Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Современное состояние вопроса и задачи исследования ii
I. Основные пути моделирования многокомпонентных биологических систем с лимитированием 13
2 . Общий вид моделей компартментальных биологических систем с лимитированием . 32
ГЛАВА II. Общие свойства моделей компартментальных биологических систем .. 39
I. Существование и основные свойства стационарных решений 39
2. Устойчивость стационарных решений 47
3. Асимптотическая ограниченность решений 52
4. Существование устойчивых стационарных и ограниченных режимов в системах непрерывного культивирования. Один лимитирующий субстрат 55
5. Существование устойчивых стационарных и ограниченных режимов в системах непрерывного культивирования. Многосубстратное лимитирование.. 69
6. Анализ возрастной структуры непрерывно культивируемой популяции микроорганизмов. 74
ГЛАВА III. Автоколебания в моделях компартментальных биологических систем 90
I. Бифуркации рождения периодических решений 92
2. Устойчивость периодических решений 101
3. Применение к моделям биохимической кинетика.. 109
4. Существование колебаний в нелокальном случае 112
5. Модель механизма устьичной регуляции высших растений как пример допускающей автоколебания биологической системы 121
ГЛАВА ІV. Хаотические решлы в моделях динамики численности популяций и сообществ 140
I. Модели динамики численности популяций и сооб
ществ с неперекрывающимися поколениями 141
2. Общие свойства хаотических режимов
3. Условия рождения хаотических структур в моделях динамики численности популяций 148
ГЛАВА V. Процессы управления биологическими системами 155
1. Возможность одностороннего управления вблизи стационарного решения 156
2. Глобальная управляемость и стабилизируемость односторонними воздействиями 159
3. Система переменной структуры управления клеточными популяциями. Прямое управление 163
4. Использование скользящего режима для повышения запаса устойчивости системы прямого управления 168
5. Система переменной структуры управления клеточными популяциями. Непрямое управление 172
6. Оперативное управление продукционным процессом и задача программирования урожая 178
ГЛАВА VІ. Общие динамические свойства компартментальных биологических систем и проблемы управления ими 187
Заключение 211
Приложение
Литература
- . Общий вид моделей компартментальных биологических систем с лимитированием
- Асимптотическая ограниченность решений
- Существование колебаний в нелокальном случае
- Условия рождения хаотических структур в моделях динамики численности популяций
Введение к работе
Активное проникновение научных методов в практику современного промышленного и сельскохозяйственного производства стало характерной особенностью нашего времени. Принятая на майском пленуме ЦК КПСС 1982 года Продовольственная программа выдвинула на первый план вопросы, связанные с созданием строгих, количественно обоснованных методов в области теоретической и прикладной, биологии. Решение этих животрепещущих: вопросов невозможно без привлечения самых современных методов математической науки в сферу традиционной биологии и использования мощного арсенала вычислительной техники третьего поколения. Разработка количественных методов принятия решений для: производственной практики требует создания замкнутой математической теории управления многосвязными биологическими объектами.
В этой области к настоящему времени получены значительные результаты. В первую очередь они объясняются использованием огромных возможностей современных вычислительных машин. Методы решения обычно заимствовались из арсенала теории управления техническими объектами. Практика показала, что простой перенос идей из техники в биофизику не дает желаемых результатов. Стало очевидным, что необходимо создание специальных методов анализа.
В биологических задачах, как правило, предполагается использование принципов управления, не имеющих аналогов в технике. Важным примером такой ситуации является проблема получения максимального урожая от эксплуатируемой популяции. Управление состоит в изъятии особей из популяции. Механизм добавления обычно не используется. При выращивании растений на сельскохозяйственном поле управление сводится к увлажнению почвы, внесению удобрений и т. д. Искусственное иссушение или изъятие питательных веществ из почвы не практикуется. Применение односторонних управляющих, воздей ствий имеет место также в микробиологическом производстве и медицинской практике. В технических задачах, напротив, предполагается возможность двухсторонних воздействий на объект: ускорения и торможения, подъема и спуска самолета и т.д.
Другая особенность биологических, систем состоит в том, что состояние таких систем обычно задается положительными величинами. Концентрации компонент биохимических реакций, распределение биомассы живого организма по органам, численность популяций и сообществ -суть величины неотрицательные. В технических задачах подобные ограничения обычно не возникают.
