Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Особенности спектра волн круглого открытого диэлек трического волновода 19
1.1. Введение 19
1.2. Постановка краевой задачи для круглого ОДВ 21
1.3. Асимптотика дисперсионных характеристик двухслойного круглого ОДВ вблизи критических частот поверхностных волн 30
1.4. Круглый ОДВ, помещенный в диссипативную среду 40
1.5. Расчет структур электромагнитного поля в двухслойном круглом ОДВ 51
1.6. Классификация волн двухслойного круглого ОДВ 61
1.7. Вытекающие волны световода с депрессированной оболочкой 64
1.8. Метод вариации фазы для поиска комплексных корней трансцендентных уравнений 73
1.9. Выводы 81
Глава 2. Электродинамический расчет эффективности накачки активного оптического волокна с круглой внутренней
2.1. Введение 83
2.2. Постановка краевой задачи для круглого АОВ 84
2.3. Исследование зависимости эффективности накачки круглого АОВ от отношения радиусов сердцевины и внутренней оболочки 85
2.4. Экспериментальная проверка полученных результатов 100
2.5. Применение программы расчета поперечных распределений плотности продольного потока мощности волн двухслойного круглого ОДВ в задаче анализа эффективности накачки АОВ 104
2.6. Оценка эффективности накачки круглого АОВ при легировании кольцевого слоя вокруг сердцевины 109
2.7. Выводы 111
Глава 3. Электродинамический подход к исследованию влияния формы внутренней оболочки АОВ на эффективность на качки 112
3.1. Введение 112
3.2. Краевая задача для двухслойного ОДВ с симметрично «скошенной» оболочкой 116
3.3. Исследование сходимости решений, получаемых методом коллокаций, для ОДВ с симметрично «скошенной» оболочкой 118
3.4. Исследование дисперсии и эффективности накачки АОВ с симметрично «скошенной» внутренней оболочкой при разных углах «скоса» 125
3.5. Выводы 135
Глава 4. Расчет характеристик передачи прямоугольного ОДВ, по крытого пленкой воды (базовой структуры для чувстви тельного элемента датчика температуры точки росы в измерителе влажности газа) 136
4.1. Введение 136
4.2. Обоснование метода поверхностного тока в задаче о расчете характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого пленкой воды 138
4.3. Постановка краевой задачи для двухслойной модели ЧЭДТТР 143
4.4. Результаты расчета характеристик передачи прямо угольного ОДВ, покрытого пленкой воды 147
4.5. Выводы 148
Заключение 150
Литература
- Асимптотика дисперсионных характеристик двухслойного круглого ОДВ вблизи критических частот поверхностных волн
- Исследование зависимости эффективности накачки круглого АОВ от отношения радиусов сердцевины и внутренней оболочки
- Краевая задача для двухслойного ОДВ с симметрично «скошенной» оболочкой
- Обоснование метода поверхностного тока в задаче о расчете характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого пленкой воды
Введение к работе
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Одной из главных задач теории и техники связи второй половины XX и XXI века является задача повышения скорости передачи информации. Самый кардинальный способ решения этой задачи основан на повышении несущей частоты. По мере перехода к более высоким несущим частотам значимость открытых диэлектрических волноводов (ОДВ) неуклонно возрастает: начиная с миллиметрового и в более коротковолновых диапазонах диэлектрические волноводы предпочтительнее металлических в смысле обеспечения низкого затухания [1]. К другим преимуществам диэлектрических волноводов по сравнению с металлическими относятся простота конструктивного воплощения функциональных узлов на базе ОДВ, дешевизна производства, гибкость при изготовлении волноводов из полимеров, ничтожные электро- и теплопроводность. В настоящее время интерес к ОДВ особенно высок в связи с интенсивным развитием волоконно-оптических линий связи (ВОЛС). Волоконные световоды, которые можно представить как многослойные ОДВ, имеют огромную пропускную способность [2] и крайне малые потери [3]. Благодаря этому ВОЛС оказываются вне конкуренции по сравнению с другими линиями связи при передаче больших объемов информации на большие расстояния.
Основы теории круглого ОДВ были заложены еще в конце 40-х годов Б.З. Каценеленбаумом [4]. В дальнейшем были проведены глубокие исследования круглого ОДВ, а также регулярного диэлектрического волновода с произвольным поперечным сечением, частным случаем которого является круглый ОДВ [5-Ю]. Вместе с тем некоторые вопросы, важные как для анализа физических процессов в круглом ОДВ, так и для его применения в функциональных узлах техники СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, оста-
ются недостаточно изученными. В частности, мало исследованы дисперсионные характеристики волн вблизи критических частот, а также в области вытекания при наличии потерь в окружающей среде. Трехслойные волоконные световоды [11] исследованы в основном лишь в области поверхностных волн. Задача о расчете характеристик дисперсии и затухания вытекающих волн особенно важна для световодов с депрессированной оболочкой. В этих световодах показатель преломления п2 внутренней (депрессированной) оболочки меньше показателя преломления щ внешней оболочки; при этом п2 можно изменять в широких пределах, что позволяет получать близкую к нулю хроматическую дисперсию на длинах волн вплоть до 0,78 мкм [12]. (Технологически получение большой разницы щ - п2 стало возможным с появлением «дырчатых» волоконных световодов [13]). Принципиальной особенностью световода с депрессированной оболочкой является наличие частоты отсечки у поверхностной волны НЕц, однако характеристики дисперсии и затухания вытекающей волны НЕц не были получены ни в одном из известных соискателю литературных источников. Недостаточно хорошо изучены характеристики затухания вытекающих волн высших типов данного световода в одномодовом режиме.
