Содержание к диссертации
Введение
1 Критерий гиперболичности в случае рационального периода . 15
1.1 Спектр оператора монодромии 15
1.2 Резольвента оператора монодромии 21
1.3 О вычислении фундаментальной матрицы S\(-) 31
1.4 Пример 37
1.5 Критерий гиперболичности 44
2 Критерий гиперболичности в случае иррационального периода. 52
2.1 Рациональная аппроксимация 52
2.2 Представление гладких периодических функций 64
2.3 Построение рациональной аппроксимации 83
2.4 Критерий гиперболичности 87
Литература 97
- Резольвента оператора монодромии
- О вычислении фундаментальной матрицы S\(-)
- Представление гладких периодических функций
- Построение рациональной аппроксимации
Введение к работе
1. Выбор темы для настоящей диссертации связан с актуальностью исследования динамики, порождаемой нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. В диссертации изучаются условия гиперболичности периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений вида
x'(t) = f (x(t), x(t - n), x(t - r2), ...,x(t- rn)) (1)
с положительными рациональными запаздываниями 0 < г\ < ... < гп (положим го = 0), где функция / : Rn+1 —у R непрерывно дифференцируема. Строгое определение гиперболичности в терминах собственных значений оператора монодромии (мультипликаторов Флоке) будет дано в определении 1. Здесь отметим, что гиперболичность периодического решения эквивалентна тому, что все траектории в пространстве начальных данных, близкие к периодической орбите, стремятся к ней либо при t -> +00, либо при t —> —оо (см. [26, теорема 10.3.1]).
Важность исследования асимптотического поведения решений таких уравнений в окрестности периодических решений подчеркивается в тео-
рии искусственных нейронных сетей [28] и в теории управления с последействием. При изучении лазеров с запаздывающей обратной связью [40] особый интерес представляют неустойчивые (и, в частности, гиперболические) периодические решения. Неустойчивые негиперболические решения тоже встречаются в приложениях (см., например, [17]).
Один из первых результатов по устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений получили в 1975 году J. L. Kaplan и J. A. Yorke [30]. Ядром доказательства являлась лемма о пересечении траекторий (здесь имеются ввиду траектории в пространстве R2), в которой развивается идея сравнения решений, использовавшаяся еще в книге А. Д. Мышкиса (см. [14, теорема 20]). J. L. Kaplan и J. A. Yorke рассматривали уравнение вида
*'(*) = -/(*(*-1)),
где / — непрерывно дифференцируемая строго монотонная функция, проходящая через начало координат и ограниченная снизу, и исследовали поведение только, так называемых, медленно осциллирующих решений (т. е. решения, нули которых расположены на расстоянии, большем, чем запаздывание). Вопросы существования и единственности периодических медленно осциллирующих решений рассматривали J. L. Kaplan и J. A. Yorke [29], R. D. Nussbaum [36], Y. Cao [18] и другие. При аналогичных ограничениях на правую часть уравнения Н.-О. Walther доказал [41], что все начальные данные, которым соответствуют ограничен-
ные решения, принадлежат замыканию множества начальных данных, которым соответствуют медленно осциллирующие решения. Несмотря на дальнейшее развитие этих результатов и внедрение других методов исследования устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений отмеченные выше ограничения на правую часть уравнения и на исследуемое решение (а также требование четности или нечетности правой части) часто остаются существенными для построения доказательств (см., например, [18, 20]). Ограничения на функцию / часто ужесточаются при переходе к быстро осциллирующим решениям (см., например, [32]) и при появлении дополнительного аргумента x(t) в правой части уравнения (см., например, [6]).
