Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Дифференциальные уравнения первого порядка с неподвижными критическими точками 14
I. Уравнение первого порядка третьей степени 14
2. Уравнения с неподвижными критическими точками вида и их интегрирование 23
ГЛАВА II. Однородные системы дифференциальных уравнений второго и третьего порядка без подвижных кри тических точек 34
I. Необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек в решениях однородных систем второго порядка 34
1.1. Сведение однородной системы к уравнению первого порядка 34
1.2. Необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек у решений уравнения (2.2.) 35
2. Некоторые достаточные условия отсутствия подвижных критических точек у решений однородной системы тертьнго порядка 39
2.1. Случай Хц-0 ; 41
2.2. Случай о5-0 49
2.3. Случай Оч=0 57
2.4. Некоторые интегралы однородной системы третьего порядка 62
ГЛАВА III. Однородные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядка, принадле жащие классу 67
I. Уравнения третьего порядка 67
2. Уравнения четвертого порядка 72
2.1. Необходише условия для принадлежности уравнения (3.18) классу М 73
2.2. Некоторые достаточные условия принадлежности уравнения (3.18) классу М 76
Литература 8Т
- Уравнения с неподвижными критическими точками вида и их интегрирование
- Необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек у решений уравнения (2.2.)
- Некоторые интегралы однородной системы третьего порядка
- Необходише условия для принадлежности уравнения (3.18) классу М
Введение к работе
Термин дифференциальное уравнение был впервые введен Лейбницем для обозначения зависимости между дифференциалами ^ъ. и c/j. двух переменных X и у . В настоящее время под дифференциальными уравнениями понимаются любые алгебраические или трансцендентные равенства, содержащие дифференциалы или производные.
Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической и важнейшей задачей математического анализа. Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. Однако за исключением нескольких простых случаев интегрирование представляет трудность и до настоящего времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены. В связи с этим возникла необходимость изучения свойств интеграла непосредственно по виду дифференциального уравнения.
Теория аналитических функций с одной или более комплексными переменными , введенная Коши, Вейерштрассом и Риманом[[8, 31, 41, 53[] , применялась ими для изучения дифференциальных уравнений.
Аналитическая теория дифференциальных уравнений есть часть общей теории функций комплексного переменного, в которой общие методы прилагаются к изучению интегралов дифференциальных уравнений различных классов и к нахождению классов дифференциальных уравнений, интегралы которых обладают какими-нибудь свойствами, представляющими особый интерес с точки зрения теории функций комплексного переменного (однозначность, характер особых точек и т.п.)
Вопрос о поведении решений и окрестности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке [ 1, 5, 18, 19, 36, 37 J , считавшими особыми такие точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий
теоремы Копій существования и единственности решения. В работе Фукса 44 J особые точки решений дифференциальных уравнений разделены на два класса - неподвижные и подвижные. собые точки интегралов, положение которых зависит от начальных данных называются подвижными особыми точками.
Идеи С.В.Ковалевской Г2ІІ привели к постановке задачи об изыскании класса уравнений, интегралы которых - однозначные функции. Из работ Пенлеве[48,5і] , Гамбье [46] , Гарнье [47,48J , Бюро(38], Шази [40J и других известно, что задача об отыскании необходимых и достаточных условий отсутствия подвижных критических точек решений уравнений
R( *9 ujj ш\ ... , Lufn) ) = 0 (ол)
где Я - рациональная функция относительно и>3 и/,... , и/^
с аналитическими по коэффициентами, в общем случае до сих пор не
решена.
В работах Врио и Буке рассмотрено [37,43,51j уравнение порядка вида
Р ( і, ы, ц/) = О
(0.2)
где Р ~ многочлен относительно и>,ш с аналитическими по 2
коэффициентами.
В работе Фукса 45 J доказана теорема об отсутствии подвижных критических точек. Однако исследования Фукса не исключали возможности существования в решениях трансцендентных особенностей или точек неопределенности. Продолжая изучение свойств решений уравнений (0.2) Пенлеве [4lJ доказал теорему о том, что эти уравнения в решениях не содержат подвижных неалгебраических особенностей.
