Содержание к диссертации
Введение
1 Необходимые условия существования представления Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли 19
1.1 Системы уравнений кирального типа 19
1.2 Представление Лакса систем кирального типа 22
1.3 Необходимые условия существования представления Лакса 26
2 Представление Лакса уравнений киральных полей 41
2.1 Киральные поля со значениями в пространствах аффинной связности 42
2.2 Модифицированные уравнения главных киральных полей 48
2.3 Преобразования Бэклунда 55
2.4 Законы сохранения модифицированных уравнений главных киральных полей 57
3 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/(Hi х х Нр) 64
3.1 Модификация конструкции Лезнова-Савельева 64
3.2 Лагранжевы системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/{H\ х х Нр) 70
3.3 Примеры систем, ассоциированных с симметрическими пространствами 50(6)/(50(3) х 50(3)) и 02/(50(3) х 50(3)) 78
4 Системы с приводимыми метриками 93
4.1 Интегрируемое расширение уравнения sin-Gordon 93
4.2 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида SO(p + 3)/(50(р) х 50(3)) и S0(p + 2)/(S0{p) х 50(2)) 100
Литература 111
- Представление Лакса систем кирального типа
- Необходимые условия существования представления Лакса
- Модифицированные уравнения главных киральных полей
- Лагранжевы системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/{H\ х х Нр)
Введение к работе
Одним из наиболее эффективных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время является метод обратной задачи рассеяния. Поэтому актуальной остается задача описания систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым применим данный метод. Как известно, необходимым условием применения метода обратной задачи является наличие представления Лакса, т.е. представления изучаемой нелинейной системы в виде условий совместности некоторой вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений. Кроме того, представление Лакса часто оказывается полезным для построения преобразований Бэклунда и бесконечных наборов законов сохранения (см., например, [9],[13],[66]).
В диссертации изучаются системы кирального типа, т.е. специальный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными. Системы такого вида находят применение при описании ряда моделей теории поля, в математической физике, а также в теории гармонических отображений (см., например, [53]).
Интегрируемая система (см., например, [28],[31]) в диссертации понимается как система, допускающая представление Лакса.
Исторически одним из первых интегрируемых примеров рассматриваемого класса, для которого был применен метод обратной задачи, является уравнение sin-Gordon. Представление Лакса для этого уравнения построено в работах Л.А. Тахтаджяна [30] и M.J. Ablowitz'a, D.J. Kaup'a, А.С. Newel'a, Н. Segur'a [62]. В качестве других известных примеров интегрируемых систем кирального типа можно указать уравнения п-поля [65], уравнения главных ки-ральных полей на группах Ли [14], которые дали название всему
классу систем, и модифицированных киральных полей [31], а также нелинейные сигма-модели на двумерном пространстве Минковско-го.
Отметим важные для теории поля системы WZNW (Wess-Zumino-Novikov-Witten), которые являются частным случаем уравнений модифицированных киральных полей, и их различные обобщения (см., например., [67]).
Интегрируемые редукции систем WZNW изучались в работах J.L. Miramontes'a, О.А. Castro Alvaredo, C.R. Fernandez-Pousa, T.J. Hollowood'a, M.V. Gallas'a ([43],[50],[51],[52],[57]).
Среди систем киралыюго типа значительный интерес также представляет система Лунда-Редже, которая является дву-компонентным интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon ([45],[59],[60],[64]).
В 1983 году А.Н. Лезнов и М.В. Савельев предложили конструкцию для построения достаточно большого класса интегрируемых систем, с помощью которой можно каждому локально симметрическому пространству G/H сопоставить представление Лакса некоторой системы кирального типа [58]. В частности, с помощью конструкции Лезнова-Савельева можно получить хорошо известные двумерные цепочки Тода и двумерные неабелевы аффинные модели Тода (см., например, [20],[69]). Особенно важно для физических приложений, что эти системы в случае полупростой группы Я оказываются вариационными, т.е. являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Такие системы и их вариационные редукции активно изучались в последнее время в работах следующих авторов: I. Bakas, J.L. Miramontes, Q.H. Park, H.J. Shin, A. Bilal ([38],[41],[42],[44[,[55],[63],[68]).
Необходимо отметить, что для изучения интегрируемых систем используется также симметрийный подход. В работах А.Г. Меш-
кова и Д.К. Демского этот подход был использован для изучения трехкомпонентных систем киралыюго типа ([13],[19],[48],[49],[61]). С использованием компьютерных вычислений ими найдены все системы с лагранжианами специального вида, допускающие полиномиальные симметрии не выше 5-го порядка. Для большинства таких систем ими также построены представления Лакса. Целью работы является решение следующих задач:
1. Изучение представлений Лакса систем киралыюго типа;
Исследование дополнительных возможностей конструкции Лезнова-Савельева, позволяющей ассоциировать с симметрическими пространствами интегрируемые системы кирального типа;
Построение новых интегрируемых систем киралыюго типа другими способами.
Методы исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений и теории алгебр Ли, а также методы дифференциальной геометрии.
Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:
1. Получены условия, необходимые для того, чтобы система диф
ференциальных уравнений киралыюго типа допускала представле
ние Лакса со значениями в компактной алгебре Ли;
2. Найдена модификация конструкции Лезнова-Савельева,
позволяющая ассоциировать с симметрическими пространствами
G/(H\ х Яг х ... х Hk) новые интегрируемые лагранжевы системы;
3. Построена четырехкомпопентная система, которая является
новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях, связанных с интегрируе-
мыми системами дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов.
Апробация. Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения "(Казань, 2003, 2005); на Международной конференции БГЛ-4(Бояи-Гаусс-Лобачевский) (Нижний Новгород, 2004); на X междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир"(Нижний Новгород, 2005); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006); на Международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук"(Орел, 2006).
По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре по геометрии и топологии кафедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (ННГУ) (рук. проф. Е.И. Яковлев и доц. Н.И. Жукова), на семинаре кафедры математики Волжской государственной академии водного транспорта (рук. проф. В.Н. Белых), на объединенном семинаре кафедры математической физики и кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин и проф. М.В. Долов), на семинаре кафедры математики радиофизического ф-та ННГУ (рук. проф. Г.А. Уткин), на семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (рук. проф. ЛА. Калякин и проф. В.Ю. Новокшенов).
Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]-[8],[10],[22]-[25], [39],[40].
В совместной статье [39] теоремы 1 и 2 доказаны А.В. Баландиным, теорема 3 доказана Г.В. Потеминым. Автору диссертации принадлежат вычисления законов сохранения, которые включены
в параграф 3.1 диссертации.
В совместных статьях [6],[7],[8],[40] научному руководителю А.В. Баландину принадлежит постановка задач и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.
Работы [7],[25],[40] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертаций до 1 января 2007 г.
Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 73 наименования. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.
Краткое содержание работы
Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.
В первой главе сформулированы условия, необходимые для того, чтобы система киралыюго типа допускала представление Лакса со значениями в компактной алгебре Ли.
Системами трального типа, следуя [19], будем называть системы п дифференциальных уравнений в частных производных вида
Щу + <%rUgU] + Qa = 0, (S)
где х, у — независимые переменные; Gg , Qa — гладкие функции от U1,..., Un; греческие индексы a,j3,7 принимают значения от 1 до п. Все функции и многообразия в работе предполагаются достаточно гладкими.
Непосредственная проверка показывает, что любая невырожденная замена Vа = Vа (L/73) в системе (S) приводит к системе того же вида, причем функции G2L изменяются по закону преобразования
коэффициентов аффинной связности, a Qa — как координаты векторного поля. Таким образом, можно считать, что система (S) определяет аффинную связность и векторное поле на некотором многообразии Vn с локальной системой координат (Ua).
Связность на многообразии Vn, которая в локальной системе координат (U1,..., Un) задается коэффициентами G% , будем называть связностью, ассоциированной с системой (S).
Говорят, что система (S) допускает представление Лакса со значениями в матричной алгебре Ли д, если существуют функции Л, В со значениями в д, зависящие от х, у, функций U1,..., Un, их частных производных и некоторого параметра Л, такие, что условие
ЛУ-ВХ = [В,А] (1)
эквивалентно системе (5). Заметим, что (1) есть условие совместности системы линейных уравнений
Фх = М>,
Фу = вф.
В диссертции изучаются представления Лакса только со значениями в полупростой алгебре Ли, поскольку именно такие представления оказываются полезными для решения нелинейных дифференциальных уравнений методом обратной задачи (см., например, [Щ32]).
Во втором параграфе первой главы приводится несколько эквивалентных определений представления Лакса. Чтобы сформулировать полученные результаты, удобно использовать следующее
Определение 1. Пусть д — полупростая алгебра Ли, ei,..., ег — базис в д и СЬс — структурные константы алгебры 0 относительно данного базиса (латинские индексы а, Ь, с принимают значения от
1 до г = dimg). Будем говорить, что система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли д, если существуют функции Ла, 5а, зависящие от х, у, функций f/1,..., Un, их частных производных и некоторого параметра Л, такие, что подстановка 1-форм
Єа = АЧх + Bady {а = Хг)
в уравнения
<Юа = -ІСьсЄсЛЄь 2
приводит к системе, эквивалентной системе (S).
В диссертационной работе ограничимся изучением представлений Лакса, для которых функции Аа и Ва зависят от производных не выше первого порядка. Более того, будем предполагать, что
Aa = AasU5xi-Ma1 Ba = Ba&U5y+Na,
где Afi,B$,Ma,Na — гладкие функции от их,...,ип и некоторого параметра Л. Это ограничение объясняется тем, что все известные автору представления Лакса имеют такой вид.
Представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли g для системы (S) будем называть расширенным представлением, если dimg > п и гапд\\А% — В$\\ > п. В работе доказано, что если система допускает представление Лакса со значениями в некоторой полупростой алгебре Ли д над Е, то всегда можно построить расширенное представление Лакса, выбирая в качестве д прямое произведение конечного числа экземпляров алгебры д.
Пусть система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли д. Обозначим
Sa5 = \{Aa5-Bt).
