Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование прямоугольного диэлектрического волновода методом частичных областей 24
1.1. Постановка краевой задачи о расчете прямоугольного диэлектрического волновода с внешней экранизацией 28
1.2. Составление дисперсионного уравнения спектра волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х - 0 31
1.3. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х = 0 39
1.4. Формулировка дисперсионной задачи спектра волн прямоугольного частично заполненного волновода с электрической стенкой в плоскости х = 0 47
1.5. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн прямоугольного частично заполненного волновода с электрической стенкой в плоскости х = 0 49
1.6. О возможности использования модели прямоугольного частично заполненного волновода для исследования открытого прямоугольного диэлектрического волновода 57
Глава 2. Исследование прямоугольного диэлектрического волновода методом коллокаций 67
2.1. Постановка краевой задачи о расчете открытого прямоугольного диэлектрического волновода 69
2.2. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого прямоугольного диэлектрического волновода .. 76
Глава 3. Исследование дисперсии волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода 90
3.1. Определение параметров намагниченной ферритовой среды... 91
3.2. Определение компонент электромагнитного поля волны в неограниченном продольно намагниченном феррите 96
3.3. Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода 101
3.4. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода 106
3.5. Выводы 124
Глава 4. Исследование особенностей распространения электромагнитных волн в открытом двухслойном сферическом волноводе 127
4.1. Классификация краевых задач для открытого двухслойного сферического волновода 128
4.2. Постановка краевой задачи о расчете открытого двухслойного сферического волновода 137
4.3. Получение дисперсионного уравнения волн открытого двухслойного сферического волновода с однородной внешней средой 140
4.4. Получение дисперсионного уравнения волн открытого двухслойного сферического волновода с неоднородной недиспергирующей внешней средой 145
4.5. Получение дисперсионного уравнения волн открытого двухслойного сферического волновода с неоднородной диспергирующей внешней средой 150
Заключение 154
Список литературы 157
Приложение 1 165
- Составление дисперсионного уравнения спектра волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х - 0
- Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого прямоугольного диэлектрического волновода
- Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода
- Постановка краевой задачи о расчете открытого двухслойного сферического волновода
Составление дисперсионного уравнения спектра волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х - 0
На границах х = ах и у = Ьх рассматриваемой структуры должны выполняться условия непрерывности касательных составляющих электромагнитного Граничные условия (1.12) приводят к системе линейных функциональных уравнений (СЛФУ). В результате использования свойства ортогональности собственных функций краевых задач для выделенных частичных областей из СЛФУ (1.12) получается система линейных однородных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных амплитудных коэффициентов разложения полей Ат, Ат, Вт, Вт, 1.3. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х = 0
На рис. 1.5 приведены результаты решения дисперсионного уравнения -дисперсионные характеристики пяти первых (по порядку следования корней дисперсионного уравнения в сторону их уменьшения) волн при следующих параметрах структуры, изображенной на рис. 1.3: a]/a = bJb = \/3, 8,/s2=3.2(є2 = s3 = s4 = 3.0). Под корнем дисперсионного уравнения здесь и далее будем Рис. 1.5. Дисперсионные характеристики пяти первых волн структуры,представленной на рис.1.3, полученные при следующих ее параметрах: aJa = bJb = l/3, є,/є2 =3.2 (є2 =є3 =є4) ... .:;.;понимать продольное волновое число р. Кривые получены в четвертом приближении, то есть при учете пяти слагаемых в каждой из сумм, представляющих поле.
На дисперсионных кривых наблюдаются разрывы, которые, как можно предположить, являются результатом того, что наборы функций, по которым разлагаются поля в частичных областях, являются неполными, то есть результатом имеющейся в постановке задачи некорректности, описанной в п. 1.1. Однако наличие разрывов не оказывает влияния на общий ход дисперсионных кривых. Таким образом, используя аппроксимацию кривых в местах разрывов, можно получить реальную картину дисперсионных зависимостей волн, направляемых структурой.
