Содержание к диссертации
Введение З
1. Общая теория построения условно-периодических реше-
ife ний гамильтоновых систем 13
Постановка задачи 13
Исключение короткопериодических членов гамильтониана 16
Стационарные решения 20
і 4. Построение условно-периодических решений 21
2. Силовая функция взаимного притяжения двух твердых
тел 25
Некоторые сведения о сферических функциях 27
Силовая функция взаимного притяжения двух твердых тел 28
Силовая функция в случае Дубошина 35
Силовая функция в переменных Делоне-Андуайе .... 38
Переход к действительным постоянным Стокса 44
Связь между постоянными Стокса и моментами инерции t " тела 47
3. Дифференциальные уравнения поступательно-вращатель
ного движения двух твердых тел в переменных Делоне-
Андуайе 49
Уравнения движения в обобщенных координатах 49
Невозмущенное движение 52
Интегрирование невозмущенной задачи 54
Уравнения движения в оскулирующих элементах .... 58 ^ 5. Возмущающая функция задачи 59
*
4. Стационарные решения в задаче о поступательно-вра
щательном движении двух твердых тел 61
Выбор малого параметра 61
Исключение короткопериодической части гамильтониана 64
Условия существования стационарных решений 68
Пример стационарного решения 79
(4
5. Условно-периодические реіпения в задаче о поступатель
но-вращательном движении двух твердых тел 87
Производящая функция 87
Условно-периодические решения 91
2.1. Условно-периодические решения в переменных
(P,Q) 91
i0 2.2. Условно-периодические решения в смешанных пе-
f ременных 92
6. Сравнение условно-периодических решений с результа
тами численного интегрирования 97
1. Расчет решений по аналитическим формулам 98
\ 2. Численное интегрирование 105
{*** Заключение 108
J А. Свойства функций Д$т(#) НО
В. Разложение силовой функции двух твердых тел в ряд по
стоксовым постоянным одного из тел и моментам инер-
1 ции другого 114
Литература 117
Введение к работе
В последнее десятилетие в связи со значительным прогрессом в астрометрии и повышением точности наблюдений небесных тел на повестку дня встает вопрос создания адекватных по точности аналитических теорий движения. Особенно актуальным является более строгий учет взаимного влияния поступательного и вращательного движения твердых тел Солнечной системы.
Начало систематическому изучению поступательно-вращательного движения небесных тел было положено прежде всего пионерскими работами В.Т.Кондураря [43] - [48] и фундаментальными работами Г.Н.Ду-бошина [29] - [32]. Постановка задачи, вывод дифференциальных уравнений, описывающих совместное поступательно-вращательное движение абсолютно твердых тел, были даны в 1958г. Г.Н.Дубошиным [29]. Эта работа фактически положила начало активного исследования поступательно-вращательного движения твердых тел в достаточно общем виде.
"На очереди стоит построение общей теории поступательно-вращательного движения тел ... ", - так охарактеризовал состояние дела по этому вопросу Г.Н.Дубошин [33]. "Было бы уместно, - продолжает он далее, - строить новую теорию движения планет, исходя из общей теории поступательно-вращательного движения тел, рассматриваемых хотя бы как абсолютно твердые".
Дальнейшее развитие и исследование поступательно-вращательного движения в различных задачах небесной механики осуществляли мно-
гочисленные последователи и ученики Г.Н.Дубошина и В.Т.Кондураря - (цитируются в алфавитном порядке) Баркин Ю.В., Видякин В.В., Гамарник Н.И., Демин В.Г., Журавлев С.Г., Маркеев А.П., Хорсева Л.Ю. и многие другие.
С учетом вышесказанного ясно, что задачи поступательно-вращательного движения небесных тел являются относительно "молодыми" (прошло чуть более 40 лет со времени появления основополагающих работ Г.Н.Дубошина, В.Т.Кондураря, В.В.Белецкого).