В 1977 году в книге J. К. Hale [26] была изложена схема доказательства того, что поведение траекторий, близких к орбите периодического решения, в пространстве начальных данных определяется расположением мультипликаторов Флоке относительно единичной окружности. Полное доказательство этого факта было изложено в [27], а затем другое, более лаконичное, доказательство было дано в книге [21]. С помощью мультипликаторов Флоке исследовалась бифуркация из ветви периодических орбит семейства дифференциально-разностных уравнений [23, 38, 42], экспоненциальная устойчивость [20, 6], гиперболичность [1, 2, 3, 4, 39, 43], существование и структура глобального аттрактора [32]. S. N. Chow, О. Diekmann, and J. Mallet-Paret исследовали расположение мультипликаторов Флоке для определения свойств медленно осцилли-
рующих решений интегрального уравнения [19]. J. Mallet-Paret и G. Sell изучили кратности упорядоченной последовательности мультипликаторов Флоке [34]. При помощи мультипликаторов Флоке X. Xie исследовал устойчивость периодических решений уравнений рассматриваемого типа, содержащих малый параметр [45]. P. Dormayer и В. Lani-Wayda для исследования повторных бифуркаций из ветви периодических решений провели численный анализ мультипликаторов Флоке [24].
При работе с мультипликаторами Флоке трудность заключается в том, что в случае функционально-дифференциальных уравнений оператор монодромии является бесконечномерным (в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений). Одним из методов исследования мультипликаторов Флоке является построение характеристической функции. При этом исследование спектра оператора монодромии сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр. Этот шаг используется во многих работах и до настоящего времени [23]. Во всех этих работах исследуется решение с полупериодом Т/2 в два раза большим, чем запаздывание г [20, 6], или в три раза больше чем запаздывание [16]. (Иногда отмечается, что подобный шаг можно сделать при T/r G N.) Отметим, что в свете работы R. D. Nussbauma [35] такие периодические решения могут рассматриваться как исключительные. В случае произвольного T/r Е Q такой шаг был сделан только в работах Х.-О. Вальтера (Walther) и А. Л. Скубачевского, что позволило им построить характери-
стическое уравнение в случае периодического решения с произвольным рациональным периодом [1, 2, 3, 39] (при запаздывании г = 1) и даже получить первые подобные результаты в случае иррационального периода [4, 39].
В последние годы появился ряд работ (см., например [37, 44, 45]) по устойчивости и гиперболичности периодических решений уравнений вида (1), где используется дополнительное предположение о близости правой части уравнения к ступенчатой функции.
Отметим, что в последнее время А. Д. Мышкис опубликовал ряд работ по существованию и устойчивости периодических решений дифференциально-разностных уравнений (см. например [15]). Однако, он исследовал, так называемые, системы с релаксацией, в которых определение решения дается иначе, чем в перечисленный выше работах.
2. Новизна результатов. В диссертации задача отыскания мультипликаторов Флоке и проверка простоты (алгебраическая кратность равна единице) отдельно взятого мультипликатора Флоке сводится к исследованию краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр. Подобный переход использовался ранее во многих работах и является одним из наиболее эффективных средств исследования поведения траекторий, близких к орбите периодического решения нелинейного дифференциально-разностного уравнения, в пространстве начальных данных. При этом допускается произвольный рациональный период исследуемого перио-
дического решения, что было достигнуто ранее только в работах Х.-О. Вальтера и А. Л. Скубачевского [1, 2, 3, 39].
В настоящей диссертации впервые подобный переход совершается в отсутствии каких-либо дополнительных ограничений. Это достигается благодаря явному выписыванию оператора, осуществляющего изоморфизм между собственным подпространством оператора монодромии и пространством решений построенной краевой задачи. Становится ясно, что для тривиальности ядра этого оператора не требуется использовавшихся ранее дополнительных ограничений. Кроме того, используется другой подход к исследованию условий простоты собственных значений оператора монодромии.
В работах Х.-О. Вальтера и А. Л. Скубачевского [4, 39] впервые переход к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений был сделан для иррационального периода (в случае запаздывания, равного единице). При этом предополагалось, что исследуемое периодическое решение с иррациональным периодом допускает рациональную аппроксимацию (в работах [4, 39] это определение является новым).