Следует обратить внимание на наличие неоднозначных участков у дисперсионных характеристик первой и четвертой волн прямоугольного частично заполненного волновода: у данных волн при Р = Р / к0 — 1 наблюдается аномальная дисперсия. В результате, на некоторых частотах одной и той же волне соответствуют два различных корня дисперсионного уравнения, то есть волна имеет две различных постоянных распространения, каждой из которых соответствует своя структура электромагнитного поля. Данный эффект проявляется лишь в частично заполненных экранированных направляющих структурах. В однородно заполненных экранированных волноводах, а также в открытых направляющих структурах участков с аномальной дисперсией в области Р 1 у дисперсионных кривых не наблюдается. Из этого можно сделать вывод, что используемая в методе частичных областей модель неадекватно отражает свойства открытого диэлектрического волновода. Поэтому результаты решения дисперсионного уравнения экранированной структуры в области Р — 1 не могутбыть распространены на открытую структуру. Участки с аномальной дисперсией могут говорить о наличии комплексных корней дисперсионного уравнения экранированной структуры в данном частотном диапазоне, то есть о возможно сти существования в рассматриваемой направляющей структуре без потерь комплексных волн.
Для проверки действенности разработанного алгоритма и корректности получаемых результатов было проведено исследование интегральной сходимости решений, то есть зависимости значения нормированной постоянной распространения (3 = $/к0 от номера приближения N, для нескольких низших мод рассматриваемого волновода на различных длинах волн. Результаты исследования сходимости для пяти распространяющихся в структуре мод на нормированной длине волны А./я, =2.2 приведены в табл. 1.1 и на рис. 1.6. Результаты при X I ах = 3.0 и X I ах =4.0 представлены в табл. 1.2 - 1.3, а также на рис. 1.7 1.8 (для четырех и трех первых мод соответственно). Здесь X - длина волны в свободном пространстве Из рис. 1.6 - 1.7 и табл. 1.1 - 1.2 видно, что на малых длинах волн продольное волновое число первой моды достаточно точно определяется уже в нулевом приближении, то есть при учете в представлениях полей (1.2) - (1.9) одного слагаемого в каждой из сумм. На больших же длинах волн учета только одной пространственной гармоники в представлениях (1.2) - (1.9) для определения постоянной распространения первой моды оказывается недостаточно (рис. 1.8). Это, по-видимому, связано с тем, что при увеличении длины волны значения амплитудных коэффициентов гармоник с высшими номерами в представлениях (1.2) - (1.9) становятся сравнимыми со значением амплитудного коэффициента первой гармоники. В этом случае пренебрегать высшими гармониками при составлении дисперсионного уравнения уже нельзя.
Из рассмотрения сходимости результатов на всех трех указанных длинах волн следует, что, начиная с четвертого приближения, значения корней ДУ практически не меняются с увеличением номера приближения N. Так, например, относительное расхождение в значениях корней ДУ, полученных в четвертом и шестом приближениях, не превышает 3% для всех рассматриваемых мод. При этом среднее время, необходимое для получения одного корня ДУ, с ростом N значительно увеличивается (на поиск одного корня ДУ в шестом приближении затрачивается почти в 4 раза больше времени, чем в четвертом). Таким образом, при расчете дисперсионных характеристик волн экранированного
Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого прямоугольного диэлектрического волновода
На рис.2.3 - 2.4 приведены результаты расчета на ЭВМ дисперсионных характеристик нескольких первых медленных волн, распространяющихся в рассматриваемом прямоугольном диэлектрическом волноводе. Параметры волновода были выбраны следующие: а IЪ - 1.0, є, / є2 = 3.2, є2 = 3.0. Зависимостинормированной постоянной распространения Р / к0 от нормированной длиныволны излучения XI а, приведенные на рис.2.3, получены в пятом приближении (в разложениях полей (2.8) - (2.9) было учтено по шесть цилиндрических гармоник) при равномерном распределении точек, в которых записываются граничные условия (2.10), вдоль границы поперечного сечения волновода. Кривые, представленные на рис.2.4, соответствуют неравномерному распределению узлов коллокаций (при большей концентрации узлов у ребра волновода).
Как видно из рис.2.3 - 2.4, на дисперсионных кривых полностью отсутствуют разрывы, характерные для МЧО. Это говорит о том, что используемая в методе коллокаций математическая модель лишена той некорректности, которой обладает модель, рассмотренная в первой главе диссертации.
