Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Применение метода специальных рядов 29
Краткий обзор аналитических методов 29
1.1. Построение решения одномерного уравнения нелинейной фильтрации в виде специальных рядов 31
1.1.1. Одномерное уравнение нелинейной фильтрации . 32
1.1.2. Решение в виде согласованного ряда 35
1.1.3. Использование функционального произвола согласованных рядов для приближенного решения краевых задач 41
1.2. Применение специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации 46
1.2.1. Уравнение двумерной фильтрации 47
1.2.2. Построение согласованных рядов 47
1.2.3. Краевая задача 50
1.3. Сравнение метода Фурье и метод специальных рядов . 50
1.3.1. Постановка задачи 51
1.3.2. Применение методов 53
1.3.3. Результаты численного сравнения метода Фурье и метода специальных рядов 54
1.4. Алгоритмические способы построения специальных согласо ванных рядов 58
Основные результаты Главы 1 62
Глава 2. Численное моделирование задачи распространения тепла от заглубленного источника в неоднородной среде 63
2.1. Описание модели и постановка задачи 63
2.1.1. Основные уравнения 68
2.1.2. Граничные условия на дневной поверхности 71
2.2. Методы решения 73
Разностные методы решения уравнения теплопроводности . 73
2.2.1. Краткое описание расчетной методики 76
2.2.2. Расчетная сетка 76
2.2.3. Выбор шага по времени 79
2.2.4. Аппроксимация уравнений 80
2.2.5. Граничные условия 82
2.2.6. Метод решения систем разностных уравнений с нелинейным условием на границе 86
2.2.7. Блок-схема программы расчета 87
2.2.8. Параллельный алгоритм циклической редукции решения систем линейных алгебраических уравнений . 87
2.3. Тестовые расчеты 98
2.3.1. Линейное распределение температуры по вертикали с фиксированной температурой на концах 98
2.3.2. Распределение температуры по вертикали z с потоком через дневную поверхность 100
2.3.3. Поля температур на поверхности области. Сгущающиеся сетки 102
2.4. Результаты численных экспериментов 102
2.4.1. Поля температур в модельной области с теплоизоли рованным трубопроводом. Пассивные источники тепла 103
2.4.2. Тепловые следы от трубопроводов с поврежденной теплоизоляцией 105
2.4.3. Моделирование условий тепловизиопной съемки при наличии снежного покрова 108
2.4.4. Исследование влияния неровности земной поверхности и высоты солнца над горизонтом на тепловой портрет дневной поверхности 111
Основные результаты Главы 2 114
Заключение 119
Список литературы
- Использование функционального произвола согласованных рядов для приближенного решения краевых задач
- Сравнение метода Фурье и метод специальных рядов
- Метод решения систем разностных уравнений с нелинейным условием на границе
- Поля температур в модельной области с теплоизоли рованным трубопроводом. Пассивные источники тепла
Введение к работе
Общая характеристика работы
Диссертационная работа посвящена разработке и применению численно-аналитического подхода, основанного на методе специальных рядов, для конструктивного построения решений некоторого класса нелинейных уравнений механики сплошной среды, а также моделированию и численной реализации задачи о нахождении теплового поля от заглубленного теплового источника с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
Актуальность темы
Для решения различных проблем, возникающих в современной науке и технике, актуальной задачей является построение адекватных математических моделей, которые как правило описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Стремительное развитие вычислительной техники позволило рассматривать все более сложные многомерные модели, учитывающие тонкие явления, без которых невозможно точно описать реальные физические процессы. Для исследования таких моделей создаются различные методики, требующие надежных способов их верификации. Поэтому важной задачей является построение тестов для отладок численных методик, например, получение точных решений в замкнутой форме, или в виде сходящихся рядов пусть даже и для упрощенных моделей. Кроме того, решения полученные аналитическими методами дают возможность изучить свойства исследуемых моделей. В ряде задач механики сплошной среды перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Поэтому наряду с численными методами
интенсивно развиваются и аналитические подходы к получению решений. Большое развитие получили аналитические методы решения нелинейных уравнений с частными производными, использующие в качестве основной конструкции ряды. Главным образом, это степенные ряды либо ряды Фурье, а в случае уравнений с малым параметром — асимптотические ряды. Для представления решений линейных и нелинейных систем уравнений с частными производными были разработаны характеристические ряды (работы Р. Куранта [60], Д. Людвига [114], В.М. Бабича [1,2], А.А. Дородницына [50], А.Ф. Сидорова [71-73], В.М. Тешукова [76-78], СП. Баутина [3], М.Ю. Козманова [55] и др.).
Эти работы послужили основанием для создания А.Ф. Сидоровым нового аналитического метода представления решений нелинейных уравнений в частных производных — метода специальных рядов. Этот метод был с успехом использован в работах А.Ф. Сидорова, С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, Л.Г. Корзунина, СВ. Вершинина, О.В. Коковихиной и К.В. Кур-маевой [45,57,61-63,73,79-86,88,110].
В диссертационной работе получил свое развитие конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными — метод специальных рядов, который позволяет строить новые классы решений начальных и начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными.
При решении реальных физических задач редко удается обойтись без применения численных методик. Например, к такой задаче относится описание тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения тепла от дневной поверхности. Эта задача важна для многих приложений, в частности, при проведении мониторинга целостности теплоизолированного заглубленного трубопровода. При этом может оказаться, что трубопровод проложен в слоях грунта, имеющих различные тепловые ха-
рактеристики. Под воздействием различных факторов теплоизолирующая оболочка трубопровода может разрушиться и начнется теплообмен с окружающей средой (к примеру, температура нефтепродуктов движущихся по трубопроводу составляет около 30 градусов Цельсия). Существуют различные приборы (тепловизоры), которые позволяют снимать с большой точностью тепловые поля с поверхности, расположенной над трубопроводом [12]. Основной задачей мониторинг-контроля является определение возможных областей повреждения теплоизоляции трубопровода и трещин. Интересно рассмотреть также и обратную задачу об определении характера повреждений и интенсивности тепловыделения по результатам измерения теплового поля на дневной поверхности. В настоящее время открытыми остаются также вопросы: имеет ли смысл проводить тепловизорные контрольные замеры поверхности, расположенной над трубопроводом при наличии снежного покрова? И если да, то в каком спектре излучения?
