Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное моделирование выхода на стационарный режим:плазменно-физических параметров реантора-токамака на альфвеновских волнах 28
1.1. Физическая постановка задачи; 28
1.2. Уравнения переноса, начальные и граничные условия 32
1.3. Дискретная модель. Построение разностных схем с использованием операторного метода 35
1.4. Обсуждение результатов "расчетов 42
Глава 2. Построение и исследование разностных схем для задачи расчета электромагнитных полей и поглощаемой мощности при альфвеновском: нагреве трех- и двухкомпонентной плазмы 48
2.1. Физическая постановка задачи, уравнения и граничные условия 48
2.2. Построение операторных разностных схем для уравнения Максвелла 56
2.3. Исследование аппроксимации разностных операторов 62
2.4. Сходимость разностной схемы для первой краевой задачи 66
2.5. Повышение порядка аппроксимации граничных условий третьего рода. Адаптирующиеся сетки 48
2.6. Влияние примесей на структуру полей и поглощаемой мощности в плазме 88
Глава 3. Расчет динамики создания тока увлечения альфвеновскими волнами с учетом процессов переноса в плазме в рамках самосогласованной модели 98
3.1. Формулировка самосогласованной модели 98
3.2. Расчет эволюции параметров плазмы 100
3.3. Дисперсионные свойства плазмы 103
Заключение 106
Литература 109
Приложение
- Уравнения переноса, начальные и граничные условия
- Дискретная модель. Построение разностных схем с использованием операторного метода
- Повышение порядка аппроксимации граничных условий третьего рода. Адаптирующиеся сетки
- Влияние примесей на структуру полей и поглощаемой мощности в плазме
Введение к работе
В настоящее время мощным инструментом при анализе сложных физических и математических проблем становится.численное моделирование на основе конечноразностных алгоритмов. .В частности, широкое распространение вычислительный эксперимент получил в актуальной области современной физики - исследование плазмы. Сложность уравнений, описывающих поведение плазмы, состоит прежде всего в их нелинейности, что делает практически невозможным получение аналитического решения. При решении подобных сложных задач для наиболее адекватного отражения сущности исследуемых явлений необходимо принимать во внимание целый ряд физических процессов протекающих в ионизованном газе. Необходимо учитывать теплопроводность, проводимость, излучение плазмы, распространение и поглощение высокочастотного (ВЧ) излучения и другие физические явления, существенным образом зависящие от термодинамического состояния среды. Все это затрудняет исследование проблемы и делает необходимым использование вычислительного эксперимента [І] .
К настоящему времени в Институте прикладной математики АН СССР в отделе № 3 под руководством академика А.А.Самарского, где выполнена настоящая дисоертационная работа, накоплен большой опыт по численному моделированию актуальных задач физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза (УТС).
Настоящая работа посвящена проведению полномасштабного вычислительного эксперимента по исследованию широко класса явлений, происходящих в высокотемпературной плазме в тороидальных системах типа токамак при воздействии высокочастотных (ВЧ) полей альфвеновского диапазона частот.
. Проблема высокочастотного нагрева плазмы в термоядерных установках представляет особый интерес в настоящее время не только с точки зрения достижения высоких температур плазмы, но и о точки зрения безиндукционного поддержания продольного тока в тока-маке, что в перспективе привело бы к созданию стационарного реактора р ] - [з ] . В физике высокотемпературной плазмы на установках токамак"достигнут достаточно высокий уровень теоретических и экспериментальных исследований, что выдвигает на первый план задачу создания установки реакторных масштабов.
Стационарный режим работы реактора снимает ряд серьезных проблем, связанных с термоустойчивостью материалов при циклическом режиме термоядерного горения в установке. В качестве одного из способов поддержания продольного безиндукционного тока в то-камаке можно использовать поглощение электронами плазмы ВЧ мощности бегущих волн [4] - [7]. В настоящее время в термоядерных установках успешно используются различные методы ВЧ нагрева: электронно-циклотронный нагрев (ЭЦН), нижнегибридный (НГН), ионноциклотронный (ИЦН), альфвенОвский ( АН ).
Распространение и поглощение ВЧ волн в плазме во всех этих диапазонах сопровождается явлением генерации постоянного тока увлечения [?] . Однако в каждом из диапазонов эффективность нагрева и генерации'и кинетическая структура тока увлечения существенно отличаются.
В настоящей работе исследуется плазма в тороидальных системах токамак при воздействии электромагнитных полей альфвеновско-го диапазона частот*
Перспективность альфвеновских волн для нагрева и генерации токов увлечения связана с следующими соображениями:
I. Высокая эффективность передачи импульса электронам (на единицу поглощенной мощности), связанная с достаточно малой фа-
зовой скоростью альфвеновской волны по .сравнению с тепловой электронной скоростью.
2. Наличие мощных генераторов на частотах альфвеновского диапазона в районе I МГц.
К настоящему времени проведены успешные эксперименты по нагреву и созданию токов увлечения в альфвеновском диапазоне чао-тот [8]-[l8J . Теоретический анализ дисперсионных свойств плазмы в рассматриваемом диапазоне проводится в работах [7], [І9] -[35j. Альфвеновская волна в однородной плазме скинируется на границе плазменного шнура и исключает тем самым объемный нагрев р9] - [2l]. Неоднородность параметров плазмы поперек магнитного4 поля, что имеет место в реальных системах, существенно изменяет условия распространения ВЧ-полей в плазме и делает возможным возбуждение альфвеновской волны за счет трансформации быстрой маг-нито-эвуковой волны (БМЗ) в альфвеновскую моду 7], [22] - [Зб], что существенно повышает эффективность объемного поглощения.""
В настоящее время альфвеновский диапазон частот интенсивно исследуется как теоретически, так и экспериментально* При поиске оптимальных режимов трансформации, оценке эффективности генерации токов увлечения в имеющихся и проектируемых установках и получении других важных количественных и качественных особенностей нелинейного взаимодействия альфвеновских волн с плазмой важную роль играет вычислительный эксперимент. Численное моделирование такой сложной физической задачи в достаточно полном объеме при учете различных нелинейных процессов, происходящих в плазме, позволяет анализировать структуру ВЧ полей и поглощаемой мощности в плазме, исследовать влияние поглощения энергии альфвеновских волн на нагрев, диффузию частиц и полоидального магнитного поля, исследовать импеданские свойства плазмы для различных параметров плазмы и ВЧ-поля.