Для любого симметричного полилинейного отображения
/ : g х д х ... х g -» R
определим тензорное поле Fs1_sq на Уп при помощи равенства
^... = /(^,...,-%,)» (2)
где вві — вектор с координатами S%. (i = l,q), индексы 6і принимают значения от 1 до п. Заметим, что Ss{ (г = l,q) линейно независимы, если представление Лакса является расширенным.
Основными результатами первой главы являются теорема 1.1 [6] и теорема 1.2 ([6], [8]).
Теорема 1.1 Пусть система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли Q.
Тогда тензор, определенный равенством (2), удовлетворяет условию
У(Л..л) = о, (з)
т.е. является тензором Киллинга ранга q, если отображение f Ad-инвариантно. Здесь S/^Fs1...5q — ковариаитная производная тензора Fsi„.6q относительно связности на Vn, определенной коэффициентами Gp^.
Заметим, что (3) совпадает с условием существования полиномиального интеграла геодезических на пространстве Vn аффинной связности, ассоциированной с системой.
В общем случае тензор, определенный равенством (2), может оказаться вырожденным и даже нулевым. В третьем параграфе первой главы показано, что если алгебра g компактна, то, используя расширенное представление Лакса, можно определить положительно определенный тензор Киллинга ранга 2. Кроме того, этот тензор удовлетворяет некоторому дополнительному условию, если существуют коэффициенты Qa системы (5), отличные от нуля.
Таким образом, получены следующие необходимые условия существования представления Лакса со значениями в компактной алгебре Ли для системы (S):
Теорема 1.2 Пусть система (S) допускает представление Лакса со значениями в компакгпиой алгебре Ли.
Тогда на пространстве Vn аффинной связности, ассоциированной с системой, существует поле положительно определенного тензора Киллипга FQ(g ранга 2, удовлетворяющего условию
Fa\p,i\Qa + -] = О-
Здесь и далее запятая в индексах обозначает частную производную по W, т.е. ( = |
Во второй главе исследуются представления Лакса систем уравнений киральных полей со значениями в пространствах аффинной связности.
Системой уравнений киральных полей со значениями в пространстве аффинной связности Vй называется система дифференциальных уравнений в частных производных следующего вида
где х, у — независимые переменные, (7| — коэффициенты аффинной связности пространства Vn в локальной системе координат U1,..., Un , индексы а,/?,7 принимают значения от 1 до п.
Хорошо известно, что для ряда пространств аффинной связности уравнения киральных полей являются интегрируемыми системами. Так, например, интегрируемыми являются уравнения киральных полей со значениями в симметрических пространствах, уравнения главных киральных полей и модифицированные уравнения главных киральных полей ([14],[31]).
Во второй главе показано, что, следуя работе [4], можно получить представление Лакса модифицированных уравнений главных киральных полей, отличное от указанного в работе [31]. В четвертом параграфе второй главы при помощи этого представления Лакса для систем модифицированных уравнений главных киральных полей со значениями в группе SO(3) построены бесконечные серии законов сохранения.
В третьей главе предложена модификация конструкции Лезнова-Савельева, позволяющая ассоциировать с симметрическими пространствами вида G/{H\ х #2 х ... х Нк) новые интегрируемые системы. Построены примеры таких систем, ассоциированных с симметрическими пространствами SO(6)/(SO(3) х SO(3)) и G2/(SO{3) х 50(3)).
Следуя работе [5], будем искать представление Лакса в следующем виде.
Пусть G/H — локально симметрическое пространство, структурные уравнения которого имеют вид
dua'' = D%JP Ли/, (4)
d6a = С|707 Л в0 + Ц,^' Л и/. (5)
Здесь индексы а,/?, 7 принимают значения от 1 до п, индексы о/, /?', 7' изменяются от п + 1 до г. Положим
иа' =XMa'dx+^Na'dy, (6)
e^T^dx + T^dy, (7)
где Ма',]Уа',Т^,Т2^ — гладкие функции от U1,..., Un, удовлетворяющие условиям
%]=С^Т^ = 1,2), (8)
«ОД?-Т$| ^0, (9)
M<$ = D^M?, NJ = D$JTJNP. (10)
Тогда равенства (4)-(7) определяют представление Лакса системы (S), если коэффициенты Gp и Qa имеют вид
U(3-y — Г6 i1 (/3,7) + ^'рфЬр'Э'у ~ /С/^Г(7 /3)Ь Iі1'
да = -P«R^lNiMP', (12)
где Sg = І(Т$ + TjJ), Р; = \(Т$ - T2f) и Р - матрица, обратная к Р.
При таком подходе для построения интегрируемых систем ки-рального типа необходимо указать набор функций T^,Ma',iVa', удовлетворяющих условиям (8)-(10). Желательно также, чтобы полученная интегрируемая система являлась лагранжевой. Одно из возможных решений этой задачи можно получить, полагая Т^ = Т$, Т$ = 0 (или Т$ = 0, Т2 = 7), где коэффициенты If определяются базисом левоинвариантных форм Фа = T^dU13 на группе Я, причем б?Фа = Сд7Ф7ЛФ/3. В этом случае равенства (4)-(7) определяют представление Лакса системы (5), коэффициенты GL которой являются коэффициентами левой (или правой) плоской канонической связности на группе Ли Я, а Qa имеют вид (12).