Исследование уравнений второго порядка вида
u>* = ЯІі,и>,Ш') (0>3)
где R - рациональная функция относительно lj,u; с аналитическими по 5- коэффициентами, интегралы которых не содержат подвижных критических точек, приводилось в работах Пенлеве, а затем Гамбье. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.3), которые заведомо имели неоднозначные подвижные точки, что дает возможность указать необходимые условия в поставленной задаче. Вторая часть задачи состоит в доказательстве отсутствия в выделенных уравнениях подвижных критических точек. Таким образом устанавливается достаточность.
В исследованиях Пенлеве Q52J все случаи уравнений с неподвижными критическими точками были приведены к 14 видам. Впоследствии Гамбье [44] указал существенный пропуск в иссследованиях Пенлеве и показал, что уравнения с неподвижными критическими точками рассматриваемых типов могут быть приведены к 50 различным частным видам.
Также и в разобранном случае, большинство этих уравнений сводится к ранее известным. Только шесть уравнений приводят к существенно новым трансцендентным функциям. Эти уравнения следующие
Zujw" = w'2 + зш4- 4- 8їио* + ц. (i.z-o()ujz+ Z& Pi+
2 1г uj(t-u-i) а/= &z(3w-4) uj'2 - Z 2-w(w-i)u/ +
+ Z4 шг(ьи.А)2>4. 2/(и>-л)*+*іш*(и*-і) + 2Ї2ги>2(ои + і) P.S
- 7 -?S(2-1)2 oo(u)-l)(uj-i)vu" = 22(2-і)2(зио2-2і:и,_2ш + і)ьи'і
где с*, д, fr , и 3" - постоянные
Первые три из этих уравнений были указаны Пенлеве.
Интегралы уравнений Р- 1 , Р-& и / - однозначные мероморфны функции. Интегралы уравнения Rs имеют трансцендентные неподвижные критические точки I- о и і = о^ . Интегралы уравнения ^б имеют трансцендентные неподвижные критические точки
а«о, is і и г= оо
Решения остальных уравнений выражаются:
а)либо через элементарные функции,
б)либо через известные классические трансцендентные функции,
в)либо через решения некоторых линейных уравнений,
г)либо через решения выделенных шести уравнений.
На этом исследование считалось законченным. Позже Н.П. Еругин в работах п, 12,14] поставил ряд задач относительно свойств функций, определяемых выделенными шестью уравнениями Пендеве.
Представление решений уравнений Р\ во всей области существования через отношение целых функций указано в работах [4,1з] , для P-Z - в работах А.И.Яблонского [4б] , для остальных - в работах Н.А.Лукашевича [34J и других. Подробное исследование уравнений Пенлеве проведено в работах [6,7,15,30,24,25,26,34,49,50] , в работе [ioj В.И.Громак и Н.А.Лукашевич дали подробную библиографию.
В результате решений задач, поставленных Н.П.Еругиным, были найдены условия интегрируемости уравнений Рз - Р5 в элементарных функциях при некоторых специальных значениях параметров, условия существования рациональных решений. Доказано, что Р- &6 имеют од-нопараметрическое семейство решений, выражающееся через классиче-
ские трансцендентные функции. Для второго уравнения Пенлеве - это функция Эйри, для третьего, четвертого и пятого уравнений - соответственно функции Бесселя, Вебера-Эрмита, Уиттекера [ЗЗ] . Шестое уравнение Пенлеве имеет однопараметрическое семейство решений, выражающихся через решения гипергеометрического уравнения ^24,28] .
Многие задачи естествознания, механики и математической физики в плане их теоретического обоснования связаны с дифференциальными уравнениями и системами различных порядков 2,3,ю] .
Теория уравнений Пенлеве находит применение в ряда прикладных вопросов (например, при исследовании диффузии электронов и ионов в нейтральном газе з] ).
В 1972 году Н.С.Колесникова и Н.А.Лукашевич рассмотрели следующее уравнение первого порядка [22J
uj'+ Р(і,ш)іи + Q(i,vo)-o
где гfeuu) j Qfcw) - полиноми от ьи с аналитическими по 2 коэффициентами. Они выделили класс уравнений вида (0.4) без подвижных критических точек.
В этом же году они показали при каких условиях однородное уравнение третьего порядка вида [24 J
где Сі [Cz. оГ?) - аналитические функции от , принадлежит классу М . Класс М определяется следующим образом:
Будем говорить, что уравнение (0.5) принадлежит классу М , если все его решения имеют лишь однозначные подвижные молярные особенности.