Представленная выше физическая задача может быть описана линейным уравнением теплопроводности в трехмерной области при наличии нелинейных граничных условий на дневной поверхности. Теоремы существования и единственности решения для некоторых таких моделей рассматривались в работах П. Куитнера [115].
Необходимость изучения нелинейной модели проявляется при исследовании многих задач. Например, в работе С.С. Титова [81] рассматривалась задача о распределении температуры в тонком кольце, нагреваемом точечным источником (с учетом излучения при сварке), описываемая параболическим уравнением с нелинейной правой частью. Сравнение построенного решения в виде специального тригонометрического ряда для линейной и нелинейной модели показало, что линейная теория дает существенно завышенные значения температуры.
При построении алгоритмов расчета нелинейное граничное условие, как
правило, аппроксмируется на решении, полученном либо из линейной модели, либо вычисленном на предыдущем шаге итерационного процесса. Например, в работах В.П. Шапеева, А.Н. Черепанова и др. авторов [103,105] одно из граничных условий для уравнения теплопереноса включает в себя нелинейный радиационный коэффициент теплоотдачи, значение которого аппроксимируется на решении, вычисленном на предыдущей итерации.
Однако работ по прямому численному моделированию задач о распространении тепла при непосредственном решении задачи с нелинейными граничными условиями, учитывающими солнечную радиацию, автору не известны.
Таким образом, представляется весьма актуальным вопрос о решении прямой задачи нахождения теплового поля на дневной поверхности. Решение и моделирование этой прямой задачи позволяет ответить на многие интересующие вопросы и получить приемлемые качественные и количественные результаты.
Цель работы:
— Построить новые решения в виде специальных сходящихся рядов и при-
менить ряды, содержащие функциональный произвол, для построения решений начально-краевых задач для нелинейного уравнения фильтрации.
— Для представления решения начально-краевой задачи для нелинейно-
го волнового уравнения с точным удовлетворением нулевых краевых условий построить специальный ряд и провести численное сравнение метода специальных рядов и метода Фурье на этом примере.
— Разработать методику расчета прямой задачи распространения тепла в
приповерхностном слое грунта с условием лучевого обмена энергией
(солнечная радиация и тепловое излучение поверхности грунта, а также теплообмен, связанный с подводом тепла из глубин Земли или от аккумулирующих тепло источников: трубопроводов, подземных объектов, геологических аномалий и т.д.) с прилегающим к поверхности слоем воздуха, позволяющую моделировать различные условия тепло-визионной съемки.
— Написать и отладить комплекс программ для решения задачи о тепловом поле на дневной поверхности от подземного трубопровода с возможными его повреждениями. Провести серию численных расчетотов для получения атласа тепловых полей, полученных при типичных повреждениях теплоизоляции трубопроводов для выработки рекомендаций при проведении реальных тепловизионных съемках.
Методика исследований
В работе используются методы и подходы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы приближенного решения уравнений, методы визуального графического представления резльтатов расчетов.
В качестве аналитического аппарата в работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Рассматриваются начально-краевые задачи для некоторого класса нелинейных уравнений теплопроводности, для которых известны точные решения в виде полиномов по пространственным переменным.
Методы численного моделирования используются при исследовании задачи о тепловом поле от заглубленного теплового источника с учетом лучистого излучения на дневной поверхности. Используется метод геометрического расщепления многомерной краевой задачи по направлениям на ор-
тогопальной сетке. Применяется неявная шеститочечная двухслойная разностная схема для одномерного уравнения теплопроводности. Для решения соответствующей системы линейных разностных алгебраических уравнений используется метод прогонки. При численного решения нелинейного уравнения четвертого порядка используется метод Ньютона.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
— На базе известного точного решения построены новые приближенные
решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.
— Проведено численное исследование применимости некоторых построен-
ных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.
— Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фу-
рье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.
— Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей
от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового ПОЛЯ
в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
— С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический и практический характер. Метод специальных рядов получил дальнейшее развитие на пути практического применения этого подхода к приближенному решению краевых задач. Построен новый класс решений нелинейного уравнения фильтрации в виде специальных рядов, согласованных с точным решением.
Разработан комплекс программ, позволяющий моделировать различные условия тепловизиоиной съемки, и тем самым повысить эффективность таких наблюдений и, как следствие, разработать методы диагностики целостности трубопровода и наличия несанкционированных врезок. Непосредственное численное моделирование температурных полей, возникающих на дневной поверхности над участком заглубленного трубопровода, позволяет сделать ряд выводов о возможности обнаружения тепловых неоднородио-стей на рассматриваемом участке, а также обосновать правила проведения тепловизионных съемок.
Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).
Публикации
Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [31,117], в сборниках [17,18,30,32,33,35], а также в трудах международных и всероссийских конференций [9,10,19,20,22,24, 25,28,29,119].
Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора, а именно:
из работ [5-11] с Башуровым В.В., Ртищевым Д.Е., Жариновым СВ., Филимоновым М.Ю. включены только результаты, касающиеся разработки вычислительного алгоритма и комплекса программ расчета тепловых полей в трехмерной области с учетом лучистого излучения на дневной поверхности;
из работ [31,32,113] с Коврижных О.О., Хайруллиной О.Б. включены только результаты, касающиеся разработки и реализации алгоритма циклической редукции для решения блочно-трехдиагональных систем линейных разностных уравнений для многопроцессорной вычислительной системы с распределенной памятью;
из работ [33-41,111,112,121,122] с Филимоновым М.Ю. включены только результаты, связанные с аналитическим построением соответствующих решений нелинейных уравнений и численными экспериментами по применению метода специальных рядов для построения решений нелинейного волнового уравнения и уравнения фильтрации.