_ 7 -
Настоящая диссертационная работа отражает все этапы вычислительного эксперимента по исследованию структуры ВЧ-полей ив поглощаеиоё мощности в двух- и трехкомпонентнои плазие токаиака, численно моделируется процесс ооздания продольного тока в тока-маке альфвеновскими волнами при наличии процессов переноса в плазме в условиях выхода плазменно-физических параметров на стационарный режии при замене индукционного тока токои увлечения*
На первой этапе вычислительного эксперимента при выборе физической модели и математической постановке задачи в настоящей диссертационной работе используется самосогласованная модель переноса в плазме с учетом распространения и поглощения электроиагнитных полей альфвеновского диапазона частот. В ках этой модели решается система четырех нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих перенос частиц» тепла и диффузию магнитного поля с учетом циклотронного и тормозного излучений, термоядерного горения и вклада ВЧ мощности бегущих ВЧ волн в электронную компоненту плазмы. Учитывается дополнительный дрейф частиц в поле сил увлечения и генерация альфвеновского тока, заменяющего первоначальный индукционный ток. Включение ВЧ-поля и шока увлечения происходит в момент, когда запасенный в индукторе токаиака магнитный поток близок к нулю и установились стационарные распределения плотности, температуры и магнитного поля, которые являются начальными условиями решаемой задачи динамики замены индукционного тока токои увлечения. Совместно с транспортными уравнениями решается система уравнений Маковелла, описывающих структуру ВЧ-полей. Рассмотрение транспортных явлений в плазме производится в приближении цилиндрической геметрии для одномерного случая. Уравнения Максвелла решались также в цилиндрической геометрии в пространстве комплексных векторов.
Тензор диэлектрической проницаемости выбирался в достаточно общем виде, учитывающим недиагональные операторные члены и наличие примесной компоненты в плазме. Компоненты тензора являются функциями параметров плазмы - температуры, плотности и магнитного поля и параметров волны - частоты, продольного и поперечного волновых чисел,
В настоящее время имеется ряд работ, описывающих одномерные модели процессов переноса в плазме токамака зб]-[397, [67]. В настоящей работе сформулирована математическая модель переноса в двухкомпонентной плазме при выходе на стационарный режим по току увлечения реактора - токамака на альфвеновских волнах.
Такая постановка задачи существенно изменяет характер процессов переноса в плазме, характерные времена физических ' процеосов, профили температур, плотности, полоидального поля по оравнению с [36] - [В9].
Проводимые ранее расчеты в альфвеновском диапазоне частот [32І,Т35] рассматривали беспримесную плазму.без учета транспортных явлений в токамаках. В настоящей работе впервые проводятся математическая модель и результаты расчетов динамики поглощения альфвеновской ВЧ мощности с учетом процессов переноса, а также проводится исследование структуры электромагнитных полей в трех-номпонентной плазме, то есть при наличии примесных ионов.
Для реализации описанной математичесной модели исследуемого достаточно широкого класоа физических явлений возникает необходимость в создании эффективного вычислительного алгоритиа. При построении разностных схем для подобных сложных физических задач необходимо оценивать качество алгоритмов не только с точки зрения классических критериев теориии численных методов, но и с точки зрения наиболее адекватного отражения дискретной моделью
физических особенностей процесса и прежде всего законов сохранения.
Формулировка Тихоновым А.Н. и Самарским А.А. принципа консервативности Гі"] , согласно которому в разностной схеме долины выполняться аналоги основных законов сохранения положила начало поисну конструктивных способов построения консервативных и полностью консервативных схем [40 ] . С формальное точки зрения выполнение законов сохранения в дифференциальном случае обусловлено выполнением некоторых интегральных соотношений, содержащих инвариантные дифференциальные операторы первого порядка. Развитие этой концепции привело к созданию операторного метода построения разностных аналогов инвариантных операторов векторного и тензорного анализа, удовлетворяющих интегральным соотношением, связанным с законами сохранения.
В настоящей работе при построении вычислительного алгоритма использовался метод опорных операторов, предложенный в работах [41] - [49]. Полностью консервативные схемы, полученные на основе операторного метода хорошо зарекомендовали себя при численном решении задач математической физики на реальных сетках [50], [51].
В настоящее время метод опорных операторов интенсивно развивается. Требуют дальнейшего исследования вопросы аппроксимации и сходимости полученных схем. При решении конкретных физических задач остается определенный произвол в выборе пространств сеточных функций, скалярных произведений, аппроксимации интегралов по расчетной области при построении согласованных операторов, аппроксимации граничных условий. В настоящей диссертационной работе метод опорных операторов не только интенсивно используется в вычислительном эксперименте по исследованию взаимодействия альфвеновских волн с плазмой токамака, но и получает свое дальнейшее развитие с точки зрения теории численных методов. В данной работе построены операторные разностные схемы для систе-
-ТО-
мы транспортных уравнений, описывающих выход на стационарный режим плазменных параметров токаиака альфвеновских волнах, а также для системы уравнений Максвелла, описывающих структуру высокочастотных электромагнитных полей и поглощаемую мощность. При построении разностных схем для транспортных уравнений в цилиндрической геометрии для одномерного случая получены аналоги инвариантных дифференциальных операторов #Шб/, tfrif, Z&t~ удовлетворяющие интегральным тождествам, обеспечивающим выполнение аналогов законов сохранения для разностных схем. Схемы для уравнений Максвелла второго порядка с комплексным тензором диэлектрической проницаемости плазмы строятся методом опорных операторов в пространстве комплекснозначных векторов для цилиндрической системы координат. При построении разностного аналога инвариантного оператора x&t#r считается, что векторы зависят от всех трех координат цилиндрической системы ( Ч>^> 2- ). Необходимость учета зависимости от трех пространственных переменных приводит к дополнительным сложностям в определении скалярных произведений в пространствах сеточных функций и при построении разностных схем, которое проводится для общего трехмерного случая, а затем сводится к одномерному в приближении явной зависимости компонент векторов от координат ^ и ё- в виде фазовых множителей.
Построенные разностные схемы допускают реализацию на произвольных неравномерных сетках, что оказалось существенным при моделировании трехкоыпонентной плазмы. Профиль поглощаемой мощности в случае плазмы с примесью имеет ярко выраженную резонансную структуру, причем области резонансов, обусловленных различными физическими механизмами локализованы в достаточно узкой пространственной зоне.
- II -
Специфика решаемой задачи требует при построении и реализации вычислительного алгоритма постоянной корреляции с физическим содержанием модели исследуемых процессов. Для наиболее адекватного моделирования физических явлений возникает необходимость в использовании адаптирующихся к решению сеток- [52] - ГбЗ] , В настоящей работе при адаптации сеток используется существенным образом априорная информация о локализации резонансов в системе. Для передачи пространственной структуры профиля поглощаемой мощности используются гладкие неравномерные сетки, сгущающиеся к областям резонансов по закону геометрической прогрессии.
В настоящей диссертационной работе исследуется вопрос о повышении порядка аппроксимации граничных условий для уравнений Максвелла, что существенно улучшает качество полученных схем при использовании неравномерных пространственных сеток. Уравнения Максвелла для Щ полей решаются в цилиндрической области о s t- g &. . На границе плазма-вакуум задается третье краевое условие, получаемое из требования непрерывности тангенциальной компоненты вектора напряженности электрического поля и нормальной компоненты вектора магнитного поля. В настоящей диссертационной работе получена аппроксимация третьего краевого условия порядка OfwJ На неравномерной сетке с использованием метода опорных операторов. Доказательство аппроксимации полученных разностных аналогов оператора %о в граничных точках проводится с использованием инвариантного определения оператора t&tzot через циркуляцию по соответствующим контурам.
