Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование физиологических процессов в ансамблях нефронов 17
1.1 Постановка задачи 17
1.2 Общая физиология нефрона 20
1.3 Моделирование динамики одиночного нефрона 33
1.3.1 Уравнения клубочковой фильтрации и проксимального канальца . 35
1.3.2 Процессы в петле Генле 37
1.3.3 Афферентная артериола и тубуло-гломерулярная обратная связь . 44
1.3.4 Динамика модели одиночного нефрона 48
1.4 Формулировка модели васкулярного дерева 63
1.4.1 Физиологические процессы 63
1.4.2 Уравнения модели 63
1.4.3 Динамические режимы и влияние шума 66
1.5 Выводы по главе 1 79
2 Детерминированная и стохастическая динамика обобщенных моделей 81
2.1 Постановка задачи 81
2.2 Двумодовый осциллятор как обобщенная модель одиночного нефрона 83
2.2.1 Захват колебательных мод хаотического режима 88
2.2.2 Синхронизация двумодовых хаотических колебаний 92
2.2.3 Влияние шума на обобщеннную модель одиночного нефрона 95
2.3 Индуцированные шумом эффекты в обобщенной модели системы с распределением ресурса 97
2.3.1 Одномерный массив осцилляторов с нелинейностью iV-типа как обобщенная модель васкулярного дерева 97
2.3.2 Явление кластерной генерации 101
2.3.3 Внутрикластерная синхронизация 105
2.3.4 Влияние шума 108
2.3.5 Явления на границах кластеров: индуцированные шумом эффекты в режиме канард-колебаний 113
2.3.6 Индуцированный шумом хаотический режим в окрестности бифуркации Андронова-Хопфа 121
2.4 Выводы по главе 2 124
Заключение 126
Приложение 128
Литература 130
Благодарности 143
- Уравнения клубочковой фильтрации и проксимального канальца
- Афферентная артериола и тубуло-гломерулярная обратная связь
- Двумодовый осциллятор как обобщенная модель одиночного нефрона
- Явления на границах кластеров: индуцированные шумом эффекты в режиме канард-колебаний
Введение к работе
Изучение процессов авторегуляции почечного кровотока является актуальной задачей физиологии и ведется на разных уровнях: от макроуровня и исследования почек в целом, до микроуровня и процессов, протекающих в отдельных нефронах. Как известно [1], почки поддерживают постоянство состава и объема внеклеточной жидкости, омывающей клетки, обеспечивая тем самым оптимальные условия жизнедеятельности последних. Они выводят из организма избыток воды и растворенных в ней веществ. И, напротив, при де-фиците воды и/или электролитов начинают действовать механизмы, направленные на уменьшение дальнейшей их потери без нарушения экскреции конечных продуктов обмена. По способности выполнять эти функции почки превзошли в процессе эволюции все остальные органы тела. Скорость фильтрации на единицу поверхности в клубочковых капиллярах нефронов может быть в 10 раз выше, чем в капиллярах мышц. В дополнении ко всему почки несут различные метаболические функции и являются источником различных гормонов. Исследования показывают [2], что почки выполняют функции вывода токсических продуктов обмена веществ. Поражение почек, вызывающее состояние острой почечной недостаточности, может привести к тяжелым последствиям и даже смерти. Кроме того, в работах по трансплантации [4,5] было показано влияние почки на формирование гипертонии. В исследованиях последних лет было установлено, что гипертония сопровождается изменениями как в работе почки в целом, так в работе мельчайшей составной единицы почки - нефроне. Прогресс в изучении процессов авторегуляции почечного кровотока уже привел к созданию новых лекарственных препаратов, способных уменьшать величину артериального давления, изменяя активность процессов реабсорбции в почках. Однако, несмотря на очевидные успехи в понимании ключевой роли почки в формирова-
ний гипертонии, остается невыясненным механизм этого процесса. Существуют несколько точек зрения на этот вопрос. Одна из самых известных и наиболее подтвержденных экспериментально указывает на существенные изменения в работе нефрона при изменении артериального давления.
Как известно, нефрон это функциональная единица почки [6,7], способная самостоятельно обеспечивать некоторые ее функции. Существуют два типа нефронов, корковый и кжстамедуллярный, играющие различную роль в процессах регуляции почечного кровотока [2,3]. Интенсивные экспериментальные исследования авторегуляции ренального кровяного потока позволили сделать ряд открытий, существенных для понимания различных механизмов авторегуляции и их взаимодействия. Эксперименты, выполненные P.P. Leysac и N.H. Holstein-Rathlow в 1986 году [8], были настоящим прорывом и доказали существование регулярных автоколебаний с периодом 20-40 сек проксимального гидростатического давления для крыс с нормальным артериальным давлением. Колебания той же частоты, но с фазовым сдвигом (задержкой), наблюдались для концентрации NaCl в дистальном канальце. Было установлено, что высокая С1~ активность соответствует минимуму давления в канальце [9]. Эти результаты, а также частотный анализ артериального давления и колебательных свойств отдельных нефронов подтверждают предположение о том, что данное колебательное поведение не привнесено извне, а является внутренним свойством ренальной системы.
Стоит отметить, что работы по экспериментальному обнаружению колебаний вызвали споры среди ведущих ученых всего мира. Долгое время доминирующей была точка зрения об отсутствии колебательных процессов в нефронах. Однако работа Leysac и N.H. Holstein-Rathlow [8] и последующие за ней эксперименты убедительно доказали наличие колебательной активности в нефронах.