Апробация
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математиче-
ского моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);
Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);
Международная конференция, посвященная 150-летию С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000);
международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000);
Всероссийская конференция "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000);
III Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, (2001);
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, (2001);
международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001);
международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);
VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); III международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2002);
XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И.Бабенко, Дюрсо (2002);
Международные летние шкоды-конференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);
Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);
Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004);
Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика Л.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004); XI Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);
Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научном семинаре Отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН, руководитель — д.ф.-м.н. А.И.Короткий.
Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [5-9, И, 14-16,19-21,23-29,34,36-41,111,112,118,120-122].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 130 страниц. Библиография содержит 122 наименований.
Основное содержание работы
Во введении обсуждаются актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, приведены основные результаты, выносимые на
защиту.
Первая глава посвящена применению метода специальных рядов для построения решений начально-краевых задач нелинейных эволюционных задач математической физики.
Приводится краткий обзор аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью.
В 1.1 строится специальный ряд, содержащий в качестве нулевого члена ряда известное точное решение.
Рассматривается нелинейное уравнение второго порядка
Щ = иихх + и\. (0.0.1)
Для исследования решений этого уравнения А.Ф. Сидоровым были построены характеристические ряды [74], сходимость которых была установлена СП. Баутиным [4]. В диссертационной работе используются специальные ряды согласованные с точным решением, которые были предложены М.Ю. Филимоновым [100].
Пусть начальные данные иредставимы в виде
(z, 0) = S0(x, 0) + ]Г an0Rn(x, 0), ап0 Є R. (0.0.2)
Точное решение уравнения (0.0.1)
So(x,t) = -*(A + *)\-^--T, А, В, С = const, (0.0.3)
t -+ о о | + О | з
было получено С.С. Титовым [88].
Ищем решение уравнения (0.0.1) в виде ряда ( f(t) Є Cl[0, со))
u(:M)=So(MH
Пусть f(t) имеет вид
Тогда для определения коэффициентов an(t) подставим ряд (0.0.4) в уравнение (0.0.1) и приведем подобные члены (с одинаковыми степенями базисной функции R(x,t)). Для п ^ 1 получим последовательность обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
; , <*п у _ /i4(n-l)(n-2) /2(n-l)(4n-ll)
^+сЛп з(н-с)2 an_1+ 3(t+C)3 '
/2/2(n-2)(n-l) 4/x/2(n-2)(n-l) 2/|(n-2)(n-l)\ "і 3(Ж7)з + 3(*+C7)4 + Щ+СУ )an-2 (--6)
,,. 0ч\^ 4/i(n-l) v^ 4/2(n-l) ^
+(4n-2)2^ apam 2^ ^ma—u+qvi 1^ akmam,
k+m=n-l k+m=n-2 k+m=n-2
где A'n = (2n2 — 3n + 1)/3 и начальные данные определяются из (0.0.2), то есть а„(0) = ano = const, п ^ 2.
Лемма 1.1.1. .Если ai = 0, то при п ^ 2 уравнения (0.0.6) имеют решения следующего вида:
где коэффициенты Ащ находятся по рекуррентным формулам 1
Аг,д-1
4(п - 1)(п - 2)/іЛі-іл-2 + (п - 1)(4п - И)/2Л-1,д-з
-2(П-2)(П-1) (/!2Л-2Л-3 + 2/і/2і4п_2л-4 + /2 Аг^.д-б)
12(п-1) ^ Ш /! ^ 4ьЛАмь + /2 S А^АтЛ
k+m=n-2 ^ gi+g2=g-l gi+52=g-2
+6(2П-1) ^, m Y, Ak^Am,Q2 . (-0-8)
fc+m=n-l qi+q2=q
где Bnq=2n2—3(п-Н/)+4 . При этом в правой части все слагаемые, включающие Ajj при г<2 или j
Mnaq~l Hn,g-i|^n2( _1)2, 0<о<|Г+С|, M=max{Mi(/i,/2,a),l},
на основе которых доказывается
Теорема 1.1.1. Пусть в (0.0.4) А=0, а\=0 и f(t) имеет вид (0.0.5).
Тогда для любых С < 0 и Т, 0 < Т < \С\, существует постоянная L > 0 , такая, что согласованный с точным решением ряд
п .
X" Л91 ^ -ЛЬ+СУ
(Й-G) ^+ттс+(ї+сру п=3\х+t+c+{t+c)*J сходится к полооїсительному решению уравнения (0.0.1) при всех х2 ^ L и O^t^T.
Таким образом, построен новый класс точных неотрицательных решений уравнения (0.0.1), зависящий от четырех произвольных постоянных С» Мь /ь h- Заметим, что в работе М.Ю. Филимонова [100] сходимость решения при С < 0 доказана только при f(t) = const.
Теорема о сходимости доказана для f(t) определенного вида, однако, рассматривая некоторое приближение решения исходного уравнения в виде отрезка ряда (0.0.4), мы можем, используя произвольную функцию f(t) для приближенного удовлетворения краевому условию, получить приближенное решение следующей начально-краевой задачи для уравнения (0.0.1):
«(я,0) = 0, u(0,t) = h(t), h(0) = 0, h'{t)>0, t > 0. (0.0.10)
Известно, что существует обобщенное решение задачи (0.0.1), (0.0.10), причем фронт решения (например, фронт тепловой волны) распространя-
ется по оси х с конечной скоростью. А.Ф. Сидоровым [74] и СП. Баути-ным [4] рассматривался случай аналитической функции h(t).
Оказывается, несмотря на то, что в правые части уравнений (0.0.6) для коэффициентов входят предыдущие коэффициенты ряда, зависящие как от произвольной функции f(t), так и от ее производной, an(t) удается выразить в элементарных функциях для п ^6 , если константа 5 = 0.
Заметим, что в отличие от работ А.Ф. Сидорова, Л.Г. Корзупина, М.Ю. Филимонова, О.В. Коковихиной [57,110], в которых также находились первые коэффициенты ряда с функциональным произволом, в данной работе впервые удалось проинтегрировать в явном виде уравнения для первых шести коэффициентов ряда. Нахождение явных выражений для последующих коэффициентов ряда также возможно, но довольно трудоемко и приводит к очень громоздким выражениям, поэтому далее, для иллюстрации, ограничимся рассмотрением первых трех слагаемых ряда. После подстановки найденных коэффициентов получим приближенное решение.