В табл.2.1 - 2.2 и на рис.2.5 - 2.6 приведены результаты исследования сходимости решений дисперсионного уравнения, полученного с помощью метода коллокаций при равномерном распределении узлов коллокаций, для четырех первых волн на нормированной длине волны излучения XI а = 2.0 и X I а = 3.0. Из рис.2.5 видно, что корни ДУ, полученные в низких приближениях (N 2), значительно отличаются от корней, полученных в более высоких приближениях. Это свидетельствует о том, что сшивания полей в одной - двух точках границы явно недостаточно. Решения ДУ при этом нельзя считать кор начиная с четвертого приближения для первых трех волн и пятого приближения для четвертой волны, относительное расхождение корней, полученных в различных приближениях, не превышает 2%. Таким образом, исследование сходимости решений ДУ показало, что в качестве рабочего приближения при расчете прямоугольного ДВ с помощью метода коллокации с равномерным распределением узлов коллокации вдоль границы поперечного сечения волновода можно брать пятое приближение, так как в данном приближении достигается оптимальное соотношение точности вычислений и затрат машинного времени на поиск корней ДУ.
Следует отметить, что, как и в случае экранированного прямоугольного ДВ, продольное волновое число первой моды открытого прямоугольного ДВ при равномерном распределении узлов коллокации практически не зависит от номера приближения N и достаточно точно определяется уже в самых низших приближениях, то есть при учете в разложениях (2.4) - (2.5) всего одной - двух первых цилиндрических гармоник.
На рис.2.7 - 2.8 и в табл.2.3 - 2.4 приведены результаты исследования сходимости решений ДУ прямоугольного ДВ при неравномерном распределении узлов коллокации вдоль границы поперечного сечения волновода (с большей концентрацией узлов вблизи ребра) для тех же нормированных длин волн излучения, что и при равномерном распределении (X I а = 2.0 и X I а = 3.0).Из рис.2.7 - 2.8 и табл.2.3 - 2.4 видно, что при неравномерном распределении точек, в которых записываются граничные условия (2.10), вдоль границы поперечного сечения волновода сходимости решений ДУ не наблюдается. Таким образом, неравномерное распределение узлов коллокации с большей концентрацией узлов вблизи ребра волновода без какого-либо обоснования этого закона распределения нельзя использовать при анализе открытого прямоугольного ДВ. Однако распространять данное утверждение на все структуры, рассчитываемые с помощью метода коллокации, естественно, нельзя. В каждом отдельном случае необходимо проводить дополнительные исследования в плане поиска наиболее оптимального распределения узлов коллокации на границе между областями. Однако можно утверждать, что концентрация узлов коллока-ций возле точек геометрических сингулярностей направляющих структур приводит к отрицательному эффекту. Это обусловлено тем, что вблизи указанных точек поля представляются (при решении задачи в незамкнутой форме) со значительной погрешностью, и стремление добиться их хорошего сшивания в этих точках приводит к плохому согласованию полей по всей границе.ных областей и метода коллокаций в рабочих приближениях при одинаковых параметрах структур. Значения корней дисперсионных уравнений, полученных с помощью сравниваемых методов на некоторых длинах волн приведены в табл.2.5. При этом в МЧО отношение размеров металлического экрана (а и Ъ) к соответствующим размерам прямоугольного диэлектрического волновода (я,и Ъх) было выбрано равным 5 (a/al =b/bl =5.0), а рассматриваемая часть поперечного сечения открытой структуры полагалась квадратной (а{ = Ьх).структуры расхождение результатов увеличивается. Это говорит о том, что вобласти малых замедлений волн (Р = $/к0 — 1) экранированная структура дажепри значительном удалении экрана от диэлектрической вставки не может быть использована для моделирования открытого прямоугольного диэлектрического волновода.
Таким образом, открытый прямоугольный диэлектрический волновод можно моделировать с помощью экранированного прямоугольного частично заполненного волновода лишь на высоких частотах, когда поле за пределами диэлектрической вставки мало, то есть когда сильно проявляется диэлектрический эффект.
Кроме того, сравнивая дисперсионные характеристики волн открытого и экранированного прямоугольных ДВ, следует обратить внимание на принципиальное различие в подходе к классификации волн открытых и экранированных направляющих структур. В открытом прямоугольном волноводе поля направляемых волн должны экспоненциально убывать при удалении от волновода (такие волны классифицируются как поверхностные). В закрытой структуре волны, несмотря на проявление диэлектрического эффекта, поверхностными как таковыми не являются, так как в таком волноводе нулевое граничное условие накладывается на экранирующей поверхности, а не в бесконечности. Во-вторых, в открытой структуре при р 1 волны становятся вытекающими (модами излучения). В экранированной же структуре дисперсионные характеристики волн заходят в область Р 1 при действительном значении продольного волнового числа (так называемые быстрые волны). При этом волны продолжают распространяться вдоль волновода.еречислим результаты, представленные во второй главе диссертации:1. Составлена математическая модель электродинамического анализа открытого прямоугольного диэлектрического волновода на основе метода коллока
Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода
Таким образом, вычислив корни уравнения (3.20) и решив уравнение (3.21), то есть определив функции Т, и , по формулам (3.22), (3.24), (3.26) в декартовой системе координат или (3.22), (3.27) - в цилиндрической системе координат можно определить все компоненты электромагнитного поля волны, распространяющейся в неограниченном продольно намагниченном феррите.
Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода
Рассмотрим круглый открытый намагниченный до насыщения постоянным полем Н0 (H0TT ?Z) ферритовый волновод радиуса а с диэлектрической проницаемостью є, и магнитной проницаемостью Д, представляющей собой тензор вида (3.1), находящийся в неограниченной изотропной среде с параметрами є2, \х2 (рис.3.3).
Как было показано выше, поле во внутреннем слое рассматриваемой структуры (область I) описывается функцией Ч , удовлетворяющей уравнению а - поперечное волновое число области II; Н(2)(аг) - функция Ханкеля второго рода. При больших значениях аргумента функции Ханкеля второго рода имеют асимптотическую зависимость: Н 2)(а г) e jar. Таким образом, для того, чтобы поле во внешней области экспоненциально убывало при удалении от ферри-тового стержня, должно выполняться условие: Im(a) 0.
Компоненты электромагнитного поля во внешней области выражаются через векторы Герца по формулам: где НІ (аг) - производная функции Ханкеля второго рода по всему аргументу.На границе г = а рассматриваемой структуры должны выполняться условия непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля:Порядок системы (3.34) можно понизить, выразив коэффициенты второй области А2 и В2 через коэффициенты первой области Ах и 5, из первого ивторого уравнений системы (3.34), соответственно, и подставив полученные выражения в третье и четвертое уравнения. В результате преобразований получаем однородную СЛАУ относительно амплитудных коэффициентов Ах и Вх:
Для нетривиального решения главный определитель СЛАУ (3.35) должен равняться нулю, что приводит к дисперсионному уравнению (ДУ) волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода, находящегося в неограниченной изотропной среде. Таким образом, ДУ волн рассматриваемой направляющей структуры будет иметь вид:
На рис.3.4 представлена блок-схема процедуры решения ДУ волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода.
Следует отметить, что рассматриваемая краевая задача является несамосопряженной, поскольку во-первых, при учете потерь в феррите элементы тензора магнитной проницаемости (3.1) являются комплексными величинами, во-вторых, число граничных условий прямой и сопряженной задач различно, что делает [37, 38] краевую задачу несамосопряженной и в отсутствии потерь. Так как [39] собственные значения несамосопряженной краевой задачи в общем случае являются комплексными, то наиболее общими решениями ДУ (3.36) будут комплексные волновые числа, соответствующие при учете потерь всем типам волн, а при их отсутствии - спектру комплексных волн [38]. Таким образом, продольные волновые числа, полученные как решения ДУ (3.36), в общем случае будут комплексными: (3 = (З +у (3".
Решение дисперсионного уравнения (3.36) проводилось на комплексной плоскости продольного волнового числа Р методом вариации фазы [68] (с помощью принципа аргумента [69]).Корректность работы программы поиска корней ДУ (3.36), составленной в соответствии с блок-схемой, приведенной на рис.3.4, была проверена путем выполнения предельного перехода от круглого открытого ферритового волно 107где a, =8 (0 -(3 , a2 = s2iu.2a) Р . При этом рассматривался феррито-вый волновод без потерь с пренебрежимо малой намагниченностью (М - 0) в отсутствии внешнего поля подмагничивания (HQ = 0) со следующими параметрами: я = 20мм, 8,/є2= 18, ц/(і0= 1, &/д.0 —»0 (&/ц,0= 10_6], а2/ц0= 1.Дисперсионные характеристики трех первых (по порядку следования частот отсечки) волн с азимутальным индексом п = 1 данной структуры приведены на рис.3.5а, где пунктиром показана мнимая часть продольного волнового числа. Корни ДУ, соответствующие волне 2 ненамагниченного ферритового волновода, представлены также на комплексной плоскости поперечного волнового числа а области II (рис.3.56). Точки А, В, С, D и Е, обозначенные на рис.3.56, соответствуют одноименным точкам, указанным на рис.3.5а.