В данной работе показано существенное улучшение схемы на адаптирующихся к решению сетках для случая граничных условий полученных из операторного подхода ( порядок аппроксимации
Offiz)) по сравнению со схемами, использующими естественную аппроксимацию граничных условий на неравномерной сетке порядка
0(v ) по пространственной переменной .
В диссертационной работе проведен анализ операторных раз -
ностных схем для уравнений Максвелла в пространстве комплексных векторов. Показано, что построенный разностный аналог дифференциального оператора x&iwe обладает вторым порядком локальной аппроксимации на неравномерной сетке и первым - на неравномерной. Доказана сходимость схемы для первой краевой задачи в сеточной норме ^z. [!] Доказательству сходимости операторных схем в тех или иных частных случаях посвящены работы [55] - |57J . В работе [57] строятся операторные схемы для системы уравнений Максвелла первого порядка, доказана локальная аппроксимация полученных схем, теоремы устойчивости и сходимость. В настоящей работе исследуется схема для уравнения второго порядка для комплексных векторов напряженности электрического поля, что вносит определенные сложности в доказательство сходимости разностного решения к решению дифференциальной задачи. Согласованность построенных в настоящей работе разностных аналогов операторов первого порядка делает применение метода энергетических неравенств [і] наиболее эффективным при доказательстве сходимости операторных схем.
Построенные вычислительные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для БВМ БЭСМ-6, включающего в себя программы рао-чета транспортных явлений с учетом нелинейного взаимодействия плазмы с внешним ВЧ полем и программу расчета структуры полей и поглощаемой мощности в двух- и трехкомпонентной плазме, а такае комплекса программ по обработке результатов расчетов. При численной реализации схем для транспортных уравнений использовались неявная схема с итерациями по нелинейности. Для решения полученных систем линейных уравнений применялись прямые методы - простой и матричной прогонки l] .
-ІЗ-По описанной выше методике были проведены серии расчетов эволюции плазменных параметров при выходе на стационарные режим токамаков с безиндукционным поддержанием продольного тока альф-веновскими волнами. Расчеты производились для установок с параметрами реактора ИНТ0Р.[58] и установок с большим аспектным отношением ( Я/?=/). Произведено оравнение результатов, полученных при численной реализации модели транспорта в плазме с учетом самосогласованной замены индукционного тока альфвеновским током увлечения в случае моделирования поглощаемой ВЧ мощности гауссовским профилем на резонансной поверхности в плазме и в случае учета реальной структуры ВЧ полей, полученной в результате решения уравнений Максвелла. В настоящей работе приводятся результаты расчетов структуры полей и поглощаемой мощности для двух- и трехкомпонентной плазмы для широкого класса установок. В процессе проведения вычислительного эксперимента получен ряд новых и актуальных физических результатов. На основании полученных в расчетах численных значений полной поглощаемой ВЧ мощности и эффективности генерации тока увлечения для установок различных масштабов можно сделать вывод о принципиальной возможности существования стационарного режима работы реактора - токаыака с поддержанием продольного тока монохроматической альфвеновской волной* В расчетах было обнаружено, что достаточно быстрое включение ВЧ мощности за времена существенно меньше скинових приводит к возникновению сильной противо эдс индукции и соответственно к появлению провалов на профиле плотности тока с обеих сторон от альфвеновской резонансной поверхности. В зависимости от скорости включения и параметров плазмы эти провалы могут достигать отрицательных значений; то есть возможно существование локальных токов противополояного направления на временах порядка скинавых. Стационарный профиль тока определяется структурой профиля погло-
щаемой мощности и носит гауссов характер при прямом вращении Ш волны, т.е. 4///I/ >0 , где А/ - поперечное волновое число, /V - продольное волновое число.
В исследованной модели существует два режима динамики замены омического тока. В случае #/d/>0 область вклада мощности фиксирована. В случае Л//А/< О в расчетах был впервые обнаружен эффект, так называемых релаксационных колебаний точки трансформации.
В рассматриваемой модели особенности нелинейного взаимодействия плазмы с Ш полем приводят к тому, что в случае #/d/ ** О возможно перемещение зоны трансформации практически по всему радиусу плазмы, что приводит к объемному вкладу мощности, на стадии зажигания это обстоятельство является принципиальным. На стационарной стадии горения при &//I/ <создается сложный немонотонный профиль тока. Для различных классов установок проводится анализ импедансных свойств плазмы на основании полученных зависимостей полной поглощаемой Ш мощности от частоты.
В области частот ниже пороговой частоты обнаружено возбуж
дение дрейфовой альфвеновской моды и трансформация Ш поля в
ио'нно-звуковую моду в точке, где компонента тензора диэлектрик-
ческой проницаемости &&зз ~ в системе координат,
связанной с полем.
На основании анализа импедансной кривой и идентификации резонансов поглощения в области частот выше пороговой наиболее целесообразным для целей нагрева является режим винтового /КИНК/ резонанса при Af<0 f /V<0 . в настоящей работе проведено численное исследование влияния примесей в плазме токамака с неоднородным продольным магнитным полем на характер распространения электромагнитных полей и распределение двух областей трансформации Щ
- 15 -поля типа быстрой магнитозвуиовой волны в коротковолновую альф-веновскую моду и ее переход в ион-ионную гибридную волну-вблизи циклотронного резонанса на примесях. Существование второй зоны трансформации связано с наличием циклотронного резонанса. Приведены результаты расчетов по исследованию влияния концентрации и температуры примеси на характер поглощения Ш мощности. Описанные в настоящей работе расчеты, моделирующие трех-компонентную плазму при воздействии электромагнитных волн, были проведены впервые.
Результаты диссертационной работы приведены в 59] - J63J , [88].
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
Первая глава содержит описание математической модели, способа построения операторных разностных схем и результатов расчетов выхода на стационарный режим реактора-токамака с поддержанием продольного тока бегущей Ш волной за счет поглощения на альфвеновеком? резонансе в случае-1 моделирования поглощения Ш мощности гауссоаским профилем на резонансной поверхности в плазме. В I.I описываются физические принципы процессов нагрева плазмыт и генерации тока увлечения электромагнитными волнами альфвеновского диапазона частот в установках типа тона-мак, формулируется физическая модель поглощения Ш мощности и возникающей силы увлечения, связанной с передачей продольного импульса бегущей ВЧ волной электронам плазмы. Предполагается, что включение внешнего источника производится таким образом; что поглощаемая в единице объема плазмы Ш мощность представи-ма в виде :
где 2Ґ - время включения поглощения. При этом, создаваемая
э.д.с. индуктором выключается по закону & — Во & .