UJT t)= (Ж+С)2| аі і а2 і аз^
S{ ' ] Q(C+tf(x+C)4f(tf((C+x)4f(t)Y+((C+z)4/M)3'
Краевое условие при х = 0 (при А = С):
u б((+с)+б(С2+/(())+б(сч/(«))2 (c2 + /W)3
Можно разрешить это уравнение относительно функции f(t) в явном виде и за счет выбора произвольной функции f(t) удовлетворить краевому условию при х = 0 . Если использовать для вычисления функции f(t) только два или три первых слагаемых правой части уравнения, то получается достаточно простая формула. Решение краевой задачи с заданной, не обязательно аналитической, функцией h(t) описывается приближенно
отрезками ряда. Использование в расчетах только первых трех членов ряда уже представляет для практики большой интерес. С помощью отрезков специальных рядов, согласованных с точным решением (0.0.3) были проведены численные расчеты по описанию распространения тепловой волны при различных краевых условиях, а также сравнение с известными точными решениями.
В 1.2 описанные в 1.1 конструкции специальных согласованных рядов обобщаются для двумерного случая.
Рассматривается уравнение баланса массы подземных вод в элементе водоносного пласта в случае изотропной среды и горизонтального водоупорного основания [13]
т W^) -—=а; Ы + д-у Ы (аол1)
где h — h(t, х, у) — уровень подземных вод, т , А;, є\, Є2 — некоторые постоянные характеристики среды.
Решение ищем в виде согласованного специального ряда
оо 1
h(t,х, y)=ao(t)+ У а{(г)Р& х,у), P{t, х, у)= (0.0.12)
^ x'+y+f[t)
где f(t) Є C^OjOo) — некоторая произвольная функция.
Для функции Р(,,у) выполнены следующие соотношения, которые используются при получении уравнений для коэффициентов ряда (0.0.12)
Доказать сходимость ряда (0.0.12) для уравнения (0.0.11) методами, использовавшимися в 1.1, пока не удается. Однако, даже небольшие отрезки ряда (3-4 члена) обладают хорошими аппроксимационными свойствами в некотором удалении от нуля. Произвольную функцию f(t), входящую в
базисную, также можно использовать для приближенного удовлетворения заранее заданному краевому режиму на границе х2-\-у2=а2.
В 1.3 проводится сравнение приближенных решений, полученных с использованием специальных согласованных рядов и с помощью метода Фурье. Рассматривается уравнение нелинейных колебаний струны с закрепленными концами
Щі = ихх(1 + єи2х), (0.0.13)
с начальными и граничными условиями
и(х, 0)=ио(х),щ(х, 0)=щ(х) (0^ж^7г),
и(0,*)=и(тг,*)=0 (^0). Решение задачи строится в виде конечного отрезка ряда Фурье
u(t, x) = Y^ Zi{t) sin(is), (0.0.14)
и в виде специального ряда по степеням P(x)=cosx , Q(x)=s'mx
u(t,x)= ^2 aij(t) cos1 xsin2j+1x. (0.0.15)
i+j>0
Для коэффициентов Z{(t) мы имеем зацепленную нелинейную систему дифференциальных уравнений второго порядка. Увеличивая число слагаемых в отрезке ряда Фурье, нам каждый раз приходится заново формировать и решать систему со все большим количеством неизвестных. Тогда как при построении отрезков специального согласованного ряда за счет рекуррентности нахождения коэффициентов получаем цепочки дифференциальных уравнений, а не систему. Увеличение числа коэффициентов специального ряда не влечет за собой пересчет уже найденных коэффициентов.
В численных экспериментах проводилось сравнение приближенных решений, полученных методом специальных рядов, методом Фурье и высокоточным конечно-разностным методом. В качестве модельного рассматривалось конечно-разностное решение. В некоторых случаях отрезок ряда
Фурье был ближе к конечно-разностному решению, а некоторых случаях — отрезок специального ряда. Все решения были достаточно близки. Но метод специальных рядов существенно удобнее для расчетов и вносит меньшую погрешность, поскольку для вычисления коэффициентов каждый раз приходится решать линейное дифференциальное уравнение, а не нелинейную зацепленную систему, как для отрезка ряда Фурье.
В 1.4 рассматриваются подходы к автоматизации построения решений в виде специальных рядов по степеням некоторых базисных функций. При построении рядов используется система аналитических вычислений для получения уравнений для коэффициентов, а также рассматривается способ построения специальных рядов путем перехода к новым "базисным" переменным.
Основные результаты Главы 1.
Проведено исследование применимости некоторых конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач для нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.
На базе известного точного решения построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.
Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.
Вторая глава посвящена численному моделированию задачи распространения тепла от заглубленного источника в неоднородной среде с нелинейными граничными условиями. Описывается методика расчета и приводятся результаты численных экспериментов.
В 2.1 описывается модель распространения тепла в трехмерном приграничном слое грунта с учетом солнечного излучения на дневной поверхности при наличии заглубленного источника тепла.
Рассматривается задача о распространении тепла в грунте от нагретой и частично теплоизолированной трубы. Эта задача описывается линейным уравнением теплопроводности:
8Т Л (д2Т д2Т д2Т\ ,ПЛ1„.
a=4ft?+v + w)' (0-0Л6)
h = — pcv
коэффициент
температуропроводности;
p — плотность;
к — коэффициент теплопроводности;
cv — удельная теплоемкость.
Область может иметь
несколько слоев
с различными А^ .
На границах стыков слоев задается уравнение баланса потоков:
ОТ Tz
дТ ~dz~
(0.0.17)
+
Рассмотрим граничные условия для расчетной области (параллелепипеда). На боковых стенках выделенного параллелепипеда
—-О дп
На нижней грани задается условие постоянства температуры:
glub.
glub.