Представление Лакса для таких систем в 1983 году было получено А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым ([18],[58]) в инвариантном виде, из которого переходом к локальным координатам можно получить представление Лакса, приведенное выше. А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым также показано, что такие системы являются лагранжевыми в случае полупростой группы Н.
Во втором параграфе третьей главы для случая, когда Н = #1 х ... х Нр — прямое произведение простых групп Ли Щ (г = 1,р), найдены другие решения уравнений (8)-(10) и соответствующие им
интегрируемые системы. Этот результат является основным результатом третьей главы и сформулирован в теореме 3.3 ([16],[25],[40]). Пусть G/H — локально симметрическое пространство, Н = Hi х ... х Нр, где #i,..., Нр — простые группы Ли и (Ua) — локальная система координат на Н. Разделим координаты (Ua) на группы (Uai,Ua2,...,Uap) в соответствии с разложением группы Н и перепишем структурные уравнения симметрического пространства G/H в виде
dOa' = Са^р А ЄРі + Ra^' А с/', (i = Т^).
Введем следующие обозначения:
$> Ьи (J = Ьі ф 0 Ьр ~~ алгебры Ли групп Ли G, Щ, Н соответственно (г = 1,р);
Сд — структурные константы группы Щ относительно базиса левоинвариантных дифференциальных форм Фаі = T^dU^.
^афі ~ коэффициенты формы Киллинга Л(-, ) алгебры Ли fjt, заданные относительно базиса, двойственного к базису Фаі. 4)р(-,') ~~ форма Киллинга алгебры Ли д.
5) Si — константы, удовлетворяющие условию
Такие константы существуют, если алгебра q полупростая.
h афі — метрика Киллинга группы Ні относительно локальных координат Uai, т.е.
ааф^ищ A dJJfo (і = 1,р) — 2-формы, удовлетворяющие условию
fa = 1к1.*.С%^.Фщ А Ф* А Ф&.
Такие формы существуют, по крайней мере локально, так как 3-формы Ф; = 1^.5.Ср{а.Фщ Л Ф7і Л Ф0І замкнуты в силу тождества Якоби для структурных констант.
Теорема 3.3 Пусть G/H — локально симметрическое пространство, G — полупростая группа Ли и Н = Н\Х ... х Нр, где Ні,...,Нр — простые группы Ли.
Тогда системы уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжианов
L = J2 TflKfkiU71) + ЄіааіРі(и*)]Щ%Ь + 4д%уМГ*Ґ
1 ^і 1=1
допускают представление Лакса. Здесь Єі — ±1; функции М@ , iV7 удовлетворяют условиям
К = ЦМдо**. (<=та. К = ^<л;^'. с=та-
В первом параграфе четвертой главы найдено представление Лакса для четырехкомпонептпой системы, которая является новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon ([7],[23],[40]).
Пусть системы уравнений Эйлера для лагранжианов
U = gai0i(USi)U?Ub + &(/*) (і = 1,2)
допускают представление Лакса со значениями в алгебрах Ли fjj групп Ли Н{ соответственно. Пусть также существует локально симметрическое пространство G/(H\ х #2)- Оказывается, что в ряде случаев, используя представление Лакса для этих систем, можно построить представление Лакса для системы с лагранжианом
і=і
где Si — некоторые константы и Q = Q(U5l,U52) — гладкая функция такая, что система уравнений Эйлера для лагранжиана L не распадается на независимые системы.
Таким способом в диссертационной работе построено представление Лакса для системы
Vі + l yly2 + l У2У1 = О ху sin У2 у х sin У2 у х '
^ - (fS?W + bin У2 cos F4 = О,
VL - 1Л :i"\r^VX3 + * cos У2 sin V4 = О,
sin У4 ху (1+совУ4)2'у'х где А; — произвольная константа. Данную систему можно рассматривать как новое интегрируемое обобщение уравнения sin-Gordon, т.к. подстановка Vі — 0, Vа = 0 приводит к системе Лунда-Редже. Далее, полагая У1 = О, У2 = У, получим уравнение sin-Gordon.
Система (13) явлется системой уравнений Эйлера для лагранжиана
L = VXVy + VX + K4V у + УХ + 2fc cos V2 cos У\
В первом параграфе четвертой главы показано, что систему (13) можно получить при помощи редукции и преобразования Бэклупда из системы Лезнова-Савельева, ассоциированной с симметрическим пространством 50(6)/(50(3) х 50(3)).
Во втором параграфе четвертой главы построены новые интегрируемые системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида 50(р + 3)/(50(р) х 50(3)) и S0{p + 2)/(S0{p) х 50(2)).
Теорема 4.1 Пусть (Uai) — локальная система координат на группе SO(p),p > 3. Определим матрицы Па^^а^^ так же, как в теореме 3.2 для группы Н\ = SO(p).
Тогда система уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана
L = [hai3l(U^ + aQ101(U^)]U^ - 2(р - 2)[ViVyVу + Wb
-А(р - 2)тьпьcosV2
допускает представление Лакса. Здесь индексы а,Ь принимают значения от 1 дор; индексы а', У изменяются отр+1 дор+3; ть — произвольные константы, а функции пъ — nb(U5) удовлетворяют условиям
«* = <Ч»е.
