Содержание к диссертации
Введение
2 О постановке задачи iv тел и некоторых результатах 14
3 Решения задачи n тел в случае больших скоростей без сближений 32
3.1 Одиночные тела 32
3.2 Ограниченная гиперболическая задача трех тел 41
3.3 Двойные подсистемы 46
3.4 Об интегрируемости уравнений движения 47
3.5 Об устойчивости планетных систем относительно соседних звезд 49
4 Решения задачи трех тел в случае больших скоростей с одним сближе нием 53
4.1 Порождающие решения 53
4.2 Построение траекторий и сходимость пикаровских итераций 58
5 Свойства порождающих стохасти ческих движений в гравитационном поле солнечной системы 64
5.1 Метод точечных гравитационных сфер 64
5.2 Преобразование орбиты при гравитационном маневре 72
5.3 О максимальной скорости, совместимой с захватом на эллиптическую орбиту 79
5.4 Кеплеровы орбиты соударения 85
5.5 Метод построения порождающих стохастических движений 91
5.6 О структуре стохастических движений в ограниченной задаче трех тел 94
5.7 Достижимые кеплеровы орбиты в случае планет с нулевыми наклонами и эксцентриситетами 102
5.8 Достижимые кеплеровы орбиты в случае одной планеты с ненулевым эксцентриситетом орбиты 108
5.9 Возможности перехода между кепле-ровыми орбитами в гравитационном поле солнечной системы 113
5.10 Примеры порождающих стохастических движений и их свойства 117
6 О траекториях, соответствующих по рождающим стохастическим движе ниям 123
6.1 Метод построения траекторий по порождающим решениям 123
6.2 Примеры стохастических траекторий 128
6.3 О возможности построения траекторий, близких к порождающим решениям 134
Заключение 141
Литература 144
- О постановке задачи iv тел и некоторых результатах
- Ограниченная гиперболическая задача трех тел
- Построение траекторий и сходимость пикаровских итераций
- О максимальной скорости, совместимой с захватом на эллиптическую орбиту
О постановке задачи iv тел и некоторых результатах
Постановка классической небесномеханической задачи N тел со времен Ньютона эволюционировала вместе с развитием естественных наук и математики. Большинство работ посвящено важнейшему частному случаю — задаче трех тел. "С тех пор уже почти 300 лет эта задача служит пробным камнем, на котором поколения математиков испытывают новые методы исследования. ... А.Упнтнер заметил однажды, что каждое поколение по-своему формулирует "основные проблемы в задаче трех тел" и по-своему их решает." [5], [6]. Поразительно внутреннее богатство задачи трех и N тел. И сегодня она остается вдохновляющим источником новых идей, методов и результатов в различных областях науки.
Следует отметить, что создание дифференциального исчисления и методов решения дифференциальных уравнений в значительной степени происходило под влиянием и на материале астрономических проблем, задач небесной механики и особенно задачи N тел.
Несомненные успехи небесной механики в описании движений тел Солнечной системы нашли отражение в методологии естественных наук и философии ("лапласовский детерминизм").
Годом рождения задачи N тел не без основания считают 1687 — дату выхода в свет Ньютоновых "Начал... " — Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (перевод на русский язык в [53]). За- дача двух тел была проинтегрирована и решена практически тогда же. Она послужила удовлетворительным первым приближением для траекторий тел Солнечной системы. По аналогии с задачей двух тел задачи трех и большего числа тел проинтегрировать не удавалось. Довольно быстро были найдены классические частные решения Эйлера и Лагранжа в задаче трех тел (краткое изложение истории и дальнейшие ссылки можно найти в [81]). В XVIII веке были разработаны первые варианты методов теории возмущений, позволяющие приближенно решить соответствующую задачу N тел на ограниченном интервале времени, пользуясь близостью траекторий к кеплеровым (малостью масс планет, а также отсутствием тесных сближений). Практические запросы астрономии стимулировали эти исследования. Особую роль сыграло построение теории движения Луны, оказавшееся весьма трудной задачей. Исторический обзор приведен в [81]. Методы теории возмущений представляют траектории аналитически с помощью отрезков рядов, сходимость которых в первое время не исследовалась. Тем не менее эти ряды позволяли решать практические задачи астрономии, предсказывать положения тел Солнечной системы. Теоретическое обоснование дано в классической работе Пуанкаре [64], для чего использовано важнейшее понятие асимптотических рядов. В дальнейшем методы теории возмущений, впервые примененные в задаче N тел, получили широкое распространение в других областях естествознания и техники (см.. например, [22], [19]). В настоящее время разработаны многочисленные модификации этих методов (см., например, [28]. [29J. 87). решены многие (но далеко не все) связанные с ними математические проблемы, в частности, касающиеся областей применимости теории возмущений, сходимости рядов (см., например, [28]. [29), 87). Необходимо отметить, что эти проблемы оказываются исключительно трудными и далеки от исчерпывающего решения.