В настоящей диссертации в отсутствии дополнительных ограничений приводится конструктивное доказательство того, что любое периодическое решение допускает рациональную аппроксимацию. Само определение рациональной аппроксимации несколько изменяется. При этом удается воспроизвести использованную в работах [4, 39] идею перехода к краевой задаче для системы линейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Приводимое в настоящей диссертации построение рациональной аппроксимации содержит переход от исходного дифференциально-разностного уравнения (даже в случае одного запаздывания, равного единице) к уравнению, содержащему несколько рациональных запаздываний. Поэтому изначально все результаты выводятся для уравнения, содержащего несколько рациональных запаздываний.
Отметим, что при построении рациональной аппроксимации доказывается и используется интересное свойство гладких периодических функций. А именно, используя произвольную гладкую периодическую функцию и фиксированный набор ее запаздываний, можно выразить конечным образом любую другую гладкую периодическую функцию с тем же периодом.
3. Диссертация состоит из введения и двух глав.
В гл. 1 исследуются условия гиперболичности периодических решений с рациональным периодом.
В 1.1 строится краевая задача для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Пространство решений этой краевой задачи изоморфно пространству решений уравнения (М — Х1)ф = ф (через М обозначается оператор монодромии).
В 1.2 исследуется вопрос совпадения алгебраической кратности собственных значений оператора монодромии и кратности соответствующих нулей характеристического уравнения.
В 1.3 устанавливаются условия, позволяющие выписать фундамен-
тальную матрицу построенной в 1.1 системы линейных уравнений.
В 1.4 строится пример, для которого выполнены условия, сформулированные в 1.3. Используя результаты предыдущих параграфов, удается установить гиперболическую неустойчивость рассматриваемого периодического решения.
В 1.5 строится краевая задача для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Пространство решений этой краевой задачи изоморфно пространству решений уравнения (М — Х1)2ф = 0. Используя фундаментальную матрицу построенной системы уравнений, удается сформулировать критерий простоты собственных значений оператора монодромии, не требующий дополнительных ограничений (в отличии от результатов, полученных в 1.2). Непосредственным следствием этого критерия является критерий гиперболичности периодических решений дифференциально-разностных уравнений с рациональным периодом.
В гл. 2 исследуются условия гиперболичности периодических решений с иррациональным периодом.
В 2.1 понятие рациональной аппроксимации, предложеное в [4, 39], распространяется на случай нескольких запаздываний. Затем доказывается свойство, позволяющее при исследовании спектра оператора монодромии, добавлять в правую часть исследуемого дифференциально-разностного уравнения формальные запаздывания, от которых фактически правая часть не зависит. Это свойство позволяет обобщить введенное ранее понятие рациональной аппроксимации.
В 2.2 строится разностное выражение, представляющее произвольную, предварительно заданную, гладкую периодическую функцию через другую произвольную, предварительно заданную, гладкую периодическую функцию с тем же периодом (с использованием конечного числа положительных рациональных запаздываний).
В 2.3 в отсутствии каких-либо дополнительных ограничений формулируется метод построения рациональной аппроксимации (в смысле обобщенного определения). При этом ключевым моментом является построенное в 2.2 представление гладких периодических функций.
В 2.4 формулируется и доказывается критерий гиперболичности в случае иррационального периода, использующий переход к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
4. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7, 8, 9, 10, 11, 12, 46, 47].
Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством акад. Е. И. Моисеева и проф. И. С. Ломова, на семинарах механико-математического факультета МГУ: на семинаре под руководством проф. В. А. Кондратьева и на семинаре под руководством проф. А. Г. Ко-стюченко, проф. В. В. Власова и проф. К. А. Мирзоева ; на семинаре кафедры "Прикладная математика 1" МИИТ под руководством проф. А. Д. Мышкиса; на семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа факультета "Математика" ВГУ под руководством проф.
В. Г. Звягина; на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством проф. А. Л. Скубачевского.