Целью настоящей работы является развитие принципов управления биологическими системами. Эта задача имеет два естественных этапа решения. Первый этап состоит в том, что изучается динамика биологических систем при постоянных значениях управляющих параметров. Сюда относятся: исследование устойчивых структур, анализ процесса потери устойчивости и рождения автоколебаний, исследование случая крайней неустойчивости -хаотических структур. Второй этап решения состоит в изучении реакций биологических систем на изменения управляющих: параметров в процессе движения. Сюда относятся: вопросы управляемости биологических систем и проблема разрешимости задачи оптимального управления.
Совершенно необходимым элементом исследования является применение общих результатов к анализу конкретных биологических объектов. В связи с этим каждый существенный теоретический вывод проверяется на конкретной! модели биологического объекта. Высокая общность рассмотрения приводит к тому, что диапазон применимости весьма широк. Это экосистемы с различными типами взаимодействий, модель устьичной регуляции растения, модель биохимической кинетики, управление культивированием одноклеточных, вопросы оперативного управления продукционным процессом.
Основным объектом математического анализа является модель компартментальной биологической системы с лимитированием. Такая система представляет собой цепь камер или компартментов, объединенных перетоками вещества или энергии между ними. Не исключены притоки из внешней среды и преобразование субстанции в каждом отдельном компартменте.Лимитирование означает зависимость скоростей преобразования вещества или энергаи от количества субстанции в системе.
В первой главе дан обзор современного состояния вопроса по детерминированному моделированию компартментальных биологических систем с лимитированием Сстохастический аспект не рассматривается) .Наиболее характерным примером таких систем являются модели динамики численности популяций: и сообществ, а также модели биохимической кинетики. Проведено сравнение метода аналитического и имитационного моделирования и обсуждены их достоинства и недостатки. Рассмотрены вопросы управления биологическими системами. В этой же главе построены общие модели компартментальных биологических систем, функционирующих в условиях лимитирования•
Во второй главе рассмотрены вопросы существования и устойчивости стационарных режимов и исследованы условия существования устойчивых ограниченных структур. Полученные результаты применены к анализу процесса непрерывного культивирования при одноступенчатом и многоступенчатом культивировании.
В третьей, главе изучены условия возникновения автоколебаний в моделях компартментальных биологических систем.Исследована бифуркация рождения периодических решений, и рассмотрен вопрос устойчивости колебаний.Доказан глобальный колебательный характер изменения численности популяции в случае неустойчивости стационарного режима и рассмотрены условия рождения нелокальных колеба ний большой амплитуды. Полученные результаты применены к некоторым моделям биохимической кинетики и анализу колебательных режимов устьичного аппарата высших растений,
В четвертой: главе приведена общая модель динамики численности популяций с неперекрывающимися поколениями. Она является примером компартментальной биологической системы с дискретным временем, которая не сводится к рассмотренным ранее моделям при бесконечном уменьшении временного шага.
Специфика модели динамики численности популяции с неперекрывающимися: поколениями естественно приводит к анализу динамических систем с бесконечным фазовым пространством. Дается математическое определение хаотической структуры и выводятся конструктивные условия рождения! этой структуры. В конце главы сформулированы условия рождения хаотических режимов в конкретных моделях динамики численности популяций и сообществ.
В пятой главе приведено решение проблемы управления ком-партментальными биологическими объектами. В начале главы дана постановка задачи управления воздействиями одного знака и доказана возможность стабилизации биологической системы с помощью таких воздействий на любые параметры системы в случае малых отклонений от равновесного состояния. Доказана достижимость ВСЯР-кого равновесного состояния биологического объекта из любой начальной точки при управлении только скоростями изъятия и добавления. Выяснены причины неразрешимости задачи максимального быстродействия и выделен класс разрешимых задач динамической оптимизации биологических систем. Рассмотрены конкретные реализации принципов одностороннего управления при непрерывном культивировании одноклеточных организмов и оперативном управлении продукционным процессом.
В шестой главе рассмотрена структура диссертации и на содержательном уровне дана сводка основных результатов. С целью иллюстрации развитых в работе принципов управления изучена классическая задача наискорейшего выведения системы культи-вированшг в стационарный режим. Показана неразрешимость этой задачи в точке максимальной продуктивности. Продемонстрированы пути решения задачи оптимальной стабилизации стационарного режима.
