Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 10
1. Строение и функционирование системы микроциркуляции 10
1.1. Структура сердечно-сосудистой и лимфатической систем . 11
1.2. Лимфатическая система 12
1.3. Строение микроциркуляторного русла 15
1.4. Состав микроциркуляторного русла 15
1.5. Регуляция микроциркуляции 19
1.6. Топология микроциркуляторного русла 20
1.7. Расположение лимфатических капилляров и механизмы лимфообразования 21
1.8. Течение крови в кровеносном капилляре 24
1.9. Транскапиллярный обмен веществ 26
1.10. Этапы обмена веществ на микроциркуляторном уровне.. 28
2. Экспериментальные методы исследования микроциркуляции 29
3. Моделирование микроциркуляции и транскапиллярного переноса жидкости и веществ 35
Глава 2. Математическая модель микроциркуляторных процессов 50
1. Используемые допущения и исследуемая область 50
2. Определяющие соотношения 53
Глава 3. Частные случаи модели микроциркуляторных процессов .. 63
1. Одномерное описание микроциркуляторных процессов 63
2. Двумерное описание микроциркуляторных процессов 68
2.1. Задача о стационарном течении жидкости в ткани без учета лимфатического дренажа 69
2.2. Задача о стационарном течении жидкости в ткани с учетом лимфатического дренажа 90
2.3. Задача о нестационарном течении жидкости в ткани без учета лимфатического дренажа 97
3. Взаимное влияние течения крови в кровеносном капилляре и интерстициальной жидкости в ткани 119
Глава 4. Применение модели микроциркуляторных процессов для диагностики патологий микроциркуляции 126
Заключение 137
Выводы 139
Список литературы 141
Приложение 156
- Структура сердечно-сосудистой и лимфатической систем
- Экспериментальные методы исследования микроциркуляции
- Двумерное описание микроциркуляторных процессов
- Задача о нестационарном течении жидкости в ткани без учета лимфатического дренажа
Введение к работе
Каждый организм должен осуществлять доставку питательных веществ и удаление продуктов метаболизма из клеток тела. Эта задача может быть разделена на два больших этапа. Первый - это транспорт крови и лимфы по крупным кровеносным (артериям и венам) и лимфатическим сосудам, отвечающий за доставку веществ к различным органам и тканям. Так происходит доставка кислорода от легких и питательных вещества от пищеварительного тракта к остальным частям тела и удаление отходов к печени и почкам. Второй этап - это обмен веществ на микроуровне между кровеносными капиллярами и живыми клетками окружающей ткани. Этот этап осуществляется на уровне так называемого микроциркуляторного русла. Микроциркуляторное русло является одним из ключевых звеньев сердечно-сосудистой системы человека, поскольку большая часть обмена питательных веществ и продуктов распада осуществляется именно на уровне мельчайших сосудов.
На микроциркуляционный транспорт оказывает сильное влияние структура капиллярной стенки и интерстиция. Изменения этих свойств играют важную роль в появлении и развитии ряда серьезных болезней. Например, повышенная проницаемость капилляра развивается при диабете и отеке сердца. Изменение проницаемости сосудов и свойств интерстициального матрикса играет ведущую роль в физиологическом отклике на ожоги. Кроме того, явление микроциркуляции влияет на доставку лекарств к пораженной области. Наконец, способность генерировать нормальные характеристики массопереноса важна для создания искусственных биологических тканей.
В настоящее время существуют экспериментальные методы, позволяющие производить неинвазивные измерения таких характеристик микроциркуляции, как размеры и геометрия капилляра, скорость течения крови в отдельном капилляре, объемная скорость транскапиллярного
обмена и т.д. С помощью этих методов в клинической практике можно фиксировать расстройства микроциркуляции на раннем этапе. Тем не менее, основываясь лишь на экспериментальные данные, трудно определить, что послужило причиной того или иного расстройства микроциркуляторных процессов. Это связано с тем, что микроциркуляция включает в себя несколько взаимосвязанных процессов, зависящих от большого количества параметров. Сопоставление экспериментальных данных с результатами моделирования позволяет не только выявить параметры, изменение которых вызвало данное расстройство, и оценить величину их отклонения от нормы, но и спрогнозировать результаты лечения тем или иным методом.