где коэффициенты Н^ = ~HL1 определяются вложением алгебры Ли5о(р) в 0І(р).
Теорема 4.2 Пусть (Uai) — локальная система координат на группе SO(p),p > 3,. Определим матрицы Лаі/їцааіДі так же) как в теореме 3.2 для группы Hi = SO(p).
Тогда система уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана
L = [Ла1Арт) + аа101(и^)]Щ%^ - 2(р - 2)k2VxVy+
Щр - 2)Л#< (18)
допускает представление Лакса. Здесь индексы а, Ъ изменяются от 1 до р, индексы а' и Ь' принимают значения р + \,р + 2; My — -М«, К = -N* и
М+1 = т\ cos kV + ml sin kV, M+2 = -m" sin kV + ma2 cos kV,
где ті,ггі2 — произвольные константы. Функции N% = N%{USl) являются решениями системы уравнений
т,вх = ад? ^
где коэффициенты #jL = ~Щ-У1 определяются вложением алгебры Ли$о(р) в Ql(p).
Во втором параграфе четвертой главы построено представление Лакса для системы, соответствующей случаю р = 3 в теореме 4.2. Лагранжиан данной системы имеет вид
з L=Y, U^Uy1 + V*Vy + 2cost/3^[/x2 + 2/cosf/3cosK
Показано, что эта система допускает редукцию и преобразование Бэклунда, которые приводят к системе уравнений Эйлера для лагранжиана
L = V'VyHg2^- + V2V2 + VXVV + 21 cos V2 cos V.
Для последней системы в диссертационной работе также построено представление Лакса. Заметим, что она совпадает с одной из интегрируемых систем, найденных А.Г. Мешковым и Д.К. Демским [48].
Представление Лакса систем кирального типа
Будем говорить, (см., например, [34],[70]), что система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли д, если существуют отображения где Л — произвольный параметр, такие, что условие эквивалентно системе (5). Здесь квадратные скобки [ , ] обозначают произведение в алгебре Ли — полные производные по х и у соответственно. Далее в работе будет удобно использовать другое определение представления Лакса, эквивалентное определению 1.6. Прежде чем его сформулировать, докажем лемму. Лемма 1.1 Пусть А и В — отображения, определяющие для системы (S) представление Лакса со значениями в алгебре Ли д, и ei,...,er — базис в алгебре Ли д. Определим функции Аа,Ва на R х Тогда условие (1.7) эквивалентно условию полной интегрируемости (по Фробениусу) системы (1.8). Здесь Ос = \Сьсі Ъс структурные константы алгебры Ли Q относительно базиса Єї, ...,ег. Доказательство. Действительно, непосредственные вычисления приводят к равенствам CIQC Авь = СЦАЧх + Bcdy) Л (Abdx + Bbdy) = 2C AbBcdy A dx. Отсюда видно, что условие (1.9) эквивалентно соотношению Переписывая (1.7) в координатной форме, получим Отсюда следует, что равенство (1.9) эквивалентно равенству (1.7), если СЪ = -±Cl О Таким образом, доказано, что определение 1.6 эквивалентно следующему определению. Определение 1.7 Будем говорить, что система (S) допускает представление Лакса со значениями в полу простой алгебре Ли д, если существуют гладкие функции Аа,Ва на R х J (R2 х Vn) такие, что подстановка (1.8) в (1.9) приводит к системе, эквивалентной системе (S). Замечание 1.3 Пусть G — произвольная группа Ли, алгеброй Ли которой является алгебра д. (Для определенности, в качестве G всегда можно выбрать односвязную группу.) Тогда уравнения (1.9) являются структурными уравнениями группы G (см., например, [2]). Иногда удобно использовать матричную формулировку представления Лакса, которую можно получить с помощью представления алгебры Ли g в конечномерном векторном пространстве.
