Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Изученность вопроса 8
Глава 2. Построение спектрально-согласованных сеток для волнового уравнения с переменными коэффициентами 12
2.1 Постановка задачи 12
2 1.1 Аналитическое решение 12
2 12 Конечно-рашостная задача 13
21.3 Построение решения конечно-разностной задачи 15
2 14 Построение рациональной аппроксимации . 17
2 15 Построение сетки . 19
2 2 Аппроксимации Паде-Чебышева 20
2 2 1 Построение аппроксимаций 20
2 2 2 Порядок аппроксимации 23
2 3 Обратная спектральная задача 25
2 3 1 Алгоритм, основанный на вращениях Якоби 25
2 4 Решение во временной области 30
2 4 1 Задача со смешанными краевыми условиями 30
2 5 Эксперименты 31
2 5 1 Линейное возрастание скорости с глубиной 31
2 5 2 Слоистые среды 31
Глава 3. Оптимальный идеально согласованный слой для системы уравнений теории упругости 37
31 Постановка задачи 37
3 2 Существование оптимальной сетки . 38
3 2 1 Построение импедансной функции 39
3 2 2 Построение конечно-разностной импедансной функции 41
3 2 3 Порядок сходимости 44
3 2 4 Восстановление шагов сетки 45
3 3 Конечно-разностные схемы 46
3 3 1 Схема Вирье 46
3 3 2 Схема для PML 47
3 4 Численный эксперимент 50
Глава 4. Моделирование волновых процессов в анизотропных упругих средах 53
4.1 Постановка задачи 53
4.2 Схема Лебедева 54
4 2 1 Свойства системы уравнений теории упругости для анизотропной среды 54
4 2 2 Модификация системы уравнений 55
4 2 3 Конечно-разностная схема 57
4 3 Схемы на повернутых сетках 58
4 3 1 Построение схемы 58
4 3 2 Исследование устойчивости 59
4 3 3 Дисперсионный анализ 62
4 3 4 Затраты на реали іацию 66
4.4 Построение оптимальной сетки 66
4 4 1 Построение импедансной функции 67
4 4 2 Рациональная аппроксимация 69
4 5 Посгроение схемы с применением оптимальных сеток 71
4 6 Численные эксперименты . 72
4 6 1 Однородная среда 72
4 6 2 Слоистая среда 75
Заключение 86
Литература
- Построение решения конечно-разностной задачи
- Построение конечно-разностной импедансной функции
- Свойства системы уравнений теории упругости для анизотропной среды
- Построение импедансной функции
Введение к работе
Объектом исследований в данной работе являются сегки для конечно-разностных схем на предмет их оптимизации для моделирования волновых процессов в упругих средах, в том числе анизотропных
Актуальность. При моделировании волновых процессов достаточно распространенным требованием является знание волнового поля не внутри расчетной области, а лишь на некоторой ее границе. Наиболее показательные в этом смысле іеофизические эксперименты Применение стандартных конечно-разностных методов для численною решения таких задач приводит к іиіантским требованиям на вычислительные ресурсы и временным затратам на их реализацию
Причина этою явления в том, что отображение совокупности параметров среды и особенности волновых процессов в среде в "данные наблюдений"(сейсмоіраммьі) происходит с катастрофической потерей информации В частности, в трехмерных динамических задачах число параметров, входящих в описание задачи, оценивается величиной 0(N4), іде N пропорционально линейному размеру области, в которой развивается волновой процесс и обратно пропорционально шагу сетки Размерность пространства образов - число отсчетов на сейсмограммах - имеет порядок не выше 0{N) По-видимому, даже эта оценка является завышенной если принять во внимание гладкость зондирующего сигнала Однако уже этого сопоставления достаточно, чтобы представить насколько сильна потеря информативности при действии оператора, отображающего параметры среды в отсчеты на сейсмограммах
Стандартные способы аппроксимации этого оператора посредством построения разностной схемы для начально-краевой задачи, соответствующей выбранной модели волновых процессов, никак не учитывают этой потери информативности. В определенном смысле оператор оказывасчся слишком плохо аппроксимирован - каждая значащая цифра в ответе появляется как результат выполнения огромного числа арифметических операций над входными данными, лежащими в пространстве очень большой размерности Эту размерность нельзя уменьшить, уменьшая N, так как это приведет к увеличению локальной ошибки в промежуточных и окончательных результатах. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы хотя и может приводить к некоюрым улучшениям, но они не принципиальны.
