Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод коллокации и его применение при решении краевых задач электродинамики 17
1.1 Введение 17
1.2 Методы расчета характеристик распространения волн в открытых направляющих структурах 17
1.3 Метод коллокации 19
1.4 Подходы к выбору распределения узлов коллокации 25
1.5 Корреляционный подход 27
1.6 Примеры электродинамических задач, решаемых методом коллокаций28
1.7 Выводы 33
Глава 2. Краевая задача для открытого диэлектрического волновода с D-образной формой поперечного сечения 34
2.1 Введение 34
2.2 Постановка краевой задачи о расчете открытого диэлектрического волновода с D-образной формой поперечного сечения 34
2.3 Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого диэлектрического волновода с D-образной формой поперечного сечения 42
2.4 Выводы 66
Глава 3. Краевая задача для открытого прямоугольного диэлектрического волновода 68
3.1 Введение 68
3.2 Постановка краевой задачи о расчете открытого прямоугольного диэлектрического волновода 68
3.3 Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого прямоугольного диэлектрического волновода 74
3.4 Выводы 90
Глава 4. Краевая задача для открытого эллиптического диэлектрического волновода 92
4.1 Введение 92
4.2 Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн открытого эллиптического диэлектрического волновода 92
4.2.1 Метод частичных областей 92
4.2.2 Метод коллокаций 97
4.3 Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого эллиптического диэлектрического волновода 101
4.4 Выводы 112
Глава 5. Расчет волноводной нагрузки на базе прямоугольного волновода с диэлектрической пластиной, имеющей двустороннее резистивное напыление 113
5.1 Введение 113
5.2 Расчет спектра волн прямоугольного волновода с диэлектрической пластиной, имеющей двустороннее резистивное напыление 114
5.3 Расчет коэффициента отражения от волноводной нагрузки методом коллокаций 120
5.4 Выводы 133
Заключение 135
Список литературы 138
Приложение 1 146
- Методы расчета характеристик распространения волн в открытых направляющих структурах
- Постановка краевой задачи о расчете открытого диэлектрического волновода с D-образной формой поперечного сечения
- Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн открытого эллиптического диэлектрического волновода
- Расчет спектра волн прямоугольного волновода с диэлектрической пластиной, имеющей двустороннее резистивное напыление
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из актуальных задач современной техники радио- и оптической связи, локации и навигации является создание систем сверхбыстрой обработки информации. Успешное решение этой задачи зависит от возможности обработки сигналов со спектральными составляющими, лежащими в области сверхвысоких (СВЧ), крайневысоких (КВЧ) и оптических частот.
При создании новых и модернизации известных устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, к числу которых относятся и различного рода фидерные устройства (направляющие структуры, или волноводы), возникает необходимость внедрения машинных методов проектирования, позволяющих проводить анализ работы функциональных устройств и оптимизировать их параметры при максимальном сокращении, а иногда и при полном исключении самого трудоемкого и дорогостоящего этапа -экспериментальной доводки разрабатываемого узла.
Одним из наиболее универсальных численных методов решения краевых электродинамических задач, эффективность которого весьма перспективна при современном уровне компьютеризации, является метод коллокаций. Использование метода коллокаций позволяет рассчитывать направляющие структуры, в частности открытые диэлектрические волноводы (ДВ), с различными формами поперечных сечений, решать сложные дифракционные задачи. На основе открытых ДВ строятся такие функциональные узлы СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, как линии задержки, антенны бегущей волны, открытые диэлектрические резонаторы, антенные облучатели, датчики различного назначения. Главным недостатком метода коллокаций является отсутствие правила, строго определяющего выбор распределения узлов коллокаций.
Диссертация посвящена разработке нового, позволяющего повысить точность расчета электродинамических характеристик устройств, подхода к выбору распределения узлов коллокаций - корреляционного подхода. Возможности разработанного подхода демонстрируются на примере решения краевых задач для открытых диэлектрических волноводов с D-образной, прямоугольной и эллиптической формами поперечных сечений, а также при расчете коэффициента отражения от волноводной нагрузки, представляющей собой закороченный отрезок прямоугольного волновода, перегороженный в продольном сечении диэлектрической вставкой с нанесенными на ее поверхности резистивными пленками.
