Содержание к диссертации
Введение 6
Вводные сведения 15
i.l. Специальные функции 15
i.2. Операторы дробного интегро-дифференцирования 17
і.З. Интегральные и дифференциальные уравнения дробного порядка .... 19
Глава 1. Уравнение порядка < 1 . 20
1.1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля 20
Регулярное решение 20
Представление решения 20
Функция типа Райта 21
1.2. Свойства функции типа Райта 24
Представление в виде ряда и формулы трансформации 24
Предельные соотношения. 25
Дробное интегрирование и дифференцирование 26
Оценки функции типа Райта 29
Свертка функций Райта 30
Свойства интегралов с функцией типа Райта 30
Неравенства для функции Райта е|'^ (г) 42
1.3. Задача в прямоугольной области 47
Специальное решение 47
Постановка задачи 47
Формулировка теоремы 48
Задача для уравнения с отрицательным коэффициентом 51
Задача Коши 52
Постановка задачи и представление решения 52
Теорема единственности решения 55
Случай отрицательного коэффициента 56
1.5.4. Неулучшаемость показателя степени в условиях единственности
решения 57
1.6. Уравнение с производными Капуто 59
Задача в прямоугольной области 59
Задача Коши 61
Библиографические комментарии 62
Глава 2. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре 63
Определение 63
Свойства преобразований 64
Общие свойства 64
Преобразования степенных функций 66
Свертка преобразований 67
Связь преобразований А01-'*, В15'6 с преобразованием Лапласа и с преобразованием Меллина 67
Композиция преобразований 68
Связь с операторами дробного интегро-дифференцирования ... 69
Предельные соотношения 71
Сравнение преобразований 73
Преобразования некоторых функций 74
2.3. Применение преобразований А01^ к изучению свойств функции типа Райта 75
Формула перестановки параметров 75
Неравенства 75
Представление функции типа Райта в форме интеграла по положительной полуоси 76
2.4. Применение к решению дифференциальных уравнений дробного порядка 77
Эволюционные уравнения 77
Общее уравнение диффузии дробного порядка 78
Уравнение со свободным членом 81
2.5. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера 82
Обозначения 83
Основная теорема 83
Следствия 85
О геометрии множеств В, В* и Во 86
Библиографические комментарии 87
Глава 3. Диффузионно-волновое уравнение 89
Введение 89
Метод редукции к системе уравнений меньшего порядка 90
Задача Коши 90
Первая краевая задача 92
3.3. Фундаментальное решение 98
Вспомогательные утверждения 98
Свойства фундаментального решения 105
Случай уравнения диффузии 118
Волновое уравнение 119
3.4. Представление решения 121
Формулировка теоремы 121
Вспомогательные утверждения 122
Доказательство теоремы о представлении решения 125
3.5. Задача Коши 129
Уравнение с производной Римана-Лиувилля 129
Уравнение с производной Капуто 130
Единственность решения задачи Коши. Аналог условия А.Н. Тихонова 131
Первая краевая задача 133
3.6. Краевые задачи в прямоугольных областях 135
Функция Грина первой краевой задачи 135
Вторая краевая задача 136
Смешанные задачи 137
Библиографические комментарии 138
Глава 4. Уравнения континуального порядка 139
4.1. Оператор интегро-дифференцирования континуального порядка 139
Обозначения и определения 139
Аналог формулы Ньютона-Лейбница для оператора интегрирования 140
Непрерывное уравнение Абеля 142
Аналог формулы Ньютона-Лейбница для дифференциального оператора 144
Задача Коши 146
Принцип экстремума 149
4.2. Задача Коши для обыкновенного уравнения континуального порядка . . 150
4.2.1. Постановка задачи 150
Представление решения 151
Фундаментальное решение 151
Решение задачи Коши 154
Положительность фундаментального решения и характер зависимости от спектрального параметра 154
4.3. Уравнение диффузии континуального порядка. Фундаментальное решение 157
Определение фундаментального решения 157
Асимптотика фундаментального решения 159
Представление фундаментального решения в форме контурного интеграла 161
Оценка контурного интеграла 162
Доказательство леммы 4.3.2 165
Неравенство для фундаментального решения 165
Общее представление решения уравнения диффузии континуального порядка 165
Краевые задачи для континуального уравнения диффузии 171
Первая краевая задача 171
Вторая краевая задача 172
Смешанные краевые задачи 172
4.6. Задача Коши уравнения диффузии континуального порядка 173
Библиографические комментарии 176
Список цитированной литературы 177
Введение к работе
В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к дробному исчислению. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил A.M. Нахушев, "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [57, с. 8].