Анализ качественных свойств нелинейных компартментальных моделей требует привлечения! довольно сложного математического аппарата. Специфика этих моделей состоит в том, что задаваемые ими динамические системы определены в положительных конусах Поэтому даже такая: сравнительно простая задача как отыскание стационарных решений, осложнена не только тем, что рассматриваемые уравнения! нелинейны, но и тем, что исследуется; существование лишь положительных решений. В данном случае приходится использовать теоремы о собственных векторах: нелинейных операторов, оставляющих, инвариантными конус банахова или евклидова пространства.
Вопросы устойчивости стационарных, решений, а также вопросы существования асимптотически ограниченных структур осложнены сужением фазового пространства на положительный конус. В связи с этим аппарат функций Ляпунова оказывается неэффективным и привлекаются! более современные методы теорем сравнения, а также методы анализа оператора сдвига вдоль траекторий. В отличие от классических задач все время используется не только топологическая, но и порядковая структура пространства. Исследование устойчивости периодических движений связано с мо дификацией метода Малкина-Лурье для анализа моделей многомерных биологических систем. При исследовании хаотических структур привлекаются идеи дифференциальной топологии, а также такое теоретико-множественное понятие как проектный предел топологических пространств. Строгие математические доказательства часто громоздки и их изложение параллельно с содержательными результатами сильно затрудняет чтение. Поэтому доказательства всех основных утверждений вынесены в приложение. Нумерация формул и доказываемых утверждений сквозная внутри каждой главы. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер формулы или утверждения. При ссылках на формулы в приложении вначале ставится буква "П", затем -номер главы и, наконец, номер формулы.
. Общий вид моделей компартментальных биологических систем с лимитированием
Возникший в последнее время метод имитационного моделирования превратился в один из мощных инструментов анализа биологических систем [ 92, 56, 74, 106, 150 ] . Имитационная модель представляет собой реализованную на ЭВМ комплексную модель сложной системы, предназначенную для получения информации о поведении этой системы путем проведения машинных экспериментов. В некотором смысле имитационная модель является упрощенным аналогом реального объекта, исследование которого возможно только экспериментальным путем. Существенное преимущество имитационного эксперимента по сравнению с натурным состоит в оыстроте, сравнительной дешевизне и доступности самого богатого многообразия возможных вариантов. Кроме того, имитационная модель позволяет изучать ситуации, которые в естественных условиях привели бы к летальному исходу. Возникает вопрос, нужны ли аналитические модели и их качественное исследование в момент, когда создано столь мощное оружие анализа сложных биофизических проблем. Опыт работы с имитационными моделями I 41, 42» 87» 49 ] говорит о том, что качественное исследование аналитических обобщенных моделей совершенно необходимо для эффективного использования и осмысливания результатов как имитационного, так и натурного эксперимента. Дело в том, что аналитические модели носят концептуальный характер и позволяют .отказаться от слепого перебора бесконечного числа вариантов, показать какие задачи разрешимы, а какие принципиально не имеют решения в силу некорректности постановки задачи. Примером такой ситуации может служить исследование управляемости модели динамики численности популяции воздействиями одного знака из пятой главы.
В то же время предварительное качественное исследование позволяет сформулировать условия, при которых попытки решить проблему с помощью имитационного или натурного эксперимента должны в конечном счете привести к успеху.
Из приведенного обзора видно, что анализ динамики численности популяций и сообществ и других систем компартментальяого типа приводит к классу новых математических моделей. Прежде всего это связано с тем, что фазовым пространством модели биологического объекта является положительный конус векторного пространства.
Адекватное описание сложных компартментальных систем требует изучения нелинейных многомерных систем уравнений, для которых одномерный и двумерный случаи являются вырожденными. Качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости неприменима к таким моделям, и успех в решении большого числа задач биологической физики связан с разработкой специальных методов анализа нелинейных систем высокой размерности, оставляющих инвариантным положительный конус векторного пространства. Для того, чтобы успешно решить эту задачу, необходимо выделить наиболее фундаментальные математические структуры, присущие богатому множеству конкретных биологических моделей и показать их роль в проявлении тех или иных свойств объекта. Отсюда требование к максимальному обобщению изучаемых систем.