На первом этапе моделирования считалось, что радиальный профиль плотности поглощаемой мощности^ согласно [32] , {Зб7 может быть аппроксимирован выражением :
где у - параметр, характеризующий ширину поглощения, # координата резонансной точки, определяемая как максимальный на интервале О < ^ < CL корень уравнения : д/ ч
- -«>,(„) - W**J- #Zi'ffi> } О)
где ^ - альфвеновская скорость, ^ и, - большой и малый радиусы тора, ^- - gftfo - коэффициент запасоустойчивости, в/г - продольное волновое число, Л/ - полоидальное волновое число. Величина Qo зависит от времени и определяется из усло-
#/Яе<0 / «(*,*) 27ґ (4)
где полный ток в" плазме - І_ ; Уеі - частота электрон-
-ионных столкновений; Н* - концентрация плазмы; , #?е. - заряд и масса электрона. Задача решается в предположении сохранения полного тока в системе 1р . Тогда условие (4) означает, что интеграл от плотности тока увлечения, генерируемого альфвеновски-ми волнами, равен полному току. При этом распадающийся первоначальный индукционный ток и возбуждающиеся в плазме противотоки компенсируют друг друга. Такие условия на временную зависимость амплитуды Ш источника позволяют при увеличении температуры плазмы минимизировать поглощаемую мощность для поддержания постоянного значения полного тока. Кроме того постоянство тока в системе позволяет в данном приближении считать равновесие заданным.
В 1.2 приводится система уравнений, начальные и граничные^ условия задачи выхода на стационар плазменно-физических параметров токамака на альфвеновских волнах. Система уравнений переноса
- 17 -имеет вид :
** (5)
1 (8)
где H. - концентрация дейтерий-тритиевой плазмы, /f, /7' - электронная и ионная температура, 3$ &&- полоидальное и продольное магнитные поля, Wq - плотность мощности тормозного излучения 64j , Wq, - мощность циклотронного излучения /въ] , W^ - мощность, выделяемая в Ы -частицах [66 J , О - фактору определяющий долю энергии (*-частиц получаемую ионами |67J , Jl; - неоклассический коэффициент ионной теплопроводности /68j , @j_ - поперечь ный коэффициент диффузии, который выбирался равным 0j_ ~ *< /& где J^ --/0 #~~ са/гс~ - известный алкаторный скейлинг [рэ] , коэффициент электронной теплопроводности J^ = Х& » члены вида - т, Met'(Те ~^у описывают теплообмен между ионами и электронами. В уравнении энергобаланса (6") учитываются источники ВЧ нагрева, в уравнении диффузии полоидального поля - ток увлечения, генерируемый монохроматической альфвеновской волной, может быть выражен [7 J следующим образом-:
Проводимость плазмы в случае поглощения монохроматической альфвеновской волны близка к Спитцеровской &// ~^/' Эффектами тороидальности [38J и нелинейным эффектом-искажения функции распределения в узкой области скоростей Цге ^ Щ> при оценке продольной проводимости пренебрегаем.
Включение ВЧ поля происходит в момент, когда магнитный поток: индуктора близок к нулю. Начальными условиями задачи (б) - (8) являются достигнутые в этот момент распределения параметров [68j . Значения параметров на границе плазмы считаются постоянными. Для компенсации диффузионных потерь в модели предусмотрена инжекция вещества ??<'#У .
Для аппроксимации системы транспортных уравнений в цилиндрш-ческой геометрии для одномерного случая использовался операторный метод. В 1.3 описывается способ построения: согласованных разностных операторов &&/РФ/ %72У, w/ с использованием аналогов интегральных соотношений, обеспечивающих выполнение законов сохранения :
Уґ^х І,й)А -J&, vrtfj^ -/fiv*3j*e (u)
.S fr /"
В 1.4 обсуждаются результаты расчетов для реактора ИНТОР в различных режимах альфвеновского ВЧ нагрева. В результате расчетов было показано, что эффективность генерации тока увлечениях ^ I А/Вт, полная поглощаемая мощность, необходимая для поддержания тока 5 МА составляет несколько Мвт. Обнаружен режим-релаксационных колебаний точки трансформации по радиусу при Л/Д/<0 . В режиме J///U >> получены стационарные распределения параметров плазмы, профиль тока определяется резонансной кривой поглощения и носит гауссов характер. Исследована динамика замены индукционного тока альфвеновским током: увлечения. Показано, что достаточно быстрое по сравнению со скиновыми временами включение ВЧ мощности приводит к возникновению противоэдс индукции и появлению отрицательных локальных токов. На основании результатов численного моделирования сделан вывод о возможности стационарного режима работы реактора-токамака на альфвеновских волнах.
Вторая глава посвящена математическому моделированию процессов распространения и поглощения высоко-частотных электромагнитных полей альфвеновского диапазона в установках тонамак в приближении цилиндрической геометрии для двух- и трехкомпо-нентной плазмы. Описание исследуемых явлений в рамках предложенной физической модели сводится к решению уравнений Максвелла с граничными условиями третьего рода в цилиндрической геометрии в пространстве комплексных векторов ( 3,1):
I кь{ L*'4 a*z[ /& *J*-* (13)
fa -Шї*ь- СзЫеЛ I + ' *C«*1 ("J (Ш)
&fo)- f^l=0; „,±u (I4)
где - вектор напряженности электрического ВЧ-поля, оо -частота генератора, С - скорость света, <* - тороидальная компонента волнового вектора,^^х^-Щ"№ - полоидальное волновое число, а* - радиуо плазмы, константы Ст, Со» С3, С4 определяются геометрией системы: плазма радиуса cl* , винтовой контур антенны радиуса $ и экран радиуса <я> . Зависимость ВЧ полей от координат
^ С* ^
Тензор диэлектрической проницаемости плазмы ^д получен
в результате аналитического решения уравнения Власова для функции распределения электронов в приближении бесконечной малости
ларморовского радиуса. Комплексный тензор 4Ua записан в достаточно общем виде, учитывающем наличие примесной компоненты в плазме, а также недиагональные операторные члены. Необходимость учета зависимости полей ог трех пространственных координат в цилиндрической геометрии приводит к усложнению в построении разностных схем по сравнению с одномерным случаем.
В 2.2 описывается способ построения операторных схем, выполняемого для общего трехмерного случая при последующем сведении к одномерному рассмотрению с учетом известной зависимости от соответствующих координат. В рассмотрение вводятся евклидовы пространства комплексных сеточных вектор функций //Л-* задаваемых своими ортогональными проекциями на ребра разност-ной сетки, отнесенными к серединам ребер, и пространство S/& - комплексных ветор-функций, задаваемых ортогональными проек-
циями на направления нормалей к центрам граней разностной ячейки. В ^ и #S строятся скалярные произведения. Опорн оператор чжО/ получен исходя из инвариантного определения:
5^>е ^{Sj (15)
Сеточная вектор-функция принадлежит пространству № вектор J@0T - пространству /Ґ& . Согласованный опера-гор tfQT t действующий из /ґ>* ъ //* , строится исходя из аналога интегрального тождества, которое для комплексных векторов имеет вид:
$ и У ,
где ( " > ' ) - локальное скалярное произведение в пространстве комплексных векторов*
- 2T -
В 2.3 исследуется аппроксимация разностных операторов.