Основой большинства математических моделей, описывающих указанные явления, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.
Развитие теории уравнений с производными дробного порядка стимулируется и развитием теории дифференциальных уравнений целого порядка. Хорошо известна роль дробного исчисления в теории уравнений смешанного типа, в теории задач со смещением, в теории вырождающихся уравнений. Кроме того, уравнения дробного порядка, существенно дополняя картину общей теории дифференциальных уравнений, могут обнаруживать связь между вещами, которые, оставаясь в рамках целочисленного дифференцирования, кажутся независимыми. Например, тот факт, что для единственности решения задачи Коши в случае уравнения теплопроводности необходимо требовать ограничения на рост решения, а в случае волнового уравнения — нет, видится более согласованным после того, как становится известным, что соответствующее условие для диффузионно-волнового уравнения порядка а ^ 2 (см. ниже) при а = 1 совпадает с условием для уравнения теплопроводности, а при а —> 2 ограничивающая рост решения функция стремится к бесконечности.
Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка изучались в работах как отечественных, так и зарубежных авторов. В основном предметом исследования являлись диффузионные и диффузионно-волновые уравнения дробного
порядка, при решение которых использовались методы интегральных преобразований, методы функционального анализа, метод разделения переменных и т.д.
Сделаем краткий библиографический обзор работ, в которых исследовались уравнения в частных производных дробного порядка, а также свойства специальных функций, возникающих при их решении.
Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. в работе [135] исследовали уравнение
2% (и - h) + D0Ox (и - h2) = f, a, Ре (0; 1),
относительно неизвестной функции и = u(t,x) при заданных hi — и(0,х), h2 = u(t, 0) и / = f(t,x). В этой работе построено фундаментальное решение, доказаны некоторые оценки и исследована гельдерова гладкость решений в зависимости от краевых условий и правой части. В работе [134] этих же авторов был рассмотрен вопрос о гельдеровой гладкости решений уравнения
D%t (и - и0) + c(t, x)ux(t, х) = f(t, х), t, х > 0,
удовлетворяющих краевым условиям и(0, х) = щ(х) и u(t,0) = Ui(t).
Шевякова О.П. [118] рассмотрела краевую задачу в прямоугольной области для уравнения
( + А < + В /) и(х, у) = f(x, у)
с частными производными дробного порядка, имеющими различные начала.
В работе Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. [135] изучено эволюционное уравнение
2 (и - и0) + Bu = f,
где В - положительно определенный линейный оператор, действующий в пространстве Банаха. В работе [136] (Clement Ph., Londen S-O., Simonett G.) исследовалось квазилинейное эволюциошюе уравнение. Эволюционные уравнения дробного порядка рассматривали также Кочубей А.Н. [43], Костин В.А.[42], El-Sayed A.M.А. [137], [138], [139], Bazhlekova Е. [130], [131], Глушак А.В. [20], [21], Kilbas А.А., Pierantozzi Т., Trujillo J.J., Vazquez L., [147].
Задача Коши для уравнения диффузии с регуляризованной дробной производной (производной Капуто) была исследована в [46] (Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д.).
