Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретико - игровые модели олигополии
1.1. Постановка проблемы
1.2. Основной рынок и модель Курно
1.3. Конкуренция функций предложения...
1.4. Модель Бертрана - Эджворта
1.5. Решение по доминированию и адаптивная динамика цен
1.6. Некоторые задачи экономического регулирования
Глава II. Модели некооперативного обоснования концепции экономического равновесия
2.1. Постановка проблемы
2.2. Рынок обмена. Модель Рубинштейна -Волынского
2.3. Модель обмена с конечным числом периодов заключения сделок и делимым товаром
Заключение
Литература
- Основной рынок и модель Курно
- Модель Бертрана - Эджворта
- Рынок обмена. Модель Рубинштейна -Волынского
- Модель обмена с конечным числом периодов заключения сделок и делимым товаром
Введение к работе
В современной экономической теории важную роль играет понятие конкурентного равновесия. Конкурентное равновесие - это такое состояние экономики, когда цены устанавливаются на уровне, который балансирует предложение и спрос, причем каждый агент - производитель товара принимает решение о выпуске продукции, максимизируя свою прибыль. Согласно известным «теоремам о благосостоянии» (см. Debreu R. (1954) [12]), конкурентное равновесие является оптимальным состоянием экономики, и отклонение от него связано со снижением ее эффективности. Основное предположение теории экономического равновесия состоит в том, что в условиях совершенной конкуренции экономический рынок приходит в состояние конкурентного равновесия. Условия совершенной конкуренции включают:
наличие большого числа экономических агентов с близкими характеристиками; большое число означает, что отдельный агент не может повлиять на агрегированные показатели рынка, не «имеет власти» на рынке;
отсутствие транзакционных издержек при осуществлении обмена;
наличие у всех агентов полной информации относительно состояния рынка и возможность свободно выбирать партнеров с рьшка.
Удовлетворяющие этим условиям рьшки D. Gale (1986) [16, 17] назвал рынками без трения. Данное качественное описание условий совершенной конкуренции (см. также Walras (1874) [37]) не является конструктивным в том смысле, что не позволяет определить для конкретного рьшка, вьшолнены ли
эти условия, и если нет, то на сколько могут отклоняться цены от равновесных по Вальрасу. В частности, по поводу этих условий возникают два вопроса:
Что значит: отдельный агент не имеет рыночной власти, не может влиять на цены?
Что означает возможность свободно выбирать партнеров, для каких механизмов выбора партнеров справедливо указанное предположение?
Для ответа на эти вопросы в литературе используются теоретико-игровые модели. В частности, по первому вопросу рассматриваются различные модели олигополии (см. Gale D. (1986) [16, 17]; Rubinstein A., Wolinskiy А. (1984) [30]). Значительная доля реальных рынков относится к олигополиям: в то время, как любой отдельный потребитель, по-видимому, не обладает рыночной властью и его доля в общем объеме продаж составляет доли процента, наиболее крупный производитель на таких рынках обеспечивает не менее 10% от общего потребления. Поэтому исследования математических моделей и оценки ожидаемого отклонения от состояния конкурентного равновесия для различных типов олигополии представляют большой интерес.
Типичным подходом к количественной характеристике условий совершенной конкуренции и к оценке ожидаемого отклонения является сравнение конкурентного равновесия с решением игры, описывающей олигополистическую конкуренцию. При этом предполагается, что рынок функционирует как некоторый аукцион. В модели Курно (см. Amir R. (1996) [4], KukushkinN. (1994) [21], Novshek W. (1985) [26]) производители выбирают объемы, в модели конкуренции функций предложения (см. Klemperer P. Meyer М. (1989) [19]) они указывают функции предложения, в модели Бертрана и ее обобщениях (см. Edgeworth E.Y. (1925) [13]) они назначают цены на товар. В каждом случае аукцион можно описать как игру в нормальной форме, в
которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. Рассматриваются также динамические модели принятия решений для аукциона, и исследуется сходимость его состояний к конкурентному равновесию.