Особенностью диэлектрических волноводов с D-образной и эллиптической формами поперечных сечений является то, что, не обладая симметрией по угловой координате, они еще на этапе постановки краевой задачи запрещают существование в них симметричных волн, две из которых (Н01 и E0l) ограничивают сверху частотный диапазон одномодового режима
работы в круглом открытом ДВ. Отсутствие симметричных волн в спектрах
решений краевых задач для D-образного и эллиптического ДВ расширяет одномодовый диапазон и может способствовать созданию протяженных линий связи с высокой скоростью передачи данных. Кроме того, в D-образном и эллиптическом ДВ снимается поляризационное вырождение волн, характерное для круглого открытого ДВ. Таким образом, данные диэлектрические волноводы являются направляющими структурами, сохраняющими ориентацию плоскости поляризации распространяющегося в них электромагнитного излучения, что может быть использовано в телекоммуникационных системах с поляризационной модуляцией, а также при разработке различного рода поляризационных датчиков.
Прямоугольные (полосковые) ДВ широко используются [Л. 1-3] в качестве направляющих структур оптического диапазона, а также в качестве соединительных линий планарных оптических цепей. На их основе разрабатываются различные типы датчиков и косвенных измерителей параметров сред [Л.4, 5]. Прямоугольная форма поперечного сечения полоскового волновода является простой в изготовлении и удобной для монтажа в планарных интегральных схемах. Одинаковое прямоугольное сечение различных компонент интегральных схем и волноводов позволяет соединять их без использования дополнительных преобразователей волн и согласующих устройств, что позволяет избежать потерь на рассеяние в переходных элементах.
D-образные и прямоугольные ДВ используются также в качестве внутренних оболочек при создании волоконных лазеров и усилителей на основе активных оптических волокон, легированных ионами редкоземельных элементов [Л.6-9]. Обеспечиваемая рассматриваемыми структурами локализация светового потока в области сердцевины волокна, содержащей ионы активного элемента, позволяет достичь лучшей эффективности накачки, чем та, которая имеет место при круглой оболочке с той же площадью поперечного сечения.
Экранированные волноводы с резистивными пленками широко применяются в технике СВЧ [Л. 10] при создании фильтров паразитных мод, широкодиапазонных аттенюаторов, вентильных устройств, направленных ответвителей, согласованных нагрузок и др. Волны в таких волноводах обладают рядом особенностей: у большинства из них отсутствуют критические частоты; несмотря на принципиальную диссипативность направляющих систем, некоторые из волн в широких частотных интервалах распространяются практически без затухания; при введении в волноводы резистивных пленок существенно меняются энергетические характеристики волн, возникают неоднозначные дисперсионные зависимости, аномальная дисперсия, частотные зависимости формы фазовых фронтов и т.д.
Экспериментальный подбор оптимальных параметров перечисленных функциональных устройств СВЧ, КВЧ и оптического оптического диапазонов, обеспечивающих заданные рабочие характеристики в определенной полосе частот, требует больших материальных и временных
затрат, поэтому весьма актуальной задачей является разработка инженерных алгоритмов для их конструкторского расчета.
Целью диссертации является разработка нового (корреляционного) подхода к выбору распределения узлов коллокации при решении краевых задач электродинамики методом коллокации; демонстрация возможности применения корреляционного подхода к выбору распределения узлов коллокации при решении краевых задач для открытых диэлектрических волноводов с D-образной, прямоугольной и эллиптической формами поперечных сечений, а также при расчете коэффициента отражения от волноводной нагрузки.
Методы исследования. Представленные в диссертационной работе теоретические результаты получены на основе метода коллокации, метода частичных областей (МЧО), и метода поверхностного тока [Л. 10].
Алгоритмы, созданные на основе этих методов, удобны для использования в системах автоматизированного проектирования (САПР) функциональных устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов ввиду их универсальности и простоты алгебраизации функциональных уравнений, получаемых в результате реализации граничных условий.
Научная новизна:
Предложен новый (корреляционный) подход к выбору распределения узлов коллокации при решении краевых задач электродинамики методом коллокации.
На основании исследования сходимости решений дисперсионных уравнений волн открытых ДВ с D-образной, прямоугольной и эллиптической формами поперечных сечений и проверки качества выполнения граничных условий показано, что использование корреляционного подхода к выбору распределения узлов коллокации обеспечивает лучшую сходимость решений дисперсионных уравнений и лучшее выполнение граничных условий вдоль всей границы раздела сред, по сравнению с наиболее часто используемым в настоящее время равномерным распределением.
На примере открытого D-образного ДВ показано, что при использовании равномерного распределения узлов коллокации вдоль границы раздела сред в низких приближениях при небольших углах скоса не удается учесть особенности геометрии поперечного сечения рассматриваемой направляющей структуры. Корреляционный подход лишен этого недостатка.
Показано, что величина угла скоса в открытом D-образном ДВ слабо влияет на ширину частотного диапазона одномодового режима работы структуры данного типа.