Различные варианты методов теории возмущений находят сегодня широкое применение в небесной механике и механике космического полета. Укажем на замечательный результат М.Л.Лидова о быстром падении на Землю "Луны" с наклоном около 90 градусов (результат изложен, например, в [16]). Методом осреднения получены многие другие качественные и количественные результаты о поступательном и вращательном движении искусственных и естественных небесных тел. Так, поступательное движение исследуется в работах М.А.Вашковьяка ([23], [24], [25] и других), вращательное — в работах В.В.Белецкого ([17] и других).
Одной из труднейших фундаментальных проблем, тесно связанных с задачей N тел и сходимостью рядов теории возмущений, является проблема устойчивости Солнечной системы. Со времен Ньютона она стимулировала разработку новых методов исследования [106), [64]. В качестве примера можно указать знаменитую теорию Колмогорова-Арнольда-Мозера, или КАМ-теорию ([50], [51], [8], [9], [10], [59]) — фундаментальный результат, значение которого выходит далеко за пределы небесной механики, теории дифференциальных уравнений, или какой-то другой области науки. Только в настоящее время в связи с прогрессом как классической математики, астрономии, так и вычислительных средств и методов, проблема устойчивости Солнечной системы в определенном смысле приближается к разрешению [107].
Несомненным триумфом небесной механики и вообще естественных наук явилось открытие Нептуна "на кончике пера" (история и дальнейшие ссылки в [81]). Для этого пришлось решать не задачу построения траектории по известному возмущающему ускорению, а обратную задачу. Существенно, что "задача N тел" не сводится к построению отдельных траекторий небесных тел по начальным данным. Она предполагает создание инструментария для эффективного решения большого числа частных задач, связанных с траекториями тел.
Ограниченная гиперболическая задача трех тел
Покажем сходимость пикаровских итераций на всей оси времени в плоской ограниченной гиперболической задаче трех тел Солнце-планета-звезда при естественных ограничениях. Методика аналогична использованной в предыдущем параграфе 3.1. Планета, движение которой исследуется, не влияет на гиперболическое движение Солнца и звезды относительно общего центра масс. Предполагаем, что скорость звезды достаточно велика, а минимальное расстояние ее до Солнца существенно превышает афелийное расстояние планеты. Естественно, порождающее движение планеты — кеплерово эллиптическое. Введем гелиоцентрические декартовы координаты с осью абсцисс, направленной от Солнца в перицентр гиперболы. Эпоха прохождения звездой перицентра принята за начало отсчета времени. В стандартных обозначениях координаты звезды суть Малым параметром задачи считаем Движение планеты в той же гелиоцентрической системе координат описываем кеплеровыми оскулирующими элементами Є{\ а,е,д,\ — соответственно большая полуось, эксцентриситет, аргумент перицентра, отсчитываемый от направления на перицентр гиперболы, а Л = М + д, где М - средняя аномалия. Возмущенное движение планеты описывается уравнениями Эйлера вида (8) вместе с уравнением (7) Получим некоторые оценки, предполагая, что элементы орбиты планеты находятся в области T)(Ra,b, В), задаваемой ограничениями г qJl В квадратных скобках стоят комбинации оценок сверху производных координат по элементам. Очевидно, координаты, как и другие функции кеплерова движения, ограничены в рассматриваемой области D вместе с производными. Таким образом, правые части (8), обозначаемые F{. удовлетворяют неравенствам вида Переходим к пикаровским итерациям. При фиксации начальных данных е(0) система (7), (8) для а,е,д,Х эквивалентна системе интегральных уравнений. Три уравнения (26) (г = 1,2,3) для а,е,д и четвертое уравнение (27) для Л. Последнее отличается от трех первых дополнительным интегралом в правой части. Очевидно, эта величина ограничена в области D вместе с производной по а. Максимум модуля этой производной в области D обозначим Q,a. Оценивая правые части последних интегральных уравнений, мы добавляем в правые части оценок для АЛ в соответствии с (27), (28) дополнительное слагаемое Оценка возмущений элементов в первой итерации метода Пикара, а также оценка разностей последовательных итераций на всей оси времени с учетом приведенных соотношений опирается на сходимость интегралов вида и малость этих интегралов вместе с 5. Скорость сходимости пикаровских итераций определяется величиной \/б, что следует из (31), (32). Можно построить решения в виде рядов по степеням этой величины. Ясно, что при 5 = 0 орбита не эволюционирует. Из (23) получается оценка изменения элемента ег(г = 1,2,3) на промежутке времени (, со) (при t 0)
Построение траекторий и сходимость пикаровских итераций
Во всех случаях, рассмотренных в предыдущем параграфе 4.1, для построения точных решений на всей оси времени эта ось разбивается на три части. В каждой части сходимость доказывается по апробированному уже сценарию. В окрестности перицентра гиперболы эта сходимость обусловлена малостью интервала времени и ограниченностью возмущающих сил. Доказательство фактически повторяет рассуждения классической теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений. В двух других бесконечных в одну сторону отрезках сходимость обусловлена достаточно быстрым убыванием возмущающих сил и ограниченностью их максимального значения. Доказательство фактически повторяет рассуждения параграфа 3.2.
