Введение к работе
. Актуальность темы. После работы М.В.Келдыша 1951г. , а также работ М.М.Смирнова и А.В.Бицадзе и др. теория вырождающихся дифференциальных уравнений (сингулярных) приобрела значительную известность. В монографии Л.Г.Михайлова , изданной в Академии наук Таджикской ССР в 1963г., которая затем была переиздана в Голландии (Walters-Noord Hoff Public,Groningen, 1970) и в Германии (Academic-Verlag,Berlin, 1970), были развернуты исследования уравнений
п п
г2Аи + г^Ьк(х)и'Хк +с(х)и = /(х), где х = (х„...,хп), г2 =^Х , (1)
к=\ к-0
а затем они были продолжены его учениками А.И.Ачильдиевым ,
ft 7 Я
Н.Раджабовым , З.Д.Усмановым , А.Мухсиновым и др.
С другой стороны, еще с 19-го века приобрела известность теория уравнений
хУ'к = ак1(х)уг +ак2(х)у2 + --- + акп(х)уп + fk(x) ,(к = 1,2...,и,0 < х < 1) (2)
где ак](х) и fk(x),(k,j = \,2,...,ri) аналитические функции, (т.е. сходящиеся
степенные ряды), получившая наименование теории Фукса.
В работах Л.Г.Михайлова ' система (2) была изучена в том более общем случае, когда все ак](х) только лишь непрерывные функции, а
/t(i)eC[01], либо даже в точке х = 0 просто ограничены. Для этого
Л.Г.Михайловым был разработан новый специальный метод: записав решение модельной системы (с коэффициентами ^.(0)), а вычтенные
слагаемые, перенеся в свободные члены, он приходит к системе интегральных уравнений с ядрами однородными степени (-1). Что касается системы уравнений типа (2), то надо сказать, что Л.Г.Михайловым был изучен только тот случай, когда для модельного уравнения корни характеристического уравнения все различны. В данной диссертационной работе изучается все другие случаи корней характеристического уравнения. А кроме того были изучены системы типа (2), но с двумя, либо с тремя сингулярными точками, т.е. системы типа (2) с левыми частями х(х-\)у'к,
либо х(х-\\х + \)у'к, а также уравнения высших порядков, сводящиеся к
1 Келдыш М.В.// ДАН СССР, т. 77, № 1, 1951, с. 11 - 14, // ДАН СССР, т.77, № 2, 1951, с. 181 - 183.
2 Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., «Наука» 1966, 292с.
3 Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., «Наука», 1966, 204с.
4 Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным
уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе «Дониш»-1963, 184с.
5 Ачильдиев А.И. //ДАН СССР, т.152, №1,1963,-Докл. АН Тадж. ССР, т. 4, № 1,1961.
6Раджабов H. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных
уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями, часть 4, Душанбе-1985. 7Усманов З.Д. //Сиб. матем. журн, т .14, № 5,1973г, с. 1078-1079, //Докл. АН Тадж. ССР, т. 14, № 11, 1973, с.16-20, //Докл. АН Тадж. ССР, т. 15,№ 4,1972, с.10-11.
8 Мухсинов А. О некоторых формулах представления решений одного трехмерного сингулярного
эллиптического уравнения. //ДАН России, 2005, т.402, № 5, с. 596-600.
9 Михайлов Л.Г. //Доклады АН России, 1994, т.336, .№1.
10 Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядрами однородными степени (-1). Душанбе,
«Дониш» -1966.
системам первого порядка типа (2), (уравнения типа Эйлера только лишь с непрерывными коэффициентами)
х>( и) + А (Х)х-У "Ч) + * Рп (х)у = f(x) (3)
Методика исследования. В диссертационной работе применяется способ исследования системы (2), (а также систем дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками), состоящий в том, что сначала решаются модельные системы уравнений, А потом общая система уравнений (2) с непрерывными коэффициентами (пользуясь методом вычитания), сводится к системе интегральных уравнений с ядрами, однородными степени (-1), либо локально однородными разработанный Л.Г. Михайловым .
Цель работы. Изучить линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной либо с двумя и тремя сингулярными точками с непрерывными коэффициентами, а также одно уравнение высшего порядка типа Эйлера (3).
Научная новизна. В предлагаемой диссертационной работе впервые исследованы:
Линейные системы первого порядка типа (2) для тех не изученных до
сих пор случаев, когда ак](х) только лишь непрерывные, а корни
характеристического уравнения являются кратными либо комплексными и т.д.
Изучены уравнения высших порядков, т.е. обобщенные уравнения
типа Эйлера только лишь с непрерывными коэффициентами.
Изучены линейные системы дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками (и только лишь с непрерывными коэффициентами).
Доказаны теоремы существования частных решений неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной, двумя и тремя сингулярными точками, а также неоднородных уравнений высших порядков типа Эйлера с непрерывными коэффициентами.
Теоретическая и практическая значимость Известно, что системы первого порядка, (а также высшего порядка) с сингулярными точками, т.е. типа Эйлера, очень часто применяются в математической физике, где чаще всего встречаются уравнения в частных производных, которые сводятся к указанным одномерным, т.е. обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на общеинститутском семинаре Института математики АН РТ; на кафедре Математического анализа Кулябского государственного университета (руководитель профессор Акбаров Р., 2006-2009гг.); на
11 Михайлов Л.Г. Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе; «Донині» -1969.
ежегодных научных конференциях Кулябского государственного
университета (2005-2010гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, одна из которых - в Докладах АН Республики Таджикистан -выполнена в соавторстве с научным руководителем Л.Г. Михайловым.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, четыри глав, списка литературы, состоящего из 44 наименований. Работа изложена на 108 страницах.