При исследовании открытого прямоугольного ДВ установлено, что использование равномерного распределения узлов коллокации позволяет
получить корректное решение задачи только для структуры с формой поперечного сечения, близкой к квадратной, в то время как использование корреляционного подхода позволяет производить расчет волновода с поперечным сечением, сильно вытянутым вдоль одной из координатных осей.
Разработан алгоритм расчета дисперсионных характеристик волн открытого эллиптического ДВ на основе метода коллокаций с использованием корреляционного подхода к выбору распределения узлов коллокаций, позволяющий проводить исследование всего спектра волн направляющей структуры, в том числе волн с комплексными волновыми числами.
На примере расчета коэффициента отражения от волноводной нагрузки, представляющей собой закороченный отрезок прямоугольного волновода, перегороженный в продольном сечении диэлектрической вставкой с нанесенными на ее поверхности резистивными пленками, показана эффективность применения корреляционного подхода к выбору распределения узлов коллокаций при решении дифракционных задач электродинамики.
Обоснованность и достоверность положений и выводов, сформулированных в диссертации, подтверждаются численной проверкой выполнения предельных переходов от рассматриваемых структур к структурам, решения краевых задач для которых достоверно известны, сравнением тестовых результатов с результатами, полученными другими авторами, исследованием внутренней сходимости, проверкой точности выполнения граничных условий.
Практическая значимость работы заключается:
В демонстрации применимости корреляционного подхода к выбору распределения узлов коллокаций при решении краевых задач.
В доказательстве эффективности предложенного корреляционного подхода по сравнению с уже существующими методами выбора распределения узлов коллокаций.
В разработке универсальных алгоритмов и программ для ЭВМ, позволяющих проводить электродинамический анализ направляющих свойств таких функциональных устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, как открытые диэлектрические волноводы с различными, в том числе сложными, формами поперечных сечений, не имеющих ограничений, характерных для существующих алгоритмов и программ.
В исследовании влияния параметров рассматриваемых в диссертации устройств (открытых ДВ с D-образной, прямоугольной и эллиптической формами поперечных сечений, волноводной нагрузки) на результаты решения соответствующих им краевых задач.
Положения, выносимые на защиту:
Корреляционный подход к выбору распределения узлов коллокаций при решении краевых задач электродинамики методом коллокаций.
Алгоритмы и программы расчета дисперсии волн открытых ДВ с D-образной, прямоугольной и эллиптической формами поперечных сечений, коэффициента отражения от волноводной нагрузки на основе метода коллокаций с использованием корреляционного подхода к выбору распределения узлов.
Результаты сравнения решений краевых задач, полученных при равномерном распределении узлов коллокаций и использовании корреляционного подхода к выбору распределения узлов.
Результаты расчета характеристик распространения и компонент электромагнитных полей волн открытых ДВ с D-образной, прямоугольной и эллиптической формами поперечных сечений.
5. Результаты расчета коэффициента отражения от волноводной
нагрузки на базе прямоугольного волновода с диэлектрической пластиной,
имеющей двустороннее резистивное напыление.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на:
Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии. ИСТ - 2006», Н.Новгород, 2006;
V Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2006;
Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии. ИСТ - 2007», Н.Новгород, 2007;
VI Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н.Новгород, 2007;
XIII Нижегородской сессии молодых ученых. Технические науки. Н.Новгород, 2008;
Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2008;
XV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии. ИСТ - 2009», Н.Новгород, 2009;
VIII Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н.Новгород, 2009;
XIV Нижегородской сессии молодых ученых. Технические науки. Н.Новгород, 2009;
XVI Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии. ИСТ - 2010», Н.Новгород, 2010;
IX Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н.Новгород, 2010.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 148 страниц основного текста, включая библиографию из 72 наименований, 66 рисунков, 25 таблиц, 1 приложение, содержащее 2 акта внедрения результатов диссертации.