= т,
Граничное условие на трубопроводе имеет вид:
дТ (
-Т
trub.
grunt
n,
(0.0.18)
где n — нормаль к поверхности трубопровода, є(х, у, z) — коэффициент теплоизоляции, зависящий от степени поврежденности оболочки трубы. Если є ~ 5~1, где 5 — шаг сетки, то считается, что Т = Т<гиь..
На дневной поверхности выполняется условие равновесия потоков, приносящих и уносящих энергию. Пусть Vsoi = (Xsoi,Ysoi,Zsoi) — вектор направления солнечного света. С учетом направления солнечного потока доля энергии, ушедшая в грунт, будет изменяться от точки к точке и соста-
вит: otqVsoi, где а — доля поглощенной солнечной энергии, q — мощность
солнечного потока, Vsoi — нормализованная проекция вектора солнечного
ТТ~ %sol
света на поверхность, V80i = . - на горизонтальных по-
Vхsol + Ysol + Zsol
верхностях. Учитывая неровность поверхности в постановке задачи и направление солнечного света, на дневной поверхности будут как освещенные участки, так и затененные, для которых получаемая солнечная радиация равна нулю. Пусть Ъ — коэффициент теплообмена дневной поверхности и грунта, и — постоянная Больцмана.
QT
ЩУ30\ + 6 (Tvozd. - T\poverhn) = аТ + к—-
(0.0.19)
poverhn.
Это нелинейное граничное условие, которое делает краевую задачу (0.0.16), (0.0.19) нелинейной, в отличие от линейных приближений, использованных ранее [12].
В 2.2 рассматриваются методы решения сформулированной в 2.1 задачи. Приводится краткий обзор разностных методов решения уравнения теплопроводности.
Для расчета распределения температуры (0.0.16) в трехмерной области используется метод конечных разностей с расщеплением по пространственным переменным (работы С.К. Годунова, А.А. Самарского, Н.Н. Яненко и других авторов [48,49,56,65,67-70,107,108]). Постановка задачи во многом определила выбор методики расчета. При решении поставленной задачи (0.0.16)-(0.0.19) заказчиков особенно интересовала точность модели, её адекватность и способность соответствовать реальным процессам. Чисто неявная схема с опережением, выбранная для расчета, обеспечивает большую свободу при выборе шагов по времени, хотя она имеет меньший порядок аппроксимации по сравнению, например, со схемой Кранка-Николсона.
Для получения решений уравнений математической физики могут быть построены также схемы сверхвысокого порядка точности, использующие
расширенные шаблоны (работы В.П. Шапеева, А.В. Шапеева, А.Н. Вали-уллипа [42,104]). Эти методы и схемы являются более тудоемкими и более затратными с точки зрения организации счета, хотя и позволяют получать решение с очень высокой точностью. Кроме того, методы высокого порядка точности зачастую обладают меньшей устойчивостью по сравнению с методами низкого порядка, в частности, с шеститочечной схемой.
Параметры реальных грунтов таковы, что коэффициент температуропроводности Л « Ю-4 — Ю-8. При таких малых значениях уравнение (0.0.16) становится по своим свойствам сингулярно возмущенным, и в этом случае появляются пограничные особенности и переходные слои в областях источников тепла. Такое поведение сингулярно возмущенных задач приводит к тому, что на равномерных сетках ошибка сеточного решения неограниченно растет (работы К.В. Емельянова, Г.И. Шишкина, И.В. Целище-вой [51,101,102,106]). Для построения адекватной разностной схемы необходимо использовать сетки, априорно сгущающиеся в пограничных слоях. Это могут быть как кусочно-равномерные, так и адаптивные неравномерные сетки.
Система разностных линейных алгебраических уравнений имеет трех-диагопальный вид и решается методом прогонки [69]. Разностные уравнения удовлетворяют достаточным условиям, при которых формулы прямого и обратного хода имеют смысл (знаменатели не обращаются в ноль) и устойчивы. Если крайнее разностное уравнение включает в себя нелинейный член (направление по z, дневная поверхность), то разностное уравнение для температуры Т на поверхности после прямого хода прогонки приобретает вид
F(T) = f2T4 + /іГ - /о = 0, (0.0.20)
где h — Da > 0 , D — шаг сетки; /і > 0 и /о — прогоночные коэффициенты. Тогда F'{u) = 4/2Т3 + /і > 0 при Т ^ 0, F"(T) = 12/2Т2 > 0
при Г > 0. Для решения уравнения (0.0.20) можно использовать метод Ньютона:
Тдг_і = Tk для достаточно большого к.
Также в 2.2 приводятся блок-схемы программы расчета и представлен алгоритм циклической редукции для решения трехдиагональных и блочно-трехдиагональных систем разностных линейных алгебраических уравнений для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью.
В 2.3 приводятся результаты тестовых расчетов: распределение температур по вертикали для случая фиксированной температуры на глубине и на дневной поверхности и с потоком тепла через дневную поверхность. Показано, что если модель не учитывает эффект излучения "черного тела", то есть расчет проводится по линейной модели, то возникает существенный, но не наблюдаемый на практике, перегрев поверхности. Также приводятся картины тепловых полей на дневной поверхности при расчете на сгущающихся сетках.
2.4 посвящен анализу результатов вычислительных экспериментов, проведенных с использованием разработанного комплекса программ. Приводятся рассчитанные картины тепловых полей в трехмерной области при различных условиях тепловизиошюй съемки. Показано, что даже если оболочка трубопровода полностью теплоизолирована (поток тепла через оболочку равен нулю), то за счет лучшего прогрева солнцем приповерхностного слоя над трубопроводом, трубопровод будет проявлять себя как пассивный источник тепла и может быть обнаружен тепловизором.
Приводятся расчеты различных вариантов расположения повреждений на трубопроводе и представлены соответствующие им тепловые картины
на дневной поверхности. Также в диссертации представлены результаты серии численных экспериментов по моделированию условий тепловизионной съемки при наличии снежного покрова. Кроме того, исследуется влияние неровности на дневной поверхности и направления солнечного света. Основные результаты Главы 2.
Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных теп-ловизионных съемок трубопроводов.
Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).