Таким образом, биомеханическое моделирование микроциркуляции и транскапиллярного массопереноса является актуальной научно-практической задачей. Моделирование микроциркуляции позволяет лучше понять сложные взаимосвязанные процессы, обеспечивающие обмен веществ в организме, выявить причины возникновения патологий и предложить пути их лечения.
К настоящему времени создано достаточно большое количество математических моделей отдельных составляющих процесса микроциркуляции, например, течения крови в кровеносном капилляре. Но отличительной особенностью микроциркуляции и транскапиллярного транспорта является одновременное прохождение нескольких взаимосвязанных процессов, происходящих в кровеносном капилляре, ткани и начальном лимфатическом русле.
Кроме того, многие существующие модели рассматривают микроциркуляторные процессы только в зависимости от какой-либо одной координаты и не рассматривают зависимость исследуемых величин от времени. Тем не менее, анализ строения и функционирования микроциркуляторного русла показывает, что происходящие в нем
процессы существенно зависят от двух пространственных координат и времени.
В данной работе предлагается формулировка краевой задачи, описывающей взаимосвязанные процессы, происходящие в кровеносном капилляре и окружающей ткани с учетом лимфатического дренажа жидкости из ткани. Особенность представляемой модели состоит в следующем.
Рассматривается течение неньютоновской жидкости по кровеносному капилляру и процессы, происходящие в окружающей капилляр ткани, которая моделируется как пороупругая среда. Эти две задачи связаны с помощью граничных условий, основанных на гипотезе транскапиллярного обмена Старлинга.
Давление и скорость течения жидкости в капилляре и ткани, смещение твердой фазы ткани и зависящие от них величины рассматриваются как функции времени и двух пространственных координат, что позволяет учитывать сложные взаимосвязанные обменные процессы в микроциркуляторном русле.
В работе разрабатывается биомеханическая модель
микроциркуляции и транскапиллярного обмена веществ, включающая в себя математическую модель микроциркуляторных процессов и методику определения возможных причин нарушения обмена веществ на микроциркуляторном уровне;
В первой главе представлен обзор литературных данных о строении и функционировании системы микроциркуляции. Параграф 1 содержит основные представления о строении микроциркуляторного русла, механизмах транскапиллярного обмена веществ, тканевого транспорта и начального лимфатического дренажа. В параграфе 2 представлены основные экспериментальные методы измерения параметров микроциркуляции, на которых базируется сформулированная далее модель. В параграфе 3 обсуждаются существующие модели
микроциркуляторных процессов в целом и модели функционирования отдельных звеньев микроциркуляторного русла, анализируются достоинства и недостатки различных подходов к моделированию данной системы.
Во второй главе формулируется математическая модель процессов, происходящих в микроциркуляторном русле и включающих в себя течение крови в кровеносном капилляре, транскапиллярный обмен жидкости, течение интерстициальной жидкости в ткани с учетом начального лимфатического дренажа. При этом в параграфе 1 описывается рассматриваемая область, обсуждаются и обосновываются используемые в модели ограничения и допущения. В параграфе 2 формулируются уравнения, описывающие течение крови в кровеносном капилляра и течение интерстициальной жидкости в ткани с учетом лимфатического дренажа. Формулируются граничные условия, описывающие, в числе прочего, транскапиллярный обмен жидкости.
В третьей главе диссертации рассмотрены постановки и решения нескольких задач, являющихся частными случаями описанной в главе 2 модели, которые позволяют сконцентрировать внимание на отдельных аспектах микроциркуляторных процессов и выявить наиболее существенные из них.