В работе [ б] изучено следующее уравнение
- 9 -Lu' *= Р(ш) где Р(ш)~ полином от со степени не выше %*) .
Используя условия Фукса доказано, что для того, чтобы уравнение (0.6) имело только однозначные подвижные точки, необходимо и достаточно, чтобы оно приняло одно из следующих видов
Данная работа представляет собой исследование в области аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка, однородные системы дифференциальных уравнений второго и третьего порядков и однородные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков, с аналитическими по коэффициентами. Ставится задача из множества систем и уравнений рассматриваемых видов выделить те, решения которых не содержат подвижных критических точек, т.е. указать необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек в решениях системы или уравнения.
Работа состоит из трех глав и списка цитируемой литературы.
В первой главе изучаются дифференциальные уравнения первого порядка видов
Со'"3 + Р(2,и)) и/2 * Q (ъ,ш) ш + Rfa.uj) = О (0<7)
ГДЄ Р(2)и;)= ft (і)
Я(а,и>) = 5(*)иЛ фиЛ ija)Lo+ fra)
pi зo^,f^- аналитические функции от г . и
где fgynfe.bo) - полином от uj степени не вышегтп с аналитическими по 2 коэффициентами.
Поставлена цель из всех уравнений видов (0.7) и (0.8) выделить классы уравнений, решения которых не содержат подвижных критических точек.
С этой целью, дифференцируя уравнение (0.7), получим алгебраическое дифференциальное уравнение вида
Приравнивая коэффициенты (0.9) с коэффициентами каждого уравнения Пенлеве-Гамбье, получим достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (0.7) ( I).
Дифференцируя уравнение (0.8) получим следующее уравнение второго порядка
mPu/: gu,' + JE«/* (0Л0)
Приравнивая коэффициенты уравнения (0.10) с коэффициентами каждого уравнения Пенлеве-Гамбье, получим достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (0.10) (2).
Во второй главе рассматриваются однородные системы дифферен-
- II -
циальных уравнений второго и третьего порядков. В параграфе I изучается система
ІЇ (а$х+ Q4y) = осіQ^x+ Qjv)
Вводя замену ^ = 1(. тс и подставляя в (О.П) получим
U - ^ (0.12)
Для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (0.12) необходимо и достаточно, чтобы оно было уравнением Риккати. Итак, мы получим необходимые и достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в системе (О.П) В параграфе 2 изучается система
ОС {&ьХ + &5ц) = ос( CLfTc+Clzy)
^'(ц*) = ^ц*+^+м) (0ЛЗ)
где &L і ^jj (2^ - постоянные.
Доказано, что для отсутствия подвижных критических точек в системе (0.13) необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих условий
і) а±=о 2) а5 = о з) а,а5^агац
тогда исследование системы (0.13) приводит к трем возможным случаям. В 2.1, k 2.2 и % 2.3 изучены подробно все эти три случая.
Ставится вопрос так: Будет ли иметь решение без подвижных критических точек следующая оистема?
ii^^sp l**bif(fc4*+ Ц+ Jfri) (0Л4)
Ответ на этот вопрос найдется в 2.4, где найдены некоторые решения системы (0.14) с неподвижными критическими точками.
В третьей главе указаны необходимые и достаточные условия принадлежности некоторых уравнений классу М .
В параграфе I рассматривается однородное уравнение третьего порядка вида
9 /// t iv н /// а 2. ///
+ asiAto"+ a^ uJz+ &} cuuj'i. a^uj = о (o.i5)
Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (0.15) принадлежало классу И .
В параграфе 2 исследовалось уравнение вида
4f+ Г(*<г+а*ч'+ алПМ^^а^ (016)
Доказано, что для того, чтобы уравнение (0.16) принадлежало классу И необходимо, чтобы &\ было равно нулю и Q.%. было целым числом ( 2.1). Найденные условия являются необходимыми, но не в коем случае не достаточными. В параграфе (2.2) указаны некоторые достаточные условия принадлежности уравнения (0.16) классу М .
На защиту выносятся следующие результаты: I. Получены некоторые классы дифференциальных уравнений первого порядка третьей степени без подвижных критических точек.
- ІЗ -
Найдены уравнения вида u/^= P(t,w) без подвижных критических точек и их интегрирование.