Более поздние экспериментальные исследования показали связь гипертонии с процессами реабсорбции NaCl в нефронах. В этой связи интересным результатом является наблюдение нерегулярных (хаотических) колебаний проксимального давления (ионной концентрации в дистальном канальце) для крыс с повышенным артериальным давлением [10].
Не стоит забывать, что определенные функции почек (например, концентрирование
мочи) могут осуществляться только при совместной деятельности всех нефронов. При инактивации определенного их количества почка утрачивает эту способность даже при нормальном функционировании оставшихся нефронов. То есть, следует говорить о большом и сложно организованном ансамбле нефронов. Как показывают экспериментальные исследования, около 60% всех нефронов анатомически находятся в парах и триплетах. Как правило, нефроны, имеющие одну общую артериолу, демонстрируют синфазные колебания, тогда как находящиеся на разных артериолах противофазную синхронизацию [11]. Группы из 10-20 нефронов образуют пространственную структуру, так называемое "васку-лярное дерево", внутри которого они могут взаимодействовать [11-14]. В этой связи очень важными являются исследования кооперативной работы большого числа нефронов.
Несмотря на существенный прогресс в технике и методике проведения экспериментов ученые столкнулись с рядом трудностей. Особо следует сказать о возможностях экспериментального измерения режимов глубинных (юкстамедуллярных) нефронов васкулярно-го дерева. Несмотря на попытки и методику, разрабатываемую совместно D J. Marsh и N.H.Holstein-Rathlow, успех пока не достигнут. Отсутствие прямых измерений их динамики и значительные трудности в экспериментах на одновременно большом количестве нефронов осложняют понимание колебательных процессов в ансамблях нефронов.
В этих условиях интерес представляют любые осмысленные предсказания и оценки, которые могут помочь в интерпретации косвенных данных. Трудно переоценить ту помощь которую дает математическое моделирование таких сложных объектов. Однако, на данный момент существует крайне мало работ, посвященных колебательным процессам в ансамблях нефронов [15,16]. Одной из существенных трудностей при исследовании таких моделей является их сложность и большая размерность (количество уравнений).
Развитие математических моделей васкулярных деревьев невозможно без математического описания структурной единицы почки - нефрона. На данный момент существует две наиболее известные модели одиночного коркового нефрона. Это модели М. Barfred [17] и D.J. Marsh [18]. В то же время автору не известно ни одной работы, посвященной моделированию динамики одиночного юкстамедуллярного нефрона.
Модель М. Barfred [17] содержит 6 дифференциальных уравнений и достаточно успеш-
но воспроизводит колебания проксимального давления и задержку в цепи обратной связи. Однако, в процессе построения модели были допущены предположения, которые согласно новым экспериментальным данным, не соответствуют действительности. Упрощенное описание процессов, протекающих в петле Генле, не позволяет учитывать влияние концентрации NaCl на процессы авторегуляции почечного кровотока. Кроме того, феноменологический подход к описанию структуры и процессов, протекающих в петле Генле, делает невозможным расширение модели на случай юкстамедуллярных нефронов.
В то же время, разработанная позже модель D.J. Marsh [18] содержит более 30-ти диф-фернциальных и алгебраических уравнений и весьма сложна для исследования. Наличие диффренциальных уравнений в частных производных делает невозможным применение методов бифуркационного анализа, наиболее общего и эффективного при исследовании динамических систем. Несмотря на то, что модель успешно воспроизводит колебания давления и концентрации ионов Na+Cl~, она не воспроизводит хаотический режим, обнаруженный в нефронах гипертонических крыс. Кроме того, количество и тип уравнений в модели одиночного нефрона, делает сложным ее использование как основы, для построения структуры более высокого порядка (васкулярного дерева).
В целом, акцент в разработке математических моделей до сих пор делался в основном на одиночные [17-21] и, что значительно реже, на парные нефроны [22,23]. Несмотря на довольно большое количество работ по динамике одиночного нефрона, до сих пор имеется ряд открытых вопросов. А именно, является ли хаотический режим в нефронах гипертонических крыс следствием собственных сложных и нелинейных процессов, присущих одиночному нефрону, или этот эффект есть результат кооперативной работы всех нефронов? Кроме того, анализ динамики моделей и экспериментальных данных позволил выявить существование двух временных масштабов в колебаниях проксимального давления. В связи с этим, особый интерес представляет выявление особенностей двумодового хаотического режима, реализующегося в моделях нефронов. Однако, существенная сложность и многомерность существующих моделей нефрона делают затруднительным исследование различных аспектов двумодого хаотического режима.
В свете сформулированных выше проблем, важным является выбор подхода к их реше-
нию. Как известно, биологические объекты характеризуются сложной структурой, большим числом обратных связей, флуктуациями, зачастую имеют распределенную структуру. Существует два подхода к построению математических моделей живых систем.
Один подход рассматривает изучаемую систему как "черный ящик", без учета структуры и механизмов функционирования объекта. Такой феноменологический подход подразумевает использование экспериментальных данных (колебаний давления, изменение численности популяции и т.д.) и построение математических моделей, демонстрирующих на качественном уровне нужную динамику. Например, такой подход использовался при построении модели сердечного ритма на основе уравнений автогенератора Ван-дер-Поля [24]. Однако, такие модели имеют принципиальные недостатки, а именно: невозможность количественного описания, отсутствие возможности детального изучения механизмов возникновения различных эффектов, невозможность распространения полученных результатов на реальную систему, отсутствие явного физического и биологического смысла параметров.