В параграфе 1 обсуждается одномерная нестационарная задача течения жидкости в ткани с учетом транскапиллярного обмена веществ и лимфатического дренажа жидкости из ткани. При этом предлагается новый метод учета лимфатического дренажа жидкости из ткани, основанный на физиологических данных о лимфообразовании. Второй параграф посвящен двумерным задачам течения жидкости в ткани с учетом транскапиллярного транспорта. Приводится постановка и аналитическое решение стационарной задачи с учетом лимфатического дренажа и без него и .нестационарной задачи без учета лимфатического дренажа. Осуществляется анализ результатов решения, исследуется влияние
различных параметров микроциркуляции на интенсивность обменных процессов, выявляются наиболее значимые параметры. В параграфе 3 описывается алгоритм, позволяющий учесть взаимное влияние течения крови в кровеносном капилляре и интерстициальной жидкости в ткани. Исследуется сходимость данного алгоритма.
В четвертой главе результаты, полученные с помощью представляемой модели микроциркуляции, сравниваются с экспериментальными исследованиями одиночного капилляра методом компьютерной капилляроскопии. Делаются выводы об адекватности модели. На основе совместного анализа результатов моделирования и экспериментальных данных для каждого конкретного пациента предлагается метод определения возможных причин расстройств системы микроциркуляции.
В представляемой работе автор выносит на защиту: математическую модель микроциркуляторных процессов; решение задачи стационарного течения интерстициальной жидкости в ткани с учетом лимфатического дренажа и без него и задачи нестационарного течения интерстициальной жидкости в ткани с учетом транскапиллярного обмена жидкости; методику определения причин функциональных расстройств системы микроциркуляции, основанную на сравнении результатов моделирования с экспериментальными данными, полученными методом компьютерной капилляроскопии.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12, 25-27,41-48,98-99,114].
Результаты диссертации докладывались на 11-ой, 15-ой и 16-ой Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2002, 2006, 2007), Европейской летней школе по биореологии (Варна, Болгария, 2003), Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2005),
Всероссийской школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2006), рабочем совещании «Биомеханика - 2007» (Санкт-Петербург, 2007), Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), 13-ом Всероссийском съезде сердечно-сосудистых хирургов (Москва, 2007), рабочем совещании «Биомеханика - 2008» (Москва, 2008) и научных семинарах в Пермском государственном техническом университете.
Структура сердечно-сосудистой и лимфатической систем
Главными параметрами, характеризующими функцию сердечнососудистой системы, являются давление, скорость циркуляции и объем крови. В разных отделах сосудистой системы данные параметры имеют различные величины. На основании этого всю сосудистую сеть разделяют на области: 1. высокого давления; 2. большого объема, куда относят венозную часть сосудистого русла, содержащую 60-80% объема всей крови; 3. транскапиллярного обмена, включающую кровеносные и лимфатические терминальные сосуды. Согласно этому делению была предложена классификация функционального назначения отдельных частей сердечно-сосудистой и лимфатической систем [34]: 1. сердце - генератор давления; 2. аорта и крупные артерии - сосуды высокого давления; 3. мелкие артерии и артериолы - стабилизаторы давления, поддерживающие оптимальный уровень давления путем сопротивления кровотоку; 4. терминальные сосуды, обеспечивающие необходимое соотношение функционирующих и нефункционирующих кровеносных и лимфатических капилляров — распределители капиллярного кровотока; 5. капилляры и посткапиллярные участки венул, лимфатические капилляры и посткапиляры, обеспечивающие обмен между кровью, тканями и лимфой - обменные сосуды; 6. венулы и мелкие вены, способствующие накоплению крови или выбросу ее в микроциркуляторную систему - аккумулирующие сосуды; 7. лимфатические сосуды, восполняющие потери веществ на уровне тканей, регулирующие объем жидкой части крови - сосуды-эквилибраторы гомеостаза; 8. крупные и полые вены, грудной и правый лимфатические протоки -сосуды возврата крови и лимфы к сердцу; 9. анастомозы, соединяющие артерии и вены (артериолы и венулы), лимфатические сосуды и вены - шунтирующие сосуды.
