Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время сварка и наплавка являются одним из наиболее эффективных и широко распространенных процессов получения прочных и качественных соединений для изделий различной конфигурации во многих отраслях промышленности.
Важным условием дальнейшего совершенствования технологий сварки и наплавки является разработка высокоэффективных методов моделирования сварочных процессов, что весьма актуально в связи с бурным развитием компьютерной техники и вычислительных методов.
Сварка и наплавка - это сложные технологические процессы, которые характеризуются наличием мощных тепловых полей, потоков тепла и вещества, при этом одновременно существуют твердая и жидкая фазы, возникают сложные гидродинамические течения, протекают различные химические реакции. Большую роль играет сложная геометрия изделий, разнородность свариваемых и наплавляемых деталей, наличие малых включений (пор). В этих процессах часто применяются сосредоточенные тепловые источники большой мощности, имеющие высокую скорость движения.
Физические, химические и другие процессы в металле, определяющие производительность сварки и качество сварных соединений, протекают под действием тепла в условиях быстро меняющейся температуры. Поэтому ведущую роль в процессах сварки и наплавки играют теплообменные процессы, которые определяют протекание всех остальных процессов: химических, кинетических, диффузионных, гидродинамических. Поэтому одним из главных направлений при изучении процессов сварки и наплавки является моделирование тепловых процессов.
Проблемами моделирования тепловых процессов при сварке занимались Б.Е. Патон, В.Ф. Демченко, Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, В.И. Махненко.
Значительную роль в развитии методов решения соответствующих уравнений математической физики сыграли А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, Г.С. Карслоу, В. Вазов, А.В. Лыков, А. Фридман, в развитии численных методов решения — С.К. Годунов, А.А. Самарский, Н.С. Бахвалов, Н.Н. Яненко.
В современной сварочной литературе практически нет работ, посвященных методологии применения вычислительного эксперимента, которая достаточно подробно разработана в математической физике и вычислительной математике. Большой вклад в разработку методов вычислительного эксперимента внес А.А. Самарский. Возникла потребность на основе накопленного опыта обобщить имеющиеся результаты, конкретизировать подходы и методы использования современной вычислительной техники и компьютерных технологий моделирования применительно к исследованию проблем сварки.
Для задач сварки, наплавки, а также многих других тепловых (диффузионных) процессов характерной особенностью поведения является то, что решение (тепловые поля), а тем более его производные (потоки тепла или вещества) могут очень сильно меняться на небольшом участке. В таких случаях говорят, что имеют место физические процессы (задачи), решения которых, как правило, имеют особенности, в частности, особенности типа пограничных или переходных слоев.
Большинство вышеназванных задач при переходе от физической модели к математической постановке задачи приводят к классу задач с переходными или пограничными слоями, называемых также сингулярно возмущенными задачами. Наиболее часто по-
добные задачи сводятся путем преобразования исходного дифференциального уравнения к задачам, содержащим малый параметр при старших производных. Параметр при старших производных (величина, обратная критерию Пекле, критерий Фурье) принимает произвольные значения в зависимости от параметров исходной физической задачи.
Необходимо указать, что большинство современных технологических задач сварки и наплавки не может быть решено с требуемой точностью при использовании классических аналитических и конечно-разностных методов, которые применяются в большинстве прикладных программ, так как в силу физических особенностей этих процессов наиболее часто математические задачи являются сингулярно возмущенными (с малым параметром при старших производных).
При решении задач сварки применение классических аналитических и численных методов дает большую неконтролируемую погрешность. Погрешности решения и особенно его производных, полученные при использовании этих методов, соизмеримы по величине, а нередко значительно превосходят искомое решение. При этом невозможно сказать заранее, при каких значениях параметров задачи произойдет резкое возрастание величины погрешности.
Для большого круга задач, например, таких как закалка, определение производных (потоков тепла) с приемлемой для практики точностью имеет определяющее значение. Скорость охлаждения в процессе сварки является решающим фактором в формировании конечных структур и свойств сварных соединений. При этом необходимо выполнение ряда условий: разность температур на различных участках не должна превышать наперед заданных величин, температура не должна быть больше заданной, пребывание материала при заданной температуре в течение требуемого времени и т. д. Проведение численных расчетов с точностью ниже требуемой, не позволит получить решение прикладных задач сварки и наплавки.