Указаны необходимые и достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в однородной системе дифференциальных уравнений второго порядка.
Получены некоторые достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в однородной системе дифференциальных уравнений третьего порядка.
Получены некоторые достаточные условия принадлежности однородного дифференциального уравнения третьего порядка классу^ .
Указаны необходимые условия принадлежности однородного дифференциального уравнения четвертого порядка классу М .
Указаны некоторые достаточные условия принадлежности однородного дифференциального уравнения четвертого порядка классу М .
Основные результаты диссертации опубликованы в работах (J54,55, 56 J и докладывалисв на научном семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям кафедры высшей математики БІУ имени В.И.Ленина.
Уравнения с неподвижными критическими точками вида и их интегрирование
Исследование уравнений второго порядка вида где R - рациональная функция относительно LJ,U; С аналитическими по 5- коэффициентами, интегралы которых не содержат подвижных критических точек, приводилось в работах Пенлеве, а затем Гамбье. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.3), которые заведомо имели неоднозначные подвижные точки, что дает возможность указать необходимые условия в поставленной задаче. Вторая часть задачи состоит в доказательстве отсутствия в выделенных уравнениях подвижных критических точек. Таким образом устанавливается достаточность. В исследованиях Пенлеве Q52J все случаи уравнений с неподвижными критическими точками были приведены к 14 видам. Впоследствии Гамбье [44] указал существенный пропуск в иссследованиях Пенлеве и показал, что уравнения с неподвижными критическими точками рассматриваемых типов могут быть приведены к 50 различным частным видам. Также и в разобранном случае, большинство этих уравнений сводится к ранее известным. Только шесть уравнений приводят к существенно новым трансцендентным функциям. Эти уравнения следующие Первые три из этих уравнений были указаны Пенлеве. Интегралы уравнений Р- 1 , Р-& и / - однозначные мероморфны функции. Интегралы уравнения Rs имеют трансцендентные неподвижные критические точки I- о и і = о . Интегралы уравнения б имеют трансцендентные неподвижные критические точки Решения остальных уравнений выражаются: а)либо через элементарные функции, б)либо через известные классические трансцендентные функции, в)либо через решения некоторых линейных уравнений, г)либо через решения выделенных шести уравнений. На этом исследование считалось законченным. Позже Н.П. Еругин в работах п, 12,14] поставил ряд задач относительно свойств функций, определяемых выделенными шестью уравнениями Пендеве. Представление решений уравнений Р\ во всей области существования через отношение целых функций указано в работах [4,1з] , для P-Z - в работах А.И.Яблонского [4б] , для остальных - в работах Н.А.Лукашевича [34J и других. Подробное исследование уравнений Пенлеве проведено в работах [6,7,15,30,24,25,26,34,49,50] , в работе [ioj В.И.Громак и Н.А.Лукашевич дали подробную библиографию.
В результате решений задач, поставленных Н.П.Еругиным, были найдены условия интегрируемости уравнений Рз - Р5 в элементарных функциях при некоторых специальных значениях параметров, условия существования рациональных решений. Доказано, что Р- &6 имеют од-нопараметрическое семейство решений, выражающееся через классические трансцендентные функции. Для второго уравнения Пенлеве - это функция Эйри, для третьего, четвертого и пятого уравнений - соответственно функции Бесселя, Вебера-Эрмита, Уиттекера [ЗЗ] . Шестое уравнение Пенлеве имеет однопараметрическое семейство решений, выражающихся через решения гипергеометрического уравнения 24,28] .
Многие задачи естествознания, механики и математической физики в плане их теоретического обоснования связаны с дифференциальными уравнениями и системами различных порядков 2,3,ю] .
Теория уравнений Пенлеве находит применение в ряда прикладных вопросов (например, при исследовании диффузии электронов и ионов в нейтральном газе з] ).
В 1972 году Н.С.Колесникова и Н.А.Лукашевич рассмотрели следующее уравнение первого порядка - полиноми от ьи с аналитическими по 2 коэффициентами. Они выделили класс уравнений вида (0.4) без подвижных критических точек.
Необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек у решений уравнения (2.2.)
Итак, в том и другом случаях уравнение (3.6) сводится к линейному уравнению, т.е. условия (3.12) являются достаточными для отсутствия подвижных особых точек в решениях уравнения (3,6), Отсюда мы получим следующую теорему.