В последние два десятилетия в оптических сетях передачи информации широко используются лазеры и усилители на активных оптических волокнах (АОВ) [14, 15]. Одной из главных проблем при проектировании лазеров и усилителей на АОВ является оптимизация геометрических параметров АОВ для достижения максимальной эффективности накачки. Эта проблема может быть решена двумя способами: 1) уменьшение размера внутренней оболочки, в которую вводится излучение накачки; 2) использование внутренней оболочки определенной некруглой формы [16]. До настоящего времени задача оптимизации геометрических параметров АОВ решалась в основном с использованием методов геометрической оптики [17], а строгий электродинамический подход к ее решению не был разработан.
Решение задачи оптимизации формы внутренней оболочки АОВ для достижения максимальной эффективности накачки в рамках строгого электродинамического подхода включает решение краевой задачи для ОДВ с разнокоординатной границей раздела однородных областей. В диссертации рассматривается одна из моделей АОВ с варьируемой формой внутренней оболочки - двухслойный ОДВ с симметрично «скошенной» оболочкой. В этом ОДВ граница между внутренней областью (соответствующей внутренней оболочке АОВ) и неограниченной внешней областью (соответствующей внешней оболочке АОВ) состоит из симметрично расположенных участков окружности, соединенных хордами («скошенными» участками). Наиболее удобным для компьютерной реализации методом решения краевых задач для ОДВ с разнокоординатными границами является метод коллокаций [18]. Главные преимущества этого метода - простота составления алгоритма и возможность использования метода при любой форме разнокоординатной границы [15]. В связи с этим метод коллокаций привлекает к себе большое внимание специалистов в области электродинамики. Однако его применение сдерживается тем, что до сих пор не существует универсального критерия выбора оптимального числа и размещения точек коллокаций. В диссертации исследуется вопрос о выработке такого критерия.
В настоящее время в газовой промышленности широко используются измерительные приборы СВЧ и КВЧ диапазонов. Одним из таких приборов является датчик температуры точки росы (ДТТР) для измерителя влажности газа, описанный в [19]. Чувствительным элементом (ЧЭ) этого датчика является прямоугольный ОДВ на металлической пластине. При достижении точки росы на нем образуется пленка воды, что резко увеличивает затухание в этом волноводе. Для правильного выбора параметров ЧЭ ДТТР необходимо произвести расчет характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого поглощающей пленкой. Ранее такая задача не решалась. В диссертации она
решается методом коллокаций в сочетании с методом поверхностного тока (МПТ) [20].
Цель диссертации: создание алгоритмов и программ расчета характеристик ОДВ СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов с различными формами граничных поверхностей; разработка методики расчета комплексных волновых чисел дисперсионных уравнений указанных структур; исследование зависимости эффективности накачки АОВ от его геометрических параметров; расчет характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого поглощающей пленкой, как чувствительного элемента ДТТР; выдача рекомендаций по практическому использованию полученных результатов.
Методы исследования. Результаты, представленные в диссертации, получены на основе: строго обоснованного метода согласования полей; метода коллокаций, сходимость которого проверялась по критерию выполнения граничных условий краевой задачи; метода поверхностного тока, применимость которого обосновывалась. Расчет комплексных корней дисперсионных уравнений производился с использованием разработанного соискателем метода вариации фазы, базирующегося на известном из теории функции комплексного переменного принципе аргумента [21].
Задачи, решаемые в диссертации:
Теоретическое исследование дисперсионных уравнений и характеристик поверхностных волн двухслойного круглого ОДВ вблизи критических частот.
Исследование характеристик дисперсии и затухания комплексных волн круглого ОДВ, помещенного в диссипативную среду.
Выработка критерия классификации комплексных волн двухслойного круглого ОДВ.
Исследование характеристик дисперсии и затухания вытекающих волн световода с депрессированной оболочкой.
Разработка метода целенаправленного поиска комплексных корней трансцендентных уравнений как одной из математических основ решения несамосопряженных краевых задач электродинамики.
Исследование корректности метода коллокаций для расчета спектров волн ОДВ с разнокоординатными границами.
4 ' 7. Исследование влияния размеров и формы внутренней оболочки
АОВ на эффективность его накачки.
8. Расчет характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого пленкой воды, как базовой структуры для ЧЭ ДТТР в измерителе влажности газа.
Научная новизна. В результате выполнения работы:
Получена и исследована асимптотика дисперсионных характеристик двухслойного круглого ОДВ вблизи критических частот поверхностных волн. Введено понятие «реальных» критических частот поверхностных волн.
Исследована трансформация спектра комплексных волн двухслой-ного круглого ОДВ при введении потерь во внешней области.
Исследована проблема классификации комплексных волн двухслойного круглого ОДВ. Сформулирован критерий классификации этих волн.
Произведен расчет характеристик дисперсии и затухания вытекающей волны НЕП световода с депрессированной оболочкой.
Разработан метод поиска комплексных корней трансцендентных уравнений, основанный на принципе аргумента.
- Исследована корректность метода коллокаций для расчета спектров
<У волн ОДВ с разнокоординатными границами. Сформулирован критерий вы
бора оптимальной коллокаций.