Определение 1.8 Будем говорить, что система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой матричной алгебре Ли Q, если существуют функции А, В со значениями в д, зависящие от я, у, функций U1,..., Un, их частных производных и некоторого параметра А, такие, что условие эквивалентно системе (S). Здесь [В, А] = В А — АВ — коммутатор матриц А и В. Замечание 1.4 Условие (1.10) является условием совместности системы линейных уравнений Лемма 1.2 Пусть система (S) допускает представление Лакса в смысле определения 1.7 со значениями в полупростой алгебре Ли д. Тогда существуют матрицы А и В, элементы которых зависят от х,у, функций U1,..., /п, их частных производных и некоторого параметра А такие, что условие (1.10) эквивалентно системе (S). Доказательство. Пусть система (1.8) вполне интегрируема на решениях системы (S). Переход к матричной реализации представления Лакса производится при помощи представления алгебры Ли g в конечномерном векторном пространстве. В частности, выбирая в качестве пространства представления саму алгебру д, положим Теперь из (1.9) и тождества Якоби для структурных констант Cbc = -2(7. следует В этом параграфе получены условия, необходимые для того, чтобы система (S) допускала представление
Лакса со значениями в компактной алгебре Ли. Вообще говоря, в определении 1.7 представления Лакса коэффициенты Аа и Ва - произвольные гладкие функции па J (R2 X Vn). В диссертационной работе ограничимся изучением случая, когда где А1 = Aa&{U\\),Ba& = Ba5(U\X),Ma = Ma{U\\),Na = iVa([/7, Л) — гладкие функции от U1,..., Un и некоторого параметра Л, так как все известные автору представления Лакса имеют такой вид. Лемма 1.3 Пусть система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли g над Ш, т.е. существуют гладкие функции A B ,Ma,Na такие, что подстановка в уравнения приводит к системе, эквивалентной системе (S). Здесь CL = приводит к системе, эквивалентной системе (S). Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи, когда формы (1.11) определяют представление Лакса 1) без параметра, 2) с параметром. 1) Пусть формы (1.11) определяют представление Лакса без па раметра. Тогда dirrig п и гапр;4 — В \\ п. Действительно, подставляя (1.11) в (1.12), получим Здесь и далее запятая в индексах обозначает частную производную по U1, т.е. Ар = gyf. По определению представления Лакса система (1.15) эквивалентна системе (5), т.е. уравнения системы (1.15) являются линейными комбинациями уравнений системы (S), причем ранг матрицы Л — В%, элементы которой являются коэффициентами при уравнениях системы (5), больше или равен п. 2) Пусть формы (1.11) определяют представление Лакса с па раметром Л. Не ограничивая общности, можно предполагать, что параметр Л изменяется в окрестности нуля, так как этого всегда можно добиться при помощи замены Л — Л — До- При фиксированном произвольном значении параметра Л подстановка (1.11) в (1.12) приводит к линейной комбинации уравнений системы (S). При этом, вообще говоря, разные уравнения системы могут получаться при разных значениях параметра Л. Но существует конечное число к значений параметра Лі, Л2, ---Afc, при которых получаются все уравнения системы (S). Тогда, выбирая в качестве д произведение к экземпляров алгебры д и записывая для і-го экземпляра д представление Лакса с учетом замены А — A + Aj, получим представление Лакса (1.13),(1.14) со значениями в алгебре Ли д. Теперь подстановка (1.13) в (1.14) при А = 0 дает все уравнения системы (S), при этом, коэффициентами при уравнениях системы (5) будут как раз элементы матрицы \\А$—В$\\, следовательно гаш7Л$—В%\\ п при А = 0. Более того, гап 7Л$ — В$\\ п при А из некоторой окрестности нуля, т.к. функции Аа8, В непрерывно зависят от параметра. Заметим, что алгебра д полупроста, т.к. д — прямое произведение к экземпляров полупростой алгебры д. П
Необходимые условия существования представления Лакса
В этом параграфе получены условия, необходимые для того, чтобы система (S) допускала представление Лакса со значениями в компактной алгебре Ли. Вообще говоря, в определении 1.7 представления Лакса коэффициенты Аа и Ва - произвольные гладкие функции па J (R2 X Vn). В диссертационной работе ограничимся изучением случая, когда где А1 = Aa&{U\\),Ba& = Ba5(U\X),Ma = Ma{U\\),Na = iVa([/7, Л) — гладкие функции от U1,..., Un и некоторого параметра Л, так как все известные автору представления Лакса имеют такой вид. Лемма 1.3 Пусть система (S) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли g над Ш, т.е. существуют гладкие функции A B ,Ma,Na такие, что подстановка форм приводит к системе, эквивалентной системе (S). Здесь CL = —\С , ( — структурные константы алгебры д. Тогда существует r-мериая полупростая алгебра g и функции что r n, rang\\Al — B \\ n и подстановка форм приводит к системе, эквивалентной системе (S). Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи, когда формы (1.11) определяют представление Лакса 1) без параметра, 2) с параметром. 1) Пусть формы (1.11) определяют представление Лакса без па раметра. Тогда dirrig п и гапр;4 — В \\ п. Действительно, подставляя (1.11) в (1.12), получим Здесь и далее запятая в индексах обозначает частную производную по U1, т.е. Ар = gyf. По определению представления Лакса система (1.15) эквивалентна системе (5), т.е. уравнения системы (1.15) являются линейными комбинациями уравнений системы (S), причем ранг матрицы Л — В%, элементы которой являются коэффициентами при уравнениях системы (5), больше или равен п. 2) Пусть формы (1.11) определяют представление Лакса с па раметром Л. Не ограничивая общности, можно предполагать, что параметр Л изменяется в окрестности нуля, так как этого всегда можно добиться при помощи замены Л — Л — До
При фиксированном произвольном значении параметра Л подстановка (1.11) в (1.12) приводит к линейной комбинации уравнений системы (S). При этом, вообще говоря, разные уравнения системы могут получаться при разных значениях параметра Л. Но существует конечное число к значений параметра Лі, Л2, ---Afc, при которых получаются все уравнения системы (S). Тогда, выбирая в качестве д произведение к экземпляров алгебры д и записывая для і-го экземпляра д представление Лакса с учетом замены А — A + Aj, получим представление Лакса (1.13),(1.14) со значениями в алгебре Ли д. Теперь подстановка (1.13) в (1.14) при А = 0 дает все уравнения системы (S), при этом, коэффициентами при уравнениях системы (5) будут как раз элементы матрицы \\А$—В$\\, следовательно гаш7Л$—В%\\ п при А = 0. Более того, гап 7Л$ — В$\\ п при А из некоторой окрестности нуля, т.к. функции Аа8, В непрерывно зависят от параметра.