Аналогичная ситуация возникает и при реализации "неотражающих"!раничных условий, использование которых также необходимо для качественного моделирования геофизических экспериментов Наиболее употребимым является Идеально Согласованный Слой (PML) от ашлийскою Perfectly Matched Layer. Основной идеей метода является окружение расчетной области специально сконструированным слоем, таким что волна проходит через границу без отражений и затухает внутри этого слоя. Несложно видеть, что PML
является исключительно лишь вспомогательной конструкцией и необходимо лишь знание решения на границе PML - расчетная область, однако стандартные методы реализации эгою подхода, не учитывающие этого требования, приводят к тому, что затраты на вычисление решения внутри PML доходят до 75% от общих затрат на моделирование эксперимента
Иных результатов удается достичь если, вводя определенную свободу в строение схемы во внутренних точках, пытаться оптимизировать погрешность в отдельных точках. В задачах, упоминавшихся выше, возможна экспоненциальная [32] и даже сверхэкпоненци-альная сходимость.
Практическая реализация идей, лежащих в основе упомянутого подхода, наталкивается на ряд трудностей, связанных с необходимостью обеспечения высокой точности в решении целого ряда всиомоіательньїх задач Понятно, что для достижения оптимальною результата, погрешности во всех промежуточных задачах должны быть минимизированы, в частности важным аспектом является построение количественной оценки скорости сходимости метода для волновых задач, что представлено в данной работе Использование оптимальных сеток для моделирования волновых процессов в упругих средах является актуальной задачей и, как следствие, требует умения их построения и теоретического обоснования возможности их применения для таких задач.
Цель исследований - повышение эффективности расчета волновых нолей в упругих средах за счег использования спектрально-согласованных сеток для конечно-разностных схем, ориентированных на аппроксимацию решения лишь в заданных, определяемых условиями эксперимента, точках расчетной области
Научные задачи - построение спектрально-согласованных сеток для волновою уравнения с переменными коэффициентами и получение количественной оценки скорости сходимости численного решения для волновых задач, полученної о с помощью данного подхода, иосхроение идеально согласованного слоя, основанного на применении спектрально-соїласованньїх сеюк, для уравнений теории упругости в изотропном случае, моделирование волновых процессов в анизотропных упругих средах с использованием спектрально-согласованных сеток
Основные этапы исследований:
получить количественную оценку точности расчета волновых полей с использованием конечно-разностных схем на спектрально-согласованных сетках, основанную на теории сходимости аппроксимаций Паде-Чебышева,
построить оптимальный идеально согласованный слой, основанный на использовании спектрально-согласованных сеток для схемы Вирье для системы уравнений динамической теории упругости в случае и зотропной среды;
разработать алгоритм построения спектрально-согласованных сеюк для схемы Лебедева для системы уравнений динамической теории упругости в случае анизоіронной среды;
провести серию численных экспериментов для верификации полученных теоретиче-ских результатов.
Научные методы исследований.
Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются- современная теория аппроксимаций - рациональные аппроксимации, аппроксимации Паде, Паде-Чебышева, численные методы линейной аліебрьі - решение прямой и обратной спектральной задач для симметричных трехдиагональных матриц с использованием последовательностей Штурма, алюритма Ланцоша, метод спектральною исчерпывания, основанный на цепочках двумерных вращений Якоби, результаты современной теории конечно-рашостных меюдов для решения уравнений математической физики - схемы Вирье, схемы Лебедева, схемы на повернутых сетках, спектральная теория линейных дифференциальных операторов, современная теория уируюсти
Разработанные алгоритмы и программы использовались для проведения численного моделирования волновых полей в средах различной степени сложности. Результаты подвергались сравнительному анализу с результатами, полученными с использованием других методов - аналитическими и конечно-разностными на равномерных сетках
Защищаемые научные результаты:
Доказана экспоненциальная скорость сходимости конечно-разностного решения волнового уравнения с переменными коэффициентами вычисленного с помощью спектрально-соїласованньїх сеток
Разработан алгоритм построения оптимального идеально согласованного слоя (PML), основанный на применении спектрально-согласованных сеток, для системы уравнений динамической теории уируюсти в случае изотропной среды.