В последнее время разработаны специальные аналитические и численные методы решения задач, которые не зависят от особенностей конкретного физического процесса сварки, не только являются устойчивыми к изменению исходных параметров задачи и различным особенностям поведения решения, но и включают в себя эти особенности. Такие методы позволяют решать задачи сварки и наплавки с необходимой, заранее заданной точностью.
Значительный вклад в разработку таких методов внесли A.M. Ильин и его научная школа, А.Б. Васильева, А.Ф. Бутузов, Г.И. Шишкин, Дж. Миллер, П.Н. Вабищевич, В.Б. Андреев.
Таким образом, исследование тепловых процессов при сварке и наплавке на основе разработки современных численно-аналитических методов математического моделирования, позволяющих получать решение и его производные с гарантированной точностью, для совершенствования и повышения эффективности сварочных технологий по-прежнему остается актуальной задачей.
Цель диссертации. Диссертация посвящена вопросам развития методологии вычислительного эксперимента в технологиях сварки и наплавки, основанного на асимптотическом анализе решения задач математической физики, в постановке которых присутствует малый параметр. Особое внимание уделяется проблемам применения аналитических и конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений, входящих в математические модели тепловых процессов сварки и наплавки.
Для достижения указанной цели в настоящей работе были поставлены следующие основные задачи:
-
Систематизировать методы решения тепловых задач при математическом моделировании процессов сварки и наплавки с высокотемпературными, концентрированными подвижными источниками тепла, определение областей их применения для задач сварки.
-
Разработать специальные аналитические методы, позволяющие получить точное решение ряда тепловых задач с высококонцентрированными источниками тепла с произвольным законом распределения теплового потока, в непосредственной близости от источника энергии.
-
Разработать методику проведения численных исследований с целью определения точности приближенного решения и его производных в зависимости от параметров исследуемой задачи сварки и параметров применяемого численного метода. Определить области применимости существующих конечно-разностных методов для решения различных классов задач сварки и наплавки.
-
Разработать специальные численные и аналитических методы решения тепловых задач, при использовании которых точность результатов не зависит от параметров исходной физической задачи сварки и наплавки, таких как мощность источника тепла, скорость его движения, теплофизические характеристики используемых материалов.
Методы выполнения работы.
При разработке аналитических методов применялись методы математического моделирования, интегральных преобразований и метод функций Грина.
При исследовании аналитических решений применялись асимптотические методы анализа, включая метод согласования асимптотических разложений, математическое обоснование и разработка которого принадлежит A.M. Ильину и его научной школе.
При разработке и исследовании численных методов использовались методы вычислительного эксперимента, численные конечно-разностные методы решения дифференциальных уравнений и специальные разностные схемы, разработанные и обоснованные Шишкиным Г.И.
Научная новизна. Основные результаты являются новыми.
-
Для ряда прикладных задач сварки и наплавки построены математические модели и решены задачи о нагреве полубесконечного тела и цилиндра поверхностным полосовым источником тепла большой мощности, задача о нагреве полубесконечного тела поверхностным круговым источником тепла. Для этих прикладных задач найдены точные аналитические решения, из которых получены формулы, удобные для практического применения.
-
Разработана методика математического моделирования тепловых процессов сварки и наплавки, использующих мощные высококонцентрированные источники энергии, основанная на современных методах асимптотического анализа и специальных конечно-разностных методах. Найдена и обоснована асимптотика решений, рассматриваемых задач
-
Определена возможность использования выбранного численного метода для решения конкретных задач сварки и наплавки на основе исследования характера поведения и зависимости величины погрешности решения и производных от исходных данных изучаемой задачи сварки, и применяемых конечно-разностных методов.
-
Выделен широкий класс прикладных задач сварки и наплавки, для численного решения которых доказана непригодность классических разностных схем для решения задач сварки и наплавки, так как погрешность приближенного решения и его производных могут неконтролируемо возрастать.
-
Показано, что для этого круга задач сварки и наплавки разработка и использование специальных разностных методов является необходимым. Разработан численный метод на основе специальным образом сгущающихся сеток, точность которого не зависит от параметров исходной задачи.
-
Для ряда задач сварки и наплавки разработан численный метод определения и исследования областей применимости классических и специальных конечно-разностных схем, основанный на методике определения порядка равномерной сходимости разностных схем.
-
Проведено математическое моделирование процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включений. Предложена специальная разностная схема, численный алгоритм и программа для расчета концентрации водорода в порах металла. Результаты расчетов показали, что величина давления водорода не зависит от диаметра поры и не превышает 200 кПа, тогда как ранее считалось, что давление водорода в порах малого размера может достигать десятков мегапаскалей.