В работах [43], [44], [45], [46] (Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д.) рассматривалось общее уравнение диффузии (0 < а ^ 1) дробного порядка с регуляризованной дробной производной, было построено фундаментальное решение, найдено решение задачи Коши и показана его единственность в классе функций, удовлетворяющих условию типа условия А.Н. Тихонова.
Уравнение дробной диффузии исследовалось в работе Wyss W. [183]. Schneider VV.R. и Wyss W. в работе [169] рассмотрели уравнение
m-l 1 *
и{х, t) = Yfk(x)tk + FrT / {t - т)а-1Аи[х, t)dT,
с начальными данными (dk/dtk)u(x,Q) = fu{x), 0 ^ к ^ m — 1, m— 1 < a ^m. В терминах Я-функции Фокса получено фундаментальное решение и изучены его свойства. В работах Fujita Y. [141], [142] рассматривалось уравнение
о в области {t > 0, х Є R}. Изучены некоторые структурные свойства решения. В частности, построено фундаментальное решение, показана неотрицательность решения {ф(х) ^ 0, ф(х) = 0). Отмечено, что фундаментальное решение достигает своего максимума на линиях х = ±cata/2, где са - постоянная, зависящая от а.
Преобразование Лапласа и преобразование Фурье были использованы в работах Mainardi F. [154], [155], и Геккиевой С.Х. [11], [15], [17], Ворошилова А.А., Кил-баса А.А. [7], [8], [9] для построения фундаментальных решений диффузионных и волновых уравнений дробного порядка с производными Капуто и Римана-Лиувилля и решения задачи Коши, краевой задачи в четверть-плоскости для однородного уравнения.
Диффузионно-волновое уравнение методами группового анализа исследовалось в работах Engler Н. [140], Buckwar Е., Luchko Yu., Gorenflo R., Mainardi F. [133], [145], [146], [153].
Методом разделения переменных диффузионно-волновое уравнение исследовалось в работах [10] (Геккиева С.Х.), [119] (Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х.), [38] (Керефов М.А. ), [79, 2.5] (Нахушева В.А.), [128] (Agrawal О.Р.), [5] (Андреев А.А., Еремин А.С).
Принципы экстремума для нелокальных диффузионно-волновых уравнений были доказаны в работах Нахушевой В.А. [78], [79]. В работах Керефова М.А. и Шхану-кова М.Х. [39], [40] и Нахушевой В.А. [79] были получены априорные оценки для некоторых классов нелокальных уравнений переноса, в том числе со смешанными производными дробного порядка.
Нахушева З.А. в работе [80] исследовала задачу Самарского для уравнения диффузии дробного порядка.
В работах [49], [50], [51], [52] Мамчуев М.О. исследовал системы двух уравнений дробного порядка, не превышающего единицу. Эти результаты были использованы в работах [53], [54] при исследовании краевых задач для уравнения диффузии дробного
порядка а с постоянными коэффициентами и производной порядка J3 — а/2 в младших членах.
В работах Agrawal О.Р. [126], [127] исследуется диффузионно-волновое уравнение с производной четвертого порядка по пространственной переменной.
Разностные методы решения краевых задач для уравнений дробного порядка, в том числе диффузионно-волновых, развиваются в работах Шханукова М.Х. и Нахуше-вой Ф.М. [82], [120], [121], [122], [123], [124], Чадаева В.А. [117].
В работах Ozturk і. [162] и Геккиевой С.Х. [18], [19] исследовались задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка, причем в первой статье нагрузка представляет собой дробную производную от усреднения по пространственной переменной искомого решения, в остальных двух — след от искомого решения.
Дифференциально-разностное уравнение дробной диффузии исследовалось в работе Зарубина Е.А. [32].
Задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области исследовались в работах [12], [13], [14], [16] (Геккиева С.Х.), [36], [107], [108] (Килвас А.А., Репин О.А.), [31] (Ефимов А.В.). Работа Зарубина Е.А. [33] посвящена единственности решения задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии с дробными производными, имеющими различные начала.