Разрабохан и реализован алгоритм построения спектрально-согласованных сеток для решения системы динамической теории упругости для случая анизотропной упругой среды.
Новизна работы. Личный вклад.
Получена оценка скорости сходимости конечно-разностною решения при использовании спектрально-соїласованньїх сеток для волнового уравнения с неременными коэффициентами, основанная на теории сходимости аппроксимаций Паде-Чебышева для мероморфных функций
Построен и реализован оптимальный идеально согласованный слой для изотропной упругой среды с использованием модификации схемы Вирье на спектрально-согласованных сетках
Разработан, теоретически обоснован и реализован алюритм построения спектрально-согласованных сеюк для схемы Лебедева для системы уравнений динамической теории упругости в случае линейных анизотропных сред, и проведены серии тестов для верификации полученных результатов
Теоретическая и практическая значимость результатов.
Получена количественная оценка сходимости метода оптимальных сеток для волновых задач, в том числе с переменными, включая разрывные, коэффициентами. Построен оптимальный идеально согласованный слой для уравнений теории упругости в случае изотропной среды, позволяющий существенно уменьшить вычислительные затраты при
моделировании волновых процессов в неоі раниченных областях Разработан алгоритм построения спектрально-согласованных сеток для анизотропных унруїих задач, позволяющий эффективно моделировать распространение волн в таких средах и рассчитывать волновые поля в заданных точках среды (приемниках). Апробация работы и публикации.
Основные положения и результаты докладывались на седьмой международной конференции, посвященной математическим и численным аспектам распространения волн "Waves 2005"(Провидэнс США, 2005) [56], ежегодном форуме Общества Индустриальной и Прикладной Математики "SIAM Annual Meeting 2006"(Бостон, США, 2006), 12 Международном симпозиуме по сейсмической анизотропии 12IWSA (Пекин, Китай, 2006) [55], II Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А Ф Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2004) [20], V Международной научно-практической геолоіо-іеофизической конференции-конкурсе молодых ученых и специалистов "Геофизика 2005"(Санкт-Петербург, 2005) [23], Второй Сибирской международной конференции молодых ученых но наукам о Земле (Новосибирск, 2004) [22], Научной конференции "Трофиму-ковские чтения"(Новосибирск, 2006)
Результаты исследований по теме диссертации изложены в 6 опубликованных работах Из них одна статья в Сибирском Журнале Вычислительной Математики [21], 2 работы - это материалы Международных конференции [56], [55], 3 работы [20], [23], [22]- эго материалы российских международных конференций
Диссертация выполнена в Лаборатории вычислительных методов геофизики Института нефтегаювой іеологии и геофизики СО РАН и Новосибирском Государственном Университете
Автор выражает искреннюю признательность научному руководиіелю к.ф-м н. В И Костину за всестороннюю поддержку и постоянное внимание.
Построение решения конечно-разностной задачи
Решая данную сисіему линейных уравнений, получаем конечно-разностная имнедансная функция, представляющаяся в виде.где уг = -, 9г - собственные числа, st - первые, компоненты соответствующих собственных векторов симметричной грехдиаі ональной матрицы с диагональными элементами а, и внедиаюнальными - /5, Связь данной матрицы с шагами конечно-разностной схемы представлена следующими формулами:
Наша задача состой і в построении сетки, подборе шагов, таким образом, чтобы вычислять щ с максимальной точностью, то есть, зная и(0), заданное уравнением (2 5), построить сетку, такую чтобы достигался mm u(0) - ti, min(/(A) - /fc(A) ) [у, в,] [у, в,] В силу loio, чго Ф - входные данные, они не зависят от выбора сетки, следовательно, достаточно рассмотреть норму ошибки импедапсных функций В качестве нормы будем рассматривать норму в L и перепишем задачу. Несмотря на то что, импедансная функция /(Л) может быть представлена в виде ряда определение параметров tpt и , в явном виде не всегда возможно. С другой стороны, использование функции /(Л) не эффективно с точки зрения машинной реализации алгоритма. Модернизируем алгоритм следующим образом Введем некоторую достаточно мелкую равномерную сетку по следующему правилу: hi = /г/2, ht = h, h\ = h, ht = h іде h = l/N, N - число узлов данной сетки, далее строим конечно-разностную схему так, как было показано выше, тогда решением данной задачи является функция 1=1 Паша задача прообразуется в следующую Построить сетку такую, чтобы достигался mm max ПЛ)- (Л). [у, 0,]ЛЄ(Лі,Л2)