Принципы управления биологическими объектами почти не име ют аналогов с возникающими в технике задачами автоматического управления и регулирования. Для анализа биологических систем необходим новый подход, создание которого естественно распадается на два этапа. Прежде всего это исчерпывающее исследование таких классических вопросов, как существование, единственность и структурная устойчивость стационарных режимов, устойчивость по Ляпунову или практическая реализуемость этих режимов, возникновение и устойчивость колебательных режимов, а также появление более сложных хаотических режимов. После того как этот этап пройден, возможен качественный анализ поведения биологических объектов при наличии внешних воздействий. Специфика задачи управления биологическими системами состоит в том, что в большинстве случаев доступны воздействия лишь одного знака, а воздействия противоположного знака либо принципиально исключены, либо экономически нецелесообразны. Поэтому завершающий этап создания теории управления биологическими системами сводится к изучению условий применимости односторонних управлений, а также выделению класса оптимизационных задач, разрешимых с их помощью.
Асимптотическая ограниченность решений
В рассматриваемых моделях управляемых компартмеяталь-ных систем стационарные режимы далеко не всегда являются устойчивыми и тем более притягивающими множествами для всех начальных состояний системы. Поэтому самостоятельный интерес представляет вопрос о том, в каких случаях показатели состояния биологической системы, независимо от начальных условий со временем попадают в некоторый ограниченный диапазон, а также вопрос о существовании ограниченного множества в фазовом пространстве системы, начавшись в котором траектории его не покидают. В отличии от обычной для подобных задач ситуации [ 84 J особенность наших рассмотрений состоит в том, что динамические системы, задаваемые уравнениями (1.4) и (1.5), определены в положительном конусе евклидова пространства и при положительном времени не покидают его. Кроме того, нам необходимо исключить из области притяжения нулевую точку, установив тем самым факт невырождения биологической системы. Для уравнения (1.4) точка Х-0 является стационарным решением. Условия, при которых она является отталкивающей, содержит
Теорема 2.9. Если выполнены условия теоремы 2.1 о существовании нетривиального стационарного решения уравнения (1.4), то асимптотически устойчивое множество oJ -предельных точек [75] решений этого уравнения, начинающихся в R.+ N(oj , не содержит начала координат.
Доказательство дано в приложении.
Для того, чтобы доказать существование при тяги ващего ограниченного множества в фазовом пространстве системы (1.4), приходится предполагать конечность значения лимитирующего фактора, при котором наступает вырождение системы. Кроме того, приходится предполагать либо зависимость лимитирующего фактора от всех компонент вектора состояния системы, либо выполнение условия равномерного торможения процесса роста всех компонент системы при возрастании лимитирующего фактора. Формализацией последнего понятия является следующее
Определение . Оператор F равномерно вырождается при - S , если Fg 0 и существует непрерывная неотрицательная функция (2) такая, что оператор /$($) определен, непрерывен и неразложим при всех $ й « , включая S o.
Содержательно свойство равномерного вырождения говорит о том, что с ростом лимитирующего фактора степень замедления скорости преобразования вещества или энергии имеет один порядок во всех компартментах биологической системы. Если условие равномерного вырождения нарушено, то могут возникнуть „ ситуации, при которых производные от части компонент вектора X будут сколь угодно малыми числами и поэтому рост соответствующих компонент прекратится, а производные от другой части компонентoe d,. - .х будут большими положительными числами и эти компоненты будут неограниченно расти. В последнем случае диссипативность всей системы возможна лишь в том случае, когда все компоненты вектора X влияют на степень лимитирования. Таким образом имеет место
Теорема 2.10. Если $-- конечное число, множество Ч(Х) 5оо асимптотически устойчиво и выполнено одно из условий: а)Ч(х) 0 приХ$0 б) оператор F$ равномерно вырождается и V 0 , то все решения системы (1.4) при достаточно больших попадают в ограниченное множество и не покидают его. Если выполнено условие (б) и V=0 , то любое решение уравнения (1.4) остается ограниченным при всех t O .
Доказательство дано в приложении.
В системе с внешними источниками точка %-0 , очевидно, не является стационарным решением. Все решения покидают ее окрестность за конечное время, и поэтому наша задача ограничивается доказательством ограниченности: решений уравнения (1.5). Её решение достигается почти при тех же условиях, что и в предыдущей теореме.