В зарубежной литературе работы по данной тематике начали появляться несколько позже. Прежде всего можно отметить работы H.Kino-shita [64], M.Pascal [66] - [67], M.Sidlichovsky [69] - [74].
He смотря на то, что основная масса исследователей занималась изучением поступательного (см. обзор [8]) и вращательного [9, 57, 58] движения, тем не менее к настоящему времени количество публикаций, посвященных исследованию поступательно-вращательного движения, значительно выросло и уже написано несколько обзоров по данной тематике [8, 13, 38, 39].
Своеобразным математическим фундаментом небесной механики является задача о поступательно-вращательном движении двух твердых тел, произвольная внешняя форма и внутреннее строение которых не меняется во все время движения. Решение неограниченной задачи двух твердых тел представляет собой известную математическую сложность, поэтому во многих работах, посвященных данной проблеме, изучаются ее частные решения.
При различного рода ограничениях на динамическое строение тел и на характер их движения отыскивались стационарные [10,11,14,15,16, 27, 30, 31, 32, 43, 44, 45, 46, 47] и периодические решения [7, 18, 28, 46] в задаче двух твердых тел. Движение же реальных небесных тел чаще всего носит условно-периодический характер. Поэтому важное значение для практического применения имеет построение именно условно-
периодических решений в задаче двух (а затем и трех) абсолютно твердых тел. В настоящее время имеется ряд исследований, посвященных построению условно-периодических решений в задаче двух и трех твердых тел [34, 36, 38, 41]. Однако эти исследования содержат разного рода ограничения, такие как
ограничения на форму рассматриваемых тел (например, осесим-метричное);
ограничения на массу исследуемых тел - так называемые спутниковые задачи, где пренебрегается влиянием одного из тел на движение другого;
задание орбиты одного из тел;
учет в разложении силовой функции лишь гармоник до второго (четвертого) порядка.
В работах, посвященных построению условно-периодических решений в качестве малого параметра, как правило, выбиралась следующая величина [34]:
^ = -ЗС20(^)2, (0.1)
где Сго - стоксова постоянная планеты; го - экваториальный радиус планеты; р - фокальный параметр орбиты. При этом, естественно, предполагалось, что тела мало отличаются от сфер и расстояние между ними много больше их линейных размеров. Однако данное предположение остается справедливым не для всех тел Солнечной системы. Известно, что размеры тел системы Земля-Луна, системы Плутон-Харон, некоторых двойных астероидов сравнимы с расстоянием между ними. Кроме того неправильные формы астероидов указывают на то, что их стоксовы постоянные далеки от нулевых значений. Для таких систем выбор малого параметра по формуле (0.1) является малоэффективным.
Поэтому необходимо разработать новую методику выбора малого пара
метра, которая бы позволила исследовать новые классы задач и полу-
^ чать более точные решения ранее исследованных задач.
Настоящая диссертация посвящена построению условно-периодических решений в общей задаче поступательно-вращательного движения двух абсолютно твердых тел.
Под общей задачей поступательно-вращательного движения двух твердых тел понимается задача, в которой не требуется чтобы:
исследуемые твердые тела по своему динамическому строению бы-
^* ли близки к сферическим (т.е. все постоянные Стокса были близки
к нулю);
расстояние между центрами инерции исследуемых твердых тел бы
ло достаточно велико по сравнению с их линейными размерами.
Основной целью диссертации является разработка методики постро
ения стационарных и условно-периодических решений в общей задаче
^ двух абсолютно твердых тел, а также апробация данной методики на
' примере конкретной системы двух твердых тел.
Научная новизна работы заключается в новом подходе к выбору
; малого параметра, в качестве которого выбирается величина, харак-
! теризующая отличие исследуемых твердых тел от твердых тел, центры
инерции которых двигаются по кеплеровской орбите. При этом не тре-
/^ буется, чтобы тела были близки к сферам, и чтобы расстояние меж-
\ ду телами было много больше их линейных размеров, как это было
' в работах других авторов, посвященных построению стационарных и
условно-периодических решений твердых тел. Также новизна работы
заключается в использовании, при построении условно-периодических
і решений задачи, разложения силовой функции взаимного притяжения
і двух твердых тел в виде общего ряда, не ограничиваясь заранее числом
учитываемых гармоник разложения. Это позволяет получать решения с любой необходимой точностью.