Для этой цели будет проделано следующее: построение импедансной функции fN{A), построение рациональной аппроксимации fk{A) функции fN(A), представленной уравнением (2.5), построение параметров 7t,7« по Функции /к(А), таких что щ - решение системы линейных уравнений (2 6), удовлетворяющее равенству щ = / (Л)Ф; восстановление шагов Нг, кг по набору параметров 7л7г 2.1.3 Построение решения конечно-разностной задачи Рассмотрим систему уравнений (2 6), переписанную в следующем виде: г- Ф VAu - Xv = т=Є! 7ivA k VXv-Yu = 0, где матрица Y - двухдиагональная верхнетреугольная с диаі опальными элементами -—1/7» г — 1) , N и внедиагональными - 1/7г, г = 1, ,N — 1, матрица X -двухдиагональная нижнетреуі ольная с диаюнальными элементами - 1/-, г = 1, , Л7 и внедиагональными —1/7,, г = 2, ,N. Несложно видеть, что ВХ = -(CY)T, іде В = diagtfi, ,%) и С = diagfa, ,%) В дальнейшем нам понадобится матрица: іде матрица Я = -A1 A - симметричная трехдиаіональная с положительными внедиагональными элементами Связь между элементами матрицы Я и параметрами 7г, 7г »РеД-ставлена формулами (2 9) В силу того, что матрица Я симметричная трехдиаі ональная, при том для г = 1, , N — 1 /?, ф О, то она имеет в точности N различных вещественных собственных значений в\, ,6 , по этому матрица А/ — Я обратима для всех А ф 6г и решение системы представляется в виде w = -%={М - HJ- ei = -%Q{M - D)-xQ ex V7i V7i Нас интересует решение щ, оно представляє і ся в виде Ф Ф V7i V7i Ф Ф A s2 = -((Л/ - DWeuQ ei) = - АЛ» 7i 7i frf Л - 6/, где матрица = йгад(в\, ,#jv), а матрица Q состоит из собственных векторов Я, соответственно Sj - первая компонента г-ю собственною вектора матрицы II Очевидно, что собственные числа Я - это, в точности, квадраты сингулярных чисел А, а собственные вектора Я, совпадают с правыми сингулярными векторами А Представление решения через собственные числа и вектора Я удобно для описания и реализации алгоритма построения сеток, однако, для теоретического обоснования применимости подхода для более сложных задач в дальнейшем будем использовать представление через сингулярное разложение А. Далее делаем замену у, = s /fi, получаем: = ъТ у N Щ 2.1.4 Построение рациональной аппроксимации Для построения рациональной аппроксимации точного решения (2 5) будет использоваться аппроксимация Паде-Чебышева Определение Если существуют многочлены А м (х), B LlM\x) степени L и М соответственно такие, что есть аппроксимация Паде с центром в нуле для функции /(ж)
Для нашей задачи удобнее использовать аппроксимацию Паде-Чебышева, при построении которой, согласно [4], требуется совпадение первых L + M коэффициентов в разложении функций д(Л) и /(Л) в ряд по полиномам Чебышева Полиномы Чебышева, согласно [4], определяются из соотношения
Построение конечно-разностной импедансной функции
Единственным отличием описанного выше алгоритма построения конечно-разностной им-педансной функции от описанного в предыдущей і лаве данной работы было использование конечно-разностной схемы для системы уравнений первого порядка. В этом случае, согласно теореме 2, мы получили представление дробно-рациональной функции fk(A), зависящей от сингулярных чисел и сингулярных векторов некой двухдиаі опальной матрицы где У] = s2 /h\, ipj = —с/2, sij - первые компоненты правых сингулярных векторов матрицы А из теоремы 2, a d} - ее сингулярные числа Несложно видеть, что собственные числа матрицы -АТА равны 1р3, ее собственные вектора совпадают с сингулярными векторами А, а сама матрица в точности та, что исполь ювалась при решении волновою уравнения в предыдущей главе. Соотвсчственно, задача восстановления шагов схемы для оптимального идеально соїласованного слоя сведена к задачи построения шагов для схемы, соответствующей волновому уравнению Примеры сеток для PML предсгавлены на рис.3.1, несложно видеть, что шаги сеток экспоненициалыю увеличиваются с ростом номера шага. Видно также, что размер PML зоны растет экспоненциально с ростом числа узлов в ней