В работе Еремина А.С. и Андреева А.А. [30] изучается уравнение диффузии с производной матричного порядка.
В работе [29] Еремин А.С. рассмотрел краевые задачи для уравнения
D10-eD10+u(x,y) = f(x,y).
Отметим работы Лопушанской Г.П. [48], Нахушевой В.А. [79, 2.3], Нахуше-ва A.M. [70], Еремина А.С. [28], в которых ставятся и исследуются краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, которым соответствуют (в случае целого порядка) уравнения эллиптического типа.
Оператор интегро-дифференцирования континуального порядка
0
D[/]u(x) = J DIM*) dt, а<р. (1)
ввел Нахушев A.M. в работе [62]. Там же было изучено непрерывное уравнение Абеля и построено решение для случая /? = 0 (см. также [57, с. 33, с. 86]).
Уравнения с операторами (1) относятся к классу'непрерывных дифференциальных уравнений [6, с. 100] (Вольтерра В.), [61], [66], [56], [77], [75], [71] (Нахушев A.M., Тх-акахов Р.Б., Нахушева В.А.). Непрерывные дифференциальные уравнения исследовались в работе Нахушева A.M. [61] (см. [57, с. 90]), был предложен метод решения
и найдено условие однозначной разрешимости видоизмененной задачи Коши в классе функций со степенной особенностью.
В работе [70] Нахушев A.M. поставил класс принципиально новых задач для уравнений с оператором дифференцирования континуального порядка.
В работах Керефова А.А. [37] и Нахушевой Ф.М. [81] исследовались краевые задачи с операторами континуального дифференцирования в краевых условиях.
Нахушев A.M. в работе [61] указал на возможность распространения принципа экстремума для дробной производной [58] на случай континуальных дифференциальных операторов. Формулы непрерывного интегрирования по частям для операторов дискретного и континуального порядка были доказаны в [58], ([57, с. 34]). Положительная определенность оператора дискретного и непрерывного дифференцирования была показана в [62] (см. также [58], [67], [69]).
Функцию Райта ф(р,р,г) впервые исследовал Wright Е.М. [178], [179], [180], [181], [182]. В этих работах, сначала для положительных, а затем и для отрицательных значений и, изучено асимптотическое поведение функции ф(р,ц,г) (см. также Mikusinski J. [158], Станковим Б. [174], Джрбашян М.М., Багяіі Р.А. [25]), построено интегральное представление и др. В работах [157], [158] (Mikusinski J.), [174], [143] (Станкович Б., Gajic Lj.) получены некоторые неравенства и соотношения для функции Райта. Свойства функции Райта исследовались в работах [157], [158] (Mikusinski J.), [170], [174], [143] (Станкович Б., Gajic Lj.), [165] (Pollard H.), [177] (Wlodarski J.). Распределению нулей функции Райта посвящены работы Luchko Yu. [151], [152]. В работе Gorenflo R., Luchko Yu., Mainardi F. [145] проведен обзор известных и новых результатов относительно свойств функции Райта и их приложений.
В работе [23] Джрбашян М.М. рассмотрел функцию
f^T{in + kpl ) Г (//г+ /0/ )
для положительных параметров pi, pi и р2, р-2, которую он назвал обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера. Приведен ряд свойств этой функции, в частности, построены интегральные представления и вычислено преобразование Меллина. На этой основе строится аппарат приближения целыми функциями в классах L2. В работе Пересел-ковой И.Н. [85] исследовался вопрос о распределении нулей этой функции. В работе [35] (Килвас А.А., Королева А.А.) была рассмотрена расширенная обобщенная функция типа Миттаг-Леффлера представленная с помощью интеграла Меллина-Барнса, которая определяет продолжение обобщенной функции типа Миттаг-Леффлера для произвольных комплексных параметров pi, р\ и р2, Р2-
В работе Luchko Yu., Gorenflo R. [153] была рассмотрена функция
00 к
www) (*) = ET{a + J)T{b + l/ky
k=0
названная обобщенной функцией Райта. Для нее построено интегральное представление и получено асимптотическое разложение. В терминах этой функции получены инвариантные относительно масштабных преобразований решения уравнения
&*u(x,t) _ ЛМ
dt ~ дхР ' '
с производными Римана-Лиувилля.
