Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Применение метода частичных областей при исследовании металло- диэлектрических резонаторов... 17
Глава 2 Расчет и исследование цилиндрического МДР с отверстиями в торцевых стенках методом частичных областей
2.1 Введение 32
2.2 Составление характеристического уравнения 34
2.3 Расчет резонансной частоты 42
2.4 Исследование распределения электрического поля. Проверка выполнения граничных условий 51
2.5 Составление расчетного алгоритма для добротности 54
2.6 Результаты расчета добротности 60
2.7 Заключение 64
Глава 3 Исследование цилиндрического резонатора с диэлектрическим стержнем и отверстиями в торцах методом «пересекающихся» частичных областей
3.1 Введение 66
3.2 Составление характеристического уравнения 70
3.3 Расчет резонансной частоты 75
3.4 Расчет распределения электрического поля 78
3.5 Расчет добротности 87
3.6 Проверка выполнения условия равенства запасенных энергий электрического и магнитного полей в резонаторе. Сравнение алгоритмов МЧОиМ"П"ЧО
3.7 Заключение 91
Глава 4 Исследование металло-диэлектрических резонаторов методом астичных областей с непрерывным спектром собственных функций
4.1 Введение 93
4.2 Составление системы интегральных уравнений для резонатора с диэлектрическим стержнем и отверстиями в торцах 98
4.3 Решение системы интегральных уравнений. 103
4.4 Результаты численных исследований 106
4.5 Исследование резонатора датчика температуры «точки росы » 114
4.6 Заключение../ 120
Глава 5 Применение разработанного алгоритма для измерения параметров диэлектрических материалов
5.1 Введение 122
5.2 Оценка погрешности метода малых возмущений 129
5.3 Учет влияния стенок ампулы при измерении параметров жидких и сыпучих диэлектриков 139
5.4 Результаты экспериментальных исследований 147
5.5 Заключение 158
Заключение 160
Литература 162
Акты внедрения 194
- Применение метода частичных областей при исследовании металло- диэлектрических резонаторов...
- Составление характеристического уравнения
- Составление характеристического уравнения
- Составление системы интегральных уравнений для резонатора с диэлектрическим стержнем и отверстиями в торцах
Применение метода частичных областей при исследовании металло- диэлектрических резонаторов...
МЧО является одним из наиболее распространенных и эффективных методов решения задач, связанных с исследованием резонансных металлодиэлектрических структур. Как известно [40-43], суть МЧО заключается в следующем. Резонансный объем разбивается на ряд простых «координатных» областей (областей, границы которых являются координатными поверхностями), для которых может быть получено решение уравнения Гельмгольца. В каждой из областей искомые решения представляются в виде рядов с неизвестными коэффициентами или в виде интегралов с неизвестными плотностями. Из условия «сшивания» (сопряжения, согласования) полей на общих границах областей получаются сумматорные или интегральные уравнения, содержащие координатную зависимость. Для исключения этой зависимости и перехода к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) используются различные приемы. Наиболее распространенным приемом является проектирование функциональных уравнений на соответствующие ортогональные системы функций. Ряд примеров использования такого подхода будет рассмотрен ниже. Можно воспользоваться также методом коллокаций [41, 44-46]. В работе [44] этот метод применялся для алгебраизации интегральных уравнений, в [45, 46]- для сумматорных.
Различные способы проектирования на ортогональные системы функций приводят к различным бесконечным СЛАУ. Их численной решение производится методом редукции (усечения). Обоснование метода редукции, т.е. доказательство, что этот метод дает последовательности приближенных решений, сходящихся к точным, является сложной задачей. Такое доказательство сделано для ряда частных случаев (см. например, работы [47-49]). На практике применение метода редукции часто обосновывается косвенным путем: численными экспериментами (исследование внутренней сходимости, проверка выполнения граничных условий и др.); срав нением с результатами, полученными другими методами; сравнением с экспериментом.