Показано, что из локальной аппроксимации операторов &07~ и
0Т следует локальная аппроксимация оператора второго поряд
ка #0TJP07~ на равномерной сетке и 0/Ё) на негавно-
мерной сетке. Вопросам исследования сходимости разностной схемы для первой краевой задачи вида:
~ -- p (17)
- -tffr) - О ъ ^
посвящен 2. Векторы Z/ ж Ф* имеют зависимость от коорди-
нат * 2- вида "- Є
Доказательство сходимости проводится в два этапа. На пер-вом этапе вводится пространство ШС-скалярных функций, заданных в вершинах пространственных ячеек. С использованием интегрального тождества типа (10) строится разностный операторЙКсогла-сованный с оператором &$Д , введенным по определению. Оператор &ГИ действует из пространства //&-* в НК*и обладает свойством:
Т1/#0ТВ = О (18)
По аналогии с дифференциальным случаем, также рассматриваемым в ZA% доказывается неравенство:
//-&>Tj>//^ +//02УЛ/С* *c/sf/&. (I9)
где нормы в соответствующих пространствах поровдаются скалярными произведениями»
На втором этапе доказательства сходимости разностной схемы для первой краевой задачи в сеточной норме /гг используется метод энергетических неравенств [I J, эффективность применения которого в данном случае определяется сопряженностью построенных разностных операторов $0/ и Щ
Использование неравенства Копги-Буняковского приводит к неравенствам для вектора ошибки V* :
/^ -<*//$&* 0.^^ С20)
-Ч-
где р**у ^ - погрешности аппроксимации операторов /?073ё07~ и л?Л/ соответственно, имеющие порядок малости flffr J на равномерной и Oft) на неравномерной сетках. С использованием (19) , (20) , (21) получено неравенство, доказывающее сходимость разностного решения к решению дифференциальной задачи :
При УСЛОВИИ С^ < Tf"
Проведенное доказательство сходимости соответствует рассмотрению схемы для первой краевой задачи вида :
nJfc
в случае, когда тензору atjs соответствует действительная диагональная матрица.
В 2.5 рассматриваются вопросы повышения порядка аппроксимации граничных условий третьего рода и использования адаптирующихся к решению сеток с целью наиболее адекватной передачи структуры решения в случае трехкомпонентной плазмы.
Для устранения формальной расходимости решения уравнений Максвелла в точке, где компонента &// -О вводится диссипа-тивная поправка &ё//, эффективно учитывающая электрон-ионные
столкновения f54], [?oJ . Адаптирующиеся к решению гладкие сетки строятся с использованием априорной информации о пространственной локализации резонансов поглощения Ш мощности. Полуйены граничные условия повышенного порядка аппроксимации 0($J на неравномерной сетке для третьей краевой задачи. Граничные условия представлены в инвариантном виде, при этом разностные аналоги компонент вектора Z&zf на границе '& строятся с использованием метода опорных операторов. При доказательстве1 аппроксимации порядка v/frzJ используется определение компонент
через циркуляцию вектора 2^^ . Показано, "ято при использовании адаптирующихся к решению неравномерных сеток применение граничных условий повышенного порядка аппроксимации существенно улучшает сходимость разностной схемы по сравнению с естественной аппроксимацией.
В 2.6 приводятся результаты расчетов по исследованию влияния примесей на структуру полей и поглощаемой мощности в плазме с неоднородным продольным магнитным полем типа тороидального. Показано существование двух областей трансформации ШЗ-волны в коротковолновую альфвеновскую моду, переход ее в ион-ионную гибридную моду вблизи циклотронного резонанса на примесях. Исследуется влияние параметров примеси на характер поглощения.
Третья глава описывает результаты расчетов динамики создания тока увлечения альфвеновскими волнами с учетом процессов переноса в рамках самосогласованной модели.
В 3.1 формируется математическая модель, учитывающая взаимное влияние процессов переноса в плазме и поглощения Ш мощности. В рамках самосогласованной модели объединяются методика численного расчета транспортной задачи и численные алгоритмы нахозвдения реальной структуры полей и поглощаемой мощности из уравнений Максвелла с учетом- комплексного тензо-
pa диэлектрической проницаемости плазмы, компоненты которого являются функциями термодинамических параметров плазмы, рассчитываемых при решении уравнений диффузии частиц, тепла и полоидального поля.
В 3.2 приведены результаты расчетов выхода на стационарный режим плазменных параметров токамаков на альфвеновских волнах при различных параметрах установок. Рассмотрены уста-нобки масштабов ЙНТОР, установка с аспектньш отношением g- =] .
Показано, что в рамках самосогласованной модели существуют два режима замены омического тока на альфвеновский ток увлечения* В случае М//1/>0 область вклада ВЧ мощности фиксирована, тогда так при А//Л/<0 максимум поглощения смещается по радиусу, что соответствует релаксационным колебаниям, описанным в гл. I, для случая о модельным поглощением. В установке с параметрами ЙНТОРа поглощение ВЧ волн позволяет достичь зажигания и поддерживать стационарный ток с эффективностью порядка 0.5 А/Вт. В установке с 4L = эффективность генерации тока порядка 0.25 А/Вт.
В S.3 приводятся результаты расчетов по исследованию дисперсионных свойств плазмы в альфвеновском диапазоне частот для различных типов установок (ЙНТОР, ТЕХТ-7,гГ =<* ) на различных стадиях разряда в плазме. Показано, что для полого профиля тока для частот ниже пороговой альфвеновской частоты существуют два максимума поглощения на импеданокой кривой, связанные с возбуждением дрейфовой альфвеновской моды в области токового слоя. Обнаружена трансформация ВЧ поля в ионно-звуковую моду в точке, где 3ъ *о . На основании анализа импедансных свойств и идентификации резонансов погло-
щения наиболее целесообразным для. целей нагрева является режим винтового (КИНК) резонанса при ^^^ /^<(Р, в этих условиях величина поглощаемой мощности наибольшая и область поглощения сосредоточена в окрестности точки трансформации*
Основные результаты, представляемые к защите, заключаются в следующем:
На основе метода опорных операторов разработаны алгоритмы численного моделирования альфвеновского нагрева и динамики создания токов увлечения с учетом транспортных явлении в плазме токамака в условиях выхода плазменно-физических параметров на стационарный режим. При построении разностных схем для уравнений Максвелла с тензором диэлектрической проницаемости плазмы достаточно общего вида метод опорных операторов распространен на пространство комплексных вектор-функций. На основе разработанного подхода к исследованию операторных схем доказана локальная аппроксимация и сходимость построенной схемы для уравнений Максвелла в сеточной норме ^2 .