- Разработан электродинамический метод расчета эффективности на
качки АОВ; на базе этого метода решена задача оптимизации размеров и
формы внутренней оболочки АОВ для достижения максимальной эффектив
ности накачки.
ленно показывается, что эти дисперсионные характеристики имеют «стелющийся» участок вблизи теоретических критических частот волн HE,m. Вводится понятие «реальной» критической частоты - частоты, на которой коэффициент замедления отличается от показателя преломления пг внешней области на крайне малую величину є (можно принять е = 10~5). Показывается, что реальные критические частоты фактически совпадают с теоретическими для всех волн, кроме НЕ,,„; у волн НЕ1;Ч при небольших т реальные и теоретические критические частоты отличаются существенно; с ростом т их разность убывает. Другой особенностью поверхностных волн НЕ,Ш является отсутствие у них продолжений в виде вытекающих волн в ОДВ без потерь [7]. Было сделано предположение о том, что данное обстоятельство связано с особым характером точек нерегулярности дисперсионного уравнения этих волн (точек, где поперечное волновое число сс2 внешней области обращается в нуль). В связи с этим был рассмотрен ОДВ с потерями во внешней области, для которого а2 не может быть равно нулю ни на одной ненулевой частоте. В этом случае отыскиваются продолжения в виде вытекающих волн у поверхностных волн НЕЫ при т>2. При этом оказывается, что дисперсионная характеристика каждой волны НЕ"т является частью характеристики волны НЕ,(Я|+1. При введении потерь во внешней области ОДВ обнаруживается также и другой эффект: волны ЕНЛОТ начинают удовлетворять условию
излучения на бесконечности в определенных частотных диапазонах слева от критических частот. С ростом tg5 ширина этих диапазонов увеличивается.
В главе рассматривается проблема классификации комплексных волн. Известно [4], что поверхностные волны могут быть классифицированы по знаку перед радикалом в дисперсионном уравнении гибридных волн. На примере комплексной волны ЕНц показывается, что классификация комплексных волн по знаку перед радикалом неправомерна, и единственным надежным критерием классификации комплексных волн является непрерывный
в выдаче практических рекомендаций по выбору оптимальной с точки зрения эффективности накачки геометрии поперечного сечения АОВ;
в расчете характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого поглощающей пленкой, как чувствительного элемента ДТТР для измерителя влажности газа.
Реализация и внедрение результатов. Алгоритмы и программы, разработанные в ходе выполнения диссертационной работы, внедрены в Научно-исследовательском институте измерительных систем, г. Н. Новгород (разработка ЧЭ ДТТР для измерителя влажности газа), и Институте химии высокочистых веществ РАН, г. Н. Новгород (получение АОВ с геометрическими параметрами, оптимальными в смысле достижения максимальной эффективности накачки). Акты внедрения представлены в приложении к диссертации.
Положения, выносимые на защиту:
Результаты расчета спектра волн ОДВ, помещенного в диссипатив-ную среду.
Результаты расчета характеристик дисперсии и затухания вытекающих волн световода с депрессированной оболочкой.
Метод поиска комплексных корней трансцендентных уравнений, основанный на принципе аргумента.
Разработка электродинамического подхода к оценке эффективности накачки активного оптического волокна (базовой структуры для изготовления волоконных лазеров и усилителей).
Результаты исследования спектров волн ОДВ с разнокоординатны-ми границами.
Результаты исследования влияния размеров и формы внутренней оболочки активного оптического волокна на эффективность его накачки.
Результаты расчета характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого пленкой воды, как чувствительного элемента датчика температуры точки росы для измерителя влажности газа.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на I и II Всероссийских научных конференциях студентов-радиофизиков, С.Петербург, 1997 и 1998; 6-й международной конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ», Самара, 1999; научно-технических конференциях факультета информационных систем и технологий Нижегородского государственного технического университета, Н. Новгород, 1999 и 2000; 13-й международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», С.-Петербург, 2000; 3-м международном симпозиуме «Биофизика полей и излучений и биоинформатика», Тула, 2000; XXVIII международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникациях и бизнесе / IT+SE'2001», Гурзуф; всероссийских научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии», Н. Новгород, 2001-2003; I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2001.
По результатам диссертационной работы имеется 21 научная публикация [72-92].
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении сформулирована цель диссертации; обоснована ее актуальность; сформулированы задачи исследований; описаны методы исследований; определена новизна полученных результатов и их практическая значимость; обоснована их достоверность; сформулированы положения, выносимые на защиту; кратко изложено содержание диссертации.
В первой главе диссертации описывается постановка краевой задачи для двухслойного круглого ОДВ. Эта задача решается в замкнутой форме. Автором проводится анализ дисперсионных уравнений и характеристик вблизи критических частот поверхностных волн. Особое внимание уделяется асимптотике дисперсионных характеристик волн HElm. Аналитически и чис-
ленно показывается, что эти дисперсионные характеристики имеют «стелющийся» участок вблизи теоретических критических частот волн HE,m. Вводится понятие «реальной» критической частоты - частоты, на которой коэффициент замедления отличается от показателя преломления пг внешней области на крайне малую величину є (можно принять е = 10~5). Показывается, что реальные критические частоты фактически совпадают с теоретическими для всех волн, кроме НЕ,,„; у волн НЕ1;Ч при небольших т реальные и теоретические критические частоты отличаются существенно; с ростом т их разность убывает. Другой особенностью поверхностных волн НЕ,Ш является отсутствие у них продолжений в виде вытекающих волн в ОДВ без потерь [7]. Было сделано предположение о том, что данное обстоятельство связано с особым характером точек нерегулярности дисперсионного уравнения этих волн (точек, где поперечное волновое число сс2 внешней области обращается в нуль). В связи с этим был рассмотрен ОДВ с потерями во внешней области, для которого а2 не может быть равно нулю ни на одной ненулевой частоте. В этом случае отыскиваются продолжения в виде вытекающих волн у поверхностных волн НЕЫ при т>2. При этом оказывается, что дисперсионная характеристика каждой волны НЕ"т является частью характеристики волны НЕ,(Я|+1. При введении потерь во внешней области ОДВ обнаруживается также и другой эффект: волны ЕНЛОТ начинают удовлетворять условию
излучения на бесконечности в определенных частотных диапазонах слева от критических частот. С ростом tg5 ширина этих диапазонов увеличивается.