Методы расчета характеристик распространения волн в открытых направляющих структурах
Среди приближенных методов расчета характеристик открытых направляющих структур с прямоугольной формой поперечного сечения [30] одним из самых распространенных является метод эффективных диэлектрических проницаемостей (ЭДП) [31, 32]. При использовании этого метода волновые характеристики прямоугольного ДВ определяются через характеристики двух поперечно-неограниченных в одном измерении симметричных пленочных волноводов. В методе ЭДП используется так называемая лучевая модель, описывающая распространение электромагнитной энергии внутри прямоугольного ДВ с позиций геометрической оптики. Гибридные волны рассматриваются как суперпозиция волн Ет и Нт пленочных волноводов, которые образуются световыми лучами, направленными под некоторым углом к оси структуры. Ограничение поля в поперечном направлении обеспечивается за счет полного внутреннего отражения лучей от боковых стенок диэлектрической полоски. При этом предполагается, что пленочная волна имеет фазовую постоянную р = 0л/ёЭфф = &0иЭфф, где к0 - постоянная распространения плоской волны в свободном пространстве, еЭфф и «Эфф - эффективные относительная диэлектрическая проницаемость и показатель преломления материала полоски для рассматриваемой пленочной волны соответственно. Значение эффективного показателя преломления определяется из решения дисперсионного уравнения (ДУ) волн пленочного волновода. ДУ ЕН- или /Ж-волн прямоугольного волновода получается исходя из условия фазового синхронизма: после двух последовательных отражений от боковых стенок полоски фаза соответствующей пленочной волны (Ет или Нт) должна измениться на величину, кратную 2%. Так как лучевой подход, основанный на принципах геометрической оптики, применим при поперечных размерах волновода, намного превосходящих длину волны, решение ДУ, полученного методом ЭДП, будет достаточно точным лишь тогда, когда мода пленки далека от отсечки, а ее поля за пределами полоски малы и быстро затухают.
Электродинамический расчет прямоугольного ДВ может быть осуществлен на основе метода частичных областей (МЧО) [33, 34] с использованием модели Шлоссера, в которой путем введения экранирующих поверхностей, достаточно далеко удаленных от диэлектрика, открытая электродинамическая структура заменяется на экранированную. Шлоссер в своем анализе использовал дискретный спектр собственных функций в частичных областях, представляя электромагнитные поля в виде сумм тригонометрических функций.
Основным недостатком экранированной модели является то, что введение металлического экрана не позволяет учесть в рассматриваемой структуре моды излучения, имеющие место в открытом ДВ.
При использовании МЧО с непрерывным спектром собственных функций [35] рассматривается открытая направляющая структура в виде открытого прямоугольного ДВ на диэлектрической подложке. Краевая задача сводится к системе четырех интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно спектральных функций внутренней частичной области, представляющей собой прямоугольный ДВ. При этом решение системы интегральных уравнений ищется в одноволновом приближении. Как следует из [35], в силу сложности решения систем интегральных уравнений применение МЧО с непрерывным спектром собственных функций для анализа прямоугольного ДВ затруднительно.
Метод конечных элементов (МКЭ) начали применять при расчете открытых ДВ в начале 70-х годов XX века [36 - 38]. При этом рассматриваемая структура разбивается на конечное число непересекающихся подобластей произвольной формы (конечных элементов), в каждой из них фиксируется конечное число точек (узлов), которые могут располагаться как внутри области, так и на её границе. Решение краевой задачи для каждого из конечных элементов записывается в виде разложения по некоторым кусочно-линейным полиномам. После процедуры «сшивания» решений, на основе записи граничных условий для векторов поля, получается система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решений краевых задач для конечных элементов (узловых неизвестных). Однако стандартный МКЭ может быть применен, только при принудительной экранировке. Одна из модификаций МКЭ заключается в использовании бесконечных элементов (БЭ), когда поля аппроксимируются произведениями экспоненциальных функций и полиномов. При введении БЭ возникает ряд сложных проблем, например, выбор показателей экспонент, определение положения границы, за которой надо использовать БЭ и т.д.
В теории открытых волноводов широкое распространение получили методы расчета, основанные на представлении полей в виде рядов метагармонических цилиндрических функций (цилиндрических гармоник). При этом для нахождения коэффициентов разложений часто используется метод коллокаций.
Метод коллокаций - один из наиболее универсальных численных методов, эффективность которого весьма перспективна при современном уровне компьютеризации. Впервые метод коллокаций был применен при решении дифференциальных уравнений, по-видимому, в работах [39, 40]. В методе коллокаций решение дифференциального уравнения ищется в виде линейного разложения по полиномам или семейству полиномов или функций. Коэффициенты разложения находятся из условия удовлетворения этого разложения уравнению в определенных точках на осях независимых переменных (или на плоскости). Эти точки называются точками (узлами) коллокаций. Метод коллокаций принадлежит семейству методов, которые могут быть объединены вместе под общим названием - методы взвешенной невязки [41].