Лимфатическая система участвует в обмене веществ, кроветворении и выполняет защитную функцию в тесной связи с кровеносной системой. К лимфатической системе относят лимфатические капилляры, лимфатические сосуды, лимфатические узлы, лимфатические стволы и протоки тела. Схематически кровеносная и лимфатическая системы человека изображены на рис. 1.1. Опишем более подробно основные составляющие лимфатической системы. Лимфатические капилляры являются самыми мелкими лимфатическими сосудами. Они представляют собой сплошные, замкнутые с одного конца эндотелиальные трубки, пронизывающие почти все органы. Лимфатические капилляры являются слепоначинающимися образованиями и располагаются в ткани в непосредственной близости от кровеносных капилляров, что схематически представлено на рис. 1.2. Лимфа поступает в капилляры из окружающих тканей. Эндотелий лимфатических капилляров очень чувствителен к механическим, химическим, температурным и другим воздействиям и реагирует на них изменением проницаемости. Клетки эндотелия способны адсорбировать частицы белка, липиды и другие вещества. Это свойство имеет важное значение, так как направлено на обеспечение всасывания воды с растворенными в ней токсинами, а также на поглощение инородных частиц, бактерий, вирусов. Лимфатические сосуды образуются путем слияния лимфатических капилляров внутри органов. Основной отличительной особенностью строения лимфатических сосудов является наличие в них хорошо развитой наружной оболочки парных полулунных клапанов, допускающих ток лимфы только в направлении от капилляров к сердцу. Лимфатические узлы являются важнейшими органами кроветворения и образования антител. Узлы располагаются на пути поверхностных и глубоких лимфатических сосудов и через них принимают лимфу от тех тканей, органов или участков тела, в которых сосуды берут начало.
Лимфатические сосуды, несущие лимфу от региональных лимфатических узлов, собираются в крупные лимфатические стволы, которые, в конечном итоге, образуют два крупных лимфатических протока: грудной проток и правый лимфатический проток. Оба протока впадают в венозное русло, возвращая лимфу обратно в систему кровообращения (рис. 1.1).
Микроциркуляторное русло начинается там, где сосуды начинают испытывать влияние со стороны внесосудистых элементов. На уровне микроциркуляторного русла исчезает отграниченность сосудов от ткани, рабочие структуры сосудистой стенки вступают в подчинение новому регуляторному механизму, приспосабливаются к уровню тканевого и органного метаболизма. Микроциркуляторная часть сосудистого русла способна к адаптации и может менять свои структурные и функциональные характеристики в ответ на различные стимулы.
Структура микроциркуляторного русла складывается из трех звеньев. Первое звено начинается с артериол, которые возникают в результате деления артерий. Артериолы отличаются от артерий тем, что в составе средней оболочки их стенки мышечные клетки располагаются в один ряд. Диаметр артериол в различных органах и тканях составляет от 30 до 200 мкм [34, 40, 74]. Наличие мышечных клеток в стенках объясняет поддержание тонуса и механизм активной регуляции их просвета. В гемососуднстой системе именно стенки артериол оказывают максимальное сопротивление току крови (до 80%).
Ветви артериол, содержащие расположенные беспорядочно гладкомышечные клетки, получили название терминальных в связи с тем, что они заканчиваются капиллярной сетью и не имеют соединений между собой — таких, как анастомозы или аркады. Диаметр терминальных артериол (метартериол) составляет 10-15 мкм [34, 40, 74].