Заметим, что алгебра д полупроста, т.к. д — прямое произведение к экземпляров полупростой алгебры д. П Определение 1.9 Представление Лакса (1.13),(1.14) со значениями в полупростой алгебре Ли д будем называть "расширенным представлением Лакса, если dimg п и гапрЦЛ — Б п. Замечание 1.5 Лемма 1.3 утверждает, что для системы (5), допускающей представление Лакса вида (1.11),(1.12) с полу простой алгеброй д, всегда можно построить расширенное представление. Лемма 1.4 Пусть фугтции Afi,B$,Ma,Na определяют представление Лакса (1.13),(1.14) со значениями в полупростой алгебре Ли g над Ш для системы (S). Тогда они удовлетворяют условиям Отсюда, альтернируя по 5 и 7, с учетом тождества Якоби для структурных констант Сс получим условия совместности (1.20) для системы (1.18). Условия совместности (1.21) системы (1.19) находим аналогично.П
Модифицированные уравнения главных киральных полей
Приведем определения систем уравнений главных киральных полей и модифицированных уравнений главных киральных полей. Для этого потребуются некоторые факты из теории групп Ли. Пусть Я — полупростая группа Ли, (Ua) — локальная система координат на группе Я и Фа = T dV — базис левоипвариантпых дифференциальных форм на Я. Как известно ([34]), на любой группе Ли существуют три канонические аффинные связности. Левая связность определяется параллелизацией с помощью левоинвариантных векторных полей, правая — параллелизацией с помощью правоинвариантных полей. Нейтральная связность определяется следующим образом. Пусть ГТ, — левая связность, а Г — правая связность. Тогда набор Гд7 = Г 7 + Г 7 определяет нейтральную связность на группе. Известно, что левая и правая связности являются плоскими, а тензоры кручения для этих связностей отличаются знаком. Кручение нейтральной связности равно нулю.
Пусть Ха = ТРщ$ — базис, двойственный к базису Ф. Рассмотрим левую каноническую связность на группе Я, т.е. связность, определенную параллелизацией при помощи левоинвариант-ных векторных полей Ха по формуле где Y = уаХа. Пусть 7jg7 — коэффициенты связности в неголоном-ном базисе Ха, т.е. sjXpX = Ха. Очевидно, что для левой канонической связности 7/?7 = 0. Отсюда следует, что коэффициенты Gfr = TfCrfifi+ipjrgTp) связности в голономном базисе имеют вид и тензор кручения Тогда коэффициенты и тензор кручения правой связности в голономном базисе имеют вид — коэффициенты нейтральной связности в голономном базисе. Определение 2.2 Системой уравнений главных киральных полей называется система (), коэффициенты которой являются коэффициентами нейтральной связности на группе Я, т.е. имеют вид (2.20).(см., например, [31]) Определение 2.3 Система (), коэффициенты которой являются коэффициентами левой или правой плоской канонической связности на группе Н, т.е. имеют вид (2.18)или (2.19) называется системой H ZiVW(Wess-Zumino-Novicov-Witten), ассоциированой с полупростой группой Ли Н. Замечание 2.2 Обычно системы WZNW определяются иначе (см., например, [21], [54],[71], [72]). Эквивалентность этих определений следует из предложения 2.2.
Предложение 2.2 Пусть Н — полупростая группа Ли и 1) (Ua) — локальная координатная система на группе Н; 2) Сру — структурные константы группы Н относительно базиса левоиивариаитпых дифференциальных фюрм Фа = TpdU13, т.е. 3) h s — метрика Киллинга алгебры Ли fj группы Н, заданная относительно базиса, двойственного к базису левоинвариантных дифференциальных форм Фа; 4) hap метрика Киллинга группы Н, т.е. (/Фа = С Ф7 Л Ф ; 5) a = aQpdUa Л dU — 2-форма, удовлетворяющая условию Тогда система WZNW, ассоциированная с полупростой группой Н, является системой уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана если коэффициенты Gp являются коэффициентами правой канонической связности и в случае левой канонической связности. Таким образом, показано, что симметрическая часть связности (2.18) согласована с метрикой Киллинга. Из (2.25) следует, что коэффициенты Gpy уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана (2.22) будут иметь вид (2.19), если для кручения А = TTh л связности выполнены условия Аа = hyaAg = а[а7)/3]. Учитывая (2.24), получим равенства Аа = h5ipC T T . Далее заметим, что 3-форма Ф = Щ С ТЦТ сШ01 A d(P Л dlJP замкнута в силу тождества Якоби для структурных констант. Поэтому существует по крайней мере локально, 2-форма а такая, что da = Ф. Следовательно, полагая aapdUa Л dU13 = а, получим, что уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана (2.22) совпадают с WZNW системой (Е), ассоциированой с группой Я. Случай левой канонической связности доказывается аналогично. Замечание 2.3 Система уравнений главных киральных полей также является лагранжевой. Лагранжиан для нее имеет вид