В литературе получены результаты о существовании равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в модели олигополии по Курно (см. Amir R., Lambson М. (2000) [3]); доказано, что для нескольких типов рынков с ценовой конкуренцией или с конкуренцией функций предложения исходы, соответствующие совершенному подыгровому равновесию, совпадают с исходом по Курно (см. Kreps D., Sheinkman J. (1983) [20], Moreno D., Ubeda L. (2002) [24]). Рассматривались вопросы существования и единственности равновесия Нэша в модели Курно (см. Amir R. (1996) [4]). Исследовались модели конкуренции с произвольными функциями предложения, назначаемыми производителями (Klemperer P., Meyer М. (1989) [19]).
Вторая проблема касается децентрированных механизмов взаимодействия. Этот тип обмена соответствует неорганизованному рынку и здесь рассматриваются различные модели повторяющихся парных и групповых сделок в форме динамических игр.
Важный теоретический вопрос заключается в том, на любых ли рынках, удовлетворяющим условиям «рынков без трения» по Гейлу, обмен осуществляется согласно принципу конкурентного равновесия. Другая интересная проблема — более точная формулировка условий «рынков без трения».
Вопрос, можно ли ожидать формирование конкурентного равновесия, в литературе сводится к его сравнению с совершенным подыгровым равновесием или последовательным равновесием соответствующей динамической игры.
Этой проблеме посвящены работы Gale D. (1986) [16,17], Rubinstein А., Wolinskiy А. (1984) [30]. В них рассматривается рынок с большим числом агентов, каждый из которых располагает начальным запасом товаров и характеризуется функцией полезности. Агенты случайным образом объединяются в пары, один из агентов (случайным образом) оказывается в роли лидера и делает предложение относительно условий обмена. Другой агент может лишь согласиться, либо отказаться от предложения. В последнем случае агенты встречаются с новыми партнерами в следующий период времени. Полезность либо не дисконтируется, либо дисконт стремится к 1. Все три условия совершенной конкуренции кажутся выполненными. В то же время, исследованные модели различаются в том, могут ли агенты неоднократно заключать сделки, являются ли делимыми обмениваемые товары и как меняется состав состав агентов от периода к периоду. Оказалось, что указанные особенности рынков существенно влияют на исход обмена. В модели Rubinstein A., Wolinskiy А. (1984) [30] два типа агентов: у каждого агента первого типа единицы неделимого товара, потребление которой приносит агенту второго типа единицу трансферабельной полезности. Агенты, договорившись об обмене покидают рьшок. За счет притока новых агентов все время поддерживается фиксированное отношение численностей. Если агентов первого типа больше, то в состоянии конкурентного равновесия агенты первого типа получают 0, а второго - 1. В то же время последовательное равновесие в соответствующей игре двух групп агентов соответствует арбитражному решению Нэша для задачи о парной сделке, при этом выигрыши обоих типов положительны. В работе Gale D. (1986) [16] 1) агенты обмениваются фиксированным числом делимых товаров; 2) каждый агент может неоднократно вступать в сделки. Всякое последовательное равновесие этой модели соответствует
конкурентному равновесию рьшка с заданным распределением агентов по начальным запасам и полезностям.
Вместе с тем, полученные результаты далеко не являются исчерпывающими и не дают ответа на ряд важных вопросов. Так, для олигополии Курно условия существования единственного равновесия по Нэшу установлены лишь для вогнутых функций спроса. Оценки отклонений от конкурентного равновесия получены только для симметричных олигополии. Для аукциона функций предложения не исследован практически важный случай, когда множество стратегий продавца ограничено ступенчатыми неубывающими функциями, как на реальных рынках электроэнергии и газа (см. Hogan, 1998, [18]). Для моделей ценовой конкуренции существовал большой разрыв между достаточными условиями существования равновесия Нэша (Эджворт, 1925, [13], Васин, 1993, [38]) и необходимыми условиями (Allen, Hellwig, 1986 [1]).