На сегодняшний день варианты применения метода коллокаций гораздо разнообразнее. Он используется и для поиска решений краевых задач, и для решения интегральных уравнений. Рассмотрим, как метод коллокаций может быть использован, в частности, при решении неоднородной краевой задачи: Lu(x) = f{x), х є G; (1.1) 1и(х)\г=\\і(у), уєТ, (1.2) где L - линейный векторный дифференциальный оператор; и{х) и f(x) -элементы некоторых векторных функциональных пространств R (G) и R2(G) соответственно; v/(j/) — элемент векторного функционального пространства Л3(Г); х — совокупность независимых переменных (в общем случае может включать время). Краевая задача (1.1), (1.2) сводится либо к задаче с однородными граничными условиями (1.2) и неоднородным уравнением (1.1), либо к задаче с неоднородными граничными условиями (1.2) и однородным уравнением (1.1). В первом случае решение краевой задачи ищется в виде: N и(х) = ак\\!к(х), где ак - неизвестные амплитудные коэффициенты; \ук є R G) - функции, обеспечивающие выполнение нулевого граничного условия. Метод коллокаций приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ак: N Y,akLyk(xi) = f(xi), где х{ — узлы коллокаций. Во втором случае метод приводит к системе уравнений относительно коэффициентов, которые минимизируют функционал: НУ) - v(y)\R2(ry что обеспечивает выполнение граничных условий, определенных на точных решениях однородного уравнения.
Постановка краевой задачи о расчете открытого диэлектрического волновода с D-образной формой поперечного сечения
В силу симметрии структуры относительно продольного центрального сечения у = 0 дисперсионное уравнение можно составлять на основе двух квадрантов поперечного сечения: 0 (р п.
В цилиндрической системе координат уравнение Гельмгольца для комплексных амплитуд продольных составляющих электрического и магнитного векторов Герца записывается в виде. Полагаем, что плоскость ср = 0,7г (у = 0) является идеально магнитной. Решение уравнения (2.3) для области внутри ДВ с учетом ограниченности поля в точке г = О можно представить в виде.
Для того, чтобы поле во внешней области убывало при удалении от ДВ, должно выполняться условие Im(a2) 0.
Разложение (2.6) в случае, когда оно содержит бесконечное число членов ряда, является полным и позволяет представить любое распределение поля вне источников внутри ДВ с зависимостью от координаты z вида e Pz. Разложение (2.7) в случае, когда ряды содержат бесконечное число членов, также полно представляет экспоненциально спадающее при г — со поле вне ДВ для любой его моды.
Так как граница раздела областей в данной задаче (рисунок 2.2) содержит прямолинейный участок Ц, то при записи граничных условий на этом участке выполним в выражениях (2.6) и (2.7) переход от цилиндрической системы координат к декартовой, используя формулы связи (2.2).
Поскольку граница раздела сред является разнокоординатной, ни СЛФУ (2.9), ни СЛФУ (2.11) нельзя привести к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), используя свойство ортогональности цилиндрических функций. Поэтому для определения коэффициентов разложения полей Ап, Вп, Сп и Dn выберем N точек вдоль границы
поперечного сечения D-образного ДВ и приравняем касательные составляющие полей в этих точках (узлах коллокаций). Эта процедура дает число уравнений, равное числу неопределенных коэффициентов в разложениях электрического и магнитного полей. Они (уравнения) образуют однородную СЛАУ относительно коэффициентов разложения. Для нетривиального решения определитель СЛАУ должен равняться нулю, что дает нам ДУ волн открытого D-образного ДВ.
Рассмотрим результаты решения краевой задачи при использовании двух вариантов распределения узлов коллокаций: равномерного (по угловой координате ф) распределения узлов вдоль границы поперечного сечения D-образного ДВ, как наиболее простого с точки зрения численной реализации, и распределения, полученного на основе корреляционного подхода, описание которого приведено в пункте 1.5.
Корректность работы программы поиска корней ДУ волн открытого D-образного ДВ, составленной в соответствии с алгоритмом, приведенным в пункте 2.2, была проверена путем выполнения предельного перехода от открытого D-образного ДВ к круглому открытому диэлектрическому волноводу (КОДВ), ДУ которого имеет [68] вид: (Е2\і2а]2-г1\і1а22)
