Введение к работе
Актуальность темы исследования. При математическом моделировании различных физических явлений, таких как течение вязкой жидкости, процессы тепломассопереноса и др., возникают начальные и краевые задачи для уравнений с малыми параметрами при старших производных. Это могут быть малые коэффициенты диффузии при моделировании распространения примесей, малые коэффициенты вязкости при моделировании течений жидкости.
Как известно, решение сингулярно возмущенной краевой задачи имеет большие градиенты в области пограничного слоя, что приводит к потере сходимости классических разностных схем и делает их непригодными при решении задач с пограничными слоями. Впервые вопрос о неприемлемости классических разностных схем и построении