Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ БАНАХОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ КРАТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬ
НОГО ОПЕРАТОРА 28
I. Уравнение разветвления для задачи Коши, когда
AOOe3tA> Д;р] 32
2. Постановка задачи и построение пространства без-
резонансных решений 38
3. Свойства операторов ,^0^ в пространстве Ё 42
4. Специальные проекторы и обобщенная лемма Шмидта 46
5. Некоторые свойства многочленов 49
б. Основные теоремы метода регуляризации 50
7. Построение формального асимптотического решения.. 59
8. Оценка остаточного члена 64
9. Асимптотическое решение задачи Коши в случае
dim Е~3 и _ cftm Е-4 б8
ГЛАВА П. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ
ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 80
I. Регуляризация задачи. Выбор регуляризирующих функ
ций 83
2. Пространство безрезонансных решений 84
3. Свойства оператора Jf0 в пространстве Е 87
4. Основные теоремы метода регуляризации 90
5. Построение формального асимптотического решения 92
6. Оценка остаточного члена 95
7. Свойства спектральных операторов 100
ГЛАВА Ш. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ
ЗАДАЧИ КОШИ В СЛУЧАВ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА ПРЕ
ДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 106
I. Выбор регуляризирующих функций.. 107
- З -
2. Пространство безрезонансных решений 109
3. Свойства оператора J& в пространстве Н ... III
4. Основные теоремы формализма метода регуляриза-
117
ции х
5. Построение формального асимптотического реше
ния 119
6. Оценка остаточного члена 121
7. Пример решения сингулярно возмущенной задачи
Коши 123
ГЛАВА ІУ. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В
СЛУЧАЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРА
ТОРА 130
I. Регуляризация задачи. Выбор регуляризирующих
функций 132
2. Пространство безрезонансных решений 134
3. Свойства операторов «Уо^сй. в пространстве
4. Основные теоремы метода регуляризации 140
5. Построение формального асимптотического решения 143
6. Оценка остаточного члена 149
ГЛАВА У. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 155
I. Выбор регуляризирующих функций 157
2. Пространство безрезонансных решений 160
3. Основные теоремы формализма метода регуляризации 163
4» Построение формального асимптотического решения 167
5. Оценка остаточного члена 172
6. Пример решения сингулярно возмущенной краевой
задачи -^
ЛИТЕРА ТУРА Ш
Введение к работе
В диссертации рассматривается алгоритм теории сингулярных возмущений, позволяющий строить асимптотические решения любого порядка задачи Коши и краевых задач для дифференциальных уравнений в ба-наховом пространстве ІЬ . В основу разработки алгоритма положен метод регуляризации сингулярных возмущений, принадлежащий С.А.Ломову и разработанный им для различных классов сингулярно-возмущенных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных ([32]-[39]).
Теория возмущений, как известно, имеет дело с задачами следующего типа. Пусть в банаховом пространстве Ть заданы два оператора JhL и jtl с областями определения ^)(^) и ^(jb^) . Образуем семейство операторов ^- бА±+ Jz9 и рассмотрим уравнение
^ги= ^eJrLfJh2)^-.l7 (0.1)
где t - вещественный параметр, 0 < є ^о<1. Если Ф(^2.) ~ (i)(Jb.) , то решение (0.1) можно искать методом Пуанкаре, то есть
Ь Є,АҐ Яті у ЄЯ , *
При дополнительном предположении, что оператор ? равномерно обратим по , можно показать, что при -* О имеет место оценка
И^+ЛЕ -0(і), (о.з)
Такие задачи называют регулярными в точке -0 , и ниже мы изложили основную идею классической теории возмущений.
Наибольший интерес однако представляют сингулярно возмущенные задачи. Йо отношению к уравнению (0.1) это имеет место, когда
В этом случае, если искать решение в виде (0.2) мы не получим оценки (0.3).Кроме того, решение вырожденного уравнения
Л^ос =1 не всегда является пределом при —» О решения возмущенного уравнения.
В связи с тем, что многочисленные задачи, встречающиеся на практике, связаны с решением таких уравнений, их изучение представляет несомненный интерес. Роль малых параметров могут играть различные безразмерные величины. К примеру* в квантовой механике можно считать постоянную Планка, в механике течения жидкости и газовой динамике величину обратную числу Рейнольдца.