В заключение выражаю глубокую благодарность Александру Илларионовичу Короткому и Михаилу Юрьевичу Филимонову за внимание, ценные советы, замечания и интерес к моим исследованиям, а также Владимиру Витальевичу Башурову за постановку задачи и полезное обсуждение.
Использование функционального произвола согласованных рядов для приближенного решения краевых задач
Задача (1.3.33)-(1.3.35) описывает, например, поперечные колебания струны с закрепленными концами (п = 1), поперечные колебания балки (n = 2) с учетом нелинейных эффектов.
Существует множество подходов к исследованию решений задачи (1.3.33)-(1.3.35) Один из них — метод Фурье, при котором решение ищется в виде конечной суммы Фурье, содержащей N гармоник. N u(t, х) = 2_\ Zi{t) sm(ix). (1.3.37) i=l Тогда коэффициенты Zi(t) находятся из системы дифференциальных уравнений A = -ufzi + ePi(zh ..., zN), ш{ = і, з з8 zj(0) = an, 2,-(0) = a0i, i = l,N, где функции Pi(zi,..., ZN) определяются видом нелинейной функции / .
В [109] показано, что для некоторого класса функций / система (1.3.38) имеет ограниченное решение, что позволяет доказать, что конечная сумма (1.3.37) аппроксимирует решение задачи (1.3.33)-(1.3.35) при N - со .
Наиболее близкий подход к рассматриваемой задаче представлен в [91], где решение начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения (п = 1) строится в виде сходящегося двойного ряда [79] u{x,t) = 2 aij(t)Pi{x)Qj{x) (1.3.39) i,j=0 по степеням специальных базисных функций Р(х), Q(x). Чтобы выполнялись граничные условия (1.3.35) достаточно потребовать, чтобы выполнялась следующая система дифференциальных уравнений [91] Р = 2 CLm,2n+lPmQ П+ т+2п 1-1 Q = 2 m,2nPmQ ", т+2п 1 где am,2n+b&m,2n — постоянные. Например, функции P(x)=cosx и Q(x)=smx удовлетворяют этим условиям. В этом случае решение задачи (1.3.33)-(1.3.35) строится в виде следующего ряда u{x,t) = Y, ocij(t)Pi(x)Q2j+\x) (1.3.40) i,j=0 Теоремы о сходимости специальных рядов представлены в [91] и обоснование применимости метода Фурье для таких нелинейных задач представлено в [90,110].
Рассмотрим уравнение, которое описывает нелинейные колебания струны с закрепленными концами utt = uxx(l + eu2x). (1.3.41)
Ищем решение этого уравнения в виде конечного отрезка ряда Фурье (1.3.37) и в виде специального ряда (1.3.40) по степеням функций Р(х)= cos х , Q(x)= sin х u{t, x) = аф) cos x sin2i+1 x. (1.3.42) i+j 0 Подставляя отрезок ряда (1.3.37) и ряд (1.3.42) в уравнение (1.3.41) и приравнивая выражения при одинаковых степенях, получим уравнения для Zi(t) (аф)).
Для коэффициентов Zi(t) мы имеем нелинейную систему вида (1.3.38) Для N = 4 эта система имеет вид +e(\2$+lzlz3+2ziz$+4ziZ2Z4+5Ziz$+$zizl+3zlz3+12z2Z3Z4)], zi{t) = -[4Z2{t) + +(2zlz2+2zlz4+6ziZ2Z3+12ziz3Z4+4z$+18z2zl+32z2zl+18zlz4)], 4=-[Ы )+ +5( 5+1 3+32:1 1+122:122 4+18 2:3+362:2 3 4+ 3+72 4)1, z4(t) = -[lQZ4(t) + +s(2zlz2+8zlz4+12zlZ2Z3+32z%zi+18z2zl+72zlz4+64zl)].
Здесь zi = Z{(t), і = 1,4. Эта система уравнений также быть получена автоматически на компьютере, поскольку системы аналитических вычислений позволяют легко перераскладывать тригонометрические ряды. Решение таких систем, как правило, возможно только численно.
При построении уравнений для коэффициентов otij{t) специального ряда (1.3.42) используется тождество sin2 ж+cos2 х = 1. На эту "тождественную единицу", домножаются некоторые члены разложения исходного уравнения, получаемого при подстановке ряда (8). Впервые данный прием был использован при доказательстве сходимости специальных тригонометрических рядов в работе [91].
В результате получаем последовательность линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющих рекуррентно находить коэффициенты (Xij(t) . «ooW = - оо(0» a {0{t)= -4аюЮ, aJiM = -Заоі( ) "20(0= -7 2o{t) - e(4o(t), «liW = -lOan W + 2sa2m(t)a1Q{t), Q&M = -5 02(0 - ea2lQ(t)a00(t), азоМ = -Юазо(0 - 6єаоо( )аюМ OJSIW = -17a2i(0+2a2oW+6aoiW -є[а?о(0(9аіой+4а2о( ))+10аоо( )аіоМ]» На рисунках представлены результаты численного решения уравнения (1.3.41) при є = 0.1. Решения рассчитаны в виде конечного отрезка ряда Фурье (1.3.37) и в виде специального ряда (1.3.42).
Начальные условия для закрепленной струны выбраны следующим об и(0,х) = sin:r (Рисунки 5-7); разом: I и(0,х) = sin + sin2x (Рисунки 8-10).