Теорема 2. II. Если V 0 и выполнены условия теоремы 2.10, то все решения системы (1.5) при достаточно больших попадают в ограниченное множество и не покидают его. Доказательство дано в приложении» Таким образом мы нашли условия, при выполнении которых размеры биологической системы, независимо от начальных ус ловий со временем попадает в некоторый ограниченный диапазон. Следствием аоимпшотической ограниченности является существование ограниченного инвариантного множества в фазовом пространстве изучаемых систем, устойчивого в целом [84] во всем положительном конусе. Более того, существует окрестность нетривиальной стационарной точки, которая за конечное время отображается в себя [84] . Поэтому норма всех решений уравнений (1.4) и (1.5) из малой окрестности стационарной точки ограничена для всех положительных значений времени.
Существование колебаний в нелокальном случае
В первом параграфе этой главы было показано, что при неустойчивости стационарного решения в моделях компартменталь-ных биологических систем локальное движение в окрестности стационарной точки носит колебательный характер. Введение малого параметра позволило установить факт рождения периодических решений, которые лежат достаточно близко от этой точки, і&тественно возникает задача исследования условий рождения колебательных решений в нелокальном случае, когда неоправдано введение малого бифуркационного параметра, а также задача исследования динамики решений с произвольными начальными данными из области задания системы. Ввиду большой сложности этой задачи ограничим наше рассмотрение моделью (2.17), определенной в инвариантном множестве И ч0, считая, что предложения 4 главы П о правой части уравнения (2.17) выполнены. Напомним, что данное уравнение описывает динамику эксплуатируемой популяции с возрастной структурой в случае чистого потребления.
Предложение 3,6, Всякое решение уравнения (2.17), начинающееся BR. } 0 , может лежать на конечном расстоянии от гиперплоскости 0- У=$р-$ лишь конечное время доказательство дано в приложении.
Стационарная точка % принадлежит гиперплоскости (г У = =p-s и не является репеллером, т.е. существует многообразие ненулевой размерности w , являщееся инвариантным множеством уравнения (2.17) и такое, что всякое принадлежащее ему решение стремится к стационарной точке. Действительно, т.к. след матрицы линейного приближения в силу предложения 3.5 неположителен и нет нулевых собственных значений, при неустойчивости должны существовать собственные значения с положительной и отрицательной вещественной частью.
Если стационарная точка неустойчива, то размерность этого многообразия меньше размерности фазового пространства уравнения,и движения, не принадлежащие W , обладают колебательными свойствами. Точнее имеет место [39І .
Практическое значение данного результата сводится к тому, что в популяции с возрастной структурой, размножающейся при стационарных внешних условиях и отсутствии каких-либо периодических возмущений, суммарная численность может колебаться около некоторого постоянного уровня. При этом амплитуда колебаний не убывает со временем и может быть достаточно большой. Причиной таких колебаний является существенное различие в реакциях возрастных групп на недостаток источников питания или ограниченность жизненного пространства.
Сформулируем результат о существовании периодического решения в строгом смысле этого слова для модели динамики численности популяции с возрастной или фазовой структурой. Идея доказательства существования периодического решения состоит в построении выпуклого инвариантного компактного множества 5) , которое фазовым потоком уравнения (2.17) отображается в себя [вд] . При построении этого множества решающую роль будет играть результат предложения 3.7. Неподвижная точка отображения множества Я) в себя, отличная от начала координат и стационарного решения У0 , будет задавать начальное условие для искомого периодического решения. Существование периодического решения будет следствием соответствующего варианта теоремы о неподвижной точке [іІ8, 172] .
Введем некоторые обозначения. Через 01() будем обозначать некоторую окрестность множестваФ , через Н - гиперплоскость Q- У-Сг І. Пользуясь тем, что положительно инвариантным множеством уравнения (2.17) является конус [lje+ АУ 0 J f который содержит внутри себя стационарное решение & , все условия в формулируемой ниже теореме будем считать выполненными лишь на этом конусе.