Результаты диссертационной работы докладывались также на международных конференциях: "The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations"(МИАН, Москва, 2005); Крымских осенних математических школах-симпозиумах (Симферополь, 2005, 2006); XVII всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (РУДН, Москва, 2006); Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их применениям, посвященной 100-летнему юбилею Я.Б.Лопатинского (ДонНУ, Донецк, 2006).
Определения и обозначения.
Мы будем изучать Т-периодическое осциллирующее решение х : К —> R уравнения (1), предполагая, что оно нам известно. Введем некоторые обозначения. Пусть Сс = С([—гп,0],С) и С = С([—гп,0],Ж) - банаховы пространства с нормой \\ф\\ = max \(j)(t)\. Если у отображает мно-
te[-rn,o]
жество А, содержащее отрезок [t — rn,t], в множество В, то функция Vt ' [~rni 0] —> В задается по формуле yt(s) = y(t + s). Если у : А -> R есть решение уравнения (1), то траекторией этого решения мы будем называть множество {yt, [t — rn,t] 61 А} С С.
Оператор монодромии — это линейное непрерывное отображение М
-13-пространства Сс в себя, заданное по формуле
Мф = %, где v^ : [—гп, со) —> С — решение начальной задачи
i/(t) = afc(tMt-rfc), (2)
Jfc=0
^о = Ф Сс, (3)
для % = 0, 1, ..., п использовано обозначение
<*(*) = fvMt),Vi(t),...,yn{t)) . (4)
yj(t)=x(t-rj), j=0,...,n
Уравнение (2) является линеаризацией уравнения (1) в окрестности периодического решения х. Оно называется также вариационным уравнением.
При кТ > гп операторы Мк являются компактными операторами. Поэтому все точки А ф 0 спектра а(М) оператора монодромии являются изолированными собственными значениями и их алгебраические кратности т(Л) конечны. Эти собственные значения называются мультипликаторами Флоке. Сужение функции х! на отрезок [—гп, 0], очевидно, является собственной функцией оператора монодромии, которой соответствует собственное значение Л = 1.
Определение 1 Периодическое решение х уравнения (1) называется гиперболическим, если собственное значение А = 1 оператора монодромии является простым и на единичной окружности нет других собственных значений.
Траектории, соответствующие решениям уравнения (1), определенные на бесконечных полуинтервалах и близкие к периодической орбите гиперболического решения, стремятся к этой орбите при \t\ -> со.
Через С1 (А, В) обозначается пространство непрерывно дифференцируемых функций, отображающих множество А С Rm в множество В, с нормой
сца,в) = max < sup |/fe)|,sup
{уел ye a
df(y)
.,sup
df(y)
дуг,
Если множество А некомпактно, то под С1 (Д В) будем понимать пространство непрерывно дифференцируемых функций, для которых определенная выше норма Ц/Цс^л.в) конечна. (В частности, если f(x) = ж2, то в принятых обозначениях / ^ C^R,R).) Аналогично определим пространство С (А, В) с нормой ||/|[с(л,в) = вируЛ \f(y)\. Для функций v е С(А,С), где A Э [а,Ь], определим р\\С[а,ь] = || ^1[а,ь] Нс([а,ь],с), где у\[аД — сужение функции v на отрезок [а, Ь] (при этом вещественнозначные функции мы будем рассматривать, как частный случай комплекснознач-ных). Символ Ст будет обозначать пространство функций из С1 (R, R), имеющих период Т. (Период Т является наименьшим для функций из Су.) Открытый круг {А С : |А — Aq| < е] обозначается через B{\q). Граница этого круга обозначается через Г(А0). Через mes(.A) обозначается мера множества А. Е — единичная матрица, а J — тождественный оператор. Образ и ядро линейного оператора L обозначаются 1Z(L) и M{L) соответственно.
