Введение к работе
кктуальность темы. В диссертации изучаются вопросы существования, единственности, и асимптотического представления периодических решений сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений.
Хотя история развития дифференциально-разностных уравнений насчитывает уже более 200 лет, начиная с работ Л Эйлера, И. Вернули, Кондорсе, Пуассона, а история развития асимптотической теории сингулярно возмущенных уравнений Солее 150 лет, начиная с работ Лиувиля, Шлезингера, Биргофа, но интенсивное развитие обеих теорий многими известными математиками разных стран мира началось около 40 лет назад и продолжается до настоящего времени. Вызвано оно было появлением многочисленных приложений этой теория в самых различных областях: гидродинамика, газодинамика,' теория колебаний, физика полупроводников, химическая кинетика, теория управления и автоматического регулирования, экономика, а в последнее время- биология и экология. Причем изучение именно периодических решений в таких моделях представляет значительный интерес. Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной как в теоретическом, так и в практическом отношении.
Шел» работ состоит в нахождении легко проверяемых достаточных условий, налагаемых на периодические матрицы линейных систем первого приближения и обеспечивапюа существование, единственность, возможность асииптотического-раэложения периодического решения по степеням малого па-
раметра и устойчивость такого решения.
Нетодшса исследований состоит в получении априорных ;
. оценок периодических решений, переходе к операторному ;
.уравнению для искомого периодического решения, доказа- J
"*- тельству существования и единственности решения оператор
ного уравнения на основании теоремы Банаха, в построении ":
: членов асимптотического разложения, в исследовании их ;
/гладкости и в получении оценки остаточного члена на осно-. ; ";
]:. ве априорной оценки. ..»'.-
Научная новизна Все полученные в диссертации ос
новные результаты ЯВЛЯЮТСЯ НОВЫМИ, а ИМеННО: . V ;-';"
. 1) найденно близкое к необходимому достаточное условие ; : 'существования и единственности периодического решения -';.'. скалярного линейного уравнения первого порядка, вырождаю-_, щегося в разностное уравнение и построена его ас :мптоти-
2) для -реяняшонвайВй» нелинейного уравнения доказаны
.:; теоремы о существовании, локальной единственности, пре- .
дельном переходе и асимптотическом представлении периоди-\ .ческого решения; .
3) для систем дифференциальо-разностных уравнений предло
жен оригинальный метод "обобщенных кругов Гершгорина
' "( 0. К. Г.), позволивший эффективно получить теоремы о существовании, единственности и асимптотическом представлении периодического решения, как в линейном, так и в не-
;; линейном случае; ', '.'-'-','
I 4) для систем и уравнений второго порядка, вырождающихся
а'*-.--' "
на два порядка при помощи О. К. Г. доказаны подобные теоремы в условиях аналогичных системам без запаздывания;
-
изучен класс систем второго порядка, вырождающихся на один порядок, для которого предложенная методика 0. К. Г. ' такяе является эффективной;
-
обоснованы простые условия устойчивости периодического решения, в том числе и интегральные ( при малом запаздывании );
-
в случае малого запаздывания сформулированы интегральные условия существования периодического решения.
Теоретическая я практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Однако ее'результаты могут найти применение в теории колебаний, экономике, биологии, экологии, тем более, что налагаемые в диссертации достаточные условия легко проверяемы, что и показано во введении на одной биологической модели.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на научном семинаре кафедры вью-вей математики УДН им. П. Лумумбы, На ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук УДН ( 1989-1991 г.г.), на научных конференциях НУЦ УДН (1988- 1990 г. г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приводится в конце' автореферата
Структура и об'єм диссертации. Диссертация состоит
иа введения, трех глав и списка литературы, содержащего 76 наименований. Об'ем диссертации- 150 машинописных страниц.