Успех применения МЧО зависит от способа разбиения резонансного объема на частичные области и от полноты системы собственных функций базиса, с помощью которых представляется поле в этих областях. Отметим, что указанные функции должны образовывать полные системы только на границах «сшивания», где налагаются граничные условия (базисы Трефтца [42, 50]). В связи с темой диссертации проанализируем применение МЧО при исследовании аксиально-симметричных цилиндрических МДР. Простейшими резонаторами этого типа являются двухслойные структуры, схематически показанные на рис.1.1а,б. В них разбиение на частичные области можно произвести однозначно. Граница раздела областей 1 и 2 в обеих структурах совпадает с границей раздела диэлектриков с относительными прони-цаемостями є і и г . Применение описанной выше процедуры МЧО для резонаторов, рис.1.1а, б, позволяет сразу получить СЛАУ, т.к. в областях 1 и 2 одинаковая координатная зависимость полей вдоль границы сшивания, и эта зависимость сразу исключается из функциональных уравнений. Характеристические уравнения резонаторов получаются из условия нетривиальности решений соответствующих СЛАУ.
Следует отметить, что резонаторы, рис.1.1а,б, можно рассматривать как упрощенные электродинамические модели резонансных структур, исследуемых в диссертации, рис.В.1, В.2 Поэтому представляет интерес проанализировать работы, посвященные резонаторам с частичным диэлектрическим заполнением такого вида, как на рис.1.1а,б. Цилиндрические резонаторы с диэлектрическими стержнем или втулкой исследовались в работах [51-53], причем в последней из них рассматривался резонатор со стержнем из анизотропного диэлектрика. В работе [51] исследовалось симметричное магнитное колебание, в [52]- как симметричные, так и несимметричные типы, в [53]- несимметричные колебания с большими азимутальными индексами (п 3). Отмечается, что в резонаторе со стержнем, изготовленными из диэлектрика с малыми потерями, возможно за счет диэлектрического эффекта получение значений добротности больших, чем в полом резонаторе. К сожалению, в рабо тах [51-53] нет данных для колебания Е0ю, что ограничивает использование результатов этих работ при решении задач, поставленных в диссертации.
В работе [54] исследован цилиндрический резонатор с пластиной из поглощающего диэлектрика вблизи одного из торцов. Составлено комплексное характеристическое уравнение для колебаний типа H0iq (q=l, 2,3). При проведении расчетов основное внимание авторы уделили исследованию влияния тангенса угла диэлектрических потерь материала пластины на резонансные частоты.
Двухслойная экранированная структура более общего вида, чем изображенная на рис. 1.1 б, с произвольной образующей цилиндрической поверхности, рассмотрена в работе [55]. Изложена общая схема составления характеристического уравнения резонатора, причем рассмотрен случай, когда граница между диэлектрическими средами частично металлизирована. Численные результаты в [55] получены только для резонатора с прямоугольной формой экрана.
Цилиндрические резонаторы с диэлектрическим стержнем (на колебании Е0ю) и диэлектрической пластиной (на колебании Н0ц) рассматривались также в литературе, посвященной измерению параметров диэлектриков на СВЧ, например, в монографиях [12,13]. В них выведены характеристические уравнения, из которых в предположении малых размеров диэлектрических образцов получены простые расчетные соотношения для определения є и tg8 диэлектрика по данным измерения резонансной частоты и добротности резонатора.
Однако получить характеристические уравнения резонаторов, рис. 1.1 а, б можно, также, рассматривая их, как закороченные на концах отрезки двухслойных, соответственно, круглого цилиндрического, рис. 1.2а, и плоского радиального, рис. 1.26, волноводов. Круглый волновод с двухслойным диэлектрическим заполнением относится к хорошо исследованным электродинамическим структурам [56-62]. Для этого волновода разработана [59] классификация типов волн, подробно исследованы дисперсионные свойства большого числа волн [60], включая комплексные [61-63]. Радиальные плоскопараллельные слоистые волноводы как направляющие системы не используются на практике. В связи с этим их дисперсионные свойства изучены в меньшей степени [6,64]. Плоский радиальный волновод с тремя слоями
("воздух- диэлектрик- воздух") исследован в [64]. В этой работе предложено классифицировать волны в радиальном слоистом волноводе на LE и LH- волны; рассчитаны дисперсионные характеристики основных типов; отмечено, что характеристики волн в таких волноводах не имеют особенностей (аномальная дисперсия, вырождение типов), свойственных волнам круглого слоистого волновода.