Экспериментальные методы исследования микроциркуляции
Количественные измерения в области механики микроциркуляторных процессов и обмена веществ были получены, преимущественно, в течение последних 30 лет, благодаря существенным инновациям методов и технологий измерения параметров микроциркуляции и методик анализа полученных данных. Среди наиболее значительных инноваций можно отметить [105]: 1. значительное улучшение прижизненной микроскопии; 2. методы измерения скорости в микрососудах (Wayland-Johnson); 3. методы измерения давления в микрососудах (Wielderhielm-Intaglierra); 4. микр о спектр о фотометрический метод для измерения концентрации гемоглобина в микрососудах; зо 5. метод пережатия одиночного сосуда для изучения транспорта воды и растворов через капиллярный эндотелий. В течение последнего десятилетия появились новые экспериментальные методы, заимствованные из биологии клетки и измененные для применения in vivo. Примеры таких методов: 1. конфокальная микроскопия для трехмерного наблюдения микроциркуляторных структур; 2. методы оптического наблюдения, использующие флуоресцентные метки (как то метки кровяных клеток для измерения скорости) и флуоресцентные красители (например, красители, чувствительные к ионам кальция, для измерения in vivo динамики концентрации ионов кальция в гладкомышечных и эндотелиальных клетках артериол); 3. разработка сенсоров для измерения сил взаимодействия между клетками в наноньютоновом диапазоне; 4. измерения с помощью фосфоресцентных красителей в качестве индикаторов кислородного потенциала.
Следует отметить, что прямое измерение параметров движения крови в микрососудах и ткани чрезвычайно сложно не только из-за малых размеров объекта. Микрососуды весьма чувствительны к любым механическим воздействиям, поэтому хирургические манипуляции, введение датчиков для измерения давления и фиксация тканей на столике микроскопа являются возможными причинами существенных ошибок измерений.
Поэтому очень важную роль для диагностики и лечения различных заболеваний играют приборы и методики, позволяющие проводить неинвазивные исследования кровотока не только в лабораторных условиях, но и непосредственно в клинической практике. Среди таких методик наибольший интерес представляют: 1. лазерная и ультразвуковая доплеровская флоуметрия; 2. компьютерная микроскопия; 3. импедансометрия; 4. контрастное лазерное спекл-изображение; 5. магнитно-резонансная томография. Методы лазерной и ультразвуковой доплерографии основаны на эффекте Доплера - явлении, которое возникает, когда источник волны и наблюдатель движутся друг к другу или друг от друга [11]. При этом частота, воспринимаемая наблюдателем, отличается от той, какую бы он наблюдал, будучи неподвижным по отношению к источнику. Если движение происходит в направлении к источнику, то кажется, что частота увеличивается пропорционально скорости, а если движение происходит от источника, то кажется, что частота уменьшается. Данные, связанные с эффектом Доплера, важны для оценки качества циркуляции крови, это дает возможность отслеживать скорость течения крови вдоль осей сосудов.
Метод ультразвуковой доплерографии основан на уменьшении частоты ультразвука, отражаемого от движущейся среды, в том числе от движущихся эритроцитов крови [11]. При этом сдвиг частоты пропорционален скорости движения крови в сосудах и углу между осью сосуда и датчиком. Ультразвуковая доплерография позволяет производить измерение линейной скорости кровотока через кожу в поверхностно расположенных сосудах. С помощью методов доплерографии можно в режиме реального времени определить [21]: 1. скорость кровотока по исследуемым сосудам; 2. ранние поражения различных сосудов; 3. стенозы (сужение просвета) артерий головного мозга (также возможно определить их значимость); 4. сужение, повышение или понижение тонуса венозных сосудов; 5. нарушения кровотока; 6. изменения стенок сосудов и их эластичности, которая меняется с возрастом в результате атеросклеротического поражения; 7. сосудистый тонус (гипертонус, гипотония), во многом определяющий самочувствие пациентов.