Второй подход использует детальное представление о механизмах функционирования биологического объекта. При построении математической модели в рамках этого подхода учитываются все ключевые элементы системы, их взаимодействие, цепи обратных связей и тд. Естественно, построение таких моделей невозможно без четкого понимания процессов протекающих в биологической системе. Такое моделирование зачастую не допускает возможности аналитического исследования (в отличии от феноменологических моделей), но при достаточно детальном описании и использовании адекватных численных методов исследования могут давать количественный прогноз поведения системы. Кроме того, в рамках данного подхода, параметры модели имеют явный физический и биологический смысл и могут быть измерены (либо оценены) из реальных биологических экспериментов.
Одним из самых известных примеров использования данного подхода служит, разработанная в 1952 году Ходжкином и Хаксли модель аксона кальмара [25]. Опираясь на эксперименты и знание механизмов работы аксона кальмара, была разработана модель нейрона, позволяющая исследовать механизм его работы на уровне ионных токов и прово-димостей. Работа Хожкина и Хаксли послужила толчком к развитию целого направления
исследований, посвященных моделированию сложных биологических объектов [26]. Так, в настоящее время, используя данный подход, ведутся интенсивные исследования регуляции панкреатических клеток [27], проблем связанных с эпилепсией [28], авторегуляции почечного кровотока [15-23], а также в области экономики [29-31].
Прогресс в понимании механизмов, управляющих динамикой живых систем, в т.ч. с учетом неизбежных флуктуации, во многом определен новыми подходами, включающими как математическое моделирование на уровне причинно-следственных связей (mechanism based modeling), так и активное использование достижений современной нелинейной динамики. Основываясь, с одной стороны, на понимании биологических механизмов того или иного эффекта и, с другой стороны, на мощных методах математического моделирования, можно исследовать живые системы на более высоком уровне, а именно - строить математическое описание не только на качественном, но и на количественном уровне. Построение таких моделей открывает возможности, которые трудно переоценить. Стоит отметить, что исследование математических моделей методами нелинейной динамики облегчает взаимодействие физиологов и физиков, так как получаемые результаты не являются абстрактными величинами, а вполне понятны и могут быть измерены в экспериментах.
Кроме того, данный подход подразумевает переход на определенном этапе к обобщенным моделям, содержащим только основные (ключевые для данного исследования) закономерности и причинно-следственные связи. Такой переход и развитие обобщенных моделей невозможен без четкого понимания механизмов функционирования живой системы. Действительно, зачастую конкретная решаемая задача такова, что не требует детального описания всех механизмов, а только определенных ключевых характеристик. Хорошим примером такого перехода является: модель Ходжкина-Хаксли - модель ФитсГух-Нагумо. Переход к исследованию обощенной модели позволил выявить интересные эффекты взаимодействующих нейронов, объяснение которых не связано напрямую с особенностями функционирования отдельных нейронов, а с общим для этого класса систем эффектами. Исследование обобщенных моделей позволяет существенно расширить границы нашего понимания процессов, протекающих в природе. Кроме того, такой переход позволяет наиболее активно использовать достижения современной нелинейной динамики как нау-
ки, описывающей явления, возникающие в нелинейных системах, взаимодействующих с окружающей средой.
Наиболее мощным и универсальным способом изучения динамических систем следует считать методы качественной теории динамических систем. Развитие теории и методов бифуркационного анализа позволило вскрыть механизмы тех или иных изменений динамических режимов и позволило понять возможные сценарии переходов к хаотическому и квазипериодическому режимам [32-35]. Исследования хаотических аттракторов привели к развитию и пониманию набора характеристик, позволяющих диагностировать хаотический режим.
Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных нелинейных явлений в естествознании. Эффект синхронизации периодических автоколебаний был открыт еще Гюйгенсом в XVII веке. В настоящее время проблема синхронизации регулярных колебаний достаточно хорошо изучена [36-38]. В работах [39-41] достигнут значительный прогресс в понимании механизмов и развитии методов исследования хаотической синхронизации. Синхронизация хаоса играет важную роль в ансамблях осцилляторов. Возможность различных фазовых сдвигов синхронных осцилляторов приводит к явлению хаотической мультистабильности. Понятие синхронизации может быть распространено на очень широкий круг явлений, наблюдаемых не только в динамических, но и в стохастических системах [42,43].
Было установлено, что источники шума в нелинейных динамических системах могут индуцировать принципиально новые режимы, не появляющиеся в отсутствии шума, например, индуцированные шумом незатухающие колебания [44,45]. Исследования последних лет показали, что в нелинейных системах шум может индуцировать новые более упорядоченные режимы, и приводить к появлению более регулярных структур, увеличивать или уменьшать частоту уже существующих колебаний, индуцировать хаотические режимы, вызывать эффекты стохастического и когерентного резонанса [46,47].
Развитие методов численного анализа позволяет исследовать сильно нестационарные (биологического происхождения) экспериментальные данные универсальными методами. Таких универсальных инструментов существует пока не так много. К числу недавно раз-
работанных новых подходов можно отнести метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта [48-51], метод анализа флуктуации относительно тренда [52-55] и вейвлет-анализ [56-59]. Однако, не стоит забывать и классические методы анализа временного сигналов.