Существование волноведущих структур, рис. 1.2а, б, с хорошо исследуемым спектром собственных волн, отвечающих резонаторам, рис.1.1а, б, имеет большое практическое значение. Объемы с конфигурацией диэлектрического заполнения, как на рис. 1.1 а, б, удобно брать в качестве частичных областей при расчете более сложных резонансных структур, используя полный набор указанных волноводов в качестве базиса Трефтца. Примерами таких более сложных структур являются экрани рованный цилиндрический диэлектрический резонатор (ЭЦДР), рис. 1 .За, и цилиндрический резонатор с диэлектрической втулкой, длина которой меньше длины экрана, рис. 1.36. ЭЦДР и его разновидности (экранированные ДР на диэлектрической подложке; дисковый ДР; кольцевой ДР и др.) широко используются на практике . [6,65] и поэтому подробно исследованы в научно-технической литературе.
Составление характеристического уравнения
Во второй главе диссертации проводится теоретическое исследование резонансной ячейки для измерения параметров диэлектриков, рис. 1.5, методом, названным в первой главе «МЧО с «горизонтальным» разбиением структуры на частичные области». Электродинамическая модель ячейки, отвечающая этому варианту МЧО, изображена на рис.2.1. Области 1 и 2 в этой модели образуют в совокупности отрезок круглого двухслойного волновода; область 3-цилиндрические, заполненные однородным диэлектриком каналы в торцах резонатора, запредельные на рабочей частоте. В принятой модели в отличие от реальной конструкции резонатора для общности радиус каналов и радиус диэлектрического стержня полагаются различными.
Это допущение, отвечающее выбранному методу исследования, представляет дополнительные возможности для проведения численных исследований. Также для общности диэлектрические проницаемости в областях 1 и 3 полагаем разными.
Как отмечалось во введении к диссертации, у реального резонатора, используемого в качестве измерительной ячейки, торцевые стенки достаточно толстые, так что излучением из торцевых каналов можно пренебречь. Поэтому в электродинамической модели эти каналы полагаем бесконечно протяженными. Аналогичное допущение использовалось в цитированной выше работе [16] при исследовании ячейки для радиоспектроскопа, а также в ряде других работ [84, 85], посвященных исследованию резонансных структур с отверстиями в экранирующей оболочке. Это важное допущение, относящееся к электродинамической модели, но не к реальному резонатору, необходимо учитывать при проведении численных исследований (например, при исследовании влияния на характеристики резонатора радиуса торцевых каналов).
При составлении характеристического уравнения полагаем, как это обычно делается, стенки резонатора идеально проводящими, а диэлектрики- без потерь. В дальнейшем при расчете добротности резонатора потери в стенках и в диэлектриках учтем методом возмущений [90] в предположении, что эти потери достаточно малы и не оказывают существенного влияния на структуру электромагнитного поля в резонаторе.
Как отмечалось во введении к диссертации, в резонансной ячейке для измерения параметров диэлектриков рабочим является симметричное электрическое колебание, близкое по структуре к колебанию Еою экранированного цилиндрического резонатора. Поскольку из-за наличия отверстий в торцах поле рабочего колебания имеет вариацию по оси z, это колебание названо «квази-Еою». Как показано в на -34 стоящей главе при соотношении геометрических размеров резонатора, характерных для измерительной ячейки, это колебание является низшим по резонансной частоте, а ближайшие высшие типы значительно удалены от рабочего. Это позволило в настоящей главе и в последующих главах 3 и 4 ограничиться расчетом характеристик только колебания квази-Е0ю и не исследовать спектр резонансных частот.
В настоящей главе с помощью указанного выше варианта МЧО составлено характеристическое уравнение колебания квази-Е0ю в МДР, рис.2.1, а также выражение для добротности этого колебания, проведены подробные численные исследования зависимости резонансной частоты и добротности от геометрических размеров резонатора и параметров диэлектриков, рассчитана структура электрического поля в резонаторе, что позволило оценить выполнение граничных условий на границах частичных областей.
