Введение к работе
Актуальность темы.
В классическом анализе известно, что всякое гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из которых есть соленоидальное поле, а второе - безвихревое. Это утверждение часто называют теоремой Гелъмголъца. Такое представление тесно связано с разрешимостью задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области и имеет важное значение для исследования классических операторов векторного анализа первого порядка grad, div, rot. Также эта теоре.ма важна с точки зрения теории функций, поскольку дает представление о произвольном гладком векторном поле.
С современной точки зрения важно иметь аналог представления Гельм-гольца для функций не гладких, а только, скажем, суммируемых с некоторой степенью в области. Первый такой результат для функций суммируемых с квадратом был получен Г. Вейлем. Им было исследовано также пересечение классов соленоидальных и потенциальных полей в случае векторных полей из пространства Лебега Lo и получен полный ответ о представимости пространства 1 в виде ортогональной суммы подпространств.
Некоторые частичные обобщения разложенья Вейля-Гелъмгслъца, а также его комплексные аналоги и приложения рассматривались такими авторами, как Р. Темам, О. А. Ладыженская, Ю. А. Дубинский. Однако, до сих пор не было получено полное обобщение теоремы Вейля на случай соболевской шкалы. Эта задача в действительности тесно связана с задачей исследования ядер и коядер классической тройки дифференциальных операторов векторного анализа grad, div, rot в полной шкале пространств Соболева. Важность этих операторов заключается в том, что большое количество изучаемых в математической физике уравнений с частными производными имеет своими операторами те или иные их композиции.
В последнее время активно стали исследоваться краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных для клиффордо-возначных функций и дифференциальных операторов с коэффициентами из клиффордовой алгебры. Наибольшую активность такие исследования получили в Соединенных Штатах Америки и Германии. При рассмотрении такого сорта задач вариационного типа существенную роль играет двойственная теория, т.е. обращение к "сопряженным" функциональным объектам. Недостатком же имеющихся исследований в этом направлении является то, что аналоги пространств Соболева для клиффордовозмачных функций рассматриваются лишь как нормированные пространства над полем вещественных (комплексных) чисел. Это обстоятельство сказывается на двойственной теории, потому как "сопряженные" объекты снова являются лишь нормированными пространствами над тем же полем.
Важно было бы построить двойственную теорию, учитывающую линейность по элементам клиффордовой алгебры, т.е. рассматривать вместо векторных пространств модули, что позволит рассмотреть замкнуто в рамках клиффордова анализа ряд задач вариационного типа.
Цель и задачи работы.
Целью исследования является построение общей теории прямых разложений функциональных пространств (модулей, в случае клиффордова анализа) и решение посредством этой теории ряда краевых задач для уравнений в частных производных. Для достижения данной цели были сформулированы следующие задачи:
Л тт/^ч m TTTOTTTirt /"\Г\/"1.г\тТт/Лттт>г гт гіЛтгтлм/лтттігг TJ nii тт ґт I лттт шт<лттт пл ил пптгтіпіг і-г/-і —г
ной шкалы соболевских пространств и пространств "с суммиремой дивергенцией";
исследование краевых задач для градиентно-дивергентного оператора., некоторых "переопределенных" задач, а также вариационных задач, приводящих к системам типа Стокса;
получение прямых разложений модулей Соболева-Клиффорда, в частности, разложения на подмодули моногенных функций и комоноген-ных потенциалов;
» исследование вариационных задач на модулях Соболева-Клиффорда и соответствующих систем типа Стокса.
Методы исследования.
Результаты диссертации были получены применением методов теории функций, линейного и нелинейного функционального анализа, абстрактной алгебры, клиффордова анализа.
Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
» предложен общий подход к изучению дополняемости подпространств-ядер линейных непрерывных операторов, при помощи которого получено обобщение разложения Вейля-Гельмгольца и ряд других представлений функциональных пространств в виде прямой суммы подпространств;
рассмотрены некоторые как линейные, так и нелинейные задачи, изу
чение которых основано на геометрии пространств Соболева относи
тельно выделения в них ядер и коядер классической тройки операто
ров grad, div, rot;
рассмотрены нормированные модули Клиффорда; для них получены некоторые аналоги утверждений классического вещественно-комплексного функционального анализа, а также предложен метод "пронизывающих изоморфизмов";
получены прямые разложения моду-лей Соболева-Клиффорда и на их основе исследованы вариационные задачи, приводящие к системам типа Стокса.
Практическая значимость работы.
Полученные результаты носят теоретический характер, являются вкладом в общую теорию дифференциальных уравнений в частных производных и могут быть использовйньт цпи решении прикладных задач.
Апробация работы.
Отдельные результаты диссертационной работы обсуждались на научных семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством Ю. А. Дубинского и А. А. Амосова на кафедре ММ МЭИ(ТУ), семинаре под руководством акад. Е. И. Моисеева на факультете ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики под руководством акад. С. М. Никольского, чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцева в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Также часть результатов докладывалась на Международной конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского (2007), Международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ акад. В. А. Садовничего (2009) и некоторых других конференциях.
Публикации.
Основные результаты исследований опубликованы в 9 печатных работах.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 25 наименований. Диссертация изложена на 92 страницах.