Лагранжевы системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/{H\ х х Нр)
Пусть G/H — локально симметрическое пространство, Я = Hi х Яг, где Яі,Я2 — простые группы Ли и (Ua) — локальная система координат на Я. Разделим координаты (Ua) на две группы (Uai, f/2) в соответствии с разложением группы Я и перепишем структурные уравнения симметрического пространства G/H в виде
Из тождеств Якоби для группы G следует, что структурные константы удовлетворяют условиям Далее используются следующие обозначения: 1) 0 fy = Ьі. ф Ьг І)І — алгебры Ли групп Ли G, Я, Я соответственно (і = 1,2); 2) Сд — структурные константы группы Я; относительно базиса левоинвариантных дифференциальных форм Фаі = T dU , т.е. 3) h .p. — коэффициенты формы Киллинга h(-, ) алгебры Ли f)i, заданные относительно базиса, двойственного к базису Фа . 4)д(-, ) — форма Киллинга алгебры Ли Q. 5) Si — константы, удовлетворяющие условию Такие константы существуют, если алгебра д полупростая (см., например, [10]). 6) hai/3i — метрика Киллинга группы Щ относительно локальных координат (t/ai), т.е. 7) tTj = ааф и1 Л d/ (г = 1,2) — 2-формы, удовлетворяющие условию Такие формы существуют, по крайней мере локально, т.к. 3-формы г = ч .х.СІ\.Фаі Л Ф7і Л Ф замкнуты в силу тождества Якоби для структурных констант. Теорема 3.2 Пусть G/H — локально симметрическое пространство, G — полупростая группа Ли и Н = Hi х Н2, где Hi,H2 — простые группы Ли. Определим лагранжиан L равенством Подставляя (3.35)-(3.37) в (3.19) и приравнивая к нулю коэффициенты при Л и 1/Л, получим системы (3.33),(3.34) для функций Покажем, что условия совместности Аналогично доказывается совместность системы (3.34). Теперь, подставляя (3.35)-(3.37) в (3.20), (3.21) придем к системе (S), ненулевые коэффициенты которой имеют вид Докажем, что эта система является системой уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана (3.31). Действительно, уравнения Эйлера для лагранжиана (3.31) приводят к системе где коэффициенты Gp ,Gfc имеют вид (3.38),(3.39). Доказательство этого факта аналогично доказательству предложения 2.2. Докажем, что функции — Y Q совпадают с функциями (3.40). Пусть Q = [) т — каноническое разложение ([17],[35j), т.е. Тогда для любых элементов Д Є fi, mi,m2 Єтв силу инвариантности метрики Киллинга справедливо равенство
Пусть [тит2} = ргі{[тит2}) +рг2([тьт2]), ще рп([тит2}) Є fjt. Тогда в силу (3.28). Из последнего равенства и (3.42) следует, что для любых элементов h Є fjx, mi, Шг Є m. Равенство (3.43) эквивалентно следующему условию на структурные константы: Теперь, дифференцируя равенство (3.32), с учетом (3.33),(3.34) и (3.44) получим Отсюда следует, что функции —- -h Q совпадают с (3.40). Аналогично доказывается, что функции — 2 " a2/32Q,/?2 совпадают с функциями (3.41). Замечание 3.2 Построенное в теореме 3.2 представление Лакса для системы с лагранжианом (3.31) при Є\ = є2 совпадает с представлением, которое можно получить при помощи метода Лезнова-Савельева. Теорема 3.2 допускает следующее обобщение в случае, когда Н = Н\ х ... х Нр, где Н\,...,НР — простые группы Ли. Теорема 3.3 Пусть G/H — локально симметрическое пространство, G — полупростая группа Ли и Н = Ні х... х Нр, где Ні,..., Нр — простые группы Ли. Тогда системы уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжианов допускают представление Лакса. Здесь ЄІ = ±1; hai — метрики Киллинга групп Щ (г = 1,р); константы Si определяются равенствами аафі определяются при помощи 2-форм О І так ж,е, как в предыдущей теореме; функции М$ , iV7 удовлетворяют условиям (3.33),(3.34). Доказательство. Разделим координаты (Ua) на группы (Uai,Ua2,...,Uap) в соответствии с разложением группы Н и перепишем структурные уравнения симметрического пространства G/H в виде
Подставляя (3.46) в первую группу уравнений (3.47) и приравнивая к нулю коэффициенты при Л и 1/Л, получим системы (3.33),(3.34) для функций М7 ,ЛГ5. Доказательство совместности систем (3.33),(3.34) в случае, когда индекс г принимает значения от 1 до р, аналогично доказательству в теореме 3.2. Подставляя (3.46) во вторую группу уравнений (3.47) придем к системе (S), ненулевые коэффициенты которой имеют вид В формулах (3.48),(3.49) нет суммирования по г. Данная система является системой уравнений Эйлера для лагранжиана (3.45). Действительно, уравнения Эйлера для лагранжиана (3.45) приводят к системе где коэффициенты С?д имеют вид (3.48). Докажем, что функции -2Sihai0ig%,1,[M%iN +Mfi N$i] совпадают с функциями (3.49). Рассуждения, аналогичные рассуждениям, проведенным при доказательстве теоремы 3.2, показывают, что для любого і = 1,р справедливы равенства