Учитывая симметрию резонатора относительно плоскости z=0, ограничимся рассмотрением его половинки при z 0. Для рабочего колебания квази-Еою, силовые линии электрического поля перпендикулярны плоскости z=0, в этой плоскости выполняется условие «электрической стенки».
Уравнение (2.34) представляет собой условную запись бесконечной системы однородных линейных алгебраических уравнений. Для проведения практических расчетов воспользуемся методом редукции, ограничившись в сумме, стоящей в левой части (2.34), слагаемыми с номерами т=1, 2, ..., ММ и конечным числом уравнений системы ((2.34) записываем при п-1, 2, 3, ..., NN). При этом для получения квадратной матрицы СЛАУ необходимо : MM=NN. Внутреннюю сумму по к в левой части (2.34) будем набирать до сходимости. Поскольку строгое доказательство применимости метода редукции для данной СЛАУ представляет сложную задачу, использование этого метода в настоящей главе обосновывается ниже косвенными методами, о которых говорилось во Введении к диссертации.
Характеристическое уравнение резонатора получаем из условия нетривиальности решений редуцированной системы уравнений (2.34), приравнивая нулю ее определитель. Для расчета структуры электромагнитного поля и добротности резонатора необходимо определить значения амплитудных коэффициентов А„, Вп и Ск. Они рассчитываются из системы уравнений, которая получается из (2.34), если положить коэффициент В] =1 и исключить одно уравнение, а также из соотношений (2.8) и (2.33).
Составление характеристического уравнения
Полностью процесс Шварца изложен в работе [34] на примере исследования Г-образного волновода. В [34] показано, что критические частоты такого волновода определяются из трансцендентного уравнения, в которое входят функции, определяемые в результате n-шагового итерационного процесса. Таким образом, МПЧО на основе процесса Шварца является итерационным методом, а не прямым проекционным, как ранее обсуждавшиеся в диссертации методы, хотя для исключения координатной зависимости из функциональных уравнений, получающихся после записи граничных условий на линиях АЕ и GC, используются проекционные процедуры (условия ортогональности собственных функций областей Di и D2).
На основании сведений, приведенных в работе [34], можно сделать вывод, что процесс Шварца достаточно сложен в численной реализации. Поэтому представляет интерес рассмотреть возможность построения для резонатора, рис.3.1, МПЧО с прямой итерационной схемой. Однако в этом случае система граничных условий на линиях АЕ и GC оказывается избыточной: одновременная запись граничных условий на линиях АЕ и GC недопустима, т.к. нарушает принцип суперпозиции для области OADG резонатора, рис.3.1. С аналогичной ситуацией столкнулись также авторы работы [70], в которой с помощью МПЧО с непрерывным спектром собственных функций исследовался ЭЦДР. Для того, чтобы не нарушался принцип суперпозиции, в [70] был введен ряд допущений, основывающихся на свойстве ДР концентрировать электромагнитное поле. К сожалению, к резонатору, рис.3.1. такой подход неприменим.
Применительно к данному резонатору для преодоления указанной ситуации можно воспользоваться следующим приемом. В области OADG электромагнитное поле записываем с использованием двух наборов собственных функций областей Di и D2, но с другими постоянными коэффициентами, чем в остальных, непересекаю -69 щихся, частях этих областей. В этом случае уравнения, получающиеся после записи граничных условий на линиях АЕ и GC (для касательных компонент электрического поля) и линиях AD и GD (для касательных компонент магнитного поля) можно рассматривать совместно, а для перехода к СЛАУ воспользоваться обычной проекционной схемой. Этот вариант МЧО назовем методом «пересекающихся» частичных областей (М"П"ЧО) и с помощью кавычек подчеркнем его отличие от традиционного итерационного МПЧО [34]. Предложенный вариант МЧО изначально является приближенным, поскольку для области OADG, выделяемой как самостоятельная частичная область, нельзя сформулировать краевую задачу Штурма-Лиувилля и для нее любой дискретный набор собственных функций не является полным. Строго говоря, в этой области необходимо учитывать непрерывный спектр собственных функций.