Первый результат в теории сингулярно возмущенных уравнений принадлежит Лиувиллю LSI J при решении уравнения
^+ ('^fC^fxC^-u^O осє [a;gj . (0.4)
Для исследования решений этого уравнения при л -* + <*э Лиу-вилль вводил новые переменные по формуле
[j> (^)]V2 сіх ^(j) = Гр«]A у -
В новых переменных дифференциальное уравнение (0.4) принимает следующий вид:
d2t7
Переходя к интегральному уравнению и интегрируя по частям, затем вновь возвращаясь к старым переменным, частные решения представлялись в виде:
(0.5)
Шлезингер [77] обобщил результат Лиувилля на дифференциальные системы вида
при условии, что &к; (ъД) разлагается в равномерно сходящиеся ряды при достаточно больших 1А| по степеням -л
00 ("О
- г
Л - комплексный параметр, &k- (х) ^ l^&J f ^к/ (р$ -
- рациональные функции. Линейно независимые решения системы представлялись в виде
^ = exf>(Wk(x)) S ^ . С*) * > (0.7)
где w"^ (ос)? г/^ .(ос) - функции определяемые из соответствующих уравнений, не зависящих от ,
Следует отметить, что в этих работах был разработан только формализм получения асимптотических разложений. В это же время Дж.Биркгоф в работе [3J предложил более простой формализм и применил его к более общему случаю. Для дифференциального уравнения
E) a.(*;w^o (0.8)
им были даны строго обоснованные асимптотические разложения линейно независимых решений при |А|-»<*э , а именно была доказана теорема:
Теорема.
Пусть имеют место условия
а.(*,Х)-2 &*..С»), о,..с«) С00 [а,6] ,
No J і
О/о (x) ^0, г- 1,-vv .
Эти ряды сходятся равномерно при достаточно больших | А | в некотором секторе dL< Оло, к< о( корни характеристического урав-
нения
2 бЬгС*) [^С*)]г= 0 (0.9)
Ъ=0
удовлетворяют неравенствам
Ф.e(6V1(cc))^(XC^)^^.^(єVuCx))? 6=J .
(0.10)
Тогда для фундаментальной системы решений V^(ycf\) уравнения (0.8) имеют место при |А|—*ео асимптотические формулы
рК .*
IS
(0. II)
Эта теорема замечательна ещё и тем, что нашла применение в других областях математики. Например, с её помощью были получены многие результаты в спектральной теории несамооопряженных операторов, порожденных (0.8) Нуайон [:52] рассмотрел случай, когда степень малого параметра при производной может быть любым натуральным числом. Для уравнений вида
( Уь^ - натуральное число) при аналогичных, как в работе fsj, предположениях на коэффициенты вдоль любого направления в комплексной плоскости изменения параметра 6 , в І52] получены асимптотические формулы при .-> О фундаментальной системы решений уравнения (0.12).
В работах [Й,0521 предполагалось, что корни характеристического уравнения не совпадают ни в одной точке области изменения независимого переменного. В случае тождественно кратных корней Территин в работе Сбо] построил асимптотические разложения при ~* О фундаментальной системы решений для дифференциальной системы типа (0.6). Некоторые частные случаи кратных корней характеристического уравнения рассматривались Тамаркиным [593 , ' Трджидзинским [ 68 J.
При нахождении нулевого приближения асимптотических разложений решений дифференциальных уравнений второго порядка в ряд по степеням малого или большого параметра применялся метод ВКБ [7AJ.
Хотя решения, получаемые этим методом были пригодны для практического применения, тем не менее метод ВКБ имеет ряд недостатков: нет строгого обоснования метода, получаемая асимптотика не равномерна. Обобщение метода ВКБ на многомерный случай проведено В.П. Масло вым Г'П] .
Лангер \Z9 3 предложил более совершенный метод для решения однородных задач с точками поворота в отличие от метода ВКБ. Его методом удается получать равномерные асимптотические разложения любого порядка. В дальнейшем Цвааном [76] и М.В.Федорюком [71 ] были рассмотрены асимптотические решения таких задач слева и справа от точек поворота путем выхода в комплексную плоскость.