Резольвента оператора монодромии
Развивая результаты предыдущего раздела, мы опишем действие резоль- венты оператора монодромии и докажем, что при некоторых дополни- тельных ограничениях алгебраическая кратность ненулевого собственного значения Л оператора монодромии совпадает с кратностью Л как нуля функции Зададим общую нумерацию всех индексов, вошедших в множества Mi,...,Mn, в произвольном порядке (одинаковые индексы, входящие в разные множества Мк, нумеруются отдельно). Обозначим через М общее число элементов во всех наборах Мк. Теперь каждому номеру v {1,...,М } соответствует единственный индекс j = jv и множество Мк, которому принадлежит именно этот индекс ju (индексы с равными значениями могут принадлежать разным множествам). Таким образом, для каждого номера v однозначно определено число к = kv. Определим векторы Bv [у — 1,..., М ) с координатами Вп, заданными по формуле: Bv\ = 0 При любой допустимой паре значений v и 7 полученная сумма может содержать не более одного ненулевого слагаемого.
Определим также век-тор50 = (1,0)...,0)т. Доказательство. 1. Поскольку образ 1Z(L(\)) конечномерный, он замкнут в CN. Поэтому для доказательства леммы достаточно найти последовательность функций ф 6 Сс, {у = 0,1,..., М , h Е N) таких, что 3. Зафиксируем теперь произвольный номер v 6 {1,...,М }. Рассмотрим последовательность таких неположительных функций-0Д 6 Сс, 1/т he N, что Ввиду малости G\(s) в окрестности точки s = т и определения (1.22) при h - со имеем L{\) h — БД где В J — вектор с координатами (Первая компонента вектора БД имеет аналогичный вид, но ее значение не будет влиять на доказательство.) Таким образом, для каждого v = 1,..., М мы построили последовательности функций "0Д (Е Се таких, что Ь(Х),ф1}к — В J при /i - со. 4. Преобразуем теперь векторы Б,,1 (z/ 0) к виду (1.21). Положим VU - h-Bv\-bh (v = 1,...,М ). Из (1.23) для v = 1,2,...,М следует, что Ь(\)ф н - Б„2 при /J — со, где Зафиксируем произвольное значение i/ 6 {1,..., М }. Допустим сначала, что Мп — Мк„ + jv N. Рассмотрим последовательность таких неположительных функций ifjh Сс, 1/т h N , что о J h(s)ds = -1, siipp С ((J, -Mkv-N)r- (Последнее равенство получено из формулы (1.23) заменой ju на ju — N.) Из замечания 1.3 легко будет сделать вывод, что В\ либо совпадает с одним из векторов Bl (и = 1,..., М ), либо равен нулю. Рассмотрим равенство Из первого условия в формуле (1.20) следует, что ju—Mkv 0. Поскольку 4)7_i = min-jjD N : -1 — Mk+pN 0}, то рассматриваемое равенство не может иметь место при j = dk -i — 1.
О вычислении фундаментальной матрицы S\(-)
Продолжим изучение Т-периодического решения х уравнения (1), рассматривавшегося в предыдущих параграфах. В теоремах 1.1, 1.2 указан способ отыскания собственных значений А оператора М и их алгебраических кратностей т(Л). Однако, для этого нужно знать фундаментальную матрицу системы (1.14). В этом параграфе при некоторых ограничениях на исследуемое решение х и правую часть уравнения (1) будет изложен способ нахождения фундаментальной системы решений в явном виде.