Метод лазерной доплеровской флоуметрии основывается на оптическом неинвазивном зондировании тканей монохроматическим сигналом и анализе частотного спектра этого сигнала, отраженного от движущихся в тканях эритроцитов [10]. В регистрируемом сигнале закодирована информация о различных колебаниях потока эритроцитов: как по их скорости, так и по объемному содержанию. В результате спектрального разложения сигнала на гармонические составляющие появляется возможность определить вклад различных ритмических составляющих, появляющихся за счет нейрогенных, миогенных, дыхательных, сердечных и других колебаний. Наиболее принципиальным является вопрос о том, какие частоты имеют физиологическое, а какие патогенетическое значение, поскольку этим определяется диагностическая стратегия использования лазерной доплерографии для оценки нарушений микроциркуляции и для нахождения объемной скорости кровотока.
Метод компьютерной капилляроскопии дает возможность исследовать состояние капиллярного кровотока в отдельном капилляре. Компьютерный капилляроскоп состоит из осветительной системы, создающей и фокусирующей световое пятно на объекте, и специальной оптики (микроскопа), передающей изображение на матрицу видеокамеры, сигнал с которой поступает в компьютер [3, 5]. Обработка первичной информации производится с помощью программного обеспечения, которое позволяет измерять многие параметры микроциркуляции. Отличительной особенностью данного прибора является возможность исследования кровотока в одиночном капилляре. Метод импедансометрии основан на том факте, что все биологические ткани способны проводить как постоянный, так и переменный электрический ток, и характеризуются определенным электрическим сопротивлением [14, 36]. Это сопротивление носит название полного электрического сопротивления, или импеданса. Любая биологическая ткань состоит из клеточного компонента и коммуникационных путей, включающих в себя сосудистое русло, межтканевые щели и т.д., каждый из которых характеризуется различным сопротивлением и различной способностью проводить электрический ток. Клеточный компонент проводит ток высокой частоты. Если представить биологическую ткань в виде аналоговой электрической модели, то он будет представлен в виде конденсатора (реактивное сопротивление). Коммуникационный компонент, представленный сосудами и межтканевыми щелями, проводит ток низкой частоты и на аналоговой электрической схеме биологической ткани будет представлен резистором (активное сопротивление).
Таким образом, импеданс является многокомпонентным понятием, позволяющим судить о функциональном состоянии различных компонентов биологической ткани. Импедансометрия используется в таких медицинских методиках как диализ для измерения гидратации (или дегидратации) тела, и таким образом, распределения воды между внутри- и внеклеточным пространствами. Кроме того, с помощью импедансометрии определяют эффективность клеточного метаболизма.
Метод получения лазерного спекл-изображения основан на понятии спекла - зернистой интерференционной картины, которая получается при рассеивании когерентного излучения от различных разбросанных частиц (например, форменных элементов в крови) [125]. Отдельные точки спекл-изображения очень малы вблизи от рассеивающей поверхности и увеличиваются в размере по мере удаления от нее. Если частицы движутся подобным друг другу образом, то спекл-структура движется с той же скоростью, что и частицы.
Двумерное описание микроциркуляторных процессов
Давление внутри капилляра существенно изменяется в аксиальном направлении (разница давлений на артериальном и венозном концах капилляра составляет порядка 20 мм рт. ст. [24, 82, 129]). При этом разность гидростатического давления в капилляре и результирующего онкотического давления на артериальном конце сосуда обычно превышает давление в окружающей ткани, а на венозном - наоборот. Согласно гипотезе Старлинга это приводит к фильтрации жидкости и растворенных веществ из капилляра в ткань на артериальном конце и реабсорбции жидкости из ткани обратно в капилляр на венозном. При этом фильтрация и реабсорбция изменяют давление в ткани, т.е. в ткани появляется аксиальный градиент давления, а значит и аксиальное течение жидкости, которое наряду с радиальной составляющей течения вносит существенный вклад в обменные процессы в ткани. Кроме того, аксиальное течение жидкости в ткани влияет на изменение интерстициального давления, что, в свою очередь, оказывает влияние на транскапиллярное течение жидкости. Из вышесказанного следует, что исследуемые величины (давление в капилляре и интерстициальное давление, скорость течения жидкости в ткани и т.д.) существенно зависят от времени и от двух пространственные переменных (радиальной и аксиальной).