К концу сороковых годов были созданы многочисленные асимптотические методы, каждый из которых или решал весьма ограниченный круг задач или вычисление коэффициентов асимптотического ряда было связано в них с большими техническими трудностями. Для решения задач колебательного типа (в астрономии и в нелинейной механике) Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов [5 1 создали асимптотический метод, который в настоящее время называют методом усреднения. В дальнейшем этот метод получил свое развитие в работах Ю.А.Митро-польского, В. М. Волосова и других [ 483 * С 16 3
Для решения уравнения
^'-VU-p^'-^ -О. (0.13)
играющего важную роль в радиотехнике А.А.Дородницыным в работе был разработан метод с использованием модельных уравнений. Позже Е.Ф.Мищенко J4-9 ~\ и Л.С.Понтрягин [ 4-93 рассмотрели более общие, чем (0.13) системы с так называемыми точками срыва и получили ряд глубоких результатов в теории релаксационных колебаний. К этому кругу вопросов относятся задачи с начальным скачком. Если
положить в возмущенной задаче t=o , то в нелинейных задачах с растущим начальным условием предельным решением является не то решение, которое проходит через одно из заданных начальных условий, а некоторое другое из того же семейства. Исследованию этих задач посвящены работы Л.М.Люстерника, А.В.Вишика [15 ], К.А.Ка-сымова [23].
Первые общие результаты по нелинейным сингулярно возмущенным дифференциальным системам принадлежат А.Н.Тихонову [ 61] . А.Н.Тихонов рассмотрел задачу Коши для системы
где Ц , 2: - векторы произвольной размерности. При весьма общих условиях на функции ТГ Q им было доказано, что решение задачи Коши для системы (0.14) при ||-> О сходятся к решению задачи, полученной из (0.I4-) при t-0 . Решающее значение играет здесь расположение корней системы СС'Иг^Л) =0 .
Фундаментальные исследования А.Н.Тихонова привлекли внимание многих математиков к данной области. Если в асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений существуют многочисленные методы, то для уравнений с частными производными в этой теории получены лишь отдельные результаты.По-видимому, один из первых результатов в области исследований сингулярных возмущений уравнений с частными производными принадлежит В.Базову [7 ] Пусть в односвязной области Ф , ограниченной контуром V , рассматривается задача
- II -
Вдоль прямых tt = ccivsrfc при Х>ъс ^ (x0/lj) _ ближай-
шая точка к контуру Г , при условии, что в окрестности (^СоЛ")
граница представляется в виде однозначной функции переменной За и ^Оэс^гЛ є С {$)) В.Вазов [ 7 3 показал, что равномерно на отрезке fC^0,"W) ,(^7)^ имеет место предельное равенство:
IW ч^фв) - 11() ^« (Оле)
Левинсон [sol рассмотрел общее эллиптическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными и малым параметром при А и доказал для задачи Дирихле теорему о предельном переходе. В его доказательстве принципиальное значение имеет расположение характеристик для вырожденного уравнения первого порядка. Дальнейшее развитие асимптотической теории уравнений с частными производными связано с исследованиями О.А.Олейник [53 ]-[55],где доказаны теоремы о предельных переходах соответствующих решений краевых задач к решениям вырожденных уравнений.
В работах tl4-]- [id Л.М.Люстерником и М.Й.Вишиком был создан новый асимптотический метод. Он оказался очень эффективным при нахождении асимптотических решений сингулярно возмущенных краевых задач. Особенностью таких задач является наличие пограничного слоя, т.е. такой области, где решение вырожденной задачи существенно отличается от решения возмущенной задачи при сколь угодно малом значении параметра. Основная идея метода состоит в том, что решение задачи
2u=|? lv,\ = у (о: і?)
представляется в виде трех функций
юев We+ Vt *-R. (0.18)
Функция Wg. является приближенным решением (0.17) внутри области, но не удовлетворяет всем краевым условиям. Функция погран-слоя Ve заметно отличается от нуля лишь вблизи границы Г , однако, при удалении от границы убывает по экспоненциальному закону. Она определяется так, чтобы функция ^ + Ve удовлетво- ряла краевым условиям. И, наконец, 41^ остаточный член. Асимптотические решения получаемые таким способом называют решениями типа пограничного слоя. Существенный вклад в теорию сингулярных возмущений внесли работы А.Б.Васильевой. Задача Коши для нелинейных систем типа (0.В-) в классе функций типа погранслоя решена в Г19] Асимптотические решения краевых задач строятся в работе >, L [ ІЗД. В связи с приложениями в гидромеханике В.А.Треногин [зз] і и - СббЗ рассмотрел смешанные краевые задачи для квазилинейных па-раболических и игиперболических уравнений. Исследования были затруднены тем, что при построении асимптотики до любого порядка возникала необходимость введения погранслоев соответственно параболического и гиперболического типов, которые определялись уже не из обыкновенных дифференциальных уравнений, а из уравнений с частными производными.