Относительно моделей повторяющихся парных сделок в литературе не выяснено, какие особенности моделей Рубинштейна-Вольшского и Гейла определяют различные исходы обмена в этих моделях. Кроме того, обе модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. Представляет интерес исследование данной проблемы для замкнутого рьшка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами.
В 1-ой главе настоящей диссертации рассматриваются математические модели конкуренции для трех различных механизмов взаимодействия производителей товаров и покупателей: олигополии Курно, аукциона функций предложения и ценовой конкуренции типа Бертрана-Эджворта. В каждом
случае рассматривается игра в нормальной форме, соответствующая изучаемому механизму, и исследуется ее равновесие Нэша (в чистых стратегиях): выясняется существование и свойства равновесий, прежде всего их соотношение с конкурентным равновесием.
Новизна полученных результатов состоит в следующем. Для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка: минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и максимальной доли отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене. Для модели конкуренции функций предложения показано, что может существовать несколько равновесий по Нэшу, и одно из них соответствует равновесию по Курно. Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша. Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует. В этом случае оценка отклонения ожидаемых цен от конкурентного равновесия получена на основе последовательного исключения доминируемых стратегий. Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца — организатора аукциона.
Во 2-ой главе рассматривается реализация конкурентного равновесия для неорганизованного рынка (повторяющихся случайных парных сделок), исследуются динамические игры с континуумом игроков и неполной информацией, описывающие указанный механизм обмена. Принимая решение в очередной период, каждый игрок знает состояние партнера, но не знает его предшествующих действий, как, и действий остальных игроков.
Рассматриваются промежуточные стратегии между программными (зависящими лишь от времени) и позиционными (зависящими от текущего состояния игры). Для таких игр наиболее подходящим уточнением понятия равновесия Нэша является последовательное равновесие. Распределение по стратегиям будет последовательным равновесием, если в подыгре, соответствующей состоянию, которое может реализоваться при отклонении малой доли игроков от данных стратегий в предшествующих состояниях, усеченные стратегии образуют равновесие Нэша.
Также во второй главе анализируются и сравниваются результаты Rubinstein A., Wolinsky А. (1984) [30] и Gale D. (1986) [16, 17]. Обе указанные модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. В главе 2 построена и исследована модель, описывающая данную проблему для замкнутого рьшка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.
Новизна полученных результатов главы 2 состоит также в следующем. Показано, что для сходимости последовательных равновесий модели повторяющихся парных сделок к конкурентному равновесию в общем случае необходима возможность многократного участия в обмене для агентов всех типов. Предложенная схема доказательства годится для любого рьшка, на котором агенты могут за один шаг поменяться так, чтобы достичь оптимального (с точки зрения суммарной полезности) распределения ресурсов.
Построена и исследована модель, описывающая проблему
формирования конкурентного равновесия для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.
Основной рынок и модель Курно
В настоящей главе рассматриваются математические модели конкуренции для трех различных механизмов взаимодействия производителей товаров и покупателей: олигополии Курно, аукциона функций предложения и ценовой конкуренции типа Бертрана-Эджворта. В каждом случае рассматривается игра в нормальной форме, соответствующая изучаемому механизму, и исследуется ее равновесие Нэша (в чистых стратегиях): выясняется существование и свойства равновесий, прежде всего их соотношение с конкурентным равновесием.
Для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка: минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и максимальной доли отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене. Для модели ценовой конкуренции установлено,, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существуют. В этом случае оценка отклонения ожидаемых цен от конкурентного равновесия получена на основе последовательного исключения доминируемых стратегий.
