Содержание к диссертации
Введение 6
1 Смешанные вариационные неравенства в условиях порядковой мо
нотонности 14
1 1 Основные определения и вспомогательные розулыагы 14
1 2 Сущеепювание и единсгвеннопь решений смешанных вариационных
неравенств ... .... 25
1 3 Методы сії)ска но D-ииіорвальной функции ... 31
1 4 Рацолимыо смешанные вариационные
неравенсіва . . .... 38
2 Модели конкурентного равновесия с негладкими функциями 46
2 1 Модели равновесия іипа Вальраса в условиях смешанной конкуренции 4G
2 1 1 Пен гановка задачи . . 4G
212 Резульїаіьі существования и единсі венное ти решения ... 48
2 13 Метод регуляризации для модели равновесия в виде смешанно-
і о вариационного неравенства .... 51
2 14 Метод рсчуляризации для модели равновесия в виде вариаци
онною неравенства 55
2 2 Модель равновесия
с мультипликаїивной функцией спроса G1
2 2 1 Пос гановка «дачи .... .... ... 61
2 2 2 Рсчулыаш с} шествования и єдиної ценности решения ЬЗ
22 3 Мої од реіуляри'зации дія модели равновесия с мультиплика
тивной функцией поле ІІІОСТИ .... G6
2 3 Модель олиюполистического равновесия 71
2 3 1 Постановка чадачи 71
232 Результаты сущееівования и единственное!и решения . . . . 73
2 3 3 Меюд реіуляри іации для общей модели олиюполис гического
равновесия . 75
2 3 4 Метод реї уляризации для модели олигополис іического равно-
весия н виде вариационною неравенства ... 78
З Алгоритмы решения задач равновесия 81
З 1 Решение модельных задач равновесия по
Вальрасу с ироеіеишей функцией полезности ... ... 81
3 2 Решение модельных задач равновесия по
Вальрасу с мулыипликативной функцией
полешос їй . . . . . 84
3 3 Решение модельных и прикладных задач
оішополисіическоіо равновесия 88
3 3 1 Решение модельных задач
олиіоііолистическоїо равновесия 88
3 3 2 Решение прикладных задач олиіонолистическоіо равновесия . 90
3 4 Решение тестовых ?адач . 97
Основные результаты 101
Список литературы 102
Обозначения
Rn - n-мерное вещественное евклидово пространсіво
R - вещее гвенная числовая прямая
Неравенства д ія векюров понимаются нокоординаїно, і є , для векюра х Є /?", х > 0 (аюівек івенно, ; > 0) означает, чю хг > 0 (соответственно, xt > 0) дія всех і = 1, ,п
/?" = {х Є /?" | .г > 0} - неотрицательный оріані в Я"
Ry = {х Є Rn \ х > 0} - положительный оріані, і є вн)тренносіь /?".
П(-С) ошачаеі совокупное іь всех подмножеств множес іва Е
(u,b) = Y. «А - скалярное произведение иомен іов а,Ь Є Rn.
||«|| = J(a,a) норма элемента а
mf /(.г) - точная нижняя і рань (функции / на множестве А'.
Л(А',с") = \z | inf ||г - х|| < \ - іамкнутая >окрееінск іь множества X.
G V -» W - одношачное отображение и \ V в W
G У -> П(И') - мноюзначное отображение из V в ИЛ
V6'(x) якобиан отображения G в точке я
V/(j-) ірадиені функции / в точке х.
Of {і) с\бдифферонциал функции / в точке х, і е ,
0f(x) = {де R" | /(v) - f(x) >(д,у- х) Vy Є R»}
Дія индексного множесіва L = {її,...,її} С N = {1,..,п} обозначим ті = Юісь через .4/ (х) - квадрашую матрицу с элемешами 'dx!f' для i,j Є L
П}с іь Z, произвольное подмножество N = {1, , п}, тогда ф/ - квадратная диа-iовальная маїрица порядка п, чьи диаі опальные элемешы определены следующим обра юм.
{
> 0, если г Є L,
п и г
= 0, если г g L.
1\ единичная матрица порядка п
Arg шах {/(-г) І х Є А'} - множество точек максимума функции / на множесше Л'
max -> {/(х) | х Є X} - задача максимизации функции / на множестве Аг mm -> {/(х) | х Є А'} - задача минимизации функции / на множестве А' (let Л - определи і ель матрицы А.