Остается убедиться, что действительно имеет место обмен (или распад). Для этого еще следует проанализировать отображение сдвига за малый интервал времени в окрестности перицентра гиперболы. В случае обмена формулы выглядят следующим образом.
Обозначим звезды S\,S2. Вначале планета движется вблизи Si, после обмена — вблизи S - Массы звезд одинаковы и равны М, гравитационная постоянная G, GM = (і. В барицентрической системе эксцентриситет орбит звезд, близкий к единице, обозначим е , большую полуось орбит звезд, близкую к нулю, обозначим а . Считаем далее большую полуось а положительной. Пусть звезды находятся в перицентре гиперболических орбит в момент t = 0.
Введем три системы координат: Л, Лг, Лг . Система Л — барицентрическая прямоугольная с осями ж, у имеет ось абсцисс, направленную по линии апсид звезд. Две системы ЛІ(І = 1,2) с осями ;, r]i: параллельными осям барицентрической системы координат, имеют центры в S{. Кеплеровы элементы планеты относительно звезд мы также будем снабжать индексами 1,2. Пусть т 0 — достаточно малое число. Рассматриваем движение
На интервале времени [—т, г], в течение которого и происходит обмен, порождающее движение планеты — прямолинейное равномерное.
Обозначим через X, Y, X, Y координаты и скорости звезды 5г в эпоху т в системе Л. По симметрии фазовый вектор S2 в эпоху —т есть X, —Y, —X, Y. Фазовый вектор Si в системе Л в эпоху т есть —X, —Y, —X, —Y, а в эпоху —г есть —X, Y,X, -Y. По формулам гиперболического движения
Величина аі задает линейный масштаб, она же обозначает большую полуось планеты относительно Si в эпоху -г, величина щ = y/2fi/a\ задает масштаб средних движений, число L 1.
Далее нам понадобятся представления которые легко получаются из формул (3) — (5) (многоточиями обозначены члены более высокого порядка относительно є). Справедливы следующие два утверждения. 1. Пусть Di Э Di — две односвязные области, принадлежащие части плоскости (oi,ei) : а\ 1,е\ 1, причем одна область находится целиком внутри другой вместе с замыканием. Тогда для всех достаточно малых є если (аі,еі) Є Di при t = —г, то (аі,еі) Є Di при любом t —т. Далее, для всех t —т величины \a\(t) — а\(-т)\ и \e\(t) — ei(—г)I стремятся к нулю вместе с є равномерно по t. Для всех достаточно малых є решения с начальными данными из D\ при t = —т можно продолжить назад методом Пикара, причем итерации сходятся равномерно по t. Совершенно симметричное утверждение справедливо для интервала t т. Нужно заменить —г на т. значок 1 на значок 2, на . Доказательство почти дословно повторяет рассуждения из предыдущей главы. Решающие условия — наименьшее на рассматриваемом интервале времени расстояние до возмущающей звезды не является малым (L 1), скорость ее удаления велика вместе с І/є — выполнены. 2. Рассмотрим отображение фазовых пространств Ф: которое является суперпозицией трех отображений Фі,Ф2, Фз:
Утверждается, что для достаточно малых є некоторая область Gi первого фазового пространства {і,т]і,---) такова, что среднее отображение Фг (сдвиг барицентрических координат и скоростей за время 2т) и все отображение Ф близки к тождественному (если, конечно, считать пространства с индексами 1 и 2 двумя экземплярами одного пространства). Кроме того, среднее отображение может быть найдено с помощью пикаровских итераций, сходимость которых гарантируется. Два других отображения являются простыми сдвигами. От области Gi фактически требуется лишь положительность щ(—т) и ограниченость г)\(—т).