Впервые проведены расчеты динамики создания токов увлечения альфвеновскими волнами. Подтверждена возможность создания стационарного токамака-реактора на альфвеновских волнах с приемлемыми значениями эффективности генерации продольного тока увлечения. В расчетах обнаружен эффект релаксационных колебаний точки трансформации по радиусу плазмы при определенных режимах поглощения ВЧ мощности.
Впервые проведены расчеты электромагнитных полей и поглощаемой мощности для трехкомпонентной плазмы. Исходя из результатов расчетов установлены количественные и качественные характеристики поглощения ВЧ мощности в плазме при нали-
- 26 -чий примесей. Показано существенное влияние наличия третьей компоненты на характер поглощения.
4. Проведенные расчеты для установок токамак различных масштабов позволили получить количественные характеристики им-педансных свойств плазмы и значения эффективности генерации альфвеновского тока увлечения, что может быть использовано при оценке перспективных направлений экспериментальных работ по ВЧ нагреву и генерации токов в токамаках.
Результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре отдела № З ММ АН СССР, на Объединенном семинаре по вычислительной физике и физике плазмы /Сухуми, 1983 г./, на Международной конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу /Звенигород, 1983 г./, на Всесоюзной конференции по физике плазмы и УТС /Звенигород, 1984 г./, на Европейской конференции по физике плазмы и УТС /ФРГ, Аахен, 1983 г./, на 2-ом Всесоюзном рабочем совещании "Стационарный токамак и токи увлечения" /Бакуриани, 1984 г./.
По результатам настоящей работы имеется б публикаций [59] - [бз] , [88] ,
Автор искренне признателен академику А.А.Самарскому за постоянный интерес к работе и полезные обсуждения.
Диссертационная работа выполнена в отделе Ш 3 ИПМ АН СССР под руководством д.ф.м.н. А.П.Фаворского и к.ф.м.н. В.П.Сидорова, которым автор выражает глубокую благодарность. Автор благодарит Тишкина В.Ф. за неоценимую помощь в работе. В физическую постановку задач и интерпретацию результатов вычислительного эксперимента основной вклад внесли Елфимов А.Г., Некрасов Ф.М., Комошвили К.Г., за что автор
сердечно их,благодарит. Выражаю глубокую признательность Иванову А.А. и Шашкову М.Ю. га обсуждения вопросов теории операторных разностных схем.
Уравнения переноса, начальные и граничные условия
Одним из способов нагрева плазмы и генерации токов увлечения является возбуждение коротковолновой альфвеновской волны и черенковское поглощение ее электронами Как уже отмечалось» в настоящее время проведен ряд теоретических и экспериментальных работ в этой области [8] - [35J , показавших, что указанный метод является достаточно эффективным как для нагрева, так и для создания продольного стационарного тока в плазме. Под альфвеновским диапазоном понимаются частоты собственных колебаний плазмы, находящиеся вблизи МГД альфвеновской моды [7] : Єі и расположенные ниже ионной циклотронной частоты и)С м- с Здесь & - большой радиус тора, & - продольная компонента магнитного поля Во, #( ,)- плотность электронов, /% -средняя масса ионов, /К" и М - продольное и азимутальное волновые числа ВЧ волны, t - текущий радиус плазмы, - J4j - параметр устойчивости, /== +$$4 - продоль-ное волновое число, С# - альфвеновская скорость» Ч =g9r 4 Q В неоднородной поперек магнитного поля плазме, где локальные частоты быстрой магнитозвуковой волны саатия (БМЗ) и волны кручения или собственно альфвеновские (А) волны близки, происходит взаимная трансформация этих волн[7 J , [72] -/74], [35] . Родившаяся А-волна может распространяться в сторону высокой плотности и"поглощаться электронами на затухании Ландау [75Ji Такую ситуацию можно использовать как для нагрева плазмы, так и для создания токов увлечения, так как бегущие ВЧ волны передают в результате поглощения продольный импульс электронам. Такие тони могут заменять омический ток, и в принципе создать стационарную термоядерную ловушку [76 ] , а также влиять на перенос частиц и энергии [4]. Локальный характер альфвеновского резонанса в неоднородной плазме приводит к тому, что при формировании стационарного режима с током увлечения происходит перераспределение параметров плазмы по малому радиусу тора. Для описания этих процессов на переходной стадии решается система уравнений диффузии частиц, тепла и полоидального магнитного поля Н . Предполагается, что начальная стадия развития разряда обеспечивается индукционным током и только лри израсходовании вольтсекунд на достаточно горячей фазе (Т(о) = 2 кэв) включается ток увлечения.
Полная замена индукционного тока на ток увлечения происходит на масштабе скинового времени, которое для токамака с параметрами реактора "Интор" [58] составляет примерно 10 сек. Процесс разряда протекает при условии постоянства во времени полного тока, что эквивалентно постоянству полоидального поля на границе. Это условие позволяет минимизировать мощность, необходимую для создания тока увлечения и, с другой стороны, считать тороидальное равновесие заданным. Уравнение баланса энергии записывается в достаточно общем виде с учетом циклотронного и тормозного излучения и процесса термоядерного горения. Для поддержания стационарного процесса горения предусмотрена инжекция топлива. Известно [?] , что с поглощением энергии ВЧ-волны связано возникновение силы увлечения J"(%i) , направленной вдоль фазовой скорости волны где j( - фазовая скорость Ш волны, - мощность, поглощаемая в единице объема. Предполагается, что включение внешнего источника ВЧ мощности производится таким образом-, что поглощаемая в плазме мощность йт у представима в виде где 2Ґ - время включения поглощения. Э.д.с. индукции в обмотках выключается по закону = (0 Є с тем же характерным временем f . Сила J- представляет собой усредненную по быст-ропеременным процессам величину воздействия БЧ поля на поглощающие энергию частицы. Компонента силы 7. существенно влияет на диффузию полоидального поля @у , которое определяет профиль плотности продольного тока. Плотность продольного тока, генерируемого монохроматической альфвеновской волной, определяется формулой
Дискретная модель. Построение разностных схем с использованием операторного метода
Так как при построении разностных схем рассматриваются вектор-функции, имеющие все три компоненты, то удобно ввести ортогональную пространственную сетку в цилиндрической геомет рии. В силу того, что зависимость скалярных и векторных вели чин от координат / и & отсутствует, сетку по и / зададим произвольно. Поставим в соответствие каздой ячейке одномерной сетки -S2. 7ttj t /,... JYу ( заданной в расчетной области 0 с Q- , ячейку пространственной сетки Перейдем к описанию способа дискретизации величин. Ска лярные величины (температуры - /е, ! и плотность /-" ) будем считать заданными в центрах пространственных ячеек l/y . что соответствует заданию величин в ячейке для одномерной сет ки S2. . Обозначим пространство таких скалярных функций НС. Векторную величину поля зададим ортого- нальными проекциями на ребра ячейки у лс . Проекции относятся к центрам ребер, что соответствует заданию компонент Зг- в узлах одномерной сетки -$ - . Пространство сеточных вектор-функций, заданных ортогональнши проекциями на ребра трехмерной сетки обозначим
Определим такда пространство сеточных вектор-функций , заданных ортогональными проекциями на направления, перпендикулярные плоскостям граней и отнесенными к центрам граней призм - /-/$ В качестве определяющих операторов выберем $.Tv , дей ствующую из пространства tf& в С- и оператор &0/ дей ствующий из Ь- в /Ґ & , которые построим исходя из следующего их инвариантного определения: При построении оператора %7- V в качестве v возьмем ячейку трехмерной пространственной сетки %/ . Интегралы по поверхностям граней в (1.3.4) аппроксимируем естественным образом. Так как зависимости вектора W от координат Я, tf нет, то интегралы по граням а также по /?&, && С С взаимно уничтожаются из-за противоположного направления нормалей к поверхности. Поэтому оператор @-ГУ запишется в виде: кой ячейки, W - компонента вектора И/ , заданная на гранях. Легко проверить, что(У.З.б) аппроксимирует оператор со вторым порядком на равномерной и с (/( )- на неравномерной сетке. Заметим, что определенный таким образом оператор @ТУ действует из узлов одномерной сетки в ячейки.