Введение к работе
Вариационные неравенства являются одним из наиболее удобных иныруменюв д ія формулирования и исследования различных задач равновесия В частности, они ноли) іяіоі получить результаты сущее івования и единственное їй решения и нос гро-игь иіераіивньїе численные меюды для нахождения равновесных ючек Теореіи-ческое исследование вариационных неравенсів как самосіояіельною класса задач начинается с рабо і Г. Фикеры [98] и Г. Сіампаккьи [145] в свяш с приложениями в магемаїической физике, и в дальнейшем это направление развивалось многими и шестыми учеными, іакими как К Байокки и А Капело [14], ФЕ Враудер [89], X Брезис |88], Г. Дюно и Ж -Л. Лионе [29].
С ра лштием теории вариационных неравенс їв были выявлены их глубокие свя ш с іадачами дополнительности, седловой точки и игровою равновесия, что оікрьіло принципиально новые обласш приложении в экономике, в системах трансноріа и с вя лі, в с оциальных науках Значні ел ьный вклад в эту облас іь внесли К Дж Эрро\, Ж Дсбре|85], [86], Э Мулеіфі], X Никаидо [55), [130], Г Розен [142], С Карамар-дян [109], ИЛИ Панг [96], [133], ЭР. Смольяков [72], С Дафермос [93], П Харкер [10tj - [100], Л Нагурней [129] и друїие При эюм расширение области приложений выявило нсобходимосіь рассмотрения задач с мноннначными отображениями, либо с недифференцируемыми функциями
Задача решения вариационною иеравенсіва заключаем я втом, чюбы найти племені х* Є К іакои, что
Э<7* Є Q{s*), {q\x- х*) >0 V/G К, (1)
где К - непустое выпуклое множесіво в вещесівенном евклидовом ирос іанстве R", Q К -» П(/?") некоюрое мноюзначное отображение
Если оюбражение Q - однозначное, то задача (1) может быть записана более просі о- найти элемент х* Є К іакой, чю
{Q{x*),x-j*} >0 Ух Є К.
(2)
F( пі A' ecu. выпуклый кон\е, io ил задача эквивалента задаче дополни і ел ь-Н(К ги
ҐЄК, Q(x')eA'\ (x*,Q(.r')> = 0,
іде A'' = {г/ G Rn I ((/,-с) > О Vj; Є А'} - есть сопряженный конус для А'.
Оімеїим, чю наиболее разрабоїанньїм является класс задач с монотонными по-іенцил п.ными отображениями, (ооіветствующий выпуклой недифференци})уемой оптимиіации, во мноюм благодаря вкладу В.Ф Демьянова [26] - [28], И.И Еремина [30], ИЗ Шора [79], [80], Ж Моро [126], Р.Т Рокафеллара [70], [141], БТ Поляка [61], В Н Пшеничного [68], (69], А М Рубинова [27], [28], [52], В Л. Левина [45], ЕГ Гои.штейна [24], [25], ЕЛ Нурминскою [56], [57], К. Лемарешаля [107], [12()|, Ф Вулфа [ 147] и др\іих авторов Значительное продвижение в обласіи решения монотонных вариационных неравенсів связано с развитием мої ода реіуляризации, пред тленною А Н Тихоновым |75], [76] Большой вклад в по направление внесли работы А Б Бакушиискою [15], Ф П Васильева [18], [19], В В Васина [20], Л Д Попова [65] - [67], М Ю. Кок\рина [16], [33] и дрмих
В диссертационной рабо і е расе маїриваюіся смешанные вариационные неравен-с іва, коюрме составляют иромс/ку ючный класс по ошошению к однозначным и мноюзиачным вариационным неравенствам, поскольку включаю і нелинейное отображение и недифференцируемую функцию Они были введены К Лескарретом [122] и Ф Брдудером [89]
Смешанное вариационное неравенство определяемся как следующая задача найти точку х" Є А' їдкую, что
(G(x*),r-**) + /(*)-/(./*)> 0 Ухе К, (3)
іде G К -> /?" - некоторое отображение, / К -> R - выпуклая, но необязательно дифференцируемая функция Миоюзначное вариационное неравенство (1) при Q{x) = 0{v) + df(x) эквивалентно (3) Здесь и д.ілее Of обозначаеі субдифференциал функции / Задача (3) сводится к обычному вариационному неравенству (2), если / = 0 и к задаче выпуклой недиффереицируемой оптимизации:
гиіп -» f{x),
если С = 0 Установлено значшельное число приложении смешанных вариационных неравенств в маїсмаїической физике, іеории игр, задачах равновесия потоков в системах транспорта и связи; например, [9, 12, 14, 29, 43, 55, 61, 74, 81, 115, 117]. В конце 19 века Л Вдльрас предложил модель экономического рдвновесия кдк решения спсіемьі нелинейных уравнений Для с і рої оі о обоснования существования
решения щжны были меюды нелинейною анализа, npoipeu коюрых последовал за дока шельс івом іеоремьі Брауэра На основе эюи теоремы Джон фон Нейман заложил основы теории игр А Вальд, К Дж Эрроу и Ж. Дебре [85], Л В Маккен зи |124], Д Гейл |1()2], X. Никайдо [130], [131] в 50-х і одах прошлого века завершили нос і роения Л Вальраеа и доказали существование экономического равновесия К нас юящем\ времени экономика является }же достаточно традиционным и обширным по іем приложений для различных вариационных нераненс їв Деш пштельно, вопросы равновесия, баланса спроса и предложения являю н я одними из центральных в экономике и большинство экономико-математических моделей, построенных дчя исследования этих проблем, формулируются в виде вариационных неравенств, см , например, [9, 55, 58, 62, 91, 97, 105, 123] Также мноіие задачи использования ко і іекіившлх ресурсов являются областями приложений вариационных неравенс їв, см , например, [132]