Концепция конкурентного равновесия лежит в основе современной экономической теории. Согласно известным «теоремам о благосостоянии», конкурентное равновесие является оптимальным состоянием экономики, и отклонение от него связано со снижением ее эффективности. Однако, известное качественное описание условий совершенной конкуренции (см. Walras (1874) [37], D. Gale (1986) [16,17]) не является конструктивным в том смысле, что не позволяет определить для конкретного рынка, выполнены ли эти условия, и если нет, то на сколько могут отклоняться цены от равновесных по Вальрасу. Значительная доля реальных рынков относится к олигополиям: в то время, как любой отдельный потребитель, по-видимому, не обладает рыночной властью и его доля в общем объеме продаж составляет доли процента, наиболее крупный производитель на таких рынках обеспечивает не менее 10% от общего потребления. Поэтому исследования математических моделей и оценки ожидаемого отклонения от состояния конкурентного равновесия для различных типов олигополии представляют большой интерес.
Типичным подходом к оценке ожидаемого отклонения является сравнение конкурентного равновесия с решением игры, описывающей олигополистическую конкуренцию. Обычной концепцией решения в этом случае является равновесие по Нэшу в чистых стратегиях. Вопросы существования такого равновесия и его свойств в модели олигополии по Курно рассматривались во множестве работ (см. Novshek (1985) [26], Corchon (1992) [11], Kukushkin (1994) [21], Amir(1996) [4], Amir и Lambson (2000) [3] и др.). Показано, что при довольно общих условиях существует единственное равновесие по Нэшу. Для симметричной олигополии отклонение равновесного по Нэшу исхода от исхода по Вальрасу убывает и стремится к нулю, когда число производителей возрастает и стремится к бесконечности. Таким образом, модель хорошо соответствует концепции конкурентной экономики по Вальрасу. Она также может являться теоретическим обоснованием антитрестовских законов, ограничивающих максимальную долю продаж на рынке для каждого производителя. Проблема заключается в том, что в модели Курно на поведение производителей накладываются крайне сильные ограничения. Предполагается, что каждый производитель товара всегда предлагает фиксированный объем товара независимо от сложившейся цены. На практике у каждого производителя имеется больше возможностей влиять на цену. Либо производитель прямо устанавливает цену своей продукции (как на аукционе первой цены), либо стратегиями являются функции предложения, которые определяют цену отсечения (как в случае аукциона заявок).
Тем не менее, упомянутые результаты, касающиеся модели Курно, являются важными. Для нескольких типов рынков с ценовой конкуренцией или с конкуренцией функций предложения доказано, что исходы, соответствующие совершенному подыгровому равновесию, совпадают с исходом по Курно. Kreps и Sheinkman (1983) [20] показали это для двухэтапной модели, в которой сначала устанавливаются объемы выпуска, а затем производители конкурируют по Бертрану. Moreno и Ubeda (2002) [24] получили аналогичный результат для отрасли, где фирмы с идентичной технологией сначала выбирают производственные мощности, а затем конкурируют, устанавливая резервные цены, которые определяют простейшие функции предложения.
Модель Бертрана - Эджворта
Основное предположение теории экономического равновесия состоит в том, что в условиях совершенной конкуренции экономический рынок приходит в состояние конкурентного равновесия, т.е. цены устанавливаются на уровне, балансирующем спрос и предложение на все товары. Условия совершенной конкуренции включают: 4) наличие большого числа экономических агентов с близкими характеристиками; большое число означает, что отдельный агент не может повлиять на агрегированные показатели рынка, не «имеет власти» на рынке; 5) отсутствие транзакционных издержек при осуществлении обмена; 6) наличие у всех агентов полной информации относительно состояния рынка и возможность свободно выбирать партнеров (см. Gale D. (1986) [16],[17]).
В литературе проблема реализации конкурентного равновесия рассматривается для двух типов механизмов обмена: аукционов и случайных парных сделок. В первом случае обычно строится модель аукциона в виде игры в нормальной форме и выясняется соответствие равновесия Нэша этой игры с конкурентным равновесием. Рассматриваются также динамические модели принятия решений для аукциона, и исследуется сходимость его состояний к конкурентному равновесию. Достаточные условия сходимости к конкурентному равновесию для различных аукционов обсуждаются в работах Allen В. Hellwig М. (1986) [1], Vives X. (1986) [36], Васин А.А. (1992) [38], Павловская Е.Я. Поспелов И.Г. Скрипкин И.Г. (1988) [45] и др. Полученные в этом направлении результаты в основном подтверждают предположение о сходимости к конкурентному равновесию в условиях совершенной конкуренции.