При этом рассматривался ДВ со следующими параметрами: 9 = 0, є, /є2 = 2,2, є2 = є0, \хх = і2 = М-о Решения получены для случая, когда в плоскости ф = 0,7г ( " = 0) располагается магнитная стенка. В таблицах 2.1 и 2.2 приведены значения корней ДУ (fi/k0, к0-волновое число плоской волны в свободном пространстве), процедура составления которого описана в пункте 2.2, полученные в результате выполнения предельного перехода от открытого D-образного ДВ к КОДВ при использовании корреляционного подхода к выбору распределения узлов коллокаций и при равномерном распределении узлов соответственно. В таблице 2.3 приведены значения корней ДУ волн КОДВ (2.12). Результаты, представленные в таблицах 2.1 и 2.2, получены в восьмом приближении, при этом в разложениях (2.4) и (2.5) учитывалось по восемь цилиндрических гармоник. Из таблиц 2.1 — 2.3 видно, что постоянные распространения первых четырех азимутально-несимметричных волн КОДВ, полученные при решении ДУ (2.12), с высокой степенью точности совпадают с постоянными распространения волн, полученными методом коллокации. На рисунках 2.3 и 2.4 для волн НЕи, НЕ1Х и НЕ31 КОДВ представлены картины распределения вещественной части продольной составляющей комплексного вектора Умова-Пойнтинга (плотности потока мощности Sz) в поперечном сечении волновода (0 = 0 ), полученные при решении краевой задачи методом коллокации и методом согласования полей соответственно (Л/а = 1,0). Каждому значению плотности потока мощности соответствует свой оттенок серого цвета. Области с наибольшим значением исследуемой функции изображаются белым цветом, области, в которых исследуемая функция принимает наименьшее значение, - черным цветом. Как видно из рисунков 2.3 и 2.4, наблюдается качественное совпадение картин распределения плотности потока мощности, полученных обоими методами. НЕи НЕ2{ НЕ3} Рисунок 2.3 - Картины распределения продольной составляющей плотности потока мощности в поперечном сечении КОДВ, полученные при выполнении предельного перехода от открытого D-образного ДВ к КОДВ (0 = 0) Рисунок 2.4 - Картины распределения продольной составляющей плотности потока мощности в поперечном сечении КОДВ, полученные при решении краевой задачи методом согласования полей Таким образом, приведенные выше результаты позволяют сделать вывод о корректной работе программы, созданной на основе метода коллокации и возможности ее использования для» проведения расчетов дисперсионных характеристик волн D-образного ДВ, демонстрируя тем самым принципиальную возможность применения описанного в главе 1 корреляционного подхода к выбору распределения узлов при решении краевых электродинамических задач методом коллокации.
Как видно из таблицы 2.4, значения корней ДУ волн открытого D образного ДВ с углом скоса 9 = 20, полученные при равномерном распределении узлов, не отличаются от решений ДУ волн КОДВ (2.12) до 8 приближения включительно. Это можно объяснить тем, что при равномерном распределении в приближениях с номерами N 8 все узлы коллокаций размещаются только на участке границы L2 (рисунок 2.7). При этом не учитывается особенность геометрии поперечного сечения рассматриваемой направляющей структуры.
Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн открытого эллиптического диэлектрического волновода
Рассмотрим открытый прямоугольный ДВ в эллиптической системе координат (рисунок 4.1). Здесь ,г, z - эллиптические координаты; Fj и F2 -фокусы эллипса, F - фокусное расстояние. r=const Полагаем, что плоскость у = 0 является идеально магнитной, а плоскость х = 0 - идеально электрической. Гибридные волны эллиптического ДВ в этом случае будем классифицировать [70] как nHEpq и ЧЕН , где р \, 3, 5,..., q = 1,2,3,..., индекс «н» или «ч» указывает на то, что составляющая Щ волны типа НЕ (илю составляющая Е: волны типа ЕН) имеет, соответственно нечетное либо четное распределение по угловой координате. Заметим, что краевая задача для открытого эллиптического ДВ; имеет еще три независимых решения, соответствующих волнам 4HEpq и НЕН- , /7 = 1,3,5,..., q - V, 2,3,... (плоскость у- 0 является идеально электрической, плоскость х = 0 — идеально магнитной); волнам пНЕр иЧЕН , р = 2,4- 6,..., q-Y;2,3y... (плоскости у = 0 и х- О являются идеально магнитными), а также? волнам чНЕрд и нЕНрд, р—2,4,6,..., q l,2\2),... (плоскости у = 0 и х-0 являются; идеально электрическими). При этом электромагнитные поля волн HHEpq т чНЕрд (либо, волн НЕН! и ЧЕН ) в поперечном сечении структуры ортогонально поляризованы: При решении; уравнения: Гельмгольца (4; 1) координатная зависимость продольных составляющих векторов Герца представляется виде: пг( л) = Де т( )0е м;№
Использование г метода: разделения переменных при решении (4.1) приводит к уравнениям вида: а20е м (л) + (Z7-2y2cos2ri)0 ( ) O, (4.2) d2Re m(Q % - {b)-2yf cosh 2)Я? m ( = 04 (4.3): где b-переменная разделения; у2 =q.. Уравнение (4;2) представляет собой дифференциальное уравнение Матье, а уравнение (4.3); полученное заменой.: в (4.2) rj; на /, называется модифицированным- уравнениемМатье..
