Введение к работе
Актуальность темы. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной ( сингулярно возмущенные краевые задачи ) встречаются в различных областях науки и техники, например, уравнения движения вязкой кидкости, океанических .течений, переноса тепла и вещества, химико-технологических процессов. Главной особенностью сингулярно возмущенных краевых задач, затрудняющей их численное решение, является наличие узких зон с резким изменением решения и большими значениями производных, получивших название пограничных и внутренних переходных слоев, ширина которых пропорциональна значению малого параметра в той или иной положительной степени. Для нахождения- с приемлемой, точностью приближенного решения сингулярно возмущенных краевых задач традиционные конечно-разностные и вариационно- разностные методы требуют выбора шага разностной сетки, значительно меньшего ширины пограничного слоя. С уменьшением значения малого параметра при старшей призводной это ведет к чрезмерно мелкому шагу разностной сетки. В практических задачах параметр при старшей производной может принимать значения в довольно широких пределах. Поэтому естественно возникает потребность в разработке численных методов, обладающих равномерной сходимостью относительно значения параметра при старшей производной и позволяющих находить приближенные решения сингулярно возмущенных краевых задач с требуемой точностью на разумных сетках.
К настоящему времени в развитии равномерных численных методов сложились два основных направления.Одно из них связано с применением известных конечно-разностных схем на специально сконструированных неравномерных сетках, сгущающихся по определенному закону в области пограничного или переходного слоя. Другим направлением является построение специальных разностных схем, имеющих равномерный по малому параметру порядок точности на равномерных или произвольных неравномерных разностных сетках. Такие разностные схемы называются схемами
равномерного порядка точности или просто равномерными разностными схемами. До работы [4] в литературе были известны разностные схемы равномерного первого порядка точности на равномерных разностных сетках.
Целью данной работы является разработка методов построения специальных разностных схем, учитывающих особенности поведения решения исходных краевых задач, и построение с помощью этих методов равномерных разностных-схем для сингулярно возмущенных краевых задач, имеющих равномерный второй порядок точности на равномерных или произвольных неравномерных разностных сетках.
Научная новизна. Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями произвольного вида предложен метод построения специальных разностных схем, развивающий метод интегрального товдества Марчука Г.И. и метод точной и усеченных разностных схем Самарского А.А. и позволяющий строить разностные схемы, учитывающие особенности поведения точного решения исходной краевой задачи
Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной, разрывными и. гладкими коэффициентами и правой частью и граничными условиями произвольного вида построены на произвольных неравномерных разностных сетках специальные усеченные разностные схемы первого и второго ранга. Для специальной усечённой разностной схемы второго ранга доказан второй порядок точности, равномерный по малому параметру, при условии, что точки разрывов коэффициентов и правой части уравнения и их первых производных совпадают с частью узлов разностной сетки. Для специальных усечённых разностных схем первого ранга доказан равномерный первый порядок точности на неравномерных разностных сетках при условии, что точки разрывов коэффициентов и правой части уравнения совпадают.с частью узлов разностной сетки, и равномерный второй порядок точности в случае достаточно гладких коэффициентов и правой части уравнения, граничных условий
первого рода и равномерной разностной сетки.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Втором Советско - Французском семинаре по математическому моделированию каталитических процессов и реакторов (Новосибирск, 1976), Всесоюзном семинаре по методу сплайн-функций (Новосибирск, 1978), Всесибирской школе по вычислительной математике (пос. Шушенское Красноярского края, 1979), на семинаре по методам вычислительной и прикладной математіпси ВЦ СО АН СССР (руководитель -'академик Г.И.Марчук), семинаре по численным методам механики сплошной среды ИТПМ СО АН СССР (руководитель - академик Н.Н.Яненко), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений ИМ СО РАН и НГУ (руководитель - д.ф.- м.н., проф. Т.И.Зеленяк)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Объём работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав, содержит Ю5 страниц машинописного текста. Список литературы включает 75 наименований.