В главе рассматривается проблема классификации комплексных волн. Известно [4], что поверхностные волны могут быть классифицированы по знаку перед радикалом в дисперсионном уравнении гибридных волн. На примере комплексной волны ЕНц показывается, что классификация комплексных волн по знаку перед радикалом неправомерна, и единственным надежным критерием классификации комплексных волн является непрерывный
#
переход их дисперсионных характеристик в характеристику той или иной поверхностной волны.
Одним из примеров волноведущих структур, при расчете которых крайне важен учет комплексных волн, является световод с депрессированной оболочкой. В главе ставится краевая задача для трехслойного круглого ОДВ, являющегося моделью этого световода. Задача решалась при следующих параметрах волокна: показатели преломления сердцевины, депрессированной оболочки и внешней области яі=1,48; «2=1,1418 и и3=1,45 соответственно; радиусы сердцевины и депрессированной оболочки я=1 мкм и Ь=2 мкм соответственно. В результате были рассчитаны характеристики дисперсии и затухания волны НЕп. Также была произведена оценка затухания а вытекающих волн высшего типа этого световода при работе в одномодовом режиме в диапазоне нулевой хроматической дисперсии (?i=0,78-f0,79 мкм): а > 780 дБ/км.
Из этого следует, что вытекающие волны высших типов не участвуют в передаче сигнала по световоду, если его длина не меньше 13 м.
Для любой волноведущей структуры, исследуемой в диссертации, ставится краевая задача, описываемая несамосопряженным оператором [21]. Решение каждой такой задачи включает поиск корней трансцендентных уравнений на комплексной плоскости. При поиске комплексных корней существующими методами часто возникают две проблемы: 1) необходимость задания весьма точного приближения; 2) трудность подтверждения истинности найденного корня. Соискателем предложен метод вариации фазы, базирующийся на известном из теории функции комплексного переменного принципе аргумента. При использовании этого метода первая из указанных проблем снимается, если в области поиска отсутствуют полюса, а вторая - в любом случае. В главе описывается алгоритм работы метода вариации фазы и рассматривается пример использования этого метода.
Во второй главе формулируется задача об электродинамическом расчете эффективности накачки АОВ с круглой формой внутренней оболочки. Ак-
тивному волокну ставится в соответствие трехслойный круглый ОДВ: первый слой (радиуса а) соответствует сердцевине, второй (радиуса Ъ) - внутренней оболочке, третий - внешней оболочке. Поскольку граница внешней оболочки фактически не влияет на распространение излучения накачки, то третий слой считается неограниченным. После решения краевой задачи для направляемых мод данного ОДВ вычисляется сердцевинная доля rj мощности накачки, передаваемой отдельной волной.
В предположении о равномерном распределении входной мощности накачки между всеми модами поглощательное отношение (эффективность
Р 1 Д,
накачки) у = —= — 2](1-е~КЦі') = 1-е~клГ, где Р0 - мощность излучения на-
качки на входе волокна; Рп - мощность, поглощенная активными ионами; N
- число мод излучения накачки; к - коэффициент, характеризующий по-глощательные свойства активного вещества сердцевины; / - длина волокна. В главе рассматривается случай малых длин активного волокна: к/«1; при этом условии у « к/г], т.е. эффективность накачки определяется усредненной
по всем волнам сердцевинной долей потока мощности накачки. В реальных
волокнах (- = 0,04...0,15) распространяется от 200 до 3000 мод, и произвести Ь
усреднение по всем этим волнам крайне сложно или вообще невозможно. В связи с этим рассчитывается величина т|(и) - сердцевинная доля потока
мощности, усредненная по всем волнам с азимутальными индексами от 0 до п, а затем исследуется сходимость этой величины с увеличением п. В результате определяется значение п, при котором ц(п) можно принять за rj. Расчеты показали, что fj линейно растет с увеличением а/Ь от 0,048 до примерно 0,5. Таким образом, чтобы рассчитать rf при реальных а/Ь, можно сделать
это при — = 0,5 (в этом случае возможно усреднение по всем волнам), а затем Ъ
линейно экстраполировать результат на область реальных а/Ь. Поскольку
зависимость ц(а/Ь) для реальных АОВ является линейной, то оптимальным с точки зрения максимизации эффективности накачки является как можно меньший диаметр внутренней оболочки. Ограничение снизу — диаметр той области, в которую мощные светодиодные источники еще могут ввести излучение; он примерно равен 40 мкм. В главе также показывается, что легирование кольцевого слоя вокруг сердцевины дает меньшую эффективность накачки, нежели легирование сердцевины.