При аппроксимации (1.3.5) в качестве о5 выберем грани ячеек пространственной сетки . При построении оператора JP T" заметим, что в силу отсутствия зависимости 30 от s Hvpi ъ-ая и у-ая компоненты J?07 3O отсутствуют, так как интегралы по контуру Л % Ф и && & обращаются в нуль. Интеграл по контуру Л9?&Є (с указанным направлени-ем обхода) даст 3 - компоненту (1.3.7) где I// к 0,5 ( Vf+t " г ), & - азимутальная компонента вектора So , заданная на ребрах ЗС (индекс f + ) ъ & (индекс і ). Для одномерной сетки -52.- задано в узлах, а в ячейках. ДереЙдем к построению разностных операторов, сопряжен ность построенным в смысле выполнения раз ностных аналогов интегральных тождеств (1.3.2) и (1.3.3).в Введем в пространствах локальные скалярные про изведения » значения которых отнесем к центрам ячеек іу& Для пространственного случая определим ( J//&-следующим образом: Верхние индексы относятся к трехмерной ячейке, нижние -к вершинам. Геометрический смысл такого скалярного произведения становится ясным из рис. I и следующего задания весовых множителей: где / (В- отнесены к узким одномерной сетки, а г & &. - к ячейкам. M %-(&W$Uj .W + и -{ ГиГ г ) = Для построения согласованного оператора & п/?Ю ап проксимируем интегральное равенство (1.3.2). Сеточные векто- - и %Т1/И/ - її С . Учитывая, что вектор г /99)Ю имеет только проекцию(& //ф&) и формулу. (1.3.6) можем записать аналог интегрального соотношения (1.3.2) сразу для одномерного случая: у., , Очевидно, что при задании прииалового объема в виде (1.3.14) формула (1.3,15) аппроксимирует дифференциальный оператор JfZCfd в цилиндрической геометрии с первым порядком на неравномерной сетке и со сторым на равномерной. Построим другой аналог оператора 2 , действующий из пространства & в & , который обозначим 0/ Аппроксимируя интегральное тощдество (1,3.3) и учитывая, что вектор Зр имеет компоненты 3yftJP $ =G0Vfd, &ь 0 что -О можно записать: где -"/у - значения компонент вектора J/ В центре гра- ни при t& -& . Подставляя в (1.3.1б) выражение для (1.3.7), м собирая коэффициенты при Зс- с одинаковыми индексами для внутренних точек t л2.,,., А/-Х, будем иметь: В аппроксимации дифференциального оператора $РТ можно убедиться непосредственным разложением (1.3.17) в ряд Тейлора в узле, і . Таким образом согласованные разностные операторы 9-iV, Є Щ ЯРТ, 0Г построены. Расчеты проводились по неявным схемам о последовательными итерациями по нелинейности, коэффициенты полученных трехточечных уравнений брались с предыдущей итерации. Для решения разностных уравнений использовался метод прогонки. По мере выхода решения на стационар производилось изменение временного шага А
Повышение порядка аппроксимации граничных условий третьего рода. Адаптирующиеся сетки
Численное моделирование выхода на стационарный режим параметров плазмы в токамаке на альфвеновских волнах ставило своей основной целью исследования принципиальной возможности создания установки с неиндукционным продольным током. С этим связан тот факт, что моделирование поглощаемой ВЧ-мощностй производилось на основе качественных физических соображений и предшествующих расчетов /33} , [35] Однако гауоовокий профиль поглощаемой мощности, используемый в расчетах, описанных в гл. I, не исчерпывает реальных возможностей поглощения альф-веновской волны в высокотемпературной плазме. В настоящей главе разработаны численные методы для расчета картины электромагнитных полей и поглощения мощности в двух и трехкомпонент-ной плазме. С одной стороны это является дальнейшим углублением в физическую сущность процессов, происходящих в токамаке при альфвеновском нагреве двухкомпонентной плазмы, рассматриваемой в гл. I. С другой стороны задача представляет самостоятельный интерес с точки зрения возможности моделирования трех-компонентной плазмы.
Непосредственное поглощение примесными ионами ВЧ мощности может привести к двум возможностям использования этого эффекта. Один из них - это известный метод нагрева плазмы на малой добавке примесных ионов C?8j . Второй -вывод примесных тяжелых ионов [7] из плазмы за счет роста числа запертых ионов вследствие увеличения поперечной скорое- ти, либо за счет дрейфа в поле сил увлечения. Выполненные ранее работы [32], [35] , как уже отмечалось во введении, рассматривали двухкомлонентную плазму. Однако практически всегда встречается ситуация, когда плазма содержит один или несколько сортов ионов. Хорошо известно, что примесные ионы могут существенно влиять на параметры плазмы как правило уменьшая энергетическое время жизни, определяя уровень и локализацию излучения, профили температуры и т.п. Циклотронная частота примесных ионов: где В - заряд примеси, /. - масса примесного иона, во-магнитное поле, С - скорость света в вакууме, $ - атомный вес примеси; & - атомный вес основных ионов (для дейтерий-тритиевой плазмні?= =2,5). Из (2.1.1) видно, что при /7, О д Т, Г_/ реализуется неравенство сОзг- Зс , то есть в альфвеновском диапазоне частот СО - СОз может осу ществляться циклотронный резонанс на примеси СО
В этом случае в плазме будет иметь место и ион-ионный гибридный резонанс. Дисперсия альфвеновской волны в плазме с двумя сортами ионов существенно меняется. Соответственно изменится в трехкомпонентной плазме профиль поглощаемой мощности. Распределение высоко-частотных полей может быть получено в результате численного интегрирования уравнений Максвелла: где - вектор напряженности электрического поля, со - частота волны, ы&- компоненты тензора диэлектрической проницаемости плазмы, индексы J в цилиндрической системе координат характеризуют компоненты , В- . Считается, что зависимость ВЧ поля от времени задана в виде Вектор принадлежит пространству комплексных вектор - функций, ё#р - комплексный тензор Поглощаемая в единице объема ВЧ мощность рассчитывается по формуле где черта означает комплексное сопряжение, по индексам ор подразумевается суммирование.