В общем случае поиск решения задачи (3) преде іавляег значительные трудности из-за тою, чк) оюбражение G не являеіея і радистом некоторой функции, функция / неї іадкая, и множес і во Л' имечч достаточно общий вид Основное внимание при развиїии іеории смешанных вариационных неравенств оделялось задачам с монотонным (строю, сильно) основным оюбражением Меюды решения смешанных вариационных неравенспз при моноіонносіи оюбражения G, использующие различные схемы расіцсіпіения, предлагались в работах П-Л. Лионса и В Мерсье [121], Д Габея [101 J, Р Вруна [90). А В Лапина [43], [44], [118], [119], А С Ашииина [1] -[8], 11 Цены [137] - [139], [144], И В Коннова [31] - [36], [111], [112), И В Вадриева и О А Задворнова [11], [12] и друїих авторов Однако для мноіих прикладных задач, в особенности в экономике и теории иі р, основное отображение не удовлепзорясч, как правило, условиям пеменциальности и монотонности, а лишь более слабым условиям порядковой монотонности, например, [9, 10, 41, 55, 59, 60, 63, 8G, 115, 117] Более una, дія мноіих задач экономическою и шрежою равновесия не удаеіся гарантировать невырожденность оюбражения, чк> с іавиі значиїельньїе трудности как при получении резулыатов сущее пювания и единственности решений, ык и при разработке численных меюдов Поэтому развитие теории и меюдов общих смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой моноюнности и возможной вырожденное ти является актуальным как с іеоретической, так и с прикладной ючек зрения.
Один из подходов к решению обычною вариационною неравенства (2) сосюиі в преобразовании его к задаче оптимизации в отношении некоторой искус с і венной ишервальной (или, иначе, оценочной) функции. Дж -М Пенг в [134] предложил оценочною санкцию, которая позволяем преобразовать вариационное неравенство (2),
(одержащее непрерывно дифференцируемое и сильно монотонное оюбражение, в задачу миними зации дифференцир}емой функции без ограничений В работе [148], іде был предложен соотвеп і кующий аліориїм репкчшя во шикающей вспомоіаіельнои задачи, такие функции были названы D-интервальными (>-gap functions) Кроме то-ю, -на функция была применена к задачам дополнительности с Р-отображениями в [108] В рабою [36] И В. Концов предложил класс D-иніервальньіх функций для мо-ногонных (мешанных вариационных поранене ін, на основе ко юрою исходная задача с водит (я к задаче минимизации оценочной функции без ограничений Показано, чю пл функция сохранно і дифереронцируемость основною отображения G В [111] ЭЮ1 подход был раенрек і ранен для задач вида (3) ( основным Р-оюбражением, і о в условиях порядковой монотонности
Как отмечалось, во мношх приложениях рассмаїрішаомои задачи оюбражение G час ю имесч гип Р0, іе, оно может быть вырожденным Свойство Р0 основного оюбражония не обеспечивает сходимость известных итеративных методов поиска решения, для этой цели требуююя строї ио Р свойсіва. Для достижения сірої их Р свопе їв основною отображения можно использовать различные мої оды реіуляриза-ции и получить требуемые свойства для возмущенного вариационного неравенства Класс ический метод регуляризации Тихонова-Браудэра был недавно исследован для однозначных задач дополнительности с основным отображением типа Ра в работах [95], [%[, [140] В оіличие от обычною моноюнною случая оказалось, чю последо-ваіоіьносіь решении возмущенных задач можем бьпь нооїраничонной (см, [95| и [9(3, раздет 12 2]) Нсжому возникаем проб іема дос іа і очных условий оіраиичонно-сіи эюй последовательности
В работе для достижения строї их Р свойств и сходимости мы применим иной подход на основе параметрическою условия коэрцитивноеги, предложенного в [37] '-)і()і иодхо \ пошоїяоі ноіучиїь сходимосіь дія задач конку речі і ною раиновое ии различных типов при ос не тонных условиях. В резулыаю решение Э1их задач с мною злачными отображениями и негладкими функциями можно найти о помощью комбинирования с быстро сходящимися итеративными методами, например, такими как ірадиеніньїйо мої од и мемод сопряженных градиентов
