим другое представление u(t,x). Сделаем это для первого слагаемого Uj(t,x) в формуле (81): г- (85) Uj{t,x) = J± \e iy 1{x-24ty)dy = 00 „ = -л/ЇЕ- Т \e iy2 sinkK{x-24ty)dy = k=i (Ля) _оо k = l (ЛЯ) _оо = _ Г7у cksinkmc х №v» "[( -«у- ,/о2 + e-ny-m fn2 Ъу + v tr ( )а 2 iv рА CkCOsknX , »V, f(--i(y- Vr)! _ -i(y+k 4 t)2 \j k=i (hi) Подобное (86) представление для второго слагаемого u2(t,x) формулы (81) мы опускаем. В силу условий, наложенных на Ф/(х), ф2 (х), коэффициенты ск имеют порядок убывания О ( п откуда следует дифференцируемость функции Uj(t,x) (аналогично u2(t,x)) требуемое число раз по? их. Учитывая проделанные выше преобразования и формулы (85), нетрудно понять, что указанные дифференцирования можно произвести в формуле (81) под знаками интегралов. Единственность решения u(t,x) доказывается одним из известных методов, на чём мы не останавливаемся. В данной главе результаты первых глав, относящиеся к случаю одного параболического уравнения, переносятся на случай параболической системы. 1. Рассматривается квазилинейная параболическая система дх 0 х 1, 0 t T, при граничных и начальных условиях где с(х), V, \/, а1, Рг, а10, $10 - пхп матрицы, / -матричная функция, а , рг - вещественные матрицы. Предполагается, что 1)с(х)еС3[0,1]; 2) Характеристические числа (х),...,ц п(х) матрицы с(х) различны при всех х, их вещественные части положительны, аргументы этих чисел и аргументы их разностей не зависят от х. Отсюда следует, что либо Л 7С 71 ч 7U -- arg(p,. -,либо-- агё(-ф.) - / = 1,я; 4 4 4 4 3) /(/,X,V,w)- непрерывно дифференцируемая функция в замкнутой дФ iQ, w -дх области D = D(T):0 JC 1, 0 t T, k-0(t,x)i Q. где \v(t,x)\\ = max\y(t,x)\, v = max v , ф - решение задачи (87)-(89) при 4) det{a7p2D(0)}+(-/)n+/ det{a2p7Z)(y)} 0, здесь (х) = й?ш (ф! (х),..., фи (х)) !; 5) і/( )ЄС3[0Д], М/(г)( и0д =0, = 0,1,2. 2. Введём в рассмотрение вспомогательную краевую задачу с комплексным параметром А,: 1{у) = у" -Х2с(х)у = 0,0 х 1, (90) U\y) = 0,U2(y) = 0, (91) (у(х,Х) - п х п-матрица). Прямыми Re А,(фг - фу ) = 0, Ї j, Re А,(фг + фу-) = 0 разобьем X плоскость на конечное число секторов S с вершиной в 0. В каждом из секторов S при некоторой нумерации ф2 -корней справедливы неравенства Ке\у1(х) ... КеХуп(х) 0 Ке\(рп+1(х) ... КеХц 2п(х), є . (92) 1 Условие 4) полагается выполненным при разных нумерациях фг- -корней, относящихся к секторам S, определённым ниже. Теорема 21.

Для любого фиксированного сектора S существует фундаментальная система двух матричных решений уравнения (90), аналитических в секторе S при Я.»1 и имеющих в нём асимптотические представления: где т(х) - некоторая пхп-матрица, для которой m-1(x)c(x)m(x) = D2(x), тік єС3 к[0,і], і,к = 1,2, (94) Е - обозначает покомпонентно ограниченную матрицу при XeS, Щ » J. Доказательство. Заменой у = Ху сведём (4) к системе Y = XC(x)Y, 0 х 1, (95) С(х) = Е {с(х) \, у= Уі. (96) Пусть М(х) матрица, для которой М 1(х)С(х)М(х) = r-l (D(x) 0 -D(x) (97) т т ( = det nD - mD) V ґ За М(х) можно принять М{х) det т т \ В самом деле, V 0 mD - mDy т mD -2mD = (-2)" detm2D Ф 0 и, далее, C(x)M(x) = О Е} с(х) т(х) т(х) mD -mD mD mD} кс(х)т c{x)m ( m m mD -mD (D О Л О -D Заметим, что для разных секторов S матрицы т(х) отличаются лишь порядком столбцов. Согласно известной теореме [52], [37], система (95) имеет фундаментальное матричное решение ч dQ X/,D(Q О О -D(Q + + Y(X,X) = \M(X) + (98) (Л MJ{X) М2(х) Е(х,Х) X X2 X3 \ MjeCj+1[0,l]. Согласно взаимосвязи систем (90) и (95), из решения (98) получаем два решения (93), указанные в теореме. Нам понадобится покомпонентная запись фундаментальной системы (93) в виде X д)Н (,) + + + XJ X е (99) XeS, i = 1,п, к = 1,2п, mik+n = mik при к п, т-к є С s[0,./]. 3. Теорема 22. Матричная функция Грина G(x,t„X) = \р у задачи (90) Д;(Х,Д) (91) имеет вид: Gi};(х,Х) = J — Д(А) где gijix&X) Уц(х,Х) ... yi2n(x,X) Ul{gj{x, ,X))x UJJQI) ... u12n{X) А&(хМ = u2n(gj(x, ))x u2nJ{X) ... u2n2n(k) A(X) = det{uij(X)}2]n, иу(Х) = и((у х,к)), (100) yj - у -ый столбец выбранной фундаментальной матрицы решений уравнения (90), Ui, і = 1,2п, і -ое из граничных условий (91). gJx,,A) = ті Х (хД)гйД) при 0 х, 2л - X У а ( . ЯК; (&Я) при х 1. к=п + \ i,j = ],n, V$A) = _ W( ) Л) Д п Ут Уі,2п Л) = л,, dyn У nndyln d$ Уп2пdyu2n df dynl dy„n dy„,2n dt dt d (101) i+n,k алгебраическое дополнение элементов с индексами j + n,k в определителе W. Доказательство. W(„X) 0, так как этот определитель отличается от определителя фундаментальной матрицы - решения системы (95) множителем AT", см. также [37, с. 116]. Проверим выполнение свойств функции Грина согласно её определению, см. [37, с. 114].