Для того, чтобы уравнение (3.1 ) принадлежало классу М , достаточно, чтобы выполнялись условия (3.12) 2. Уравнение четвертого порядка. 2.1. Необходимые условия для принадлежности уравнения (3.18) классу М Рассмотрим дифференциальное уравнение вида (3.18) Ставится задача найти необходимые условия для того, чтобы уравнение (3.18) принадлежало классу М . Вводя замену J; оси , следовательно и подставляя в уравнение (3.18), получим следующее уравнение третьего порядка: Вводим параметр Я , делая замену тогда уравнение (ЗЛ9) примет вид При 3 = о имеем (3.20) Первым интегралом уравнения (3.20) является следующее уравнениеСдалав замену Q -s Zd2 Cjs Сг -эсЦ мы можем привести уравнение (3.21) к уравнению вида Интегрируя уравнение (3.22), получим так как се. 3 і/ , то интегрируя правую часть уравнения (3.24), получаем Очевидно, что функция X &) имеет подвижную критическую точку. Итак, для того, чтобы уравнение (3.20) имело только однозначные подвижные точки, необходимо, чтобы CLq приравнивалось к нулю, следовательно для отсутствия подвижных критических точек в решениях уравнения (3.18) необходимо, чтобы СХЛ = О-Если ;0 , то уравнение (3.19) имеет вид: Вводим параметр Л по формулам Ь Я " Г X. Л" Тогда згравнение (3.25) примет вид При lis.о получим упрощенное уравнение и подставляя в уравнение (3.2), получим следующую систему Функции роа 3c0s "г с являются частными решениями системы (3.27). Тогда по теореме Пуанкаре при - о интегралы системы (3.27) можно разложить в ряды Подставляя значения ос и р из (3.28) во второе уравнение системы (3.27), получим Приравнивая коэффициенты при первой степени , получим (3.29) Из общей теории известно, что уравнение (3.29) имеет всегда решение вида р, (т:+с)г [ек + (с с)+ 2(x+cJ2+... (3.30) где Ґ1 определяется следующим уравнением: (3.31) Для того, чтобы функция (3.30) не имела подвижных критических точек, необходимо и достаточно , чтобы V было целым числом. Из уравнения (3.31) очевидно, что либо Га 4 , либо Га 2- Тогда для отсутствия подвижных критических точек в функции (3.30) необходимо, чтобы #i было целым числом. Следовательно, используя метод малого параметра, мы получим, что для того, чтобы система (3.28) имела только однозначные подвижные тонки, необходимо, чтобы dz было целым числом, что равносильно уравнению (3.26); т.к. уравнение (3.26) является упрощенным уравнением уравнения (3.25), то для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (3.25) необходимо, чтобы # было целым числом. Итак, мы получим следующую теорему.
Некоторые интегралы однородной системы третьего порядка
Подставляя найденные значения / п (Р в уравнение (3.34), получим уравнение вида С «її азб) Из общей теории известно, что для отсутствия подвижных критических точек в решении уравнения (3.36), необходимо, чтобы выполнялось условие отсюда вытекает, что для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (3.36) необходимо, чтобы CL$ ж Q жмеш следующие виды где Х t Vi» з " произвольные постоянные. Будем рассматривать отдельные случаи, когда Y «о и когда Хл $о а) Случай о При 1 ФСР уравнение (3.36) имеет вид Это уравнение при помощи простых преобразований можно упростить и получить О" = 6 г+Ь (3 37) Из общей теории известно, что в качестве подвижных особенностей уравнение (3.37) может иметь только подвижные полюсы второго порядка. При этом решение уравнение (3.37) записывается в виде ( -Vf (г ; (3.38) - 79 -Интегрируя функцию (3.38) , получим = -lk- -(«- Л (3.39) Решение (3.39) имеет только однозначные подвижные полюсы, то (3.18) принадлежит классу М б) Случай 1Гл О При "Ч о уравнение (3.36) имеет вид Вводя замену О г ( ( ) , следовательно 0-" юи и подставляя в уравнение (3.40), получим (3.41) Интегрируя уравнение (3.41), получим: и » , » + /!. +с (з42) Зная, что u s # , то подставляя в (3.42), получим о,г =и о3+/ + с (3-43) Очевидно, что уравнение (3.43) интегрируется в эллиптических функциях и его решением является функция f5 (& {Ъ, -Су . Тогда Рс непосредственно находится в следующем виде Отсюда вытекает, что ОС имеет только однозначные полюсы, вычеты которых - целяе числа, т.е. уравнение (3.18) принадлежит классу М Итак, мы получили следующую теорему. Теорема 3.3. Для того, чтобы уравнение (3.18) принадлежало классу М - 0Q -достаточно, чтобы выполнялись следующие условия где j , - произвольные постоянные.