Опишем кратко, как это сделать. Прежде всего ограничимся случаем, когда Г\ = 1,..., гп = п. Пусть Т = NQ/MQ, где числа NQ,MQ N являются взаимно простыми. Поскольку Mi = ... = Мп = 1, то М = М0. При этом N = N0, М\=М,..., Мп = пМ, где числа N, М 6 N взаимно простые. Определим функции [-]+ : R - Ъ и /i(-) : R — (О, N] по формулам Для a N значения [a]+ и //(a) не изменятся, если в определении использовать N вместо Z. Используя функции [-]+ и /х(-), запишем г-ое уравнение системы (1.14): где r = ц(г — &M), (A) = \ V-kM] k = l,...,n. Предположим, что ocirk{t) = 0 для всех (Е[0,т] и i, к G {1,... , n}. Тогда rfc-oe уравнение примет вид -Общее решение этого уравнения задается по формуле Подставляя (1.30) в (1.28), мы получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение легко найти методом вариации произвольных постоянных. Полагая г = rn+i и подставляя найденные функции ип,... ,иГп, иГп+1 в следующее (гп+2-ое) уравнение, мы найдем аналогично иГп+2. Продолжая этот процесс, за конечное число шагов мы получим все координаты ип,..., urN вектор-функции U. Для формулировки точного результата докажем сначала вспомогательное утверждение. Лемма 1.3 Для любого j Е {1,..., iV} следующая формула определяет перестановку р индексов 1,..., N : Доказательство. По определению функции //() имеем 1 p{k) TV, а также ц(а + ц(Ь)) — \х{а + Ь) для любых чисел a, b Е R. Поэтому Следовательно р(к) — p(s) + (k — s)M + Nl, где I Е Ъ. Предположим, что р(к) - p(s), где к s. Тогда I 0 и (к s)/(-l) = N/M. Поскольку N и М — взаимно простые целые числа и [к — s) 0, то получаем к s + N. Таким образом, р(к) ф p(s) для любых к, s Е {1,..., N}, к ф s. О Пусть перестановкар(к) определена по формуле (1.31), и пусть п N. Определим треугольную матрицу S\ G CNxN с элементами ё\гз, стоящими в r-ой строке и s-ом столбце: для r G {n -f 1,..., iV}, 5 G {1,..., r - 1} элементы s\rs(t) при t G [0, r] вычисляются по рекуррентной формуле где Pr-i,P(r)W = Л-[р(г)-( -ОМ]+) а. _ коэффициенты в (1.14). Для произвольных фиксированных множества J С Rn+1 и числа jo 6 {1, , N} рассмотрим следующие условия относительно правой части уравнения (1) и его исследуемого решения х: Теорема 1.4 Пусть A G C\{0}, и пусть выполнены условие 1.1 и условие 1.2. Пусть S\ : [0, г] - CNxN — фундаментальная матрица системы (1.14) такая, что S\(0) — Е, пусть перестановка р(к) определена по формуле (1.31) с j = jo, и пусть п N. Тогда перестановка строк и столбцов матрицы S\, соответствующая перестановке р индексов 1,... ,N, приводит к треугольной матрице S\, определенной по формулам (1.33) — (1.36).
Доказательство. Пусть множество J и число j = jQ — те самые, для которых выполнены условия 1.1, 1.2. Для доказательства теоремы достаточно показать, что S\ = 5л, где S\(t) — фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений, получаемой после замены неизвестной вектор-функции U в системе (1.14) на вектор-функцию V с координатами Vk = up(k), для которой 5д(0) = Е. 1. Докажем вначале, что Отсюда, а также из равенства (1.38) и условия 1.1 следует (1.37). 2. Построим первые п строк матрицы S\. В силу (1.37) р(к)-ое уравнение системы (1.14) для к 6 {1,..., п} имеет вид (1.29) с р(к) вместо гк. Его общее решение задается по формуле (1.30) с р(к) вместо гк. Отсюда следуют соотношения (1.33) - (1.35) для г {1,..., п}. 3. Построим теперь оставшиеся N — п строк матрицы S\ и покажем, что они удовлетворяют равенствам (1.33), (1.35), (1.36). Зафиксируем г {п + 1,..., N}. Используя формулу (1.32), имеем
Представление гладких периодических функций
В этом разделе мы докажем некоторое свойство функций из Ст (см. теорему 2.3). Это свойство будет лежать в основе метода построения рациональной аппроксимации, излагаемого в следующем разделе. Название настоящего раздела мотивируется тем, что частным случаем теоремы 2.3 является следующее утверждение. Теорема 2.2 Любой функции у е Ст {у ф const) можно поставить в соответствие такие числа п что для любой другой функции у 6 Ст найдется функция W С1(Шп ,Ж) удовлетворяющая равенству Нам понадобится вспомогательная функция д, удовлетворяющая следующему условию. Условие 2.1 Пусть 2) на мноэюестве [to, to + Т) функция д достигает своего глобального максимума только в одной точке t = tm (очевидно наличие этого свойства не зависит от выбора t0 Е К); 3) существует такая проколотая окрестность U(tm) точки tm, что для любого t Е U(tm) выполнено g (t) ф 0. Лемма 2.2 Для любой функции д, удовлетворяющей условию 2.1, существуют такие числа 0 U : Ж5 — Ж такая, что при /3 E[1,PQ] ur,p E.R имеем Доказательство.