Рассмотрим стационарное течение жидкости в ткани, окружающей кровеносный капилляр, без учета лимфатического дренажа. Как было показано в параграфе 3 главы 1, одиночный капилляр, окруженный бесконечной тканевой мантией, используется при моделировании микроциркуляции наряду с классической моделью Крога [90], согласно которой окружающая капилляр тканевая мантия имеет конечный радиус R. При этом обе модели имеют свои достоинства и недостатки. Так, выбор бесконечной тканевой области является предельным случаем предположения о том, что соседние капилляры расположены на большом расстоянии друг от друга. С другой стороны, при выборе конечной тканевой области очень важно правильно подобрать ее радиус. Поскольку в кроговской модели внешняя граница тканевой мантии считается непроницаемой, выбор радиуса R существенно влияет на результаты моделирования. Но радиус R , представляющий собой величину зоны влияния одного капилляра, сильно зависит от состояния микроциркуляторной системы и часто заранее неизвестен.
Сформулируем граничные условия для этой задачи. Поскольку стенки артериолы и венулы считаются непроницаемыми, значит в ткани нет аксиального течения при х = 0 и x = L. Согласно закону Дарси (3.3), из отсутствия течения следует отсутствие изменения давления в этом направлении.
Из рисунка видно, что в продольном направлении давление на границе капилляра и ткани снижается от значения на артериальном конце до значения на венозном конце, что соответствует изменению давления в капилляре. Но в отличие от капилляра перепад давления в ткани не такой значительный, так как через поры в стенке капилляра проникает только часть жидкости. При продвижении жидкости в радиальном направлении по мере удаления от стенки кровеносного капилляра давление на артериальном конце капилляра постепенно уменьшается, а на венозном -увеличивается.
Для анализа обменных процессов также необходимо рассчитать скорость течения тканевой жидкости. Согласно закону Дарси (2.17), скорость течения пропорциональна градиенту давления. На рис. 3.12 изображено векторное поле скоростей течения жидкости в ткани. Здесь стрелками обозначены направления векторов, а величины стрелок пропорциональны скорости в точке, соответствующей середине стрелки. Видно, что скорость течения больше вблизи капилляра, а к периферии тканевой область она заметно падает. Причем максимальная скорость наблюдается вблизи концов капилляра, а к середине капилляра скорость уменьшается. Направление векторов скорости показывает, что в артериальной части жидкость выходит из капилляра и течет как в радиальном, так и в аксиальном направлении. В венозной части капилляра жидкость реабсорбируется из ткани в капилляр. При этом области фильтрации и реабсорбции занимают артериальную и венозную половины капилляра, соответственно.
Из приведенных рисунков видно, что вблизи концов капилляра преобладает течение жидкости в радиальном направлении, а ближе к центру капилляра преобладает движение в аксиальном направлении. Незамкнутость части линий тока связана с тем, что при постановке и решении задачи рассматривалась бесконечная тканевая область, а результаты отображаются для области конечного размера.
Задача о нестационарном течении жидкости в ткани без учета лимфатического дренажа
Рассмотрим нестационарное установившееся течение жидкости в ткани, окружающей кровеносный капилляр, без учета лимфатического дренажа. В данной постановке пока не оговаривается вид функции Pbomd{x,t), представляющей собой давление на границе между капилляром и тканью, и функции Pmt(r,x) - начального распределения давления в тканевой области. Решение данной задачи даже для простых функций Pbomd(x,t) и Р,тХг- х) представляет значительную трудность. Но процессы, происходящие в кровеносном капилляре, являются периодическими, а значит функцию Pbomd{x,t) также следует искать в классе периодических функций. В этом случае с течением времени (при t — оо) решение задачи (3.58) становится периодическим - наблюдаются установившиеся колебания Psteady(r,x,t), Поскольку именно эти установившиеся колебания, а не переходный режим, представляют интерес, будем искать именно такое решение.