Основные положения, выносимые на защиту и личный вклад автора.
Основные положения, выносимые на защиту, состоят в разработке научных и практических основ технологии применения методов вычислительного эксперимента при моделировании процессов сварки и наплавки:
-
Получены и математически исследованы аналитические решения для тепловых задач сварки и наплавки для полубесконечного тела и цилиндра вблизи особенности.
-
Определен класс процессов сварки и наплавки, для моделирования которых необходимо применять специальные аналитические и численные методы, исследовано поведение погрешности решения и его производных при использовании классических и специальных численных методов.
-
Получено и исследовано решение задачи о диффузии водорода в сварных швах при наличии включений, рассчитана величина давления водорода в порах металла.
Автору принадлежат:
-
Постановка задач, разработка математических моделей, получение точных аналитических решений, их асимптотическое исследование и анализ для ряда тепловых задач сварки с мощными концентрированными источниками энергии.
-
Разработка численных алгоритмов, их программная реализация, разработка методики вычислительных экспериментов, их проведение и анализ результатов при исследовании поведения приближенного решения, его погрешностей, а также при исследовании порядка равномерной сходимости разностных схем.
-
Разработка численных алгоритмов и программная реализация, проведение вычислительных экспериментов при исследовании процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включений.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы развивают и дополняют метод вычислительного эксперимента при математическом моделировании процессов сварки и наплавки.
Найденные аналитические решения для ряда задач в непосредственной близости источника тепла позволяют исследовать влияние конкретного закона распределения теплового потока источника тепла на распределение температуры и потоки тепла.
Разработанные математические модели, методы решения и алгоритмы позволяют определять и исследовать с необходимой точностью тепловые поля, потоки тепла или вещества, скорости охлаждения и другие параметры; проводить анализ технологических режимов сварки и наплавки, оптимизацию этих режимов с целью уменьшения
дефектов и повышения качества сварных соединений.
Численное моделирование процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включений с использованием специальной разностной схемы позволило провести анализ некоторых технологических режимов (определение величины давления водорода в поре) сварки и термообработки деталей.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на 30-ти Международных, Всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе:
на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 2000; Международной конференция "Математическое моделирование и информационные технологии в сварке и родственных процессах", Ка-цивели (Крым), 2002; Second International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2002, College of Judea and Samaria, Israel, 2002; Third International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2004, College of Judea and Samaria, Israel, 2004; Fourth Israeli-Russian bi-national workshop 2005: The optimization of composition, structure and properties of metal, oxides, composites, nano- and amorphous materials, Jerusalem-Tel-Aviv, 2005; Шестнадцатой международной конференции "Компьютерные технологии в сварке и производстве", Третьей международной конференции "Математическое моделирование и информационные технологии в сварке и родственных процессах", Киев, 2006; Fourth International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2006, College of Judea and Samaria, Israel, 2006; Sixths Israeli-Russian bi-national workshop 2007: The optimization of composition, structure and properties of metal, oxides, composites, nano- and amorphous materials, Jerusalem-Tel-Aviv, 2007; Fifth International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Materials Technologies, MMT-2008, Ariel University Center of Samaria, Israel, September 08-12, 2008; The Tenth Israeli-Russian Bi-National Workshop 2011, "The optimization of composition, structure and properties of metals, oxides, composites, nano and amorphous materials", Jerusalem, Israel, June 20-23, 2011; The Seventh International Conference on Material Technologies and Modeling MMT-2012, Ariel University Center of Samaria, Ariel, Israel, August 20 - 23, 2012; Шестой Международной конференции "Математическое моделирование и информационные технологии в сварке и родственных процессах", 29 мая - 1 июня 2012 г., Кацивели, Украина;
Также результаты докладывались в Института Математики и Механики УрО РАН на научных семинарах отдела уравнений математической физики, руководимых академиком РАН A.M. Ильиным.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1] - [12] (см. список). Работы [1] - [5] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.
В совместных работах [1], [2] автору принадлежат разработка численных алгоритмов и программных средств, проведение численных экспериментов, анализ полученых результатов.
В совместных работах [4], [6] - [12] автору принадлежат разработка математических моделей, получение аналитических решений, анализ поведения этих решений вблизи особенностей, исследование применения методов вычислительного эксперимента к задачам сварки и наплавки.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, основ-