На дисперсионной характеристике волны 2 ненамагниченного ферритового волновода (рис.3.5), как и на дисперсионной характеристике волны ЕНПДВ, можно выделить следующие участки:- участок АВ, соответствующий поверхностной волне, где продольное волновое число является действительным (Р"=0). Данная волна является собственной (lm(a) 0), ее поле экспоненциально спадает при г —» оо, и медленной (Р /&0 1, где к0- волновое число плоской волны в свободном пространстве);- участок ВС, соответствующий вытекающей (несобственной комплексной) волне (0 р7&0 1, P VO, lm(a) 0). Данная волна является быстрой, а ее поле экспоненциально нарастает при удалении от ферритового
Постановка краевой задачи о расчете открытого двухслойного сферического волновода
Рассмотрим открытый двухслойный сферический волновод, представленный на рис.4.1. Полагаем, что диэлектрическая проницаемость внешнего слоя, в общем случае, является функцией радиальной координаты и частоты. При этом будем интересоваться волнами с комплексными волновыми числами. В отсутствии диссипации энергии (когда параметры є и р. сред, образующих волновод, считаются действительными величинами) такие волны называются [40, 41, 71] комплексными (KB).
Согласно п.4.1, в сферическом волноводе, образованном шаром радиуса R0 с диэлектрической проницаемостью = const (рис.4.1) и внешней неограниченной средой, диэлектрическая проницаемость которой в общем случае является функцией радиальной координаты и частоты - є2 =Б2(Г,Ю), могут распространяться волны, которые можно условно классифицировать как Е и Н-волны. В дальнейшем будем рассматривать волны типа Н, поля которых не зависят от азимутальной координаты ф (азимутально-симметричные Н-волны). Такие волны имеют компоненты поля: E ,Hr,HQ (Er = EQ =Н =0), причем компонента электрического поля Е удовлетворяет уравнению Гельмгольца,которое в сферической системе координат при — = 0 имеет вид:
Взяв постоянную разделения в виде y = v-(v + l), где v - любое, в том числе комплексное, число, уравнение (4.38), обозначив: cos0 = x, переписываем как: Знак "минус" в (4.41) соответствует прямым волнам, знак "плюс" - обратным. Величина v имеет смысл постоянной распространения волн в направлении 9 при любой зависимости є2(/%со) во внешней области.
Вид решений уравнения (4.37) определяется функцией диэлектрической проницаемости внешней области є2(г,со), которая в общем случае может быть частотно зависимой комплексной величиной.
Рассмотрим несколько вариантов внешней среды, образующей вместе с однородным диэлектрическим шаром открытый слоистый сферический волновод. При этом краевая задача на уравнении (4.37), если не накладывать на функцию R(r) нулевого условия на бесконечности, оказывается [37] заведомо несамосопряжённой, в результате чего величина v является (в общем случае) комплексной. В том случае, когда є, 2 - действительные величины, комплексное значение v соответствует комплексным волнам [38].
Пусть внешняя среда является однородной: к2 = CO JE2]I2 к2\г). Тогда, записывая решение уравнения (4.37) в виде:приходим к уравнению Бесселя:относительно функции W{r). Решением уравнения (4.42) являются цилиндрические функции:которые описывают радиальную зависимость поля как во внутренней, так и во внешней областях рассматриваемой структуры. Из условия ограниченности по волн в соответствующих однородных средах, А и В - неизвестные амплитудные коэффициенты.
Выражая компоненты поля через найденные решения уравнения (4.36) и подставляя их в граничные условия:ЯФ1 (r = R0) = ф2 (г = До); #е, (r = Ro) = HQi (r = R0), (4.44)получаем систему двух линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и В.
Запись условия нетривиальности решений указанной системы с учётом одинаковой зависимости полей во внутренней и внешней областях от угловой координаты 0 приводит к дисперсионному уравнению:
На рис.4.2 приведены результаты решения уравнения (4.45). Как видим, постоянная распространения v является комплексной величиной и при действительных значениях є, 2, что соответствует КВ. Волна обладает нормальнойдисперсией. Её затухание в направлении распространения, которое не зависит от частоты, связано с излучением энергии в открытое пространство. Поэтом2,0 1,0 0,0Рис.4.2. Дисперсионные характеристики комплексной волны,распространяющейся в открытом двухслойном сферическом волноводес однородной внешней средой (с; = -yjsjsj). Точное решение