Условия рождения хаотических структур в моделях динамики численности популяций
При численных экспериментах с двумерной моделью типа (4.1) было замечено, что при си , постоянном, &t.(s) -&i (i"s) , &M %l(t-s) -&1, близком к максимальному и &9 близком к минимальному значению, из некоторой области допустимых значений параметров 4 и ь, система (4.1) демонстрирует "одномерный хаос" [ібб]. Если же #J близко к максимально допустимым значениям, то "хаос" визуально выглядел как двумерный [165]. Легко видеть, что в двумерной модели вида (4,1) при больших %і и малых %ь одно собственное значение матрицы А (о) лежит вне единичного круга, а другое - внутри его. При больших значениях iL оба собственных значения матрицы А (о) не принадлежат единичному кругу. Поэтому в первом случае неустойчивое многообразие нулевой точки одномерно, а во втором случае двумерно.
В данном параграфе интуитивному представлению о "размерном хаосе" будет сопоставлено точное математическое понятие размерности неустойчивого многообразия, в окрестности которого рождаются структуры, визуально характеризуемые как "хаотические". Кроме того, будет приведено условие рождения таких структур в динамических системах с дискретным временем.
Обозначим через Г = ТЇ \о,Ц множество односторонних по-следовательностей и через t - оператор сдвига на один индекс влево. Пусть Е - банахово пространство, Or - Е" Е - непрерывное отображение, d - расстояние между множествами в пространстве Е , а оііат, - диаметр множества. Визуальные признаки нерегулярного поведения траекторий динамической системы Xi+ix0-)таковы: а) существует бесконечное число периодических решений разного периода; б) существует бесконечное несчетное множество точек, которые демонстрируют случайное поведение; г) имеется чрезвычайная чувствительность к начальным данным. Выполнение этих признаков легко гарантировать, если показать, что существует инъекция к пространства 2Г в пространство Е , которая вместе с оператором сдвига на один индекс X образует коммутативную диаграмму по отношению к отображению (г. т.е. K/C-Q-lx \ъ\. Мы рассмотрим более слабое условие -коммутативности [46І : где к. О при К- " » f A . Тогда аналогом периодических точек будут инвариантные множества сколь угодно малого диа метра: 1. Существует бесконечная последовательность множеств;. \%і\. аз Е такая, что для любого K»N имеет место 0-К(6к)сВ Ъскат,Вк Вк , где к определены в формуле (4,9). Условие непредсказуемости поведения несчетного множества траекторий имеет вид: 2. Существует число d0 , не зависящее от к и такое, что при всех Ю№ имеет место tun аироЦО- х), Q-n(y)) ofe , К-1» со где Х,У к (І), Х У 3. Для любого 2&hK(1) такого, что (і к (2) не явля ется периодической последовательностью,и любого множества В к имеет место неравенство 4n. iup &{ Gr42),Crh(В ) (L, где я.е определено в пункте 2. Условие того, что разбегающиеся траектории могут находиться в некоторые моменты времени сколь угодно близко, принимает вид: 4. tcm 1к! А 1(Л ),№)) , если "ак(х) а ак(У) совпадают хотя бы в одной точке.
Определение . Если траектории динамической системы, задаваемой оператором О- , удовлетворяют условию (4.9) и условиям 1-4, будем говорить, что данная система обладает свойством С k. .
Прежде чем перейти к рассмотрению условий, при которых t динамическая система X .+t " G-(Xt) обладает свойствами civ t введем некоторые дополнительные обозначения и сформулируем один вспомогательный результат.
В дальнейшем через С (А,Е) будем обозначать класс функций F:A " E , отображающих подмножество А банахова пространства Е в пространство Е , непрерывно дифференцируемых по Фреше и таких, что их дифференциал DF удовлетворяет условию Липшица. ОЧЕВИДНО, что дважды непрерывно дифференцируемые функции принадлежат классу С4,1(А,Е). На протяжении всего параграфа будем предполагать, что О- С (Е.Е) имеет неподвижную точку 0 и спектр дифференциала ЪР(о) в неподвижной точке распадается на непересекающиеся множества Spi и рг такие, что
Пусть Ее - инвариантное подпространство оператора DQ- (о) , соответствущее Spc (0-=1,2.) Через Ррс [i-itx) будем обозначать проекции Е на подпространство Ее (і і, г). Предположим, что Ег имеет конечную размерность. Напомним теорему об инвариантном многообразии, являющуюся перенесением хорошо известных результатов [69, 149] на бесконечномерный случай [46] .