Другой тип обмена соответствует неорганизованному рынку. Это — повторяющиеся парные (или п- сторонние, п 2) сделки. В работе Полтерович В.М. (1970) [46] рассматривалась проблема реализации оптимального (в смысле суммарного выигрыша) исхода в результате последовательности сделок с ограниченным числом участников. Предполагалось, что в каждой сделке участники максимизируют суммарную полезность. Приведены примеры, когда ограничение числа участников сделки не позволяет получить оптимальный исход и найдены достаточные условия его реализации. В работах Gale D. (1986) [16, 17], Rubinstein A. Wolinskiy А. (1984) [30], Rubinstein А. (1982) [29], Binmore К. Hererro М. (1984) [8] в центре внимания находится проблема дележа общего выигрыша за счет обмена: соответствует ли последовательное равновесие Нэша теоретико-игровой модели обмена конкурентному равновесию исследуемого рынка. При этом вопрос достижимости максимального суммарного выигрыша в этой постановке не вызывает трудностей. Рассматривается рынок с большим числом агентов, каждый из которых располагает начальным запасом товаров и характеризуется функцией полезности. Агенты случайным образом объединяются в пары и пытаются договориться об условиях взаимовыгодного обмена. Простейший механизм переговоров предполагает, что один из агентов (случайным образом) оказывается в роли лидера и делает предложение относительно условий обмена. Другой агент может лишь согласиться либо отказаться от предложения. В последнем случае агенты встречаются с новыми партнерами в следующий период времени. Во всех упомянутых моделях агенты либо делятся на большие однородные группы, либо характеризуются плотностью распределения на множестве начальных запасов, и предполагается полная информация о типе партнера (т.е. о его функции полезности и запасе товара). Полезность либо не дисконтируется (агент не имеет потерь, оставаясь на рынке любое конечное время, как в модели Gale D. (1986) [16]), либо дисконт стремится к 1, т.е. транзакционные издержки исчезающе малы. Таким образом, все три условия совершенной конкуренции кажутся выполненными. В то же время, исследованные модели различаются в том, могут ли агенты неоднократно заключать сделки, являются ли делимыми обмениваемые товары и как меняется состав агентов от периода к периоду. Важный теоретический вопрос заключается в том, на любых ли рынках, удовлетворяющих трем данным условиям («рынков без трения» по Гейлу), обмен осуществляется согласно принципу конкурентного равновесия. Другая интересная проблема - это более точная формулировка указанных условий.
Оказалось, что указанные особенности рынков существенно влияют на исход обмена. Остановимся вначале на модели Rubinstein A. Wolinskiy А. (1984) [30], в которой исход обмена оказался по мнению авторов отличным от Вальрасовского равновесия. В этой модели два типа агентов. При объединении в пару агентов разных типов они получают единицу трансферабельной полезности, если договорятся, как ее поделить. Агенты, договорившиеся об обмене, покидают рынок.
Рынок обмена. Модель Рубинштейна -Волынского
В случае, когда 3х =32 =д, р\5)=———-, р\д)= и 2 + оЛ — о 2 + дЛ — о Итф(3) = (Л/(1 + Л),1/(1 + Л)), что очевидно, не является конкурентам равновесием для данного рынка. (Эта пара представляет арбитражное решение Нэша для соответствующей задачи о сделке с учетом данной вероятности найти партнера для агента типа 1). Следует отметить, что данное решение неустойчиво относительно малых возмущений дисконтов3l,32: устремляя их к 1 и поддерживая различные соотношения между \-Зх и 1-S2, можно получать разные предельные значения выигрышей, отвечающие последовательному равновесию (см. Corchon Ritzberger (1992) [11]).
