Введение к работе
Актуальность темы. В качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом одними из основных является вопрос нахождения условий существования периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) в окрестности известного решения. Периодическим решениям в практических задачах соответствуют различные циклические процессы, значение которых в многообразии сфер деятельности человечества трудно переоценить.
Особый интерес вызывают уравнения с отклонением, значение которого априори неизвестно. К таким уравнениям относятся дифференциальные уравнения с максимумами, в которых отклонение аргумента зависит от искомой функции.
В последнее время уравнения с максимумами все чаще возникают при решении различных прикладных задач. Наиболее широкое применение подобные уравнения нашли в теории автоматического регулирования и экономике.
Результаты исследований, посвященных дифференциальным уравнениям с обычным отклонением нельзя автоматически перенести на уравнения с максимумами, поскольку правые части подобных уравнений являются функционалами или операторами, не обладающими свойствами линейности, даже в случае линейных уравнений.
Существенный вклад в становление и развитие теоретических аспектов дифференциальных уравнений с максимумами внесли Н.В. Азбелев, Л.Ф. Рахматуллина, П.М. Симонов, В.П. Максимов, М.Б. Ермолаев, А.Р. Магомедов, Ю.А. Рябов, В.Р. Петухов, С.А. Вавилов, Д.Д. Байнов, П. Гонсалес, М. Пинто.
Одной из проблем, имеющей важнейшее значение как для теории дифференциальных уравнений с максимумами, так и для ее приложений, является проблема определения условий существования решений двухточечной краевой периодической задачи. Исследованию этой проблемы и посвящена диссертационная работа.
В теории дифференциальных уравнений с отклонением исследуются проблемы существования решений в различных классах функций, в том числе в классах кусочно-непрерывных и абсолютно непрерывных функций. В диссертационной работе вследствие того, что правая часть уравнения с максимумами непрерывна по совокупности переменных, и необходимости решения задач прикладного характера, исследуется проблема существования решения двухточечной периодической задачи уравнения с максимумами в классе непрерывно дифференцируемых функций.
В настоящее время достаточно глубоко разработана теория устойчивости уравнений с максимумами, но слабо изученным остается вопрос, касающийся нахождения периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) для таких уравнений. Используемые для исследования данной проблемы методы имеют ограниченное применение и не позволяют решать широкий спектр задач.
Таким образом, как для теории дифференциальных уравнений с максимумами, так и для решения задач прикладного характера актуальной является проблема определения условий существования на заранее заданном промежутке решений двухточечных краевых периодических задач.
Цель работы. Определить условия существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи для дифференциального уравнения с максимумами
(0.1)
если ,
где – искомая непрерывно дифференцируемая функция, – начальное значение, – параметр, и – непрерывные матрицы, – непрерывная скалярная функция, влияющая на отклонение аргумента, .
Методика исследования. С помощью методов общей теории дифференциальных уравнений проблема определения условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи сводится к проблеме разрешимости системы уравнений относительно начального значения и параметра.
Доказательство существования решения системы уравнений проводится методом неподвижной точки с использованием предложенного в диссертационной работе способе линеаризации по параметру главной части системы уравнений, линейной по начальному значению, разложения в степенной ряд нелинейной как по начальному значению, так и по параметру главной части системы уравнений.
Научная новизна. В работе доказана нелокальная теорема о существовании непрерывно дифференцируемого решения, получена структура решения и найдены условия отсутствия и существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи дифференциальных уравнений с максимумами в достаточно малой окрестности нулевого решения. Предложена методика исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора, методика построения множества, содержащего неподвижную точку оператора с положительными координатами.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют собой развитие методов качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, расширен класс уравнений с максимумами для которых найдены условия существования решения двухточечных краевых периодических задач, предложены методы исследования проблемы разрешимости различных типов операторных уравнений. Результаты исследований могут быть использованы для решения задач прикладного характера.
На защиту выносятся следующие положения:
1) нелокальная теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения с максимумами от начальных данных и параметра;
2) структура решений нелинейного дифференциального уравнения с максимумами (0.1);
3) схема исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора;
4) признаки существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, сводящиеся к использованию свойств линейной составляющей правой части уравнения (0.1).
5) условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, полученные с привлечением нелинейных членов правой части уравнения (0.1).
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, на Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов “Проблемы и перспективы российских реформ” в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, на международных научных конференциях “Современные проблемы математики, механики, информатики” в г. Тула, на Х Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов “Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании” в Рязанской государственной радиотехнической академии, на научной конференции “Герценовские чтения – 2005” в г. Санкт–Петербург.
Публикации. Основные результаты работы отражены в одиннадцати публикациях, список которых приведен в автореферате.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 97 наименований. Общий объем диссертации – 111 страниц машинописного текста.