Работа представляет практическую значимость, поскольку разработанная в ней методика построения условно-периодических решений в общей задаче двух твердых тел может быть применима для решения нового круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательного движения двойных объектов Солнечной системы (Плу-тон-Харон, Сатурн-Атлас, Сатурн-Телесто, двойные астероиды).
В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:
Разложение силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел произвольной формы в ряд по стоксовым постоянным одного из тел и моментам инерции другого тела.
Условия существования кеплеровских движений в случае Дубоши-на.
Новый подход к выбору малого параметра.
Формулы условно-периодических решений общей задачи о поступательно-вращательном движении двух твердых тел.
Методика численного интегрирования точных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и двух приложений.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты.
В первой главе кратко излагается общая теория построения условно-периодических решений канонических систем дифференциальных уравнений; дается обзор имеющихся работ, в которых исследовались стационарные и условно-периодические решения проблемы поступательно-вращательного движения твердых тел в рамках спутниковых вариантов задачи двух твердых тел.
Вторая глава посвящена разложению силовой функции взаимного притяжения двух абсолютно твердых тел. Здесь дается краткий обзор имеющихся разложений силовой функции. В соответствии с работами [69, 70, 73] приведен вывод разложения силовой функции двух твердых тел в ряд по стоксовым постоянным, коэффициенты которого зависят от углов Эйлера и от сферических координат центра инерции второго тела в системе координат с началом в центре инерции первого тела (при этом оси координат сохраняют неизменную ориентацию). Проведено преобразование указанного разложения к переменным Делоне-Андуайе. Исходя из полученного разложения дается представление силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в случае Дубошина. Случай Дубошина - это случай плоского движения двух осесимметричных тел, оси вращения которых во все время движения остаются перпендикулярными плоскости орбиты.
В третьей главе формулируется основная задача: построить условно-периодические решения в общей задаче двух абсолютно твердых тел.
Данная проблема рассматривается в рамках классической задачи поступательно-вращательного движения двух абсолютно твердых тел М\ и Мг, элементарные части которых взаимно притягиваются по закону Ньютона. При этом предполагается, что тела имеют произвольную внешнюю форму и внутреннее строение и не имеют общих частей. Движение тел исследуется в относительной системе координат с началом в центре инерции тела Mi, оси координат сохраняют неизмен-
ное направление. Для описания движения используются канонические переменные Делоне-Андуайе. Система дифференциальных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел имеет восемнадцатый порядок. Находятся достаточные условия существования кеплеровских движений двух твердых тел в случае Дубошина. Возмущающая функция задачи раскладывается в девятиаргументный ряд Фурье по угловым переменным.
В четвертой главе находятся стационарные решения в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. При построении стационарных решений накладываются определенные условия на динамические параметры тел и на параметры, характеризующие движение твердых тел. Предполагается, что форма тел близка к осе-симметричной. Траектории центров инерции лежат вблизи некоторой плоскости. Оси вращения почти перпендикулярны этой плоскости. Движение тел предполагается близким к частному случаю, в котором центры инерции твердых тел двигаются по кеплеровской орбите. Угловые переменные на стационарных решениях задачи удовлетворяют определенным соотношениям, с учетом которых находятся зависимости между позиционными переменными. Найденные семейства стационарных решений являются промежуточными решениями рассматриваемой задачи и позволяют построить в их окрестности условно-периодические решения. В качестве конкретного примера рассмотрена система двух твердых тел с параметрами, близкими к параметрам системы Сатурн и его спутник Атлас.