Рассмотрим также модель повторяющихся сделок с конечным временем. Пусть время торгов ограничено Т периодами, а остальные условия не меняются. Тогда для последнего периода значения определяются, исходя из (2.1.), где +1=0,а = 1,2, т.е. р\ = (3Х)ТЛ/2,Ф2 = {82)т 12. (2.3.)
Утверждение 2.1. В данной модели существует единственное ПР, соответствующие значения "удовлетворяют системе (2.1.) с граничным условием (2.3.), причем максимум в (2.1.) всегда достигается на первых компонентах, так что во всех образующихся парах происходит обмен. При Т -» оо значение фт стремится к ф, указанному в Теореме 2.2.
Доказательство. Выше показано, что всякое решение системы (2.1.) представимо в виде суммы ф и решения однородной системы вида iW+fzO ) » r e ІУ/І3"! Разрешая систему в обратном времени, получим, что ее решение стремится к ф.
Таким образом, результат для рынка с конечным временем согласуется с утверждением для модели Rubinstein A. Wolinsky А. (1984) [30] и не приводит к каким-либо новым заключениям. В данном случае ПР фактически строится методом обратной индукции и совпадает со сложным равновесием.
Рассмотрим теперь закрытый рынок с фиксированным составом участников (т.е. притока новых игроков не происходит). В остальном модель аналогична предыдущей. Тогда значения (рат удовлетворяют системе (2.1.) с тем лишь отличием, что Z(t) f t меняется со временем, отражая текущее соотношение численностей агентов второго и первого типов, оставшихся на рынке. Так же, как для предыдущей модели, легко проверить, что 81 р\ + 8г р) 1 при всех t, поэтому все агенты второго типа поменяются на первом же шаге. Точнее, справедливо Утверждение 2.2. Для закрытого рынка при любом значении Т в состоянии ПР все агенты типа 2 обмениваются при t = 0, причем р02=(1 + 2)/2,р =Л(1-2)/2, =0 при t \
Итак, при 8г - 1 ПР-исход стремится к исходу к.р. В данном случае игровая модель закрытого рынка неделимого товара соответствует теории Вальраса (в отличие от открытого рынка). Однако, в общем случае это не так. Оказывается, что соответствие нарушается при равных численностях групп.
Рассмотрим рынок с равными численностями агентов, описанный в примере 2.2. Допустим, что обмен происходит так же, как в исследованной модели [22]. Тогда значения р, отвечающие ПР, удовлетворяют системе (2.1.), в которой Я = 1. Для открытого и закрытого рынка системы в данном случае не различаются.
Утверждение 2.3. Для модели обмена с равными численностями агентов обоих типов и дисконтами Sx = S2 = S ПР характеризуется значениями р) = (р) = 1/2при всех t. Все агенты, находящиеся на рынке, сразу заключают сделки в соответствии со стратегиями, указанными в лемме 2.1. Данный результат справедлив для любого рассмотренного типа рьшка (открытого, закрытого, с конечным или бесконечным временем).
Доказательство аналогично предыдущему. Отметим, что ПР-исход (1/2,1/2), очевидно, не совпадает с Вальрасовским исходом для рынка делимого товара (за исключением случая и (1) = 1/2). Более того, ПР-исход не соответствует ни одному из равновесий рынка неделимого товара, если ы(2) 1,5.
Этот результат показывает, что существует проблема с корректным определением рынков «без трения», по крайней мере, в случае неделимого товара и закрытого рьшка (в случае бесконечно делимого товара исход, по видимому, соответствует равновесию Вальраса как для открытого, так и для закрытого рьшка. Соответствующие модели рассматриваются в следующем разделе).
Обсуждая модель Rubinstein A. Wolinsky А. (1984) [30], Д.Гейл отмечает три возможные причины ее несоответствия теории Вальраса: 1) наличие дисконта, меньшего 1; 2) стационарная структура рьшка, которая поддерживается за счет постоянного притока агентов;
Модель обмена с конечным числом периодов заключения сделок и делимым товаром
В обмене участвуют агенты двух типов. Индивидуумы первого типа в качестве начального запаса обладают п единицами первого товара и совсем не обладают вторым товаром. Игроки второго типа, наоборот, не имеют первого товара и владеют п единицами второго. Численности обоих типов одинаковы и равны N. Функции полезности всех игроков одинаковы и обладают свойствами монотонности, вогнутости и непрерывности. Полезность начальных запасов полагается равной нулю. В качестве итога взаимодействия для каждого агента рассматривается среднее значение полезности.