В работе [144] (Gorenflo R., Iskenderov A., Luchko Yu.) в форме линейных интегральных операторов построены отображения между решениями задачи Коши для уравнения
с производными Капуто, при различных значениях параметров а и (3, и построены соответствующие фундаментальные решения в терминах обобщенной фунщии Райта [180], [181] (Wright Е.М.), [132] (Braaksma B.L.J.)
= уЩ=1Т{а1 + А,к)гк
(аь Лі)...(ар, Ар) [(buBx)...(bq,BqyZ.
р%
^UUTik + B^kl-В работе [125] Agarwal R.P. ввел обобщенное преобразование Ханкеля
G(x) = 2-xJ(xy)x+^^pjg(y)dy,
00 (-х)к
J^X) = f^klTil + X + fik) - функция Мейтленда-Бесселя. Это преобразование при ц — 1 совпадает с преобразованием Ханкеля. В работах [171], [172] Станковим Б. рассмотрел обобщенное преобразование Ханкеля в виде
G(x)= Ф(ц + 1, и;-xuy)y^g(y)dy, и > О, ц > -1, о где
оо и
^„ЛІГ (/* + **)
Ф(д,і/;х) =
-функция Райта (Wright Е.М. [178], [182]). Затем в работах [113], [173] (Станковим Б.) преобразование такого вида было рассмотрено для отрицательных значений параметров, а именно было изучено интегральное преобразование
G(x) = ^(o,-u;-^)9-^dy, 0
Указанные выше, а также рассмотренные в данной работе интегральные преобразования могут быть выражены в терминах Я-преобразований. Теория этих преобразований и ее достаточно полная библиография изложена в работе [148] (Kilbas А.А, Saigo М.).
Отметим, что в работе Miller K.S., Ross В. [159] для решения класса обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка был предложен метод редукции к уравнениям целого порядка.
Распределению нулей функции типа Миттаг-Леффлера посвящено значительное количество работ (см. Wiman А. [176], Polya G. [167], Pollard Н. [166], Островский И.В., Переселкова И.Н. [163], [84], Попов АЛО. [87], [88], Седлецкий A.M. [110], [111], [112] и библиографию там). Вопрос о вещественных нулях функции Миттаг-Леффлера тесно связан с разрешимостью спектральных задач для уравнений дробного порядка (см. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. [26], Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. [115], Попов А.Ю. [86], Алероев Т.О. [1], [2], [3], [4], Нахушев A.M. [60], [57, гл.3-4], [72]).
Данная работа посвящена систематическому исследованию и развитию аналитических методов решения и анализа краевых задач для уравнений в частных производных дробного и континуального порядка. О применении таких задач в физике, биологии, математическом моделировании и т.д., рассказано в работах [83], [160], [183], [55], [56], [77], [75], [156], [168], [65], [73], [74], [79], [57], а также в литературе, цитируемой в этих работах.
Диссертация состоит из введения, вводных сведений, четырех глав и списка цитированной литературы.
В вводных сведениях приведены элементарные сведения из теории дробного интегро-дифференцирования, необходимые для дальнейшего изложения.