В третьей главе диссертации исследуется влияние формы внутренней оболочки АОВ на эффективность его накачки. Рассматривается АОВ с симметрично «скошенной» внутренней оболочкой. Меняя угловой диапазон фск
«скошенных» участков, можно получать разные формы оболочки.
Подавляющее большинство мод излучения накачки в АОВ составляют моды оболочки: их сотни и тысячи, в то время как мод сердцевины не больше четырех. Сердцевинная доля потока мощности мод оболочки практически не изменится, если показатель преломления сердцевины принять равным показателю преломления оболочки. Поэтому моделью активного волокна можно считать двухслойный ОДВ со скошенной оболочкой, первая область которого соответствует внутренней оболочке, а вторая (окружающее пространство) - внешней оболочке. Сердцевине радиуса а в поперечном сечении этого ОДВ соответствует круг радиуса а, являющийся частью первой области. Краевая задача для данного ОДВ решалась методом коллокаций (рассматривалась четверть поперечного сечения ОДВ). Соискателем сформулирован критерий выбора оптимального числа и размещения точек коллокаций. Таким критерием является обращение в минимум функционала относительного расхождения полей на разнокоординатной границе.
В результате решения краевой задачи получены спектры волн АОВ с симметрично скошенной внутренней оболочкой при различных углах скоса Фск. При разных фск для каждой волны из представительной выборки рассчитана доля г] потока мощности, приходящаяся на сердцевину АОВ. В АОВ с
/7
круглой внутренней оболочкой (фск = 0) очень велико число мод с ничтожно малым значением г| (т.н. непоглощаемых мод). С увеличением фск число таких мод монотонно уменьшается. Таким образом, в рассматриваемой модели оптимальной является квадратная форма внутренней оболочки (фск = 90).
В четвертой главе диссертации производится расчет характеристик передачи прямоугольного ОДВ на металлическом экране, являющегося базовой структурой для ЧЭ ДТТР в измерителе влажности газа. При выпадении росы на отрезок такого ОДВ резко увеличивается затухание волны, распространяющейся в нем. Чувствительному элементу ДТТР с размерами ах2Ь можно поставить в соответствие трехслойный прямоугольный ОДВ, включающий слой 1 с размерами 2ах2Ь и параметрами б,,ц, чувствительного элемента; поглощающий слой П толщиной Д с параметрами є, ц воды; и неограниченный слой 2 с параметрами є2, \і2 пространства, в котором находится чувствительный элемент. Величины є, и є2 вещественные; є = є'-/є". Спектр волн ЧЭ ДТТР является частью спектра волн описанного ОДВ. При решении краевой задачи для этого ОДВ используется метод поверхностного тока. Он состоит в следующем. Пленка воды считается бесконечно тонкой, а потери в воде учитываются при помощи эквивалентной проводимости <тэ = /соє. На границе областей двухслойного прямоугольного ОДВ тангенциальные компоненты вектора Е непрерывны, а тангенциальные компоненты вектора Н удовлетворяют условию //т1 -Ят2 = До7э[ДЁт1], где Я - орт внешней нормали
к границе. Величина Дсгэт1 представляет собой эквивалентную поверхностную плотность тока У„овз. В диссертации обосновывается применимость
МПТ в данной задаче. Краевая задача для двухслойного прямоугольного ОДВ с бесконечно тонкой поглощающей пленкой решается методом колло-каций (рассматривается четверть поперечного сечения ОДВ). Оптимальная коллокация определяется по критерию обращения в минимум функционала
относительного расхождения полей на границе раздела областей. На основе решения данной краевой задачи получены зависимости затухания основной волны от длины волновода на рабочей частоте ЧЭ ДТТР / = 35 ГГц для минимального и максимального значений толщины пленки воды (10 и 20 мкм). В заключении к диссертации перечислены основные результаты, полученные в процессе ее выполнения.
Асимптотика дисперсионных характеристик двухслойного круглого ОДВ вблизи критических частот поверхностных волн
Поверхностные волны можно разделить на 3 группы по виду асимптотики их дисперсионных характеристик вблизи критических частот: 1. Симметричные волны и волны НЕ2т; поведение их дисперсионных j характеристик вблизи критических частот качественно описывается соотношениями (1.35). 2. Все волны ЕНИОТ и волны НЕит при п 3; для этих волн при V- V 3. Волны HEiOT. Асимптотика дисперсионной характеристики волны НЕп определяется по формуле (1.29), а волн НЕ]ОТ, т 2, - по формуле (1.30). Выражения (1.29) и (1.30) определяют отличительную черту дисперсионных характеристик волн HEiw: они имеют «стелющиеся» участки вблизи критических частот, на которых коэффициент замедления [3 очень близок к , пг. Волны, соответствующие этим участкам, фактически не являются направ ляемыми. Критические частоты, найденные на основе анализа асимптотических дисперсионных уравнений, совпадают с известными ранее (см., например, [8]). Асимптотика дисперсионных характеристик вблизи критических частот также известна [7], однако ни в одном из известных соискателю литератур ных источников не сделан важный вывод, следующий из анализа этой асим птотики: поведение дисперсионных характеристик волн НЕ]ОТ вблизи крити ческих частот обусловливает необходимость введения «реальных» критиче \ ских частот. Под реальной критической частотой будем понимать частоту, на которой коэффициент замедления отличается от показателя преломления на крайне малую величину, такую, что волна уже не является направляемой: Исходя из физических соображений, можно принять 8 = 10"5.