Если для резонатора, рис.3.1, применение М"П"ЧО вряд ли можно считать обоснованным (поскольку приведет к СЛАУ более высокого порядка, чем, например, МЧО с учетом особенности поля вблизи металлического ребра [34, 93]), то для структуры, рассматриваемой в диссертации- резонатора для измерения параметров диэлектриков, рис.В.1,-этот метод представляется весьма привлекательным.
Электродинамическая модель резонатора, применяемая в настоящей главе, показана на рис.3.2. Она отличается от модели, использованной в предыдущей главе, рис.2.1, тем, что радиус стержня предполагается равным радиусу отверстий в торце: с=а. Границы диэлектриков определяют границы частичных областей 1, 2, 3, рис.3.2, которые располагаются аналогично предыдущей модели, рис.2.1. Однако в отличие от главы 1 область 1 является самостоятельной. Область 3 по-прежнему представляет собой запредельные на рабочей частоте волноводные каналы, которые считаем (теоретически) бесконечными. В этой особенности формы экрана заключается, как отмечалось, существенное отличие модели на рис.3.2. от резонатора на рис.3.1, что не позволяет в данном случае при записи полей в области 1 составить набор собственных функций по аналогии с тем, как это предполагалось делать для резонатора, рис.3.1. В рассматриваемом резонаторе в области 1 будем учитывать наборы собственных функций, соответствующие пересекающимся круглому волно -70 воду с радиусом, равным радиусу торцевых каналов, и плоскому радиальному волноводу с расстоянием между проводящими плоскостями, равным длине резонатора.
В настоящей главе с помощью М ТГ ЧО для резонатора, рис.3.2, составлено характеристическое уравнение. Для проверки полученного уравнения в нем рассмотрен предельный переход от рассматриваемого резонатора к экранированному цилиндрическому резонатору. Поскольку характеристическое уравнение получено в незамкнутом виде и решалось методом редукции, для контроля правильности расчетного алгоритма произведено исследование сходимости значений резонансной частоты при увеличении порядка СЛАУ. Представлены результаты расчета резонансной частоты в зависимости от геометрических размеров резонатора и диэлектрической проницаемости вставки. Составлено расчетное выражение для вычисления добротности данного резонатора. Исследована сходимость значений добротности в зависимости от номера приближения.
Значительное внимание в настоящей главе уделено исследованию распределения электрического поля вблизи металлического ребра. Такое исследование проведено как для алгоритма М"П"ЧО, так и МЧО. Дополнительно эти алгоритмы сопоставлены по «энергетическому» критерию- условию выполнения равенства запасенных в резонаторе энергий электрического и магнитных полей,
Составление системы интегральных уравнений для резонатора с диэлектрическим стержнем и отверстиями в торцах
При решении внутренних задач электродинамики непрерывный спектр собственных функций использовался в сравнительно небольшом числе работ [36-38, 101]. В [36] впервые указано на необходимость введения непрерывного спектра в определенных случаях во внутренних задачах электродинамики. В работе [37] конкретно очерчен круг структур, в которых возникает такая необходимость, а также предложен подход к расчету экранированных направляющих систем, в одной из частичных областей которых решение уравнения Гельмгольца записывается в виде непрерывного спектра собственных функций.