Задача Дирихле для эллиптического уравнения в прямоугольной -, области с погранслоями разных типов изучена В.Ф.Бутузовым [ q ]« Исследованиям по асимптотической теории эллиптических уравнений высших порядков посвящена работа А.М.Люстерника и М.И.Вишика 0t4l. Первые результаты по асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциально операторных уравнений были получены С.Г.Крейном и Ю.А.Далецким [і9І , І20 1.
- ІЗ -
Для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с ограниченным оператором и медленно меняющимся временем были получены асимптотические разложения решения задачи Коши. Впоследствии Ю.Л.Далецкий Г 20 ] перенес некоторые результаты работы [ 19 1 на уравнения с неограниченным оператором.
Б.С.Митягин Г 4-7 I рассмотрел уравнение второго порядка в банаховом пространстве с неограниченными операторами ж и $ :
vf+y + byO. (о>22)
Он доказал, что при &-* О решение задачи Коши для этого уравнения при определенных условиях стремится к решению соответствующей задачи Коши для вырожденного уравнения
В этой же работе даны некоторые случаи обобщения на уравнения высших порядков с неограниченными операторами.
Некоторые результаты, связанные с существованием и единственностью решения задачи Коши и построением асимптотических решений типа пограничного слоя для эволюционных уравнений с переменным оператором изложены в книге [" 28 1 . Дальнейшее развитие этих результатов получено В.А.Треногиным f 4-3 1 . Следуя ему, рассмотрим в банаховом пространстве следующую задачу Коши
гги-Афгс=|(*)7 Предположим, что разрешающий оператор допускает оценку ll^lhCex^C-^Ct-s)^1), С0о>0* (0.24) В условиях неравенства (0.24) в работе С 63 J В.А.Треногиным разработана асимптотическая теория погранслоя и дано его строгое обоснование. Аналогичные результаты получены также по задаче Коши для уравнения второго порядка х(о>а? ос'(о;4. (0'25) В этой же работе рассмотрена задача (0.23) для случая, когда ядро AW имеет ненулевую размерность (задача на спектре). Предположив, что i(-t; является фредгольмовским оператором и "замороженый" оператор Jr(o) порождает полугруппу с экспоненциальным убыванием, автор строит асимптотическое решение любог порядка при ->о и дает оценку остаточного члена. Обобщение теоремы Дж.БиркгофаС. I ]на случай гильбертова пространства проведейо В.Г.Мазьей и Б.А.Пламеневским в [42 J Они рассмотрели уравнение k=o О При условий, что операторы Ак (t,) допускают разложения ^M-S^^W+e^Ai^iftje) ,. (0.27) г*=о где Л,,;^ t"fc) ; ^ ^+1С^>) - неограниченные операторы при каждом 0Ь-)) » подчиненные определенным условиям на поведение при і -> , ими получено представление решений (0.26) из определенного класса функций в виде t -ь гд/(і,є).ехр [t1 J 4*)+ j ^(OoU) [с у ( + е*ГгФ+б'+1г 3. (0.28) г=о l -^+i 7 где tft-b) , % (і) соответственно собственная функция и собственное число операторного пучка (3,+) = % Г"'Л,_1>в(*) + ...+ А0)0(Ч), (0.29) Оценка функции 12 (.} проводится в пространстве функций, норма которого зависит от . Задача Коши и краевая задача в гильбертовом пространстве для уравнений высокого порядка рассмотрена А.Фридманом в работе ?зЗ. Им доказаны теоремы о предельных переходах для задач в следующей постановке. Пусть Т?\^.)"Тг); ^ (^; "jT") обыкновенные дифференциальные операторы (0.30) (г*) X (о) -эс. ъ -О, vn+nrL-L А - самосопряженный, возможно неограниченный оператор в Н . Аналогичные теоремы о предельных переходах содержатся в работе Г73] и в случае, когда задачи (0.30), (0.31) являются краевыми. В последнее время С.А.