В пятой главе осуществляется в первом приближении построение условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. Для удобства проведения последующего численного интегрирования и сравнения результатов условно-периодические решения построены не только в переменных Де-лоне-Андуайе, но и в более "наглядных" смешанных переменных: кеп-
леровские позиционные переменные - для поступательного движения и углы Ii,l2,Ji,J2, характеризующие ориентацию векторов G1} ( кинетического момента вращательного движения тел относительно системы координат, жестко связанной с соответствующим телом, и Gi, G2 (моду-ли векторов Gi, G2) - для вращательного движения; в качестве угловых переменных сохраняются угловые переменные Делоне-Андуайе.
В шестой главе проведено сравнение результатов расчетов по полученным формулам условно-периодических решений с результатами численного интегрирования в одном частном случае задачи о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. Практически полное совпадение кривых, соответствующих расчетам по аналитическим формулам и численному интегрированию, указывает на перспективность использования метода построения условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых тел.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.
В приложении А приводится ряд утверждений, которые были использованы при построении условно-периодических решений.
В приложении В дано разложение силовой функции взаимного притяжения двух абсолютно твердых тел в ряд по степеням обратного расстояния между центрами инерции тел, коэффициенты которого зависят от стоксовых постоянных одного из тел и моментов инерции второго тела, полученное в работе [56].
По содержанию диссертации сделаны доклады на следующих научных конференциях и симпозиумах:
Научная конференция "Новые результаты аналитической и качественной небесной механики", Москва, ГАИШ, 5-6 декабря 2000г.
Всероссийская астрономическая конференция, Санкт-Петербург,
СПбГУ, 6-12 августа 2001г.
Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 15-20 августа 2001г.
Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, МАИ, 11-18 августа 2002г.
Международная конференция "Небесная механика - 2002: результаты и перспективы", Санкт-Петербург, ИПА РАН, 10-14 сентября 2002г.
Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:
Видякин В.В., Сабурова Н.Ю. Разложение силовой функции двух твердых тел. / Новые результаты аналитической и качественной небесной механики. Тез. докл., Москва, ГАИШ, 2000. - С. 29.
Журавлев С.Г., Сабурова Н.Ю. О новых подходах построения условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. / Новые результаты аналитической и качественной небесной механики. Тез. докл., Москва, ГАИШ, 2000. - С. 38.
Видякин В.В., Сабурова Н.Ю. Периодические движения двух осе-симметричных тел. / Всероссийская астрономическая конференция. Тез. докл., СПб: НИИХ СПбГУ, 2001. - С. 156-157.
Сабурова Н.Ю. Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. / Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике. Тез. докл., Великие Луки: ВЦ РАН, 2001. - С. 144-145.
Сабурова Н.Ю. Об одном представлении разложения силовой функции взаимного притяжения двух абсолютно твердых тел. // Тру-
ды кафедры прикладной математики АГТУ, вып.1, Архангельск: Солти, 2001. - С. 23-68.
Сабурова Н.Ю. Метод построения условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. / Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. Тез. докл., Москва, МАИ, 2002. - С. 103.
Saburova N.Yu. Comparison of conditionally periodic solutions with the results of numerical integration in the two rigid body problem./ IAA Transactions. No.8. Celestial Mechanics, St. Petersburg: Inst. Appl. Astron. of Russian Acad, of Sciences, 2002. - P. 153-154.
Сабурова Н.Ю. Построение стационарных решений в задаче двух твердых тел. // Труды кафедры прикладной математики АГТУ, вып.2, Архангельск: Солти, 2002. - С. 47-79.
Сабурова Н.Ю. Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел. // Труды кафедры прикладной математики АГТУ, вып.2, Архангельск: Солти, 2002. - С. 80-102.
Сабурова Н.Ю. Асимптотический метод последовательных канонических замен переменных в задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. // Вычислительные методы и программирование, 2003. Т.4. - С. 94-103. ()
Сабурова Н.Ю. Условно-периодические движения твердых тел. Архангельск: Солти, 2002. - 129с.
Сабурова Н.Ю. Стационарные решения в задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, 2003. №1. -С. 66-94.