Для решения данной системы используем схему Вирье [61] Одним из основных свойств этой схемы является применение сдвинутых сеток как по пространству, так и по времени, то есть функция щ определена в точках (tq,xt+i/2,yj), «2 в узлах (tq,x„yJ+\/2), функции о\ и а2 определены в (tq+i/2,xuу3), а о3 расположена в {tq+i/2,xl+1/2,yJ+i/2). Однако, для нашего дальнейшего ж пользования представление схемы с дробными индексами неудобно и мы сохраним такое представление іолько для временных слоев Для пространственных направлений мы будем использовать целочисленные индексы, помня, однако, что соответствующие функции разнесены по пространственным направлениям. Введем в рассмотрение следующие операторы:
В данных обозначениях верхний индекс означает номер слоя по времени, первый нижний индекс - номер слоя по х, второй по у. В общем случае, все приведенные шаги могут быть различными, однако, для решения системы упругости мы будем использовать равномерные сетки, то есть ft, = ft, = ft и то же самое верно для шагов по второму пространственному направлению Схема Вирье на равномерных сетках является явной, условно устойчивой и обеспечивает второй порядок аппроксимации на каждом временном слое [61]
Для численного решения задачи (3 3), (3 5) и (3 4) будем использовать схему на равномерной сегке по у и t и оптимальной по х. Как несложно видеть, замена переменных, используемая для построения оптимального PML, приводит нас к замене- — J Такое преобразование требует переопределения некоторых функций с дробных временных слоев на целые и наоборот, то есть функции щ, J\ И а2 определены на целых слоях по времени, а и2 и аз - на дробных. Конечно-разностная схема становится неявной, однако, распадаеіся на две первая для расчета решения на целых слоях по времени, вторая - на дробных. Прежде чем выписывать схему, нам необходимо іакже заметить, чю в процессе построения оптимальной сетки мы использовали обозначения: Для дальнейшего использования нам удобнее будет перенумеровать шаіи и узлы сетки: /і, = при том х0 = XQ = 0 Данные переобозначения по воляюг записать конечно-разностую схему, используя введенные выше операторы.
Целью данного эксперимента являлся расчет волнового поля для упругой однородной среды в области х Є [0, оо], у Є [—оо,оо] и численное исследование затухания амплитуды отраженных волн в зависимости от числа точек в PML. Для моделирования использовалась регулярная область х Є [О,1], у Є [0,1]. Поле скоростей фиксировалось на границе х — О при у є [0,1], источник находился в точке с координатами (0.25; 0.5). PML примыкал к границам х = 1,у = 0иу = 1,а, его толщина составляла три точки. Как видно на рис. 3.2, при отсутствии PML возникают интенсивные отражения от границ регулярной области, в то время как наличие PML приводит к их существенному ослаблению (рис. 3.3). 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Волновое поле на поверхности х = 0 при отсутствии PML на границах регулярной области. По оси абсцисс - номер точки по направлению у, по оси ординат - номер слоя по времени.
На рис. 3.4, 3.5 и 3.6 приведена сейсмотрасса при отсутствии PML, при наличии PML, содержащего 3 точки и при наличии PML с четырьмя точками, соответственно. Пунктирными прямоугольниками обозначены целевые отражения. Как можно видеть, интенсивность искусственных отражение при использовании PML с тремя точками составляет порядка 1-2% от их интенсивностси при отсутствии PML. При наличии оптимального PML с четырьмя точками отражения не превосходят 0.1%. Таким образом, наличие 3-4 точек внутри построенного PML оказывается вполне достаточным для подавления отражений.