Пусть условия леммы выполнены. Пусть to Е R - произвольное фиксированное число, ат = maxt {g(t)}. Тогда на полуинтервале [to, to + Т) существует единственное число tm такое, что g(tm) = am. Положим а = max{g(t) : t Е [о, о + Т), t ф tm, g (t) = 0}. Благодаря условию 2.1 имеем а ат. Если на полуинтервале [to,to + T) функция g достигает локальнго максимума только в одной точке, то число а определим иначе: а = {ат + max{g(t) : t Е [to, t0 + Г), 1ф tm, g (t) = 0})/2. (Это же определение можно использовать и в общем случае, однако оно менее эффективно.) Очевидно, существуют такие числа ta Е (tm — Т, tm) и da Е (О,Т), что t Е (ta,ta + da) тогда и только тогда, когда t E[ta,ta + T] и g(t) а. Легко видеть, что tm Е (ta,ta + da), g (t) 0 при t Е (а т) и g (t) О при Е (т,а + 4)- Поэтому для любого db Е (0, da) существуют такие числа Ь Е (а,ат) и ь Е (а, т) что t Е ( ь, ь + db) тогда и только тогда, когда t Е [&, ь + Т] и #() Ь. Пусть числа , tr Е М таковы, что ti tr и g (t) ф О при Е [/, г]. Например, можно положить ti = ta и tr — (tm + ta)/2. Однако эффективнее выбирать эти числа так, чтобы разность tr — ti принимала максмальное значение. Без ограничения общности можно считать, что ti ta (при необходимости заменим / и tr на ti — гТ и tr — iT соответственно, где г Е N). Тогда существует такая функция Тх Е С1 (Ж, R), что при t Е [ti, tr] имеет место равенство Тх (g(t)) = t. Зафиксируем теперь значение db Е (0, da) так, чтобы db tr — t\. Определим числа Ъ Е (а,ат) и 4 Е (ta,tm) так, чтобы имела место формула (2.27). Затем выберем положительное число q Е Q так, чтобы [tb - q,tb + db - q] С (ti,tr).