Чтобы оценить, насколько велика величина V -V , естественно сравнивать ее с 7t. (С ростом критических частот разности критических частот для соседних пар симметричных волн, волн ЕН„т и EH„iW+i и волн НЕите и HE„w+i СТреМЯТСЯ К 7t.) Для всех волн EH„W и волн НЕПМ при п Ъ $-n2 V-V , поэтому Vp -V KJ Укр Є = 10 5; отношение — — имеет порядок 10"5. Для симметрич к ных волн и волн HE2w, как следует из формулы (1.35), V -V не может Vv -V превосходить по порядку л/в = 10-2,5 « 3,2 10"3 10"3; — — 10-3.
Найдем FJ -Р для волн НЕ] і и НЕі2 ОДВ из немагнитных сред с показателями преломления «, = 1,46; п2 = 1,44. Для этого нужно решить трансцендентные уравнения (1.29) и (1.30), в которых р = п2 +10"5; V = V . Решая эти уравнения, находим, что для волны НЕц V—V=V& 0,7, а для волны HEi2 V -V =V -hn «0,1 (большая точность не нужна, поскольку мы ин \ теоретических, тересуемся порядком разности реальных иукритических частот). Отношение Vp -V для волн НЕц и HEi2 примерно равно 22% и 3% соответственно.
Таким образом, при малых т реальные и теоретические критические частоты волн HEim отличаются существенно. Из формул (1.29) и (1.30) следует, что для ОДВ с любыми параметрами с ростом т отличие реальных и теоретических критических частот волн НЕ]ОТ убывает.
На рис. 1.3 и 1.4 приведены рассчитанные на ЭВМ дисперсионные характеристики некоторых поверхностных волн ОДВ из немагнитных сред с . рисунков,, параметрами и, = 1,45; пг = 1. Как видно из этих у результаты, полу ченные в данном параграфе аналитически, подтверждаются компьютерным расчетом.
Рассмотрим поведение волновых чисел волн двухслойного круглого ОДВ в закритической области. Как уже отмечалось, краевая задача для ОДВ может быть поставлена с наложением нулевого условия на бесконечности и без него. В первом случае в спектре ОДВ помимо поверхностных волн могут присутствовать лишь собственные комплексные волны, поле которых убывает при удалении от ОДВ, поскольку у них Ima2 0. Однако эти волны возникают лишь при определенных параметрах направляющей структуры и не могут являться продолжением поверхностных волн в закритической области. Во втором случае в спектре ОДВ дополнительно появляются комплексные волны, которые являются несобственными (Ima.2 0, поле нарастает с удалением от ОДВ).
На рис. 1.5, а, приведены характеристики дисперсии и затухания волн индекса и=1 для ОДВ из немагнитных сред с параметрами є, = 2,1025; 8 =1 (л, =1,45; «2=1). Вытекающие волны являются непосредственным продолжением поверхностных волн в закритическую область (волна ЕНп на рис. 1.5, а). С уменьшением частоты они переходят в медленные несобственные волны, для которых Р, п2. Как показано в [9], в спектре волн круглого ОДВ присутствуют также волны типа HEj («HEiM комплексные»). Это волны, комплексные во всем частотном диапазоне и являющиеся несобственными. На рис. 1.5, а, показаны характеристики волны HEf,. Собственных комплексных волн в рассматриваемом ОДВ нет.
Исследование зависимости эффективности накачки круглого АОВ от отношения радиусов сердцевины и внутренней оболочки
Стандартное оптическое волокно имеет диаметр оболочки 2Z =125 мкм. Современные светодиодные источники позволяют вводить мощность порядка нескольких ватт в область значительно меньшего диаметра. Представляет интерес исследовать, как эффективность накачки изменяется с уменьшением размера оболочки АОВ.
Проведем анализ зависимостей.энергетических характеристик АОВ от отношения радиусов сердцевины и внутренней оболочки. Поставим в соответствие АОВ трехслойный ОДВ. Первая (соответствующая сердцевине) область этого ОДВ имеет.радиус а, вторая (соответствующая внутренней оболочке) - радиус Ь, третья (соответствующая внешней оболочке) область имеет неограниченный размер.
Постановка краевой.задачи для трехслойного круглого ОДВ изложена в п. 1.7. Волновые числа волн ОДВ находятся в результате решения уравнений (1.50)-(1.52) совместно со связками (1.53).
Активная сердцевина представляет собой слой с потерями (излучение накачки поглощается ионами Ег3+). Следовательно, относительная диэлектрическая проницаемость сердцевины будет комплексной: = z[-iz?.
Затухание а на длине волны накачки X = 980 нм в свободном пространстве с параметрами сердцевины составляет 20 дБ/м. Вещественный показатель преломления сердцевины можно принять равным 1,469, откуда є/ = и,2 =2,158. Волновое число в свободном пространстве с параметрами ос сердцевины kx=k[-ik[, где k[ = kQnx; к"= . Значение Б," найдем из 201ge соотношения
Комплексность, диэлектрической проницаемости сердцевины обусловливает комплексность волновых чисел волн излучения накачки. Дисперсионные уравнения этих волн, строго говоря, необходимо решать на комплексной плоскости одного из волновых чисел.
Чтобы.судить о степени взаимодействия излучения накачки с активной сердцевиной волокна, необходимо для каждой отдельной волны рассчитать долю т полного потока мощности накачки, приходящуюся на сердцевину. При этом следует учитывать, что мощность накачки в рассматриваемом волокне определенным образом распределяется между всеми волнами сердцевины и оболочки.