Асимптотическое представление матрицы Грина и её полюсы

Основываясь на формулы (93), (99) из теоремы 21 и формулы (100) (101) из теоремы 22, найдём: Отметим, что G не зависит от выбора фундаментальных решений и от их нумерации. Наконец, для элементов первого столбца определителя А (х, ,Х) установим: (106) где С],С2=0, если к,1 п; Cj,c2=l, если к,1 п. zkly(x,\) - функции, ограниченные вне 8 -окрестности нулей А(к), Асимптотика gy указана в формуле (103). Характеристический определитель А(А,) имеет счётное множество нулей, состоящее из 2\х (\х п ) групп. Значения s -ой группы лежат в полосе П$ конечной ширины, содержащей луч ds, который входит в прямую Retaps =0, причём все эти лучи расположены внутри секторов — arg —, — argA —. Если из -плоскости выбросить внутренности малых кругов радиуса 5 с центрами в нулях Д(Л,) (множество всех полюсов G(x,,,A,) является подмножеством нулей А(А,)), то в оставшейся части имеет место равенство Доказательство. Утверждение теоремы о нулях А(Х) и неравенство (107) следует из известной теории асимптотически показательного многочлена, каковым является А(к) согласно формуле (104), см., например, [52]. То, что все лучи ds лежат в секторах — ъх%Х —, — arg2 —, следует из условия параболичности 2). Для получения формулы (106), разложив Ау(х,,,\) по первой строке, получим Отсюда с учётом формул (99), (102), (105), (107), придём к (106). Обозначим через Cv , v = 1,2,... последовательность замкнутых расширяющихся контуров в А,-плоскости таких, что они проходят вне 5-окрестности спектра задачи (90)-(91) и их наименьшее расстояние Rv стремится от 0 к оо, [3, с.34]; между Cv и Cv+X содержится конечное число нулей А(к). Определим также контур L = Ll u L2, направленный снизу вверх, где - малое число. Теорема 24. Для любой непрерывной п х п матрицы h{x), 0 х 1, справедлива формула предельного интегрального представления h{x) = lim — [Xe dX [G(x, ,A)c()h(4)d4, П08) 0 от J J v Сходимость в правой части равномерна по х V[a,P] с: (0,1). Доказательство основано на использовании представлений (106), (103) и непосредственных вычислениях для правой части в (108). Прежде всего установим, что предел интеграла в (108), соответствующий второй слагаемой сумме в представлении (106), равен нулю. Отбрасывая величины, равные нулю, предел в (108) сведём к выражению 4.

Сведение к интегральным уравнениям и основная теорема Исходя из формулы (108) и буквально повторяя все рассуждения для случая п = 1, проведённые в главе II, решение проблемы (87)-(89) сведём к решению интегро-дифференциального уравнения f = 0. В свою очередь, уравнение (ПО) сведём к эквивалентной задаче решения интегральной системы уравнений Теорема 25. При условиях 1)-5) 1 и 0 t t0, где t0 - некоторое малое число, задача (87)-(89) имеет единственное классическое решение в области D(t0). и Доказательство основано на установлении того, что некоторая степень оператора правой части системы (111) является оператором сжатия в пространстве матриц-функций из области D( 0). Рассуждения тривиально повторяют те рассуждения, которые были приведены в доказательстве этой же теоремы в случаях п = 1 и постоянной матрицы с(х) в главе II. 1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для линейной гиперболической системы на плоскости. //Уч. записки Латв. гос. университета, 1958, Т.20. Вып.З. С.87-104. 2. Агранович М.С. Граничные задачи для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка. //УМН, 1969. Т.24.№1. С.61-125. 3. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36.№1. 4. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка. 1965 798 с. 5. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1940. Т.4. С. 17-26. 6. Вагабов А.И. Корректность задачи Коши для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений. //Учен, записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. и хим. наук. 1964. №3. С. 10-13. 7. Вагабов А.И. Условия корректности одномерных смешанных задач для гиперболических систем. //Докл. АН СССР 1964. Т. 155. №6. С. 1247-1249. 8. Вагабов А.И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений. //Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. JVM. С.90-100.

Похожие диссертации на О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостейПрокудин Дмитрий Алексеевич

О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиямиМоисеев, Тихон Евгеньевич

Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядкаЧуешев Александр Викторович

Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах СоболеваГордеев Александр Николаевич

Разрешимость обратных задач для гиперболических уравненийПавлов, Степан Степанович

О корректной разрешимости несамосопряженных смешанных задач для уравнения колебаний мембраныМахмадуллоев, Зафар Насуллоевич

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах СтепановаГорлов, Владимир Александрович

Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости Бризицкий Роман Викторович

О корректной разрешимости несамосопряжённых смешанных задач для уравнения колебаний мембраныМахмадуллоев Зафар Насуллоевич