Сравнение метода Фурье и метод специальных рядов
Широкое распространение таких криминальных систем "трубопровод и несанкционированная врезка" приводит к большим экономическим потерям и может приводить к экологическим катастрофам, вызванным выбросами нефтепродуктов из мест нарушения целостности трубопроводов. Подсчитано, что даже при минимальных нарушениях целостности трубопровода (например, свищ диаметром 0.8 мм) и давлении в магистрали 20 атмосфер, выход нефти за среднее время обнаружения утечки 2 месяца составит 100-110 тонн. Контроль за эксплуатацией трубопровода ведется как визуально, так и с помощью тепловизоров, дающих распределение тепловых полей на поверхности, под которой проложен трубопровод, с большой точностью. Например, тепловизор "Терма-2" дает точность не хуже 0.1 С. По сообщениям различных источников отмечено, что разность средних ожидаемых затрат при использовании визуального и тепловизионного метода контроля одного и того же участка трубопрово да длиной 1 тыс. км. в течение 10 лет составляет приблизительно 10 млн. долл. США в пользу тепловизионного контроля. Таким образом, в целом по России в год эта разность составит уже 200 млн. долл. США. Поэтому в настоящее время разработка и совершенствование тепловизионных методов контроля является наиважнейшей задачей. В свою очередь для дальнейшего развития тепловизионных методов требуется адекватная математическая модель, учитывающая как можно больше физических факторов, влияющих на конечную картину распределения теплового поля на дневной поверхности и только уже потом переходить к решению обратной задачи — нахождению различной информации о подземных источниках тепла.
В отличие от привычных видимых изображений, получаемых в основном за счет отраженного или проходящего света, тепловые изображения создаются благодаря смещению максимумов спектров собственного излучения тел при их нагревании в коротковолновую область. Изменение эффективной температуры поверхности тела в определенной мере соответствует деталям визуально наблюдаемой картины, поэтому создаваемый тепловизором видимый аналог теплового изображения в псевдоцветах может иметь внешнее сходство с наблюдаемым объектом. А это очень важно для объективного анализа неоднородностей, возникающих на фоне естественных тепловых полей.
Основными достоинствами теплового контроля являются высокая безопасность работы, незначительные эксплуатационные затраты, недорогое техническое обслуживание, низкие инспекционные расходы.
Тепловой контроль, используемый в технической диагностике, мониторинге окружающей среды может осуществляться двумя методами: пассивным и активным. Пассивный метод заключается в использовании естественного тепла, выделяющегося в процессе производства или эксплуатации объекта контроля и наблюдении с помощью тепловизионной системы распределения температур во времени и пространстве. Сравнение с идеальной моделью рассеивания тепла позволяет определить все отклонения температуры, важные для режимов эксплуатации.
Таким образом, для эффективного анализа реальных тепловых полей необходимо иметь удобный инструмент, позволяющий получить "идеальный тепловой портрет". Кроме того, для эффективной диагностики наличия неоднородных источников тепла (в том числе и искусственного происхождения, к которым могут относиться мины и другие взрывные устройства), проявляющихся на фоне естественных тепловых полей, необходимо иметь средства, позволяющие определить, чем вызвано появление той или иной неоднородности.
В настоящее время эффективным способом исследования многих проблем стал вычислительный эксперимент [48,65,67,68,107]. Суть вычислительного эксперимента состоит в комплексном изучении всей технологической цепочки: изучаемый процесс — математическая модель — вычислительный алгоритм — программа на компьютере. Во многих случаях вычислительный эксперимент, заменяя дорогостоящий натурный, позволяет с минимальными затратами эффективно прогнозировать и управлять исследуемым процессом или объектом.
Одним из методов получения и изучения тепловых полей в различных средах является непосредственное численное моделирование процессов теп-лопереноса. В ходе численных экспериментов было выяснено, что солнечное излучение является существенным фактором, влияющим на формирование теплового поля от подземного источника тепла. Причем солнечное излучение может создавать и пассивные источники тепла, нагревая днем подземные металлические объекты (например, мины), которые в свою очередь уже будут влиять на тепловое поле на дневной поверхности. Интуитивно понятно, что в ночное время это влияние особенно заметно.
Метод решения систем разностных уравнений с нелинейным условием на границе
Пусть система разностных уравнений состоит из блочных строк, и для ее решения выделено р процессоров. Сгруппируем строки исходной системы таким образом, чтобы система состояла из 2р "составных" уравнений С\х\ + R\x2 = Fh L2xi + С2х2 + R2x3 = F2, L3x2 + C3x3 + R3x4 = F3, (2.2.19) L/n%n—l r L/nXn = rn, блоки которой также являются блочно-трехдиагональными матрицами.
Алгоритм циклической редукции состоит в последовательном исключении неизвестных векторов в системе (2.2.19) до тех пор, пока не останется единственное уравнение. На первом шаге редукции для исключения неизвестных х\,х$, ... нечетные уравнения приводятся к виду C LiXi-г + ХІ + CrlRiXi+1 = C[lFi и вычитаются из четных, умноженные на соответствующие матричные коэффициенты так, чтобы коэффициенты при нечетных неизвестных в четных уравнениях обращались в нуль. В преобразованной таким образом системе четные уравнения образуют замкнутую систему уравнений относительно х2,Х4, ... также блочно-трехдиагональной структуры, но меньшей размерности. Подобные действия продолжаются до тех пор, пока дальнейшие исключения (редукция) возможны, и система не сведется к единственному уравнению. Этот процесс называется прямым ходом редукции. Полученное уравнение решается, например, методом исключения Гаусса, производится обратная подстановка найденных значений векторов-неизвестных (обратный ход редукции), и формируется решение исходной системы (рис.18)
Задания между процессорами распределяются следующим образом. На процессоры прямой ход редукции II обратный ход редущии к -ом процессоре (к = 1, ...р) хранятся 2к — 1 -ая и 2к -ая строки системы (2.2.19). Необходимо заметить, что после исключения нечетных неизвестных блоки в редуцированной системе становятся заполненными, и время вычисления Cf1 по методу Гаусса растет пропорционально кубу размера этих блоков. Поэтому с целью уменьшения количества арифметических операций предлагается группировать строки исходной системы так, чтобы четные строки системы (2.2.19) состояли из одной строки исходной блочной системы разностных уравнений. Нечетные строки могут формироваться из нескольких строк исходной системы таким образом, чтобы размеры "составных" строк были, по возможности, равными. Матричные коэффициенты нечетных уравнений вычисляются методом блочной прогонки. Первый шаг редукции (исключение нечетных неизвестных в четных строках) проводится локально на каждом из процессоров, причем все процессоры работают одновременно. Дальнейший процесс редукции и восстановления решения строится по схеме, приведенной на рис. 18. Прямоугольниками обозначено получение редуцированной системы относительно указанных неизвестных, а овалами - восстановление неизвестных векторов. Стрелки указывают направление потоков данных, необходимых для следующего шага.
Этот алгоритм реализован в комплексе программных загрузочных модулей для многопроцессорной вычислительной системы МВС-100. Загрузочные модули написаны на языке FORTRAN с использованием стандартных функций межпроцессорного обмена.
Работа процессоров организована по принципу "мастер-рабочие" (рис. 19). Нулевой процессор (MAIN) считывает исходные данные, распределяет задания между выделенными процессорами и отсылает им соответствующие матричные коэффициенты. Далее процессоры с первого но р-ът (MODULES) работают по схеме, представленной на рис. 18. После завершения обратного хода редукции вектор результата формируется на нулевом процессоре из компонент, получаемых с р рабочих процессоров. Таким образом, можно выделить два основных этапа работы программы: подготовка и рассылка заданий процессорам и собственно решение системы.
Предполагается, что каждый процессор связан с каждым. Однако канал связи устроен таким образом, что может либо только принимать, либо только передавать данные другому процессору. В алгоритме циклической редукции присутствуют три типа связи, реализованные в соответствии с приведенными схемами:
1) нулевой процессор последовательно передает (принимает) данные р рабочим процессорам - рассылка заданий и прием компонент найденного решения (рис. 19)
2) передача (прием) "соседним" ("справа" и "слева") процессорам - формирование редуцированных систем различных уровней во время прямого хода редукции и вычисление неизвестных векторов во время обратного хода редукции (рис. 18,рис. 20а);
3) прием с соседнего "слева" ("справа") процессора и передача на соседний "справа" ("слева") - формирование системы относительно четных неизвестных (первый шаг редукции) и вычисление нечетных неизвестных векторов (рис. 20Ь);
Поля температур в модельной области с теплоизоли рованным трубопроводом. Пассивные источники тепла
Диссертационная работа посвящена разработке и применению численно-аналитического подхода, основанного на методе специальных рядов, для конструктивного построения решений некоторого класса нелинейных уравнений механики сплошной среды, а также моделированию и численной реализации задачи о нахождении теплового поля от заглубленного теплового источника с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
Актуальность темы
Для решения различных проблем, возникающих в современной науке и технике, актуальной задачей является построение адекватных математических моделей, которые как правило описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Стремительное развитие вычислительной техники позволило рассматривать все более сложные многомерные модели, учитывающие тонкие явления, без которых невозможно точно описать реальные физические процессы. Для исследования таких моделей создаются различные методики, требующие надежных способов их верификации. Поэтому важной задачей является построение тестов для отладок численных методик, например, получение точных решений в замкнутой форме, или в виде сходящихся рядов пусть даже и для упрощенных моделей. Кроме того, решения полученные аналитическими методами дают возможность изучить свойства исследуемых моделей. В ряде задач механики сплошной среды перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Поэтому наряду с численными методами интенсивно развиваются и аналитические подходы к получению решений. Большое развитие получили аналитические методы решения нелинейных уравнений с частными производными, использующие в качестве основной конструкции ряды. Главным образом, это степенные ряды либо ряды Фурье, а в случае уравнений с малым параметром — асимптотические ряды. Для представления решений линейных и нелинейных систем уравнений с частными производными были разработаны характеристические ряды (работы Р. Куранта [60], Д. Людвига [114], В.М. Бабича [1,2], А.А. Дородницына [50], А.Ф. Сидорова [71-73], В.М. Тешукова [76-78], СП. Баутина [3], М.Ю. Козманова [55] и др.).
Эти работы послужили основанием для создания А.Ф. Сидоровым нового аналитического метода представления решений нелинейных уравнений в частных производных — метода специальных рядов. Этот метод был с успехом использован в работах А.Ф. Сидорова, С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, Л.Г. Корзунина, СВ. Вершинина, О.В. Коковихиной и К.В. Кур-маевой [45,57,61-63,73,79-86,88,110].
В диссертационной работе получил свое развитие конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными — метод специальных рядов, который позволяет строить новые классы решений начальных и начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными.
При решении реальных физических задач редко удается обойтись без применения численных методик. Например, к такой задаче относится описание тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения тепла от дневной поверхности. Эта задача важна для многих приложений, в частности, при проведении мониторинга целостности теплоизолированного заглубленного трубопровода. При этом может оказаться, что трубопровод проложен в слоях грунта, имеющих различные тепловые ха рактеристики. Под воздействием различных факторов теплоизолирующая оболочка трубопровода может разрушиться и начнется теплообмен с окружающей средой (к примеру, температура нефтепродуктов движущихся по трубопроводу составляет около 30 градусов Цельсия). Существуют различные приборы (тепловизоры), которые позволяют снимать с большой точностью тепловые поля с поверхности, расположенной над трубопроводом [12]. Основной задачей мониторинг-контроля является определение возможных областей повреждения теплоизоляции трубопровода и трещин. Интересно рассмотреть также и обратную задачу об определении характера повреждений и интенсивности тепловыделения по результатам измерения теплового поля на дневной поверхности. В настоящее время открытыми остаются также вопросы: имеет ли смысл проводить тепловизорные контрольные замеры поверхности, расположенной над трубопроводом при наличии снежного покрова? И если да, то в каком спектре излучения?
Представленная выше физическая задача может быть описана линейным уравнением теплопроводности в трехмерной области при наличии нелинейных граничных условий на дневной поверхности. Теоремы существования и единственности решения для некоторых таких моделей рассматривались в работах П. Куитнера [115].
Необходимость изучения нелинейной модели проявляется при исследовании многих задач. Например, в работе С.С. Титова [81] рассматривалась задача о распределении температуры в тонком кольце, нагреваемом точечным источником (с учетом излучения при сварке), описываемая параболическим уравнением с нелинейной правой частью. Сравнение построенного решения в виде специального тригонометрического ряда для линейной и нелинейной модели показало, что линейная теория дает существенно завышенные значения температуры.