Средний за период поток мощности отдельной волны через некоторую область S поперечного сечения ОДВ определяется как P = -RQl[EHm}iS. 2 s
Поля Е и Я находятся по формулам (1.1). Выражения для полей содержат амплитудные коэффициенты потенциальных функций. Один из этих коэффициентов задается произвольно, а все остальные выражаются через этот коэффициент при решении систем (1.47)-(1.49). Сердцевинная доля г потока мощности отдельной волны рассчитывается по формуле: ч = , (2.1) Ц+Р.+Р/ где Рх, Р2 и Р3 - потоки мощности через сердцевину, оболочку и окружающее пространство соответственно. На участке dz в свободном пространстве с параметрами сердцевины поглощается мощность dPn=KPdz, (2.2) где к - коэффициент, определяемый поглощательными свойствами материала сердцевины; Р - мощность, переносимая в данном фронте волны. Изменение мощности /-той волны на участке dz в активном волокне dPt -KPtr[tdz, здесь Pf - мощность, передаваемая /-той волной через все поперечное сечение АОВ. Интегрируя уравнение (2.2), получаем: pt(!)=p0ie- \ где I - длина волокна; Pot - поток мощности /-той волны на входе волокна. Суммарная поглощенная мощность в волокне длины /, по которому распространяются N волн: ;=1 Будем считать, что входная мощность накачки Р0 распределяется меж р ду всеми модами равномерно, т.е. Р01 = —. Тогда поглощательное отношение N (эффективность накачки) А у = - =—]Г(1 - б" ) = 1 - є 1. PQ - ;=1 В настоящей главе.рассматривается случай малых длин активного волокна: к/«1; при этом условии у « к/Т[, т.е. эффективность накачки определяется усредненной по всем волнам сердцевинной долей потока мощности накачки.
Краевая задача для двухслойного ОДВ с симметрично «скошенной» оболочкой
С целью поиска новых способов повышения эффективности накачки была рассмотрена модель АОВ, в которой ионы Ег3 вводятся в кольцевую область, непосредственно прилегающую к сердцевине. Площадь поперечного сечения данной области выбирается равной площади сердцевины. Были проведены расчеты средней доли потока мощности, переносимой через кольцевой слой направляемыми волнами АОВ, в зависимости от отношения a/b .
Для расчетов были взяты следующие параметры: 2 т=8 мкм; - = 0,5...0,707 (второе значение предельное, поскольку диаметр оболочки может уменьшаться только до внешней границы кольцевого слоя); показатель преломления рассматриваемого кольцевого слоя был принят равным п2. При указанном отношении а/Ъ удается учесть все волны сердцевины и оболочки.
На рис. 2.13 приведены результаты расчетов ц(а/Ь) для случая легирования кольцевого слоя (кривая 1) в сравнении с аналогичной характеристикой для случая легирования сердцевины (кривая 2). Из этого рисунка следует, что т[ для кольцевого слоя примерно в 1,65-2,4 раза ниже, чем для серд цевины. Следовательно, легирование кольцевого слоя вокруг сердцевины в целях повышения эффективности накачки нецелесообразно.
Перечислим основные результаты, представленные в главе 2. 1. В предположении о равномерном распределении входной мощности накачки между всеми модами АОВ получена формула для поглощательного отношения (эффективности накачки), основывающаяся на электродинамическом подходе. При помощи этой формулы показано, что при малых, длинах активного волокна (к/«1) эффективность накачки определяется усредненной по всем волнам сердцевинной долей потока мощности накачки. Результат 1 справедлив для АОВ с произвольной формой внутренней оболочки. 2. Рассчитаны зависимости сердцевинной, доли потока мощности накачки от отношения радиусов сердцевины и внутренней оболочки круглого АОВ. Показано, что при — 0,5 эта зависимость близка к линейной. В связи с Ъ этим можно производить расчет, сердцевинной доли потока мощности накачки при — = 0,5, а затем линейно экстраполировать полученное значение в об-b ласть реальных а/Ь (— = 0,04.:.0,15). Ь 3. Произведена экспериментальная проверка полученных результатов. 4. Показано, что в случае легирования активными ионами кольцевого слоя вокруг сердцевины эффективность накачки АОВ значительно ниже, чем в случае, когда легируется область сердцевины. Результаты, описанные в главе 2, опубликованы в [80-83, 86, 89, 90].
В настоящей главе рассматривается второй из двух способов повышения эффективности накачки АОВ, указанных в п. 2.1, - использование АОВ с определенной некруглой формой внутренней оболочки. Возможные варианты АОВ с некруглой внутренней оболочкой приведены на рис. 3.1. Каждая из представленных форм оболочки, как показали эксперименты, обеспечивает лучшую эффективность накачки, нежели круглая оболочках той же площадью поперечного сечения.
Представляет интерес провести теоретический анализ влияния формы внутренней оболочки АОВ на эффективность его накачки. Электродинамический подход к данной проблеме включает, решение краевой задачи для АОВ. В диссертации рассматривается АОВ с симметрично «скошенной» внутренней оболочкой (рис. .3.2, а). Меняя угловой диапазон фск «скошенных» участков, можно получать разные формы оболочки.