В качестве конкретного примера электродинамической задачи, решаемой с использованием этого метода, в [37] рассмотрен прямоугольный коаксиал. В работах [38, 101] МЧО с непрерывным спектром собственных функций был применен для исследования прямоугольного гофрированного волновода. При решении полученных систем интегральных уравнений в [38,101] впервые использовался приближенный метод, основанный на выделении «доминирующей части» непрерывного спектра. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах [16,70]. В первой из них рассматривался расчет резонатора для радиоспектроскопа. Этот резонатор по конструкции подобен исследуемому в диссертации резонатору- ячейке для измерения параметров диэлектриков. Он представляет собой прямоугольный волноводный резонатор с диэлектрическим стержнем и отверстиями в торцах. Учитывая указанное сходство, метод, использованный в работе [16], и ее выводы несомненно представляют интерес применительно к задачам диссертации. Во второй [70], исследовался экранированный цилиндрический диэлектрический резонатор (ЭЦДР). Как отмечалось во введении к диссертации, ЭЦДР относится к числу таких структур, в которых выделение диэлектрического резонатора в качестве самостоятельной частичной области приводит к необходимости использования непрерывного спектра собственных функций в двух частичных областях. Ввиду сложности решения такой задачи в [70] использован приближенный подход, позволивший ввести непрерывный спектр только в одной частичной области. Сравнительно простой расчетный алгоритм, полученный в [70], позволил определить приближенный вид спектральной функции. Методика решения СИУ, использованная в [70] будет проанализирована ниже.
Использование для представления полей в одной или нескольких частичных областях резонансной электродинамической структуры вместо дискретных наборов собственных функций непрерывного спектра собственных функций требует новых подходов к процедуре составления с помощью МЧО характеристического уравнения собственных колебаний. Поскольку электромагнитное поле в указанных областях записывается в виде интегралов с бесконечными пределами интегрирования, использование условий непрерывности тангенциальных составляющих полей на границах между частичными областями приводит в общем случае к функциональным уравнениям, содержащим сингулярные интегралы, под знак которых входят функции, зависящие от координат. Исключения из полученных уравнений координатной зависимости производится различными методами.
Например, если некоторая область с непрерывным спектром граничит с областями, в которых поле представлено дискретными наборами собственных функций, то для исключения координатной зависимости из функциональных уравнений можно воспользоваться обычной проекционной схемой [40], применив условия ортогональности собственных функций со стороны областей с дискретным спектром. В результате приходим к системе СИУ Фредгольма 1-го рода относительно неизвестных спектральных амплитуд. Как известно [39,102], решение ИУ Фредгольма 1-го рода с математической точки зрения является некорректной задачей. Эта некорректность не обязательно приводит к ошибочным результатам. Численное решение ИУ этого типа проводится во многих работах [100, 34, 44] и др. Авторами работ [100], где рассматривалась открытая микрополосковая линия, и [44], посвященной решению задачи дифракции электромагнитной волны на незамкнутой цилиндрической поверхности, удалось получить устойчивые алгоритмы и численные результаты, хорошо совпадающие с полученными другими методами. В [34] к ИУ Фредгольма 1-го рода привело исследование волноводов со сложной формой поперечного сечения. Авторами показано, что решение этих ИУ методом Галеркина при соответствующем подборе базисных функций приводит к хорошо обусловленным СЛАУ с быстрой сходимостью решений.
Однако, следует отметить, что для построения надежной вычислительной схемы, позволяющей получить заведомо устойчивое, решение необходимо на этапе составления системы СИУ (до ее численного решения) перейти к уравнениям Фредгольма И-го или Ш-го рода. Этого можно добиться различными способами. В частности, возможна регуляризация ИУ 1-го рода путем приближенного приведения их к уравнениям И-го рода. К настоящему времени разработан ряд [39,102, 104] методов регуляризации. Сразу получить СИУ Фредгольма И-го или Ш-го рода можно, если к функциональным уравнениям, полученным при «сшивании» полей на границе между двумя частичными областями, применить интегральные преобразования: Фурье или Бесселя в зависимости от геометрии задачи. Такой подход использовался, как отмечалось выше, в работе [98] при исследовании открытого ДР.
В диссертации математический прием, заключающийся в применении к функциональным уравнениям интегральных преобразований и переходе сразу к ИУ Фредгольма Ш-го рода, применен в задаче об исследовании цилиндрического резонатора с диэлектрическим стержнем и отверстиями в торцах. Как отмечалось в главе 1 при вы -97 делении области 1, рис. 1.5 в качестве самостоятельной частичной области, на ее границах не выполняются условия, соответствующие краевой задаче Штурма-Лиувилля. Следовательно, электромагнитное поле в этой области необходимо представлять в виде непрерывного спектра собственных функций.