Тогда решения уравнения (4.1) для комплексных амплитуд продольных составляющих электрического и магнитного векторов Герца для области внутри-ДВІ можно представить в виде [43]: П!,(у? Лл) = ЕЛС СУЇ СУЇ.Л), (4-4) «=о п5(у?Лті) = Ду К л), и=0 а для области вне ДВ — в виде: Пвг2(уи,Л) = Е Q CYUWY ), (4-5) /7=0 П?2(у?,4,Л) = ZDnGekn(Y22, en(Y22 ): л=0 где сеп(у1 ,ц), sen(yx ,г[) - соответственно четные и нечетные функции Матье порядка щ Cen(yl,Q, Sen(y{, ) - соответственно четные и нечетные модифицированные функции Матье первого рода порядка п; Fekn(y\,Q, Gekn(y2,)) — соответственно четные и нечетные модифицированные F2 функции Матье второго рода порядка п; у22 = (є12(а,2со2 Р2) —; Єї, Щ диэлектрическая и магнитная проницаемости материала ДВ; є2, (_і2 -диэлектрическая и магнитная проницаемости среды вне ДВ; со - частота электромагнитного поля. Составляющие электромагнитного поля через векторы Герца (4.4) и (4.5) выражаются по формулам (1.5) и (1.6).
Граничные условия на поверхности диэлектрического стержня ( = 0, О ц 2%) имеют вид: Н л = н 2, Подставив в систему (4.6) компоненты электрического и магнитного полей, получаем СЛФУ, которую приводим к СЛАУ используя свойство ортогональности угловых функций Матье. В результате получаем однородную СЛАУ относительно амплитудных коэффициентов в разложениях полей Ап, Вп, Сп и Dn. Для нетривиального решения определитель СЛАУ должен равняться нулю, что дает нам ДУ волн открытого эллиптического ДВ. В случае малых коэффициентов эллиптичности ДУ имеет вид [62]: Ї2 Сеп(уІ$0) у2 Fekn(y22, ) 1 &и(У?,5о) + s2 1 Gekn(y22, ) У22 Se yl ) гіУ2 Оекп(у22,Ъ) (4.7) {Ч2 + ЧІ)[УІ + ЧІ = п 4 4 YiY2 Результаты решения уравнения (4.7) для случая гх /Б2 =2,5, є2 = є0 приведены в таблице 4.1. Таблица 4.1 - Корни ДУ (4.7) волн открытого эллиптического ДВ, полученного методом частичных областей Х/а Волна пНЕи Ы а = 1,05 6/а = 1,1 1,0 1,54016 1,52545 1,2 1,52147 1,50813 1,4 1,50513 1,49134 1,6 1,48501 1,46226 1,8 1,46303 1,46127 2,0 1,43815 1,44783 Основным недостатком описанного алгоритма решения краевой задачи для открытого эллиптического ДВ является то, что он (алгоритм) не позволяет проводить исследования волн с комплексными волновыми числами (в частности, волн структуры с потерями энергии, комплексных волн в структуре без потерь), поскольку на сегодняшний день не существует методики расчета функций Матье комплексного аргумента.
Метод коллокации лишен указанного выше недостатка, характерного для метода частичных областей, использующего аппарат функций Матье, и при необходимости позволяет проводить исследование всего спектра волн структуры.
Из исследования сходимости следует, что корреляционный подход обеспечивает более быструю сходимость решений ДУ. При его использовании, начиная с N = 5, увеличение номера приближения практически не влияет на значения постоянных распространения как основной волны структуры иНЕп, так и волны нЕНп. В случае равномерного распределения узлов в качестве рабочего необходимо выбирать приближение с номером N 7. Заметим, что при уменьшении длины волны А или коэффициента эллиптичности Ь/а сходимость решений ДУ улучшается, и краевая задача может быть решена в более низких приближениях. На рисунках 4.5 и 4.6 для основной волны нНЕп приведены результаты расчета нормированных невязок АЕ./тахПА .П (рисунок 4.5а), АЕх/твх{\АЕх\\ (рисунок 4.56), Д#,/тах(ЛЯ„) (рисунок 4.6а), Д#Т/гпах(ДЯТ) (рисунок 4.66), где ДЕ, = Ец1 - Е,2, АЕХ = Ez] - Ez2, Ш, = Н,х -Н:2, АЯт=Ят1-Ят2; Е,х, ЕхХ, Н:1, Ят1 - касательные составляющие электрического и магнитного полей волны внутри ДБ, Ez2, Ех2, Н,2, Нт2 - касательные составляющие электрического и магнитного полей волны вне ДВ, рассчитанные на границе раздела сред. Пунктирная кривая соответствует равномерному распределению узлов коллокаций, сплошная кривая - распределению, полученному на основе корреляционного подхода. Нормированная длина волны А/я = 2,0; коэффициент эллиптичности Ь/а = 1,9; номер приближения N - 7.