Таким образом, формируется новая, более совершенная методология решения задач в прикладных областях, в т.ч. при исследовании динамики живых систем. Эта методология включает:
построение многомерных моделей
анализ в компьютерном экперименте главных закономерностей
переход к упрощенным моделям для обобщения и выявления сути
трактовка результатов по живым системам с учетом новых полученных знаний.
Развитие и применение данного подхода ранее сдерживалось вычислительными возможностями. Прогресс вычислительной техники делает вполне возможным исследование динамики моделей из нескольких сотен дифференциальных уравнений.
На практике такой подход позволяет нам тестировать гипотезы о механизмах управляющих экспериментально наблюдаемых эффектов, исследовать чувствительность системы к изменению параметров, позволяет больше узнать о процессах, не измеряемых в реальном эксперименте, предсказывать поведение системы под действием различных факторов (например, лекарств), выявлять и обобщать суть наблюдаемых явлений.
Постепенное развитие все большего количества детальных моделей есть эффективное средство аккумулирования биологических знаний. Применение описанной выше современной методологии выглядит перспективным и для задач, которые уже исследуются в течение ряда лет в области авторегуляции почечного кровотока.
Все вышесказанное свидетельствует об актуальности дальнейшего исследования динамики почечного кровотока на основе современного подхода, и позволяет сформулировать следующую
Цель диссертационной работы:
Исследование динамики процессов авторегуляции почечного кровотока путем математического моделирования и применения современных методов исследования нелинейных систем.
Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие основные задачи:
построение многомерных математических моделей авторегуляции почечного кровотока, учитывающих по возможности большее число причинно-следственных связей на колличественном уровне;
проверка в численном эксперименте адекватности разработанных моделей и выявление характерных динамических режимов и нелинейных эффектов, в том числе выходящих за рамки возможной экспериментальной проверки (предсказание);
переход к обобщенным математическим моделям, на качественном уровне воспроизводящим наиболее характерные особенности динамики детальных моделей и исследование обнаруженных нелинейных эффектов в контексте современных представлений нелинейной теории колебаний и знаний о стохастической динамике нелинейных систем.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Разработана и протестироваа новая математическая модель одиночного нефрона, учитывающая пространственную неоднородность процессов фильтрации и реабсорбции в петле Генли, что позволяет воспроизвести различие динамики процессов авторегуляции в различных типах нефронов (глубинных и корковых). Впервые дано предсказание и проведена оценка колебательной активности юкстамедуллярных нефронов. Впервые проведен сравнительный и бифуркационный анализ моделей коркового и юкстамедуллярного нефронов в зависимости от параметров реабсорбции в петле Генле.
Впервые разработана многомерная модель васкулярного дерева нефронов в приближении линейной структуры, учитывающая пространственное распределение характеристик нефронов от "основания"дерева к его "вершине". Выявлен ряд новых нелинейных эффектов, определяющих режимы функционирования нефронов в составе васкулярного дерева, в частности: образование осцилляторного кластера (пространственно ограниченная область автоколебаний), пространственный сдвиг частоты колебательной активности
нефронов и подавление автоколебаний на анатомической границе двух типов нефронов, индуцированное шумом расширение осцилляторного кластера.
Впервые обнаружен и исследован переход в двумодовом хаосе, сопровождающийся изменениями в основных динамических характеристиках. Продемонстрирована частичная синхронизация хаотических колебательных мод.
В обобщенной модели одномерного ансамбля осцилляторов с распределением ресурса воспроизведен эффект кластерной генерации и изучены нелинейные механизмы, ответственные за его формирование. Вскрыт механизм индуцированного шумом расширения кластера. Исследовано влияние шума на границе области генерации (т.н. канард-режим) возбудимой системы. Обнаружен и изучен механизм возникновения эффектов стабилизации и подавления частоты индуцированных шумом колебаний. Продемонстрирован эффект индуцированного шумом хаотического режима.
Научно-практическое значение результатов работы; заключается в том, что ее результаты расширяют представления о функционировании ансабмлей нефронов. Полученные при выполнении диссертационной работы результаты по многомерным моделям авторегуляции кровотока (I глава работы) будут использованы при интерпретации результатов экспериментов и планировании дальнейших работ в группе профессора N.H.Holstein-Rathlow, Panum Institute, University of Kopehagen, Denmark. Выполненное во II главе исследование ряда нелинейных механизмов дополняет существующие представления о различных аспектах явления синхронизации сложных колебательных режимов и о роли шума в формировании режимов функционирования моделей живых систем.
Достоверность научных выводов работы подтверждается количественным соответствием результатов, полученных в ходе тестирования разработанных математических моделей, результатам экспериментов in vivo. Для проведенных численных экспериментов достоверность полученных результатов обусловлена применением адекватного программного обеспечения, включая адаптацию параметров численных методов интегрирования систем дифференциальных уравнений, как в детерминированном случае, так и в присутствии шума.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
Учет процессов реабсорбции, протекающих в петле Генле, в виде сегментированной системы дифференциальных уравнений, включая нелинейную функцию поглощения ионов Na+Cl~, позволяет создать семейство математических моделей, на количественном уровне воспроизводящих динамику процесса авторегуляции и интенсивность фильтрации одиночных как корковых, так и юкстамедуллярных нефронов, а также предсказать особенности (основные типы) колебательной активности васку-лярного дерева нефронов.