Поскольку в сердцевине АОВ происходит поглощение излучения накачки ионами Ег3"1-, диэлектрическая проницаемость сердцевины является комплексной величиной. В связи с этим, строго говоря, краевая задача для АОВ является несамосопряженной, и все ее собственные числа комплексные. Однако в п. 2.3 для круглого АОВ было установлено, что значения сердцевинной доли г потока мощности всех направляемых волн одинаковы при учете потерь в сердцевине и без их учета. Этот результат, очевидно, справедлив и для АОВ с произвольной формой внутренней оболочки.
Обоснование метода поверхностного тока в задаче о расчете характеристик передачи прямоугольного ОДВ, покрытого пленкой воды
Как уже было отмечено, рассматриваемый ЧЭ ДТТР представляет собой прямоугольный ОДВ на металлической пластине. Обозначим поперечные размеры этого ОДВ как а и 2Ъ (рис. 4.2, а), а абсолютные диэлектрическую и магнитную проницаемости материала ЧЭ ДТТР - как st и д.,. Параметры окружающего пространства обозначим в2 и i2. При выпадении росы на ЧЭ ДТТР последний оказывается охваченным поглощающим слоем с параметрами є и р. воды. (Для общности мы обозначаем магнитные проницаемости областей ц,, ц и ц2, но на практике при использовании ЧЭ ДТТР, как правило, р., = ц = ц2 = \х0. Это значение магнитных проницаемостей мы и будем использовать в расчетах.) Параметры є, и є2 вещественные; є = є - /є". Можно считать, что толщина поглощающего слоя одинакова по всей границе ЧЭ ДТТР; обозначим ее Д.
Чувствительному элементу ДТТР, находящемуся на металлической пластине, можно поставить в соответствие трехслойный прямоугольный ОДВ (рис. 4.2, б). Последний включает слой 1 с размерами 2ах2Ь и параметрами Єр ц.,; поглощающий слой П толщиной Д с параметрами є, ц; и неограниченный слой 2 с параметрами є2,ц2. Спектр волн ЧЭ ДТТР на металлической пластине является частью спектра волн ОДВ, показанного на рис. 4.2, б.
В задаче о ЧЭ ДТТР размеры полоска имеют порядок миллиметров, а толщина пленки воды равна 10-ь20 мкм; отношение — « 0,1, т.е.
Рабочая частота ЧЭ ДТТР / = 35 ГГц; на этой частоте относительная комплексная диэлектрическая проницаемость воды є = 20 — /30 и толщина скин-слоя в воде
Условия (4.1) и (4.2) являются необходимыми для использования метода поверхностного тока (МПТ) [9]. Он состоит в следующем. ОДВ, показанный на рис. 4.2, б, заменяется на двухслойный ОДВ с бесконечно тонкой поглощающей пленкой (4.2, в), а потери в воде учитываются при помощи эквивалентной проводимости: аэ = /ює. Ha границе областей двухслойного прямоугольного ОДВ тангенциальные компоненты вектора Е непрерывны, а тан- генциальные компоненты вектора Н удовлетворяют условию Нл1 -Нх2 = Дстэ[йт1], где п — орт внешней нормали к границе. Величина
Если погрешность, вносимая при применении МПТ, не превышает заданной погрешности определения продольных волновых чисел волн ЧЭ ДТТР, то при решении краевой задачи для ЧЭ ДТТР методом коллокаций двухслойная модель гораздо предпочтительнее трехслойной. Это объясняется следующим образом. Для достижения заданной точности решения задачи в трехслойной модели понадобится существенно большее число точек коллокаций, чем в двухслойной. При слишком большом числе точек коллокаций метод коллокаций перестает давать удовлетворительные результаты. Таким образом, вероятность того, что заданная точность решения задачи будет достигнута, выше при использовании двухслойной модели.
Для обоснования применимости МПТ в данной задаче нужно оценить погрешность, вносимую этим методом, и сравнить ее с требуемой точностью определения продольных волновых чисел. Чтобы получить оценку погрешности, вносимой МПТ, решим краевые задачи для круглых ОДВ — трехслойного (рис. 4.3, а) и двухслойного с бесконечно тонкой проводящей пленкой (рис. 4.3, б). Круглые ОДВ выбраны для обоснования МПТ по той причине, что, с одной стороны, это структуры, краевые задачи для которых ставятся в замкну той форме; с другой стороны, очевидно, что при одних и тех же —, є,, є и є2
а
относительное расхождение волновых чисел в трехслойной и двухслойной моделях ОДВ с поглощающей пленкой имеет одинаковый порядок для прямоугольной и круглой геометрии. Процедура составления дисперсионного уравнения трехслойного круглого ОДВ подробно описана в разделе 1.7.
Рабочая частота/ЧЭ ДТТР выбирается таким образом, чтобы нормиро ванная частота к находилась в районе 4 {у = —— гзфЛ/є, — є2 , где гзф = 2. / с у ті
радиус круглого ОДВ с площадью поперечного сечеция первого слоя, равной площади 2а 2Ь поперечного сечения первого слоя прямоугольного ОДВ.) Относительные диэлектрические проницаемости с, материала ЧЭ ДТТР и є2 окружающего пространства равны соответственно 9,6 и 1. Рабочая частота f=35 ГГц при V=4 соответствует г. = 1,86 мм. Возьмем радиус а первого слоя круглых ОДВ (рис. 4.3, а, б) равным округленному значению гэф для ЧЭ ДТТР: д=1,9 мм; параметры є,, s2 и рабочую частоту/для круглых ОДВ примем точно равными этим величинам для ЧЭ ДТТР. В этом случае нормированная рабочая частота V = ——JW{-s2 =4,087.