Расчет спектра волн прямоугольного волновода с диэлектрической пластиной, имеющей двустороннее резистивное напыление
Для решения дифракционной задачи необходимо иметь полную информацию о спектрах волн, которые могут существовать в стыкуемых структурах. Решение дисперсионного уравнения (ДУ) волн полого прямоугольного волновода хорошо известно [68]. Рассмотрим процедуру получения дисперсионных характеристик волн типа Нт0 прямоугольного волновода с расположенными в его продольном сечении резистивными пленками, нанесенными на диэлектрическую подложку (рисунок 5.1): Стенки волновода считаем идеально проводящими.
Классификацию волн в таком волноводе будем осуществлять по предельному переходу к обычному трехслойному волноводу без пленки. При этом будем рассматривать «четные» волны, имеющие в пределах пластины абсолютный максимум компоненты электрического поля Е . Таким образом, считаем, что в данной структуре распространяются волны Нт0, где т=\, 3, 5,7...
В силу симметрии поперечного сечения структуры относительно оси Оу рассматриваем лишь его половину: х О. При этом полагаем, что в плоскости х = О находится магнитная стенка. Поперечное сечение разбиваем на две области 1 и 2 (рисунок 5.1). В каждой из них формулируем краевую задачу относительно продольной составляющей магнитного вектора Герца.
Для составления дисперсионного уравнения запишем граничные условия при х = а{ (рисунок 5.1). На границе раздела областей 1 и 2 должны быть непрерывными касательные составляющие вектора напряженности электрического поля: Exl =Ех2 Наличие тонкой (по сравнению с толщиной скин-слоя) резистивной пленки на границе раздела частичных областей, учтем, воспользовавшись методом поверхностного тока [10], согласно которому для касательных составляющих вектора напряженности магнитного поля записываются разрывные граничные условия на границе раздела областей 1 и 2: [п,(Й2-Н1)] = АоЁх1, где Асг - поверхностная проводимость материала резистивной пленки; п -нормаль к границе раздела, направленная в сторону области 2. Для волн типа Нт0 граничные условия имеют вид: Eyi(x = al) = Ey2(x = al), (5.6) Hz2{x = Gj) - Hzl(x = Я}) = -AoEyl(x = 2j). Подставив составляющие электромагнитного поля (5.5) в граничные условия (5.6), получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных амплитудных коэффициентов В, А: MXi cos хм + \xQAi2 sin x2 fa - a2 ) = 0, (Acizco X! cosxi i - X? "іхах)В + xPcosx2fa -a2) = 0. Условие нетривиальности решений этой системы дает дисперсионное уравнение (ДУ) волн волноводной нагрузки: ЩХ2 C0SXi«i cosx2 - Цо sinx2 (Aa/(0a1 cosx - Xi sinx ) = 0, (5.8) где d — ax— a2.
Поскольку рассматриваемая направляющая структура является диссипативной системой, решения ДУ (5.8) будем искать на комплексных плоскостях волновых чисел с использованием метода вариации фазы [42], основанного на принципе аргумента [72]. Дисперсионные характеристики волн Н10, Н30 и Н50, полученные при различных значениях относительной диэлектрической проницаемости є = Є! / є0 вставки и нормированной поверхностной проводимости пленки Аан = Acr /fi, / ЕХ , приведены на рисунках 5.2-5.5, где Pj и Р2 - вещественная и мнимая части продольного волнового числа соответственно; к0 = О) Б0\І0 ; сплошными линиями представлены частотные зависимости фазовой постоянной р1 и коэффициента затухания Р2 при г = 9,6, пунктирными - при с = 5. Параметры структуры: щ = \х0, ах = 0,05а2. Из рисунков 5.2 и 5.4 видно, что в волноводе с резистивной пленкой критические частоты у волн Нт0 отсутствуют. Наличие максимума на характеристиках для волны Ню на низких частотах говорит о значительном уменьшении ее фазовой скорости.
Из рисунков 5.3 и 5.5 видно, что при любых значениях поверхностной проводимости пленки коэффициенты затухания волн при стремлении частоты к бесконечности стремятся к нулю. Это объясняется увеличением экранирующего действия резистивнои пленки на высоких частотах: с ростом частоты амплитуда электрического поля на пленке уменьшается, а, следовательно, уменьшаются и тепловые потери в пленке, связанные с протеканием по ней тока.
Следует также отметить, что, судя по полученным графикам (рисунки 5.2 и 5.3), в интервале значений нормированной поверхностной проводимости Асгн=3-ї-5 можно найти такое значние Астн, при котором фазовая постоянная и коэффициент затухания волны Н10 будут мало изменяться в некоторой полосе частот. Это явление может быть использовано при создании широкополосных СВЧ устройств.