В первой главе исследуется линейное уравнение двух независимых переменных порядка меньше либо равного единице:
{^ + X^ju(x,y) = f(x,y), 0<а,/?<1. (3)
Здесь через сР/дх0, д13/дуа обозначены либо дробные производные Римана-Лиувилля, либо регуляризованные производные (производные Капуто). Для этого уравнения найдено фундаментальное решение, в терминах которого построены решения краевых за-
дач в прямоугольной области и в полосе (задача Коши). В этой и следующих главах существенно используются доказанные здесь свойства функции типа Райта
„Л5 /-\ _ V^
<М 2-,Г(ап + /х)Г(*-/?п)'
71=0
в терминах которой выражается фундаментальное решение уравнения (3). Доказаны формулы дробного интегрирования и дифференцирования этой функции, построены различные представления и формулы трансформации, получены предельные соотношения и неравенства. Показано, что единственность решения задачи Коши для уравнения (3) обеспечивается аналогом условия А.Н. Тихонова - ограничением роста искомой функции при |х| —> со. Это условие, так же как и классическое условие А.Н. Тихонова для уравнения теплопроводности, нельзя улучшить (в смысле увеличения показателя), и в этом смысле оно является необходимым.
Во второй главе изучаются интегральные преобразования с функцией Райта в ядре
Aa>»v(x) = {A^v) (х) = lv(t)x*-le\* Ґ-4) dt, 0 < а < 1,
Bv{x) = (B^5v) (х) = jv{t)t6-le\5Q (-^) dt, 0 < 0 < 1,
о и показывается их применение. Отметим, что из соотношения (см. (1.2.5), стр. 25) следует, что vz t{XQV (—z) = Єцз (—z). Поэтому это преобразование (2) может быть записано в виде G(x) = Аи'1~ид(х). Функция Райта является фундаментальным решением уравнения (3), и свойства этого преобразования оказываются тесно связанными с операциями дробного интегрирования и дифференцирования. Одним из важных применений этого преобразования является предложенный в этой главе метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка
q-^u(x, у) = Lxu(x, у) + F(x, у),
который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка
—ф, У) = Lxv(x, у) + G(x, у),
где Lx - линейный оператор, зависящий только от х. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся доказанные в этой главе утверждения о наличии или отсутствии вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлера
00 к
\~^ Zk
%(z;")=inSTri
неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.
Третья глава посвящена исследованию краевых задач для диффузионно-волнового уравнения
(J^-Ещ)и^у) = я*.у). <*<2- (4)
Сначала, применяя результаты первой главы, решаются задача Коши и первая краевая задача для одномерного диффузионного уравнения (п = 1, а ^ 1), после того как они сводятся к системе уравнений меньшего порядка. Затем для многомерного диффузионно-волнового уравнения развивается метод функции Грина, строится общее представление решения уравнения (4), решается задача Коши и доказывается единственность в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия А.Н. Тихонова. Далее решаются основные краевые задачи в прямоугольной области и строятся соответствующие функции Грина.
В четвертой главе рассматриваются уравнения с производными континуального порядка. Для оператора (1) строится обратный и доказываются аналоги формулы Ньютона-Лейбница. Решается задача Коши для обыкновенного уравнения континуального порядка. Затем некоторые результаты третьей главы переносятся на случай уравнения диффузии континуального порядка
^]-^У(х,у) = Пх,у), 0
Строится фундаментальное решение, методом функции Грина решаются основные краевые задачи в прямоугольной области и задачи Коши.
В конце работы приведен список цитированной литературы из 183 наименований.
Результаты, представленные в диссертации получены при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 00-01-00311, № MAC 02-01-06535, № 06-01-96625, № 06-01-96627), "Фонда содействия отечественной науке" и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Современные проблемы теоретической математики" (проект "Математические основы моделирования во фрактальных средах и их приложение к описанию физических, природных и социально-биологических систем").
Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность и благодарность Адаму Маремовичу Нахушеву и Евгению Ивановичу Моисееву за постановку задач и неоценимое внимание и поддержку. Хочу также поблагодарить Александра Павловича Сол-датова и Антона Юрьевича Попова за очень полезные рекомендации, ценные замечания и советы.