Предполагается, что игроки располагают также деньгами и могут осуществлять побочные платежи. Полная функция полезности линейна по этому аргументу: пусть (х,,дг2) - запас товаров игрока, z -поступивший ему платеж, тогда полная функция полезности Ф связана с исходной функцией и соотношением Ф( !, хг, z) = и(хх, х2) + Z . Укажем состояние конкурентного равновесия для данного рынка. Обозначим w1 = (и,0) и w2 = (О, п) начальные запасы товаров агентов соответствующего типа.
Согласно определению, состоянием равновесия данного рынка является набор р = (/ ,, р2), х = (х\ , х\), х2 = (х2 ,х2) цен и конечных запасов товаров, удовлетворяющих условиям: p,xl,x2t0 и (х ,z )- max{w(jc) + z \ (р, x) + z (р, w )}
Таким образом, каждый агент максимизирует значение полезности приобретенного товара и побочного платежа в рамках бюджетного ограничения. Согласно теореме 2.1., в состоянии конкурентного равновесия данной модели запас товаров у каждого агента равен (п/2,п/2), а значения полезности ФрФг Для типов 1 и 2 определяются из соотношений: Ф,2 = и(—,—)±(—,—)vw(—,—). При этом вектор цен (Рі,р2) колинеарен градиенту (их1(—,— ),их2{—,—)) функции полезности в точке (—,—), соответствующей оптимальному распределению товаров. Отметим, что в этой точке достигается максимум суммарной полезности для всех участников обмена. Рассмотрим Т-шаговую модель парных сделок на описанном рынке двух товаров. Игроками являются описанные участники обмена с теми же начальными запасами товаров. На каждом шаге агенты первого типа случайным образом объединяются в пары с игроками второго типа, при этом каждый из них с вероятностью 1А оказывается в роли лидера, а другой - в роли подчиненного. Как и в модели Rubinstein A. Wolinsky А. (1984) [30], лидер предлагает некоторый вариант обмена товарами и величину побочного платежа, а подчиненный волен принять или отклонить предложение лидера. Если он примет предложение, то сделка состоится, и ее участники придут на следующий шаг с некоторыми, отличающимися от начальных, запасами товаров. Если же индивидуум в роли подчиненного отвергнет предложение лидера на данном шаге, то сделка не состоится и игроки придут на следующий шаг с прежними запасами. Предполагается, что на каждом шаге любой игрок знает своё состояние и запас товаров партнера. Таким образом, стратегию каждого игрока можно задать последовательностью отображений {s (x ,у ),с (х ,у ,z )} y=h, где х ,у - запасы игрока и его партнера в начале шага t, s1 =(х" , у" ,z ) - предложение в роли лидера, включающее конечные запасы игрока и его партнёра и платёж z подчинённого лидеру, причём х" + у" =х +у ;х",у" 0 на этом шаге. Вторая функция описывает поведение в подчиненной роли, с є {0,1}, причём с = 1, если предложение s при данных состояниях партнёров принимается, с = 0, если предложение отвергается.
Пусть для каждого типа агентов а = 1,2 задано распределение па = (p",h?,....p",h") по стратегиям h, р" 0 - доля агентов, использующих стратегию h". Для упрощения обозначений ограничимся распределениями с конечными носителями. Данная пара распределений определяет для каждой стратегии вероятностное распределение на множестве финальных состояний, каждое из которых характеризуется финальным запасом xT+l и значением побочного платежа zT+l. Таким образом, для каждой стратегии определяется среднее значение функции полезности Ф(д: + ,z + ), которое рассматривается в качестве выигрыша в данной игре.