Положим fa = (tb - U + q)/{2q). Легко проверить, что число tb — qfio является серединой интервала (ti,tb — q). Поэтому для любого (3 Е [1,А)] имеем [tb — (3q,h + db — fiq] С (ti,tr). и, следовательно, Tx (g((3t — fiq)) = fit — (3q, замечаем, что при /3 G [1,/?o] функция [/ обладает следующим свойством: Совершая в последнем равенстве замену переменной t = s — г, легко видеть, что функция U : R5,R, заданная по формуле при /3 G [1, /?о] обладает следующим свойством: т. е. удовлетворяет условию леммы. П Далее мы построим семейство функций из пространства ( (R R) со свойством, аналагичным свойству функций U(-,-,r,p,(3). Для этого нам понадобится вспомогательная функция h G C1(R,R), обладающая свойствами для построения которой известно много способов (такая функция не единственна; нам подойдет любая). При е 0 и a G R нам будут полезны следующие свойства функции h: которые очевидно имеют место. Дополнительно мы потребуем, чтобы h (t) 0 при tG (-1/2,1/2). . (2.29) Лемма 2.3 Для любой функции д, удовлетворяющей условию 2.1, существуют такие числа q G Q, Po,dc,tc 6 R, при которых для любой функции х G Ст найдется такое семейство функций V(-, , г,р, (3, е, d) G ( (R R), что при любых значениях г,р Е R, Р G [1, $)] (0, dc/4) и d (2s, dc] имеет место равенство
Построение рациональной аппроксимации
В этом разделе мы продолжим рассматривать Т-периодическое решение х уравнения (1) при Г Q. Используя теорему 2.3, мы построим рациональную аппроксимацию (в смысле определения 2.2) без каких-либо дополнительных требований относительно уравнения (1) и его решения х. Пусть х Е Ст - периодическое решение уравнения (1). Тогда функция х Е C2(M,R), определенная по формуле x(t) = x(pt), является решением уравнения (это проверяется непосредственной подстановкой и заменой переменной по формуле /3t = s). В таком случае, х является также решением уравнения Из теоремы 2.3 следует, что для любого г Е {1,..., п} где no 6 N определено выше. Поставим в соответствие каждому числу к Е N такое число f3k Е [1, Д)], что 0 /Зк - К 1/fc и /?АТ Е Q. Пусть функция F определена выше. Лемма 2.8 Функции Gk, определенные по формуле (2.34) удовлетворяют определению2.2 припА = по+п—1 и0 г = qi-n+i, i = п+1,... ,ПА- Доказательство. Рассмотрим при г Е {2,..., По} производные Поскольку (Зк - 1 при к - со, имеем \\F(-,..., -,г{,рк)\\С1 п0Л) - 0.
Следовательно Аналогично получается, что при к — со Таким образом, из сходимости \\F(-,...,-, Гг,Рк)\\с(шпо,щ 0 при к - со следует сходимость (2.9). Поскольку /?jfe G [1, Д)], имеем Тогда, подставляя функцию ж() = xk(t) = x(Pki) в урванение (2.10), получаем Последнее равенство является тождеством, т. к. х является решением уравнения (1). Следовательно, хк является решением уравнения (2.10). При этом каждая функция xk(t) = x{Pkt) имеет период Т/рк G Q. Наличие свойств (2.11) и (2.12) очевидно. Из леммы 2.8 непосредственно вытекает следующее утверждение. В этом разделе мы получим необходимые и достаточные условия гиперболичности периодического решения в случае иррационального периода. Доказательство будет основано на связи спектральных свойств оператора V и операторов Vk, соответствующих рациональной аппроксимации (понимаемой в смысле определения 2.2). Пусть х Е Ст — периодическое решение уравнения (1).
Определим числа ПА N к 0 Г{ Q (i = п + 1,... ,пд) п последовательности {Тк}=1 С Q, Ш о С С1{ЖПА+\Ж) и {xk}f=l С С\ЖЛ) так же, как они были определены в разделе 2.3 (по построению эти числа и последовательности удовлетворяют определению 2.2). Операторы V и Vk определим по формуле (2.17). Как и прежде, г = max{r;, г — l,...,n }, т — min{p Е N : рТ г}. I. Укажем спостоб исследования спектров операторов 14- Поскольку при каждом значении 0 к Е N решение хк уравнения (2.10) имеет рациональный период Тк Е Q, мы можем использовать результаты главы 1. Представим рациональные числа Тк (к Е N) и Г{ (г = 1,... ,пд) в виде дробей Тк = Nok/Mok, Г{ = Ni/M{. Обозначим через Мок наименьшее общее кратное чисел Моь Mi , МПА и положим тк = 1/Мок. При этом Nk = mN0kMok/M0k е N и Мк = М{Мок/М{ Е N. Тогда mTk = Nkrk