Основная цель работы состоит в получении результатов существования и єдині і венное їй решения для смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой моноюннос їй и вырожденности основного отображения, разрабоїке и исследовании численных мемодов решении іаких задач, и в применении полученных результатов для достаточно широких классов задач теории экономическою равновесия, коюрыо могут быть сформулированы в виде рассматриваемых смешанных вариационных поранене їв
Научная новизна. Все резуїьіаш работы являются новыми и состоят в получении ревультаюв существования и единственности решения смешанных вариационных неравенсів в >слониях порядковой моноюшюпи, нелинейности и вырожденно-(іи о( повної о 01 ображений, возникающих при исследовании задач экономическою равновесия, а также в построении и исследовании быстро сходящихся методов решения таких задач
Достоверность полученных результатов обеспечивается строї ими докашель-сівами сформулированных >іверждении Достоверность численных расчетов под-іверждаеня хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач
Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, іео-реіический характер. Полеченные резульїаіьі вносяі вклад в развиїие численных методов решения вариационных неравенсів Рассмоіреньї дек іаючно широкие клас-сы приложении основной задачи в математической экономике, предложены методы решения Разработанные алгоритмы применимы для численною решения задач экономичен кою равновесия различных і ішов, включающих неиадкие функции Предложенные подходы, меюды и алюриімьі мої у і бып» использованы при решении и др\іих прикладных іадач, во шикающих, в час і нос їй, в магемагической физике и іеории шр
Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, ірех їлав и списка литературы
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы, проводится обзор литературы по исследуемой теме, и злаїаепя краткое содержание диссертации.
В первой главе приведена посіановка задачи смешанною вариационного нера-венсіва, по іученьї новые резульїаіьі сущее і новация и единственности решения эюй задачи в условиях порядковой монотонности основною отображения Кроме кпо, описаны меюды решения смешанных вариационных неравенс їв на основе спуска ио D-интервальной функции. Далее», расе мої репы обобщения понятий порядковой мо-НОЮННОС1И для сл)чая, кенда основное пространство допускает представление в виде декарюва произведения произвольных конечномерных нодиространс їв, а ыкже резулыаш сущесівования и единственности решений в зі их условиях Результаты первой ыавы изчожечіьі в работах [83, 84, 113, 114, 115]
Во второй главе представлены модели экономическою равновесия типа Валь-рас а, в которых учитываются различные виды конкуренции, а также модель несовершенной конкуренции - о шюполия. Показано, что при достаючио ее іественньїх ус кшиях з-іи задачи моїут быть сформушрованы в виде смешанного вариацион-
ною неравенства, причем основное оюбражеиие обладает свойствами порядковой монотонности Полечены результаты сущее гвования и единственности решения для рассмаїриваемьіх задач Построены и обоснованы методы решения задач равновесия на основе спуска по D-интервальной функции Кроме ют, обоснованы различные варианш метода реіуляризации для рассматриваемых задач Резульгаш и юрой иавы были опубликованы в следующих рабоїах [38, 39, 40, 41, 42, 48, 49, 50, 51, 113, 114, 115, 116|
В третьей главе опис ываются результаты численною решения задач равновесия с помощью алгоритмов спуска по >-ишервальной функции Вначале рассмаїрива-счея численное решение «дачи экономическою равновесия типа Вальраса Предполагается, что каждый потребитель имееі спрос лишь на один товар, что задаеіся простейшим видом функции полешек ти Кобба-Дугласа Далее расемаїриваетея решение модельных задач экономичес кого равновесия с общими функциями полезности типа Кобба-Дуыаса Кроме того, описано применение предложенных алюриг-мов для решения іадач олиюполистического равновесия. В работе проведены рас-чеп.1 на реальной прикладной задаче, описывающей рынок электроэнергии, коюрая преде іавляеі модель олш опочиє тического равновесия с неїладкими функциями за-траі. Проведенные численные расчеты показали достаючно быс грую сходимость и хорошее соответсівие с исходной системой Далее, приведены результаты численных расчеюв на различных ичтовых задачах для смешанньїх вариационных неравенс їв Проведенные рас четы для ряда прикладных и іесювьіх задач показаній достаючії) ю зффеыиишн п> пред Ю/кенных методов решения Рсмульгаты іретьей главы содержат! в работах [21, 38, 39, 40, 41, 48, 146].