Для полноты дальнейших рассуждений нам понадобятся некоторые свойства системы (4 1) Прежде всего перепишем систему (4 1) в симметричной форме: іде vqp и vqS фаювые скорости квази-продольной и квази-поперечной волн, соответственно По определению фазовой скорости v = Ц , а также, используя факт независимости фазовой скоросіи от длины волнового вектора, можно переписать дисперсионное соотношение в виде
Описание этой схемы и ее свойств приведем ниже, но мере необходимости
Пашей целью является построение и применение оптимальных сегок для схемы Лебедева, аппроксимирующей систему (4 1). Мы также остановимся на исследовании свойств схемы Лебедева для данной системы и сравним ее с получившей достаточно большое распространение схемой на повернутых сетках [58], для решения той же системы направление распространения волны Такое представление диспер-сионною соотношения нам еще понадобится в дальнейшем
Как несложно видеть из системы (4 2), при построении для нее конечно-разностной схемы необходимо определять все компоненты тензора напряжения в одной точке, что делает невозможным использование схемы Вирье По этой причине в работе [35] было предложено использовать модифицированную систему уравнений и строить для нее конечно-рашостную схему
Свойства системы уравнений теории упругости для анизотропной среды
Нам удалось показать, что дисперсионные свойства обеих схем совпадают с точностью до поворота на угол я/4 На рис. 4 3 приведена зависимость функций QP S от угла а при фиксированных прочих параметрах Видно, что в силу 7s її 4TCs вообще говоря, эквивалентно меньшему числу Куранта для некоторой моды, ошибка в скорости выше. Более того, ошибка в скорости увеличивается при уменьшении числа Куранта. Соответственно, исследование дисперсионных свойств необходимо проводить по этой волне. Второе замечание, касающееся представленных иллюстраций, состоит в том, что приведенные изображения соответствуют слишком маленькому значению N, такие значения не используются для реальных вычислений, однако, позволяют судить о поведении функций QpS Для проведения дисперсионного анализа в классическом смысле, то есть оценки ошибки скорости, как функции числа точек на длину волны, нам необходимо рассмогреть относительную ошибку. при том рассматривать ее для всех углов и фиксированного числа Куранта, тої о, с которым предполагается работать в дальнейшем Можно показать, что зависимость ошибки от угла не меняется с изменением прочих параметров, то есть необходимо выбрать направление, вдоль которою эта ошибка максимальна Таковыми направлениями для схемы
Отношение истинной фазовой скорости к расчетной, слева для Р-волны, справа для S-волны, как функция от угла Число Куранта равно 0 7, число точек на длину волны 3 Сплошная линия соответствует схеме Лебедева, пунктирная - схеме на повернутых сетках
Лебедева будут у, где к - любое целое, для схемы на повернутых сетках такие направления + у. На рис. 4 4 представлена относительная ошибка скорости в процентах, как функция числа точек на длину волны, для заданных направлений и чисел Куронта Собственно, выбор пространственного Приведенное исследование иллюстрирует эквивалетность свойств схемы Лебедева и схемы на повернутых сетках в зависимости от размера "эквивалентной"ячейки, из чего можно сделать вывод, что для достижения заданной точности расчетов с применением той или иной схемы, необходимо использовать сетки с одинаковыми "эквивалетны ми"ячейками, или, что тоже самое, с одинаковым числом точек внутри расчетной области.
Для исследования затрат на реализацию этих двух подходов предположим, что внутри расчетной области заданы сетки для обеих схем, при том общее число "эквивалентных" ячеек в обоих случаях равно К, как мы показали выше, совпадение числа таких ячеек необходимо для достижения одинакового результата В этом случае, общее число точек, где определены компоненты тензора напряжений: 2К, столько же для определения вектора скорости, в итоіе получим, что общее хранимых неизвестных равно 10К, для обеих схем Отличие возникает лишь при рассмотрении количества хранимых параметров среды Эти параметры считаются постоянными внутри элементарной ячейки и задаются для каждой такой ячейки. В случае схемы Лебедева элементарная и "эквивалентная"ячейки совпадают, а значит в этом случае всею 7К хранимых параметров среды. В случае схемы на повернутых сетках, площадь элементарной ячейки в два раза меньше площади "эквива-лентной"ячейки, следовательно хранить нужно \Ш параметров среды. Несложно видеть, что отношение затрат на память для реализации схемы Лебедева к тем же затратам для схемы на повернутых сетках составляет
Однако, по числу операций на точку ситуация противоположная, так как при применении схемы Лебедева необходимо осреднять параметры среды в половине ючек, в которых определен тензор напряжений, по сути, необходимо обращать матрицу размера 3 х 3 в эгих точках. Осреднение плотности в точках, где определен вектор скорости, требуется в обоих случаях и не вносит различий в общее число операций. Мы не будем останавливаться на детальном исследовании различия по числу операций, очевидно преимущество схем на повернутых сетках при сравнении по этому параметру.