В ансамблях автоколебательных систем со связью посредством распределения энергонесущего расходуемого ресурса имеет место эффект формирования осциллятор-ного кластера, что обусловлено зависимостью режима индивидуальной автоколебательной системы от упомянутого ресурса.
Наличие участка взрывного роста амплитуды (т.н. canard-explosion) в окрестности суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа автоколебательной системы определяет особенности ее отклика на шумовое воздействие, включающие эффект снижения частоты автоколебаний, эффект стабилизации частоты индуцированной шумом генерации, а также индуцированный шумом хаос.
Феноменологическое моделирование динамики одиночного нефрона приводит к нелинейной системе, содержащей автоколебательную систему и возбуждаемый ею (параметрически) демпфированный осциллятор. В индивидуальной динамике такой модели наблюдается двумодовый хаотический аттрактор. При взаимодействии таких систем имеет место эффект раздельной синхронизации мод.
Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на следующих научных конференциях: «Physics and Control» («PhysCon2003») (Санкт-Петербург, 2003), «Chaos04», (Саратов, 2004), «Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2005), «Нелинейные дни в Саратове для молодых», (Саратов, 2005), «Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США,2006), «Nonlinear Dynamics, Chaos, and Application» (Crimea, Ukrain, 2006), «Summer School on Computational Biology» (Pohang,
Korea, 2006). Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, рабочей группы Датского технического университета (под руководстовом проф. Э. Мозекильде).
По теме диссертации опубликовано и принято к печати 7 работ, которые включены в общий список литературы под номерами [132-134,137-140]. Результаты работы использованы при выполнении гранта РФФИ JV0204-16769 и государственного контракта iV02.442.11.7244.
Личный вклад автора. Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем и соавторами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух содержательных глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. В ней содержится 94 страницы текста, 47 рисунков, библиография из 140 наименований на 13 страницах. Общий объем диссертации 143 страницы.
Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена построению модифицированной модели одиночного нефро-на, учитывающей пространственную неоднородность процессов, протекающих в петле Ген-ле и модели васкулярного дерева нефронов, включающей модифицированную модель одиночного нефрона в качестве структурной единицы ансамбля.
В разделе 1.1 обсуждается постановка задачи и особенности подхода.
В разделе 1.2 приводится описание физиологических процессов, протекающих в нефроне. Обсуждаются экспериментальные данные, полученные в результате экспериментов на крысах.
Уравнения клубочковой фильтрации и проксимального канальца
Кровь входит в клубочек через афферентную артериолу, где происходит образование первичного фильтрата, затем отфильтрованная кровь отводится через эфферентную артериолу, а ультрафильтрат проходит в дальше в систему трубок. Используя закон сохранения масс, мы можем определить, что поток на входе равен потоку на выходе и потоку отфильтрованному в клубочке: где Ра, PgwPv- давления в артерии, клубочке и вене, соответственно. RanRe- сопротивления афферентной и эфферентной артериол. Ffm - скорость фильтрации в клубочке. Для простоты Ра и Pv примем константами, хотя в реальности это флуктуирующие значения, величина которых зависит, например, от частоты сердечного ритма.
Кровь состоит из двух основных частей, а именно кровяных клеток (На) и плазмы (концентрация протеинов плазме Са). Исходя из этого, концентрация протеинов во входящем потоке крови будет (1 — На)Са. Учитывая закон сохранения масс для протеинов, входящих в клубочек и тот факт, что ультрафильтрат не содержит форменных элементов крови и белка, мы можем записать:
Как упоминалось выше, процесс фильтрации в клубочке происходит за счет разницы между давлением в клубочке Рд и давлением в проксимальной трубке Ри а также колоидно-осмотическим давлением P0esm. Так как ультрафильтрат не содержит протеинов, PgSm будет функцией концентрации протеинов в выходящем потоке плазмы Се, и мы можем записать
Экспериментальные данные, опубликованные в [67], показывают, что P sm в нефроне крысы хорошо описывается полиномом второй степени где а и Ь - подобранные эмпирическим путем константы.
Теперь используя (1.1) и (1.2), учитывая (1.3) и (1.4) мы получим алгебраическое уравнение третьего порядка, которое решается относительно Се и при адекватном выборе параметров имеет одно положительное решение. На каждом шаге интегрирования оно вычисляется численно.
После фильтрации в клубочке ультрафильтрат проходит через проксимальный сегмент нефрона, который представляет из себя эластичную трубку. Здесь реабсорбируется около 70% всего фильтрата. Определив реабосрбируемый поток как Freab и входящий поток в петлю Генле как F i, мы можем записать: где Vt - объем жидкости в проксимальном канальце. Эластические свойства проксимальной трубки можно описать соотношением Btub = dVt/dPt. Используя (1.5) мы можем записать:
Согласно [68], скорость реабсорбции Freab не зависит от давления Pt внутри канальца, и мы можем принять ее константой. После прохождения проксимального канальца фильтрат попадает в петлю Генле, где продолжается дальнейшая реабсорбция.