Ломовым в цикле работ [ 32 3 - Ьэ] разработан существенно новый метод построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач. Зтот метод позволил развить основы общей теории сингулярных возмущений с выделением естественного класса функций, в котором асимптотические ряды обладают свойством единственности. Путём введения регуляризи-рующих функций, содержащих в себе все нерегулярности малого параметра, в качестве дополнительных независимых переменных, уда- ется свести сингулярную задачу к регулярной в пространстве кого уравнения ). Преимущество метода С.А.Ломова состоит в том, что спектр предельного оператора может быть и на мнимой оси, при этом асимптотические решения, получаемые этим методом не содержат резонансных членов вида (х1)'еэср(-хбГ*) , k(x)(l + xeiy 0иГ(і+*є*;7 f> , которые допускаются в асимптотике типа пограничного слоя. Поэтому и по другим причинам, как отмечали В.Вазов [7 2 и С.А.Ломов [ зб ]» решения с резонансными членами не отвечают физическому содержанию решаемой задачи. Приведем элементарный пример: для сравнения двух типов асимптотических разложений. Пусть имеется задача: Г^ъ sea/+ 2,(t+x2)~ о(= (ал,еЬ*х*0С1+а^)' ^ ^Со,е)^ которую необходимо решать при ~> <9 . Решение вырожденного уравнения не удовлетворяет начальному условию в общем случае, значит задача (0.32) является сингулярно возмущенной. Асимптотическое решение, получаемое методом Вишика-Люс-терника, может быть представлена в следующем виде: if = 3ta*cto х- eoftcb xt у + [(^ — - j ) ъ f ео~ | - - Je С* =4^-3. $ 3* (0.33) Это разложение типа пограничного слоя. Регуляризованное асимптотическое решение этой же задачи будет: иф + алй-Ь за-(яаЬх+ - + со- - J ехь [ ^- J . (О.ЗЦ Этот ряд обрывается на членах порядка 6г и является точным решением задачи (0.32). Для более полного сравнения асимптотик обоих типов изучим следующую краевую задачу: їгі s %"+ ea^fcW ta,0(ot)«u =^(х) (0.35) И (0)= О u(i)=0. Содержательная интерпретация получения асимптотического решения типа погранслоя этой задачи состоит в следующем. Предположим, что коэффициенты &г* (.ъь) не обращаются в нуль на [о, И и для них верны в некоторой окрестности точек Х=> и«:і следующие представления: ^О)aVS^l0^ ^^^ > ^0-^10)(0.36) О^дІ^Сі). Согласно методу Вишика-Люстерника решение задачи (0.35) ищем в следующем виде: ^е) = Ч^) + ХАь)+Є Кл(^г), (0-38) w с*,с;« 2 a* w. с»), у - 2 ьсVi (t ,е). со. 39) Пусть характеристические уравнения AS О/ А + ^оо^0 и iz-^u^+сь0-О, (0Л0) имеют по одному корню с отрицательной вещественной частью. Для определения ~W* (ъ) подставим ^j/(x;) в уравнение (0.35) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях < . Мы получим: Функции "V^ (*fc,e) будем строить отдельно в окрестности точек Зс-0 и ^=^ . Для этого введем новую переменную "Ь^ос/б в окрестности точки "Эс-О . Оператор J перейдёт в 26 , т.е. + КЛЛ ^+«W*'6^ ^- (0.42) Для определения "V\ функций типа погранслоя подставим О * л ""*" г» "V\ = S ъ V" ^ в *^ &У j "^ и приравняем коэффициенте ты при одинаковых степенях . Мы получим: „ v; - v/+%v; + «,о y0=о (0.43) ^ О Положим V/l = -W^ I , Для построения функции типа погранслоя V^ в окрестности точки x=i i сделаем замену *Ь^=(і~х)/б , и подставим выражения (0.37) в уравнение (0.35). Получаем t (О/ ft є)"Ь it-O' "Ь* 4^ ) . (ОЛб) Подставим выражение V, = S V* в уравнение ^ V.-0 и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Для определения V . получим следующие уравнения: мх =Х-лиУо + «-.л1=> м=viS -Biv= (-*7> Потребуем, чтобы выполнялись краевые условия Vі =-W.| iUO^. (0Л9) 2. Таким образом функция погранслоя Vi (*.,) строится из суммы двух функций V.0 и Vt* , являющихся решениями задач (ОЛЗ), (0.45), (0.47), (0.49). Тогда решение задачи (0.35) в форме (0.38) построено. Получим асимптотическое решение задачи (0.35) по методу Ломова. Пусть корни характеристического уравнения ^ХГ%0'1(х)ЛХГ2|-^(х)г^азличны и 12e"Wi(x)<0 ,а 1^e"Wl(x)>0 при 0с [0,11. В соответствии с методом введем переменные L (0.50) и вместо искомого решения у(.