Введение к работе
Актуальность темы и краткая гстория вопроса
' Многоточечные задачи для дпсТйеренциальнкх уравнений возникают при изучении какого-либо процесса или состояшія по результатам проб в нескольких точках, слоях ти моментах времени. Поэтому представляется естествеичнм исследовать эту задачу для дифференциальных уравнений достаточно общего вида.
Изучение многоточечных задач борот начало, по-вкдтлому, в работах Я.Тамаркина \l\, затем Ш.Валле-Пуссена 2]. В дальнейшем исследох>ашія велись с разных точек зрения. Для обыкновенных уравнений связь корректности со свойством неосцилляции дифференциального оператора рассматривалась в работе [2], а позднее весьш исчерпнвагацее исследование провел А.Ю.Левин[з]; сводісу результатов по нєоещишщим мокло най-ти в статье В.Кошіеля(4]. Ю.В.Покорипй, А.Л.Тептаа, В.Я, Дерр [5 - 7J и другие авторы связали изучение многоточечной задачи со свойствами функции Грина двТфероїіііиального оператора. Многоточечная задача дхч конкретных уравнений изучалась рядом зарубежных математиков, гладким огіразом, в связи с приложениями.
Для уравнений в частных производных глубокие исследованпя проведепи В.Я.Скоробогатысо, Б.И.Пташшком и их учениками; основные результати изложены в монографиях [8,9] . Они рассмотрели задачу в (г точках для уравнений *г -го порядка по выбранной переменной при тех или иных ограничениях на тип уравнения; при отом условия существованш и единственности решения, как правило, связываются с оценками корней характеристического уравнения.
Ряд интересных результатов по классической' и.условной корректности многоточечных задач для уравнений в '-астиих производных принадлежит С.ЇЇ.Шншатскому, предлогд-геиему веро-ятностішй подход к исагяцозашго корректности [іСДі].
Обширная литература гос. пячена изучении тех или лпих задач для диф,?'ерешдальшіх уравнений в нормировании;' пространствах. Премде всего, это книга С.Г.Крейна [I2J, в которой для исследования краевой задачи и задачи Komi привлечен аппарат дробных степеней оператора и метод полугрупп. Идеи зтоі: книги получили развитие в работах С.її.їїкшатсу.ого |_I3j, И.3.Мельниковой [141 к других авторов.
Исследование многоточечных задач,, являющихся, как правило, некорректными, потребовало методики, разработанной для некорректных задач А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ива' новым и их учениками. Так, М.А.Атаходжаев l5j, пользуясь методом логарифмической выпуклости М.М.Лаврентьева и разложением по собственныгл функциям, получил оценки условной кор-ректности для уравнения, содержащего операторный коэффициент. Следует отметить также работу Н.В.Цывиса и Н.И.Юрчука [I&], где получены существование и единственность решения задачи в трех точках для уравнения 3-го порядка с операторным коэффициентом..
Цель работы и основные результаты
Основной задачей автора явилось, во-первых, получение условий корректности задачи в а точках для линейного дифференциального уравнения п.-го порядка с операторными коэф фінагентами в нормированном пространстве и, во-вторых, получение оценок условной корректности при ограничениях, налагаемых не на искомое решение,'а на данные задачи, т.е. на точечные данные и на правую часть уравнения. В этом направлении получены слодущие результаты.
Дл^ уравнения 4-го порядка с операторным коэффициентом установлены существование и единственность решения 4-точечной задачи при ограничениях на расположение спектра оператора и асимптотику его резольвенты.
Для однородного уравнения П~го порядка, коэффициенты . которого суть операторы, имеющие общий ортогональный базис из собственных элементов, исследована задача с данными в П. точках. Путем разложения решения в ряд Фурье по собственным элементам найдены условия существования, единственности и непрерывной зависимости решения от точечных данных в виде оценок корней характеристического уравнения б собственных подпространствах. Если эти оценки не имеют места, то получены оценки решения гельдерова типа при условии достаточно быстрого убывания коэффициентов Фурье точечных данных.
Показано, что для неоднородного уравнения условия корректности и оценки условной корректности - те яе, что и
для однородного, при естественных ограничениях на правую часть. При наличии возмущающего члена получены условия сохранения классической корректности в ввдв оценки норми возмуща-щ'его оператора.
. Исследована на предмет классической корректности задача с распределенными данными в виде интегралов Стильтьеса от искомой функция.
Изложенные выше результаты обобщены на случай, когда операторы - коэффициенты уравнения - имеют конечнократный спектр с общей системой порождающих векторов.
Структура и объем работы
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем работы - 117 страниц; список литературы содержит 73 названия. -