В рамках нашего описания, петля Генле условно делится на пять сегментов (см. рис. 1.7). В первых двух имеет место интенсивная реабсорбция воды, тогда как в последних трех меняется баланс ионов Na+Cl . Такое деление соответствует современным представлениям о физиологии нефрона, а с точки зрения использования модели позволяет, например, отдельно менять степень реабсорбции воды в первых сегментах, что на качественном уровне воспроизводит действие некоторых медикаментов, регулирующих артериальное давление. Кроме того, такое деление петли Генле позволит, меняя параметры отдельных сегментов, моделировать не только корковые, но и юкстамедуллярные нефроны.
Для каждого из сегментов записываются дифференциальные уравнения для давления Р, для количества Q, А вещества NaCl, а также алгебраическое уравнение для концентрации С ионов Na+Cl . Так, для первого сегмента уравнение для давления записываются в виде: где Fhi и Fh2 описывают втекающий и вытекающий для данного сегмента потоки жидкости соответственно, Fabsi отражает процесс реабсорбции воды, Вы - константа, описывающая эластичность стенок сегмента, Rhi и Дд2 - гидродинамическое сопротивление первого и второго сегмента соответственно, 5\ - коэффициент реабсорбции воды в первом сегменте. Уравнения для количества вещества Q, А и концентрации С NaCl в пределах первого сегмента записываются в виде
Афферентная артериола и тубуло-гломерулярная обратная связь
Гидродинамическое сопротивление афферентной артериолы зависит от ее радиуса. В данной модели афферентная артериола предполагается состоящей из двух сегментов, соеди-ненных между собой. Причем, первая часть имеет постоянный радиус (см. рис. 1.9) и, следовательно, постоянное сопротивление Л0іо, а следующий за ней сегмент переменный радиус г и длину (1-/3) относительно общей длины. Сегмент с фиксированным радиусом имеет длину (3 относительно общей длинны. Согласно закону Пуассона, сопротивление активной части афферентной артериолы пропорционально г-4 (нормированное относительно радиуса в состоянии покоя). Тогда полное сопротивление входной артерии можно записать как: Давление в начале первого сегмента предполагается равным артериальному, в то время как давление в конце последнего сегмента равно клубочковому Рд (см. рис. 1.9), а в месте деления двух сегментов - Pp. Поскольку в афферентной артериоле нет реабсорбции, то поток можно определить как Предполагая линейное падение давления вдоль переменной части входной артериолы, среднее давление в активной части можно записать:
Экспериментальные результаты [69,70] показали, что артериола демонстрирует затухающие колебания радиуса. Поэтому ее динамика может быть описана уравнением: где d - константа времени, описывающая затухание осцилляции, и - отношение массы к эластичности для стенок артериолы и Рщ это давление в активной части артериолы, когда она находится в состоянии равновесия при данном радиусе и мускульной активности. Дифференциальное уравнение второго порядка может быть переписано с введением скорости vT, с которой артериола сокращается или растягивается: Радиус переменной части афферентной артериолы частично определяется эластическими свойствами стенок сосуда и, частично, откликом мышечных клеток на действие тубуло-гломерулярной обратной связи. Согласно идеальной модели стенок сосуда [71,72] и учитывая, что, Peq есть функция нормированного радиуса и уровня активации мышечных клеток Ф, мы можем записать: где Pei - давление вызванное свойствами эластичности стенок сосуда, Pact - давление вызванное сжатием мышечных клеток, а г - нормированный внутренний радиус артериолы. Отдельный отрезок любого кровеносного сосуда можно охарактеризовать длиной L, площадью поперечного сечения А и силой F, перпендикулярной к А. Идеальное напряжение можно определить как a = F/AQ (А0 - площадь поперечного сечения полоски длины bo в состоянии покоя). Предполагая постоянство объема AL = A0L0, реальное напряжение S = F/A можно записать как Общее напряжение есть сумма пассивной и активной части (действие мускулатуры) а = ае+(та. Пассивное напряжение есть отражение эластических свойств соединительной ткани стенок сосуда, которая состоит из коллагена и эластина. Напряжение для однородной мягкой ткани описывается в [73] и записывается в виде: где С и а - константы, характеризующие ткань, а є определяется как є = [L - LQ)/L0. Общее пассивное напряжение определяется как сумма напряжений от эластина и коллагена: где Ci,C2,ai,oi2 - константы, вычисленные из экспериментов. Как было показано в работе [74], для активной компоненты хорошей апроксимацией является: Полученная зависимость сга(е) является тент-кривой с максимальным значением атах и шириной еш. Будем рассматривать кровеносный сосуд как несжимаемый, постоянной длины, с внешним радиусом г0 и внутренним радиусом г І, тогда где R это радиус в состоянии покоя. Согласно закону Лапласа, Вводя обозначения х = R/Ri, где R = д/г2 - r\ + Rf, получим Согласно исследованиям [17], вместо численного решения уравнения (1.38) на каждом шаге интегрирования, что занимает много времени, можно использовать аппроксимацию В уравнении (1.39) первые два слагаемых отвечают за эластические свойства стенок артериолы, тогда как последнее отвечает за отклик мышечных клеток. Этот отклик обусловлен сигналом активации, вырабатываемым клетками плотного пятна в ответ на изменение концентрации NaCl. Соотношение между уровнем активации мышечных клеток и выходящим потоком из петли Генле было экспериментально установлено в [68]. Однако, данный подход является упрощением, так как клетки плотного пятна вырабатывают сигнал не на увеличение потока, а на увеличение концентрации ионов. В то же время, концентрация ионов Na+Cl есть функция выходящего потока [68]. Это дает нам возможность, не меняя характер и вид функции, модифицировать соотношение, полученное в [68], следующим образом:
Двумодовый осциллятор как обобщенная модель одиночного нефрона
В качестве первого шага, необходимо определить принципиальные особенности динамики нефрона, которые играют существенную роль в возникновении тех или иных эффектов. С функциональной точки зрения нефрон может быть рассмотрен как фильтрующее устрой7 ство с обратной связью, контролирующей входящий поток крови. Модель нефрона (см. главу 1) функционально состоит по крайней мере из двух, взаимодействующих осцилляторов: первый это колебательная система, действующая через ТГОС-механизм (обратная связь, медленная мода), в то время как второй - это демпфированный осциллятор, отражающий динамические свойства стенок артериолы (быстрая мода колебаний). Заметим что, связь между этими осцилляторами не диффузионная. В терминах этих парциальных осцилляторов, типичное поведение нефрона можно описать как периодически возбуждаемый более медленным сигналом (ТГОС) демпфированный осциллятор, с отношением частот между медленной модой (управляющий сигнал) и быстрой модой (демпфированный осциллятор) от 1 : 1 до 1: 6. Анализ модели нефрона дает нам два параметра, влияющие на соотношение мод. Один это характерный временной масштаб медленной автоколебательной подсистемы (временная задержка) и второй - крутизна (интенсивность) обратной связи. Поскольку задачей является построение обобщенной модели нефрона, то можно пренебречь более тонкими деталями, влияющими на динамику. Используя выше сказанное, можно предположить, что обобщенная модель должна состоять из двух осцилляторов, одного, демонстрирующего автоколебательную динамику, и второго - демпфированного. Принципиальным моментом является наличие характерных для нефрона нелинейностей. Опираясь на вышеизложенные рассуждения, можно в качестве ТГОС-осциллятора записать хорошо известное уравнение типа Ван дер Поля [120] в следующей форме: где Е - константа, введенная для управления рабочей точкой и, следовательно, амплитудой колебаний. Такой подход контроля амплитуды несколько отличается от обычно применяющегося, но на качественном уровне отражает влияние артериального давления Ра на амплитуду колебаний.
Теперь запишем уравнения для демпфированного осциллятора относительно переменной и. Как следует из уравнений (1.28), (1.39) и (1.27), быстрая колебательная подсистема нефрона характеризуется линейным затуханием, однако частота fi(u) и член, отвечающий за связь Q(x,u), существенно нелинейны. Таким образом, уравнение примет вид: Используя уравнения (1.39) и (1.27) можно вычислить, что частота пропорциональна Ріг + p2ew(r -8\ Используя этот вид нелинейности, можно записать:
В то же время, из уравнений (1.39) и (1.40) можно определить вид зависимости между концентрацией NaCl и Peq. Уравнение (1.39) состоит из двух членов, причем мультипликативный член включает в себя функцию Ф (см. рис. 1.10). Вид и смысл функции Ф позволяет аппроксимировать ее соотношением вида: где а - константа, ответственная за минимальную и максимальную величины связи между осцилляторами. Кроме того, из уравнения (1.39) следует, что функция Ф умножается на г с коэффициентом р4 (членом при коэффициенте щ можно пренебречь). Используя этот факт, можно аппроксимировать уравнение (1.39) соотношением вида:
Специфической особенностью исходной модели нефрона является влияние через обратную связь демпфированного осциллятора на ТГОС-осциллятор, что обуславливает, изменение входящего потока крови в нефрон из-за изменения радиуса афферентной артериолы. Для того, чтобы учесть влияние достаточно быстрых (по сравнению с ТГОС-осциллятором) колебаний радиуса, введем аддитивный член в правую часть уравнения (2.1): где с - константа, отражающая глубину модуляции. Это соотношение будет соответствовать модуляции артериального давления в оригинальной модели нефрона колебаниями радиуса артериолы. Переписанная в канонической форме обыкновенных дифференциальных уравнений, наша система примет вид:
В системе (2.7-2.10) переменные ііиіі описывают демпфированный осциллятор и быструю моду, в то время как а; и у ответственны за автоколебательную динамику и медленную моду. Структура и вид нелинейностей системы (2.7-2.10) дают нам основания считать данные уравнения обощенной моделью нефрона, не воспроизводящей количественно его динамику, но на качественном уровне адекватно отражающую принципиальные особенности строения и функционирования.