На защиту выносятся следующие основные результаты диссеріационнои работы.
Теоремы сущее і вования и единственности решений для смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденное їй и порядковой монотонности основною соображения и теоремы о сходимся їй методов спуска но .О-ишервалыюй санкции для решения таких смешанных вариационных неравенств.
Теоремы сущее і вования и единственное і и решения для разложимых смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденное їй и обобщенной порядковой моноюнное ІИ
Теоремы существования и єдине гневности для смешанных моделей экономического равновесия типа Вальраса, содержащих мноюзначные отображения
1 Теоремы существования и единственности для модели равновесия в условиях
несовершенной копк)ренции (о іиіопо.іии) ( негладкими функциями мірат
5 Теоремы о сходимое ги метода регуляри мции для модели экономическою равновесия типа Вальраса в виде (смешанного) вариационною неравенства с вырожденным и порядково монотонным отображением и для модели несовершенной конкуренции (олиюполии) с нечладкими функциями затраї
Речулыаш диссеріации докладывались и обсуждались на итоювых научных коік|)еренциях Казанскою государственною универсиїета (2001 - 2006 и ), на Рес-пуб шканскои научно-пракгическои конференции "Интеллектуальные системы и информационные технолоіии", г. Казань, ЗО окіября - 1 ноября 2001г, на Всероссийской мо юдс/кнои на\чнои шко іе-конференции "Численные меюды реиіения линейных и не швейных краевых мдач", г Камнь, 19 - 23 ноября 2001 г, на Чеівершм Be ерос с иис ком семинаре "Сеючные меюды для краевых шдач и ирилолчения", і Казань, 13 ІОсенінбря 2002 і , на Шее і ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы д ія краевых задач и приложения", г. Калань, 1-4 октября 2005 г., на XIII Международной конференции "Проблемы теореіическои кибернеіики", г Камнь, 27 - 31 мая 2002 і , на Шее Юм Национальном кош рее се SIMAI, Chia Laguna (Италия), 27 - 31 мары 2002 г.; на Всероссийской конференции "Математическое прої раммирование и при южения", г. Екатеринбург, 24 - 28 февраля 2003 і , на 8-ом Международном симпошуме по обобщенной выпуклопи и обобщенной монотонности, г Варене (Италия), 1 8 ию ія 2005 г, на научных семинарах кафедр экономической кибернетики, ирик іа иіои маїематики и иьгіислиіельной маїемагики КГУ (2005 2006 іг), на семинаре о где іечіия магемаїическою моделирования НИИММ им Н Г Чеботарева КГУ, 2005 г
В целом диссеріация была доложена на совместном заседании кафедры прикладной маїематики и кафедры системного аналим и информационных, технологий Камне кою юсударственнсио университета.
Основные ре5}льіаіьі диссертации шложены и 17 рабоых [21, 38, 39, 40, 41, 12, 48, 49, 50, 51, 83, 84, 113, 114, 115, 116, 146], в том числе одна статья [51] в и здании и 5 с писка ВАК. Все основные результаты диссертации принадлежат авюру и поп}чены ей самое юятелыюю Постановки задач экономическою равновесия в виде е мешанною вариационною неравенспм принадлежат на}чному руководи і елю Реч\льіаіьі, полученные совместно с М С С. Али, Е Аллеви и А. Гнуди, в тексі работы не включены
Рабоїа выполнена нл кафедре прикладной маїематики КГУ. Исследования по тема і икс диссертации выполнялись в рамках основною научного направления КГУ "Эке іремальньїе и равновесные мдачи экономики и сисіем управления", получали
поддержку в рамках проектов Фонда НИОКР РТ и НИР ИПИ АН РТ
Авюр выражает искреннюю блаї одарность своему научному р} ководителю профессору Пюрю Васильевичу Конноиу ча поддержку и постоянное внимание при выполнении работы