Рассмотрим подробнее обоснование второго утверждения. Часть его. касающаяся сдвига за время 2т, является следствием классической теоремы Пикара (существования и единственности решений дифференциальных уравнений). Достаточно потребовать вышеуказанных ограничений на Gi и малости т (или є).
О максимальной скорости, совместимой с захватом на эллиптическую орбиту
Рассмотрим ограниченную круговую задачу трех тел. Массивное тело назовем Солнцем, тело малой массы на круговой орбите — планетой, тело нулевой массы на первоначально гиперболической орбите — кометой. Исследуем возможность захвата кометы в Солнечную систему.
Проблема происхождения комет является одной из фундаментальных проблем астрономии. В настоящее время существует несколько конкурентоспособных гипотез: облако Оорта [ПО], внутреннее кометное облако [102], остатки планетезималий [101], [65], реликтовые кометные зоны в планетной области [89], извержение из недр планет и их спутников [26], захват частиц из межзвездного пространства [106], [119]. [99], [118], [93], (83]. Однако ни модели происхождения комет "внутри" Солнечной системы, ни модели, связанные с захватом, пока не дают безупречных объяснений всех наблюдаемых явлений.
Гипотеза захвата межзвездных комет рассматривалась еще Лапласом. Этому сценарию посвящено большое количество работ (выше приведена небольшая выборка), в которых рассматриваются различные его аспекты. В частности, большую роль играют новые результаты, касающиеся гигантских молекулярных облаков. Возможный механизм захвата отдельной частицы ясен: при тесном сближении с планетой происходит преобразование гиперболической орбиты в эллиптическую, так сказать, гравитационный маневр. Используем описанный в п.5.1 метод ТГС для оценки возможностей захвата кометных ядер планетами Солнечной системы.
Один из вопросов в сценарии захвата — максимальная гелиоцентрическая скорость кометы "на бесконечности", при которой еще возможен ее захват различными планетами. (Отметим в скобках, что этот же вопрос естественно возникает при изучении межзвездных космических полетов, когда движение рассматривается "в обратном направлении": какова максимальная скорость, с которой можно покинуть Солнечную систему после гравитационного маневра?).
В цитированных выше работах максимальная допустимая для захвата скорость неоднократно оценивалась при различных предположениях.
Так, Томанов [83] приводит ее значения (в км/с) 5.3, 6.2, 5.5, 3.0, 6.5, 3.7. 1.9, 1.6 для планет от Меркурия до Нептуна соответственно. При вычислениях использовался метод сфер влияния (Ки лика).
В работе [93] сказано, что захват Венерой и Землей при 5 км/с возможен, 10км/с — предельное значение, соответствующее "царапающим" атмосферу орбитам. Предполагалось, что частицы летят из апекса Солнца. Использовался метод точечных гравитационных сфер.
В статье 119 с использованием численного интегрирования к метода Монте-Карло получены оценки скорости, при которой возможен захват большого числа комет, входящих в облако Оорта. Получилось примерно 1км/с. Задача о максимальной скорости захвата не рассматривалась, поскольку захват с такой скоростью — редкое явление.
В работе [118] методом точечных гравитационных сфер рассматривался захват частицы со скоростью "на бесконечности" 20 км/с, соответствующей скорости пекулярного движения Солнца. Получено, что такие частицы может захватывать лишь Юпитер.
Постараемся дополнить и уточнить приведенные данные. Для определения максимальной скорости "на бесконечности", при которой еще возможен захват частицы на эллиптическую орбиту после сближения с данной планетой, рассмотрим движение "в обратном направлении". Именно, найдем максимальную скорость после сближения, если исходная орбита — параболическая, предельный случай эллиптической. Орбита планеты круговая, скорость планеты равна U. Трансверсальная, радиальная и бинормальная компоненты планетоцентрической скорости частицы в момент соударения перед взаимодействием: (V — соответствующий вектор гелиоцентрической скорости, С\,С2,Сз — направляющие косинусы). Поскольку исходная орбита — параболическая