При современном развитии вычислительной техники, требованиям к алгоритмам и размерности моделей различие схем по числу операций является не столь критичным в сравнении с различием по требованию на память; в этом смысле схемы Лебедева, безусловно, более предпочтительны. Еще одним несомненным преимуществом этих схем является простота применения неравномерных сеток, что достаточно непросто в случае использования схем на повернутых сетках По сей причине все дальнейшие рассуждения и вычисления будем проводить с использованием схем Лебедева
Построение оптимальной сетки мы будем проводить для этой системы и источники введем но мере необходимости. Следуя методу построения оптимальных сеток [33], предположим, что функции определены в области {t 0,х [-hx/2, l],t/ Є R} и принадлежат пространству L2, константа hx на данном этапе может рассматриваться произвольной, мы уточним ее значение но мере необходимости Коэффициенты предполагаются постоянными, начальные условия - нулевыми. Продолжим функции нолем при і 0 и применим преобразование Фурье по времени и у На протяжении данного раздела мы будем использовать уравнения и переменные, полученные в результате преобразования Фурье, по этой причине сохранение обозначений функций не приведет к путанице Получим систему дифференциальных уравнений Итак, в качестве точного решения задачи (4 9), (4 10) рассматривается конечно-разностное решение на мелкой равномерной сетке с шаіами h3 = h} = hx, г = 1, , N В этом случае параметры у и в однозначно определяются по шагам сетки hx Далее необходимо построить функцию Fk, аппроксимирующую FN, после чею по параметрам у и вк восстановить шаги оптимальной сетки Процедура восстановления шагов подробно описана в главе поэтому мы не будем останавливаться на этом шаге алгоритма Отличный от описанных выше лишь метод построения рациональной аппроксимации, ею мы рассмотрим подробнее.
Построение импедансной функции
Основным результатом работы является развитие, реали зация и тестирование подхода построения сеюк для конечно-разностных схем, коюрый позволяеі существенно сократить вычислительные затраты при моделировании волновых процессов, как в изотропных, так и в анизотропных упругих средах Его отличительной особенностью является локальная минимизация ошибки численного решения в заданных точках расчетной области, связанных с нуждами конкретного эксперимснта(модели). В данной работе показано, что использование таких сеток для численного решения волновых задач позволяет добиться более чем экспоненциальной сходимости, что, в свою очередь, обеспечивает существенное сокращение, более чем в пять раз, вычислительных затрат на расчет решения. Следует также отметить, что затраты на построение сетки пренебрежимо малы в сравнении с затратами на моделирование самого процесса(эксперимента), что позволяет вычислять их каждый раз непосредственно перед моделированием.
В работе представлено обоснование возможности использования подхода оптимальных сеток для расчета волновых полей в упруїих, в том числе анизотропных, средах Задача моделирования распространения упругих волн в анизотропных средах с использованием конечно-разностных схем на сдвинутых сетках сама по себе является весьма актуальной Как показано в работе, использование схем Лебедева является весьма эффективным методом решения этой задачи. Более того, в работе представлена оптимизация сеток для схемы Лебедева, обеспечивающая сверхэкспоненциальную сходимость Приведенные эксперименты демонстрируют работоспособность и высокую эффективность применения схемы Лебедева на оптимальных сетках для решения этой задачи
Построение оптимального идеально согласованного слоя для системы уравнений динамической теории упругости является, пожалуй, наиболее значимым результатом Представленный в работе оптимальный PML, основанный на методе оптимальных сеюк, позволяет сократить число точек, необходимое для достижения нужной точности более чем в десять раз, 3-4 точки вместо 30-50 в стандартном. Если учесть тот факт, что идеально согласованный слой окружает всю расчетную область, то при стандартной реализации он требует более 50% от общею числа вычислительных ресурсов, использование оптимального PML сокращает эти затраты до 5-10%
Объектом исследований в данной работе являются сегки для конечно-разностных схем на предмет их оптимизации для моделирования волновых процессов в упругих средах, в том числе анизотропных
Актуальность. При моделировании волновых процессов достаточно распространенным требованием является знание волнового поля не внутри расчетной области, а лишь на некоторой ее границе. Наиболее показательные в этом смысле іеофизические эксперименты Применение стандартных конечно-разностных методов для численною решения таких задач приводит к іиіантским требованиям на вычислительные ресурсы и временным затратам на их реализацию
Причина этою явления в том, что отображение совокупности параметров среды и особенности волновых процессов в среде в "данные наблюдений"(сейсмоіраммьі) происходит с катастрофической потерей информации В частности, в трехмерных динамических задачах число параметров, входящих в описание задачи, оценивается величиной 0(N4), іде N пропорционально линейному размеру области, в которой развивается волновой процесс и обратно пропорционально шагу сетки Размерность пространства образов - число отсчетов на сейсмограммах - имеет порядок не выше 0{N) По-видимому, даже эта оценка является завышенной если принять во внимание гладкость зондирующего сигнала Однако уже этого сопоставления достаточно, чтобы представить насколько сильна потеря информативности при действии оператора, отображающего параметры среды в отсчеты на сейсмограммах
Стандартные способы аппроксимации этого оператора посредством построения разностной схемы для начально-краевой задачи, соответствующей выбранной модели волновых процессов, никак не учитывают этой потери информативности. В определенном смысле оператор оказывасчся слишком плохо аппроксимирован - каждая значащая цифра в ответе появляется как результат выполнения огромного числа арифметических операций над входными данными, лежащими в пространстве очень большой размерности Эту размерность нельзя уменьшить, уменьшая N, так как это приведет к увеличению локальной ошибки в промежуточных и окончательных результатах. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы хотя и может приводить к некоюрым улучшениям, но они не принципиальны.
Аналогичная ситуация возникает и при реализации "неотражающих"!раничных условий, использование которых также необходимо для качественного моделирования геофизических экспериментов Наиболее употребимым является Идеально Согласованный Слой (PML) от ашлийскою Perfectly Matched Layer. Основной идеей метода является окружение расчетной области специально сконструированным слоем, таким что волна проходит через границу без отражений и затухает внутри этого слоя. Несложно видеть, что PML является исключительно лишь вспомогательной конструкцией и необходимо лишь знание решения на границе PML - расчетная область, однако стандартные методы реализации эгою подхода, не учитывающие этого требования, приводят к тому, что затраты на вычисление решения внутри PML доходят до 75% от общих затрат на моделирование эксперимента
Иных результатов удается достичь если, вводя определенную свободу в строение схемы во внутренних точках, пытаться оптимизировать погрешность в отдельных точках. В задачах, упоминавшихся выше, возможна экспоненциальная [32] и даже сверхэкпоненци-альная сходимость.
Практическая реализация идей, лежащих в основе упомянутого подхода, наталкивается на ряд трудностей, связанных с необходимостью обеспечения высокой точности в решении целого ряда всиомоіательньїх задач Понятно, что для достижения оптимальною результата, погрешности во всех промежуточных задачах должны быть минимизированы, в частности важным аспектом является построение количественной оценки скорости сходимости метода для волновых задач, что представлено в данной работе Использование оптимальных сеток для моделирования волновых процессов в упругих средах является актуальной задачей и, как следствие, требует умения их построения и теоретического обоснования возможности их применения для таких задач.
Цель исследований - повышение эффективности расчета волновых нолей в упругих средах за счег использования спектрально-согласованных сеток для конечно-разностных схем, ориентированных на аппроксимацию решения лишь в заданных, определяемых условиями эксперимента, точках расчетной области
Научные задачи - построение спектрально-согласованных сеток для волновою уравнения с переменными коэффициентами и получение количественной оценки скорости сходимости численного решения для волновых задач, полученної о с помощью данного подхода, иосхроение идеально согласованного слоя, основанного на применении спектрально-соїласованньїх сеюк, для уравнений теории упругости в изотропном случае, моделирование волновых процессов в анизотропных упругих средах с использованием спектрально-согласованных сеток