эс?е) будем изучать функцию й(*,М), ^^А) > 7KXj>[lCx^>'^x>)](o.5i) Потребуем, чтобы где %(^)С) искомое решение задачи (0.35). Подставляя выраже-ния для ух? Чхх в заїї-ачУ (»35)» шлучим %****«. J t5^t Xe = W»; (0.52) - 21 -где Решение задачи (0.52) ищем в виде if -JLj Чг'0>-Ь)* (0.55) Подставив этот ряд в уравнение (0.52), получим: JCo^i=-^.'^i(o)+fcA6>o,Jtf1J1^1.e),e)a0; (0-57) Решения этих задач будем искать в классе функции "V , представляемых в виде: ^C^^-liC^e^t^W^+^C*) , |іЙ С" [0,1] (0.59) Тогда решение задачи (0.56) из этого класса имеет вид: ^^Ио/~)Є*Чо/~)Є+ЧІ<>(~)> (0-б0) где 4v0 (х) = ^ (<х) ivCocj) , і . (х)- неизвестные функции. Из граничных условий (0.56) следует, что к^ЩлЧ)^(^ \ W«. W ^) = - ^о (0) (0.61) |oiCi) +«р(е45 -^(т) о Решение задачи (0.57) в классе V имеет вид К с») = - <\о) ^ с»? < с*) (0,б3) Применяя теорему разрешимости задач (0.56)-(0.58) в классе "V (см. [з2 3 )» мы получим вместе с условиями (0.61), (0.62) задачи для однозначного определения і (х), 9 (о^(при достаточно ма-лых t ). (2."Wi+ ЬііЩ'^Ю +^(»)JfotC*)-0 (0.64) ^1+ ^^))(4^) +^C*){ea (a>=0- (0-65) Применим к задаче (0.58) при t=2 теорему разрешимости в соответствии с [ 32 2 » получим задачи для определения г^ДзО? \^ (эс). Аналогично находятся все прочие коэффициенты ряда (0.55) в виде М. C^^I^He^l^C^e^iU) , (0.66) Проводя сужение по переменной "Ь= ^С^,) и применяя формулу (0.51), мы получим регуляризованное асимптотическое решение задачи (0.35) в следующем виде: ос, СС ^ Г) . ^, і. , ч л/Vi (0.67) Нулевое приближение этого разложения имеет вид: ре Je#1C*)+* 1-^^/ (0.68) Следует отметить, что нулевое приближение этой же задачи (0.35), полученное методом Вишика-Лгостерника, представляется в виде V * А (&") еоср (е1 ^Х) + fe() ехр (Є А а Cb«9) + ^0)/<Ч> С*А 69) где А^ , А2 те корни характеристического уравнения (0Л0), у которых "Re ^Х<*0 , А (є), B(V) , удовлетворяют системе ВСе)*-^ . А(в) = ^- . acCi) М) Сравнивая вид функции (0.67) с разложением Биркгофа (0.11), можно заметить, что разложения (0.II) определены на некотором подмножестве суженного множества "V (см. [ 77Л ) Можно указать многочисленные задачи, для асимптотического решения которых не применим ни метод Вишика-Лгостерника, ни другие ранее развитые методы, но применим метод Ломова. Рассмотрим одну из таких задач. Пусть требуется решить задачу Коши: ^Ы;Со,е>^ , і~о,1,9.. (0-70) - 24 -Пусть один из корней характеристического уравнения !\3 + 0,(х) ЛЧЄСх)Л + сСх) = О, (0.71) отрицателен на рассматриваемом отрезке [О,dj и два других корня -- чисто мнимые ^--рО*?* f>0, Ьг=ічС*0 , Зіз=-^(х) , *(x)>0. При этих условиях не имеет место регулярность вырождения, следовательно метод Вишика-Люстерника не применим. Согласно методу С.А.Ломова введем две регуляризирующие функции о [ Вместо решения г/(х.,) задачи (0.70) будем изучать функцию ^С > з? г;/ в неограниченной области при фиксированном >0 . Расширение оператора ^ произведем таким образом, чтобы Отсюда и из закона дифференцирования сложной функции получим: ft "' Аналогично определяем и хх , '^ассэй После подстановки этих производных в задачу (0.70), получим «^ , 2*Wtew(W^H>^ >ь ^3 « 9 .Г«* * -J* ^ .i ' Q + Iі ^-+^ -тпг ) +И'30)^ J JL.,J JLW^A. (0.74) + a' J_, V -2-). (0-75) Решение задачи (0.73) ищем в виде: V = 2 sVC^t/tJ. (0.76) 0 г'-о (у Подставив ряд в задачу (0.73) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим: (0.77) ,u=kCx) -^(.0,0,0) = ^ ^-^=-2^ ^(_о,о,о) = д и =-2Х-a,u и/; С0.0,0) = о г ± 1 С , ** «Г (0.78) Йгі,—2и -Як, -^u. , w (О.О.