Введение к работе
Актуальность темы.
Работа посвящена исследованию нелокальных задач для гиперболических уравнений второго порядка. Исследование таких задач в настоящее время представляет интерес как для математического моделиравания, так и для общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Нелокальные задачи возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и экологических явлений, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри неё. Подобные ситуации имеют место при изучении широкого круга явлений: процессов происходящих в плазме; процессов распространения тепла; некоторых технологических процессов; процессов влагопереноса в пористых средах; в задачах математической биологии и демографии.
В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Важный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений различных классов внесли работы Ф.И.Франкля, А.В.Бицадзе, А.А.Самарского, АА.Дезина, В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, В.И.Жегалова, А.Л.Скубачевского, А.И.Кожанова, О.А.Репина, Л.С.Пулькиной и других авторов.
Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями, которые
служат удобным способом описания условий на искомое решние в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических величин на границе, но известно их усредненное значение внутри области.
Первой публикацией, посвященной исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно, видимо, назвать работу Cannon J.R. (Дж. Кэннона) «The solution of the heat equation subject to the specification of energy», опубликованную в 1963г.
Позже задачи с интегральными условиями для уравнений второго порядка различных типов были поставлены и изучены А.К.Гущиным, А.Л.Скубачевским, А.М.Нахушевым, Л.И.Камыниным, Н.И.Юрчуком, Д.Г.Гордезиани и Г.А.Авалишвили, А.И.Кожановым, Л.С.Пулькиной.
Смешанные задачи для гиперболических уравнений
с интегральными нелокальными условиями
рассматривались в работах Д.Г.Гордезиани и Г.А.Авалишвили, Л.С.Пулькиной, А.И.Кожанова, A.Bouziani.
Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений
и уравнений смешанного типа изучались в работах
Е.И.Моисеева, К.Б.Сабитова, Л.С.Пулькиной,
С.Н.Глазатова. Однако, вопрос о постановке и разрешимости задач для вырождающихся гиперболических уравнений сравнительно мало изучен.
В предложенной диссертации рассматриваются нелокальные смешанные задачи с интегральными условиями для гиперболического и вырождающегося
гиперболического уравнения второго порядка. Кроме этого, рассмотрен вопрос о взаимосвязи нелокальных задач с задачами для нагруженных уравнений.
Таким образом, актуальность темы представленной диссертации обоснована как практической, так и теоретической значимостью рассмотренных задач.
Цель работы.
Постановка и исследование нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических и вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка.
Общая методика исследования.
Использован аппарат теории дифференциальных
уравнений в частных производных и обыкновенных
дифференциальных уравнений, методы
функционального анализа, аппарат теории интегральных уравнений, методы априорных оценок, аппарат специальных функций.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые результаты:
Доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи для нагруженного гиперболического уравнения второго порядка.
Доказаны существование и единственность классического решения нелокальной задачи
с интегральным условием первого рода для
гиперболического уравнения с сингулярным
коэффициентом в случае одной пространственной переменной.
3. Доказаны существование и единственность решения нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения и построено решение этой задачи в виде биортогонального ряда.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа носит теоретический характер и продолжает исследования нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными условиями, а также задач для нагруженных уравнений.
Апробация работы.
Результаты, приведенные в диссертации,
докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях.
Научный семинар кафедры "Уравнения математической физики "под руководством доктора физико-математических наук, профессора О.П.Филатова в Самарском государственном университете, 2006-2008 г.
Вторая всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи",
секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 1-3 июня 2005 г.
Третья всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2006 г.
Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения-2006", Казань, 28 ноября-2 декабря 2006 г.
Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения, СамДиф-2007", Самара, 29 января-2 февраля 2007г.
Восемнадцатая весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения", Воронеж, 3-9 мая 2007 г.
Четвертая всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2007 г.
Пятая всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2008 г.
Публикации.
Автором опубликовано 12 работ по теме диссертации. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы.