Необходише условия для принадлежности уравнения (3.18) классу М
В работе Фукса 45 J доказана теорема об отсутствии подвижных критических точек. Однако исследования Фукса не исключали возможности существования в решениях трансцендентных особенностей или точек неопределенности. Продолжая изучение свойств решений уравнений (0.2) Пенлеве [4lJ доказал теорему о том, что эти уравнения в решениях не содержат подвижных неалгебраических особенностей.
Исследование уравнений второго порядка вида где R - рациональная функция относительно LJ,U; С аналитическими по 5- коэффициентами, интегралы которых не содержат подвижных критических точек, приводилось в работах Пенлеве, а затем Гамбье. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.3), которые заведомо имели неоднозначные подвижные точки, что дает возможность указать необходимые условия в поставленной задаче. Вторая часть задачи состоит в доказательстве отсутствия в выделенных уравнениях подвижных критических точек. Таким образом устанавливается достаточность. В исследованиях Пенлеве Q52J все случаи уравнений с неподвижными критическими точками были приведены к 14 видам. Впоследствии Гамбье [44] указал существенный пропуск в иссследованиях Пенлеве и показал, что уравнения с неподвижными критическими точками рассматриваемых типов могут быть приведены к 50 различным частным видам. Также и в разобранном случае, большинство этих уравнений сводится к ранее известным. Только шесть уравнений приводят к существенно новым трансцендентным функциям. Эти уравнения следующие (2-і)2(зио2-2і:и,_2ш + і)ьи і Первые три из этих уравнений были указаны Пенлеве. Интегралы уравнений Р- 1 , Р-& и / - однозначные мероморфны функции. Интегралы уравнения Rs имеют трансцендентные неподвижные критические точки I- о и і = о . Интегралы уравнения б имеют трансцендентные неподвижные критические точки а«о, is і и г= оо Решения остальных уравнений выражаются: а)либо через элементарные функции, б)либо через известные классические трансцендентные функции, в)либо через решения некоторых линейных уравнений, г)либо через решения выделенных шести уравнений. На этом исследование считалось законченным. Позже Н.П. Еругин в работах п, 12,14] поставил ряд задач относительно свойств функций, определяемых выделенными шестью уравнениями Пендеве.
Представление решений уравнений Р\ во всей области существования через отношение целых функций указано в работах [4,1з] , для P-Z - в работах А.И.Яблонского [4б] , для остальных - в работах Н.А.Лукашевича [34J и других. Подробное исследование уравнений Пенлеве проведено в работах [6,7,15,30,24,25,26,34,49,50] , в работе [ioj В.И.Громак и Н.А.Лукашевич дали подробную библиографию.
В результате решений задач, поставленных Н.П.Еругиным, были найдены условия интегрируемости уравнений Рз - Р5 в элементарных функциях при некоторых специальных значениях параметров, условия существования рациональных решений. Доказано, что Р- &6 имеют од-нопараметрическое семейство решений, выражающееся через классиче - 8 ские трансцендентные функции. Для второго уравнения Пенлеве - это функция Эйри, для третьего, четвертого и пятого уравнений - соответственно функции Бесселя, Вебера-Эрмита, Уиттекера [ЗЗ] . Шестое уравнение Пенлеве имеет однопараметрическое семейство решений, выражающихся через решения гипергеометрического уравнения 24,28] .
Многие задачи естествознания, механики и математической физики в плане их теоретического обоснования связаны с дифференциальными уравнениями и системами различных порядков 2,3,ю] .
Теория уравнений Пенлеве находит применение в ряда прикладных вопросов (например, при исследовании диффузии электронов и ионов в нейтральном газе з] ).
В 1972 году Н.С.Колесникова и Н.А.Лукашевич рассмотрели следующее уравнение первого порядка [22J