о) «0. Решения этих задач ищем в классе функций, представимых в виде: У * г (0.79) Нетрудно определить функцию П0С^) как частное решение уравнения їоЧь^) *, П0(х) = к(*)/с(х), Общее решение первого уравнения (0.77) следует определять в виде где СС;С"с ; С*с - пока произвольные функции. Потребуем, чтобы fc^t^x^o 11/ QL> 0х* J2' Vta«ot*o (0.81) Рассмотрим вторую задачу из (0.77). Чтобы она была разрешима в классе функций вида (0.79) необходимо и достаточно, чтобы в правой части этого уравнения коэффициенты при б i , co-st2 , St4it2 обращались тождественно в нуль. Вместе с условиями (0.81) мы /і 1 2. получим задачи для однозначного определения функция С0(*); Со Ы и С 0*9 . Таким образом, нулевое приближение найдено однозначно в классе функций вида (0.79). Аналогично находятся приближения высших порядков. На этом примере видна простота и универсальность метода применительно к колебательным и неколебательным функциям, являющимся носителями сингулярной зависимости от Є . - 27 -Данная работа состоит из пяти глав. В первой главе изучается задача Коши в конечномерном банаховом пространстве, когда предельный оператор имеет тождественно жорданову структуру. Методом регуляризации строятся асимптотические решения до любого порядка и дается оценка остаточного члена. Во второй и третьей главах решаются задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с переменным, вообще говоря, неограниченным оператором и с малым параметром при производной. Рассмотрены случаи, когда спектр оператора А (і) при каждом "t дискретен или непрерывен и расположен в левой замкнутой полуплоскости. Строятся асимптотические решения указанной задачи до любого порядка и доказывается теорема об оценке остаточного члена. В четвертой и пятой главах получены результаты по решению краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с переменным неограниченным оператором с малым параметром при производной. Рассмотрены случаи дискретного и непрерывного спектра предельного оператора Aft). Результаты данной работы докладывались в разное время в МГУ: на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством В.А. Ильина; в МЭИ:на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессоров Ю.А.Дубинского, С.А.Ломова, С.И.Похожаева, и на семинаре по асимптотическим методам под руководством профессора С.А.Ломова; на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений в г.Алма-Ате; на школе--семинаре -Методы малого параметра", посвященной 75-летию А.Н.Тихонова в г.Минске. Основные результаты диссертации опубликованы в работах[ 78,83^} Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководя телю профессору С.А.Ломову за неизменное внимание и весьма полезные советы.
большей размерности. Используя схему классической теории воз
мущений, в основе которой лежит метод Пуанкаре, строится теория
разрешимости соответствующих задач в определенных пространствах,
затем применяется алгоритм сужения, позволяющий получать соот
ветствующие асимптотические разложения исходной задачи. Ранее,
в работах [ 34-] - [39 ] С.А.Ломов систематически применял свой
метод для различных классов сингулярно возмущенных задач как для
обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с
частными производными. Для метода регуляризации не важно распо
ложение корней характеристического уравнения (в случае обыкно
венных дифференциальных уравнений) и спектра соответствующего
оператора в абстрактном случае. В методе Вишика-Люстерника необ
ходимо требовать регулярности вырождения; для задачи Коши это
значит, что 1}е %i <0 ( ^ - корень характеристичес-
где _^ ^Похожие диссертации на Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных задач в абстрактных пространствах