Как видно из уравнений (2.7-2.10), система имеет 7 параметров. Для целей нашего исследования в качестве управляющих параметров были выбраны J2 и Е, тогда как остальные параметры были приняты константами и равнялись с = 2.0, d — 0.1, (3 = 0.001, а = 0.474, и 7 = 12.85. При малых значениях параметра с автоколебательная динамика ограничена линиями бифуркации Андронова -Хопфа:
Однако, при достаточно высоких значениях с (в нашем случае с = 2.0) автоколебательная динамика выходит за пределы триангулярной зоны, из-за существенного влияния положительной обратной связи, определяемой членом си. Внутри зоны, ограниченной линиями (ш2,Е), наблюдаются регулярные, квазипериодические и хаотические колебательные режимы. Предметом нашего исследования является хаотический режим, который развивается через каскад бифуркаций удвоения периода и чьей главной особенностью (как и в исходной модели нефрона) является наличие двух временных масштабов. На рис. 2.1 показаны типичные хаотические режимы для исходной и обобщенной моделей нефрона. Хорошо заметна схожесть топологии аттрактора. Принципиальной особенностью является наличие участков с быстрым (мелкие витки в верхней части аттрактора) и медленным движением. Как видно из рисунка, модель (2.7-2.10), имея структуру и цепи обратных связей, сходные с детализированной моделью, на качественном уровне хорошо воспроизводит динамику нефрона, в частности двумодовый хаотический режим (см. рис. 2.1 (б)). Сохраняя разумный баланс между детальностью и удобством для исследования, и являясь, по сути, достаточно абстрактной моделью нефрона, система (2.7-2.10) дает возможность исследовать различные эффекты, связанные не столько с физиологией нефрона, сколько с эффектами синхронизации и режимом детерминированного хаоса. Так как одним из недостатков всех детализированных моделей является большая размерность и сложность системы, обобщенные модели, сохраняя принципиальные особенности, дают возможность более детально исследовать фундаментальные особенности, которые не только дают новую информацию для физиологов, но и обогащают нелинейную динамику.
Явления на границах кластеров: индуцированные шумом эффекты в режиме канард-колебаний
Важным фактором описанных выше нелинейных эффектов в цепи осцилляторов, является бифуркационный переход индивидуального осциллятора через бифуркацию Андронова-Хопфа. Оказывается, что в определнных условиях даже одиночная система типа FitzHugh-Nagumo может демонстрировать сложное поведение в окрестности бифуркации Андронова-Хопфа. Это связано с наличием т.н. canard-режимов (от французкого canard-"утка"). Изучение эффектов, связанных с canard режимами необходимо для правильной интерпретации результатов полученных для более сложных систем. В данном разделе для численного моделирования использовалась модель FitzHugh-Nagumo в ее наиболее распространенном варианте: где х и у - переменные, качественно соответствующие трансмембранному напряжению и переменной активации ионного тока, соответственно; є - параметр соотношения временных масштабов, характеризующий относительную скорость активации (дезактивации) ионного тока; а - управляющий параметр, ответственный за порог возбуждения; D - интенсивность белого гауссова шума () с нулевым средним значением, () = 0.
В детерминированном режиме (при D = 0) значениям а 1.0 соответствует возбудимый режим, а значениям а 1.0 - автоколебательная динамика (предельный цикл), возникающая (при уменьшении а) через суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа. Развитие предельного цикла в системе (2.21) имеет особенность, известную как canard-explosion [114]. А именно, при достижении бифуркационного значения а — 1.0 рождается предельный цикл малого радиуса и в малой окрестности а его размеры растут пропорционально -\/\а — а \. Однако, при дальнейшем уменьшении а, амплитуда предельного цикла скачкообразно растет до значений, определяемых геометрией ж-нульклины у — х — ж3/3 и значением параметра е. Такой взрывообразный рост амплитуды предельного цикла при плавном уменьшении а и получил название canard-explosion. Для рассматриваемой модели (2.21) он наблюдается в области значений параметров є Є [0.02; 0.03] и а Є [0.996,1.00]. Ha рис. 2.16 приведен типичный фазовый портрет для (2.21), включающий предельный цикл подпороговых колебаний малого размера и траекторию возврата к нему (серые точки со стрелками) после "выброса"системы в возбужденное состояние. Пунктиром на рисунке даны х- и у-нульклины, взаиморасположение которых и обуславливает динамику системы.
При изменении интенсивности шума D, рассчитывалась средняя частота следования спайков (импульсов большой амплитуды), момент генерации каждого из которых определялся по достижению возбужденного состояния х = +1.0. Средняя частота fs определялась как где Т0 - время наблюдения, и N - число спайков в течение Т0. В численном эксперименте Т0 выбиралось достаточным для достижения заранее заданного N, например, N = 104. Параметр а = 0.997 был выбран близким к бифуркации Андронова-Хопфа, но в области автоколебаний. Параметр є варьировался от 0.024 до 0.1, чему соответствовал переход от режима непрерывной генерации спайков к режиму устойчивых подпороговых колебаний малой амплитуды. Результаты вычисления fs приведены на рис. 2.17. Для є, равного 0.1 и 0.05 (кривые 1 и 2 рисунка), начальная часть графика для /8 носит экспоненциальный характер, качественно соответствуя закону Арениуса. Однако, для больших D кривые насыщаются к некоторому предельному значению, определяемому длительностью одиночного цикла "возбуждение-релаксация"детерминированной модели (2.21).
При меньших значениях є = 0.028, 0.027 и 0.0264 (кривые 3, 4, 5) характер зависимости существенно меняется. Быстрый рост fs при малых D 0.001 сменяется почти постоянным значением /s в интервале D Є [0.001; 0.05]. При больших D fs вновь растет, демонстрируя поведение, сходное с кривыми 1 и 2. Еще более неожиданно система (2.21) ведет себя при є — 0.024 (кривая 6). В детерминированном варианте этому значению є соответствует режим непрерывной генерации спайков. Однако, добавление шума (рост D) приводит к быстрому уменьшению средней частоты генерации /s до значений, близких к положению "полочки"на кривых 3, 4 и 5. При дальнейшем увеличении и интенсивности шума, fa вновь растет, сближаясь с кривой 5.