Поскольку кровь в кровеносный капилляр поступает периодически, давление на артериальном конце капилляра периодически меняется. При этом будем считать, что давление на венозном конце остается постоянным и в каждый момент времени распределение давления по капилляру линейное.
При увеличении давления в кровеносном капилляре на артериальном конце давление в ткани начинает расти (рис. 3.236). При этом вблизи артериального конца капилляра начинает наблюдаться уменьшение давления в радиальном направлении от кровеносного капилляра до границы тканевой области. В некоторый момент распределение давления в ткани имеет такой же вид, как для стационарной задачи (рис. 3.23в). Затем наблюдается дальнейший рост давления (рис. 3.23г). В момент времени, когда давление в капилляре на артериальном конце достигает своего максимального значения (рис. 3.23д), давление в ткани практически по всей длине уменьшается в радиальном направлении. Затем давление начинает постепенно уменьшаться и проходит все те же стадии в обратном направлении до достижения первоначального состояния.
В начале цикла (рис. 3.25а) практически во всей рассматриваемой области наблюдается течение жидкости от внешней границы области к кровеносному капилляру, причем преобладает течение в радиальном направлении. При этом наибольшие скорости наблюдаются вблизи кровеносного капилляра, ближе к венозному концу. Затем вблизи артериального конца капилляра на небольшом участке начинает появляться течение жидкости в направлении от капилляра к периферии и течение вдоль капилляра .
Величина этого участка постепенно увеличивается, пока не достигнет половины длины капилляра . В этот момент распределение скоростей такое же, как и для стационарной задачи. Кроме того, в это же время наблюдается наиболее интенсивное течение жидкости в аксиальном направлении (вдоль капилляра). Затем течение в радиальном направлении от капилляра к периферии начинает преобладать (рис. 3.25г), пока не охватит почти всю рассматриваемую область (рис. 3.25д). После этого процессы происходят в обратной последовательности до достижения первоначального состояния.
Как уже было сказано, в начале цикла реабсорбция максимальна, а фильтрация минимальна. Затем объемная скорость фильтрации начинает возрастать, а реабсорбции - падать. Максимального значения объемная скорость фильтрации достигает в момент, когда давление в кровеносном капилляре максимально. В это же время реабсорбция минимальна.
Интересно сравнить результаты, получаемые с помощью моделей стационарного (3.15) и установившегося (3.58) течения жидкости. В стационарном случае векторное поле скорости течения жидкости имеет вид, представленный нарис. 3.12.
Нетрудно заметить, что в случае стационарного течения питание некоторых областей затруднено. Так, например, чтобы добраться до области вблизи границы рассматриваемого региона на венозном конце, жидкость, несущая питательные вещества, должна выйти из капилляра на артериальном конце и пройти почти через всю тканевую область в аксиальном направлении. Но для областей, удаленных от кровеносного капилляра, скорости течения жидкости крайне низкие. Кроме того, по пути будет осуществляться обмен веществ с клетками ткани и к месту назначения поступит жидкость, обедненная или совсем лишенная питательных веществ. Аналогично, чтобы удалить продукты обмена из области вблизи артериального конца капилляра, жидкость должна пройти через значительную часть тканевой области и реабсорбироваться в кровеносный капилляр на его венозном конце.
Для результатов, полученных при решении нестационарной задачи, такой проблемы не наблюдается. Поскольку в различные моменты времени практически по всей длине капилляра осуществляется только фильтрация или только реабсорбция, то жидкость, несущая питательные вещества или продукты обмена, имеет возможность попасть к месту назначения, не проходя значительного расстояния в ткани в аксиальном направлении.