Геометрия задачи следующая. Плазма разиуса = Л- окружена ВЧ контуром t- & , кото рый находится внутри металлического кожуха (см, рис. 26). Параметры для расчетов выбирались для установок клас са Т-П, PffTSXT ход 35] : е= 15 см, 6 = 15,5 см, d = 18 см, & = 53 см. Тенозор диэлектрической проницаемости Sl a найден в результате аналитического решения уравнения Власова Стационарное распределение с (t, &J для ионов и электронов выбиралось локально-максвелловским с плотностью и температурой, зависящими только от одной пространственной координаты t- . Постоянный ток, протекающий по плазме, обусловлен сдвигом электронной функции распределения в пространстве скоростей на величину л Wfe) // SD . Распределение магнитного поля @о(у) у плотности #ft) , температуры /eh) и токо-вой скорости л 7$/г) было согласовано в результате решения соответствующих уравнений для стационарного состояния. Отметим, что ряд расчетов был проведен с несамосогласованным магнитным полем, имитирующим тороидальную неоднородность, что позволило локализовать область циклотронного поглощения на примесях. Предположение о малости ларморовского радиуса частиц д/ -по сравнению с остальными характерными размерами задачи позволяет решить уравнение Власова. Удобным методическим приемом при решении уравнения является введение проекций векторов на нормаль к магнитному полю, бинормаль и направление касательной. Соответствующие индексы компонент пронумерованы цифрами I, 2, 3. Неслоаная, но достаточно громоздкая процедура получения токов дает следующие выражения для компонент тензора-оператора :
Влияние примесей на структуру полей и поглощаемой мощности в плазме
Расчет полей и поглощаемой мощности в плазме в отсутствии примесей проведен в работе [35] , где- показано наличие одной зона? трансформации быстрой моды в медленную коротковолновую. В настоящей работе , описывается математическая модель плазмы1 и результаты расчетов полей и поглощения Ш мощности альфвеновского диапазона частот при наличии в плазме третьей компоненты - неполностью ионизованной тяжелой примеси. Параметры плазмы и геометрия системы выбиралась для класса установок 7 -/// Pretext, 7 С/? ф = 15 см, = 15.5 см, #- = 18 см, & = 53 см Профили плотности, температуры, тока по радиусу задавались аналогично (35 [ : Величины cffj #z выбраны таким образом, чтобы #/%)/%&) ъзО 7 f ) /7 /#) S S . Значение /?/&) полагалось равным 0.12 Ю14 см"3, температура в центре- 7/$) изменялась от 0.2 zev до 5 ке\/ , магнитное поле в центре &# = 0.8 Т; коэффициент запаса на границе JP/&J = 4.4 Температура основных ионов 7 с и ионов примеси // в большинстве расчетов полагалась равной Т ft) = 77 ft) -O.S Tcft) Концентрация примесей в расчетах полагалась #/»( ) -p/P-eft) где $ ? J_ относительная доля примесей , Расчеты проводились для различных примесей ( е . J "р, / /г. ) исследовалось влияние параметров примеси (Т /?/ Л , параметров плазмы (7&) на характер поглощения: и структуру Ш полей, Самосогласованное поле определяется из условия равновесия в цилиндре
В этом случае полное магнитное поле слабо меняется по радиусу, поэтому при выполнении условия циклотронного резонанса на приме си си-(м32; зона циклотронного резонанса размыта и циклотронное поглощение на примесных ионах происходит практически во всем объеме плазмы. На рис.2, 6 показаны результаты расчетов полей и поглощаемой мощности для & / плазмы s&/ -5VKJ в присут ствии ионов t ток в антенне - /0 Видно, что в случае1 малой концентрации примесей возникает прак тически однородный фон:циклотронного поглощения, на границе при X О. iS1 наблюдается зона альфвеновской трансформации. На рис. 2.8 представлены графики зависимости альфвеновской частоты сед -г А?// /? ft-J и циклотронной частоты примесных ионов - заряд и атомный вес примеси Є - заряд электрона, /5% - масса протона, пунктиром указана частота генератора. В случае самосогласованного поля, как видно из рис. 2,7 , условия близкие к резонансным выполняются для ионов примеси практически по всему радиусу. Качественный анализ дисперсионных свойств плазми проводится обычно в приближении геометрической оптики, когда параметры плазмы медленно меняются по радиусу где fet - ларморовские радиусы электронов и ионов . Амплитуда Ш полей в этом приближении представима в виде : где - функция Бесселя, &ъ - поперечный волновой вектор.
Выражения для радиального показателя преломления t "иГ х. будут иметь вид [Г/8] , ?j : Здесь (+) - соответствует медленной альфвеновской волне, z. /St ( J - соответствует быстрой магнитозвуковой волне [ТВ] . В окрестности точек трансформации, в которых происходит сближение этих ветвей колебаний, то есть дисперсия волн А и ШЗ одинаковая, возможен переход этих волн друг в друга. Относительное расстояние —— определяет эффективность трансформации, которая растет с уменьшением —р— На рис. 2.9 представлена качественная зависимость радиального показателя преломления & /f/t для случая безпримесной плазмы. Параметры волны : Л/ « -I, //= -2, оО = 2. 0 с , Соответствующий профиль поглощаемой мощности представлен на рисунке 2.7. В области Х 0,І наблюдается зона трансформации. При наличии примеси дисперсионные свойства плазмы изменяются.
Так для плазмы с ионами ге- !Г6 при я- =/0 профиль поглощаемой мощности представлен на рис. 2.10(a). В этом случае зона трансформации смещается к центру плаз менного шнура. Качественное поведение показателя преломления /& /І/ , для этого случая показано на рис. 2.10(6,). Расчеты с самосогласованный полем в цилиндре проводились также для других типичных в токамаках примесей - углерода и кислорода. Очевидно, что результаты описанных выше расчетов для примеси re- S6 могут быть применены к другим сортам ионов X при условии наличия циклотронного резонанса в плазме На рис. 2.II - 2.12 представлены результаты расчетов погло- щения мощности и ВЧ полей для примеси (/f6 . Параметры плазмыг прежние ; & = -I, Л/ =-2, со = г. 8-/0 c- f Отно- шение e/Wc "Zftf/Щгс., поэтому характер поведения полей и распределение мощности аналогично рассмотренным результатам по примеси гб .6 . Изменение концентрации от у-э-ю (на рис. 2.II) до $"-/0 (на рис. 2.12) приводит к увеличению полной поглощаемой мощности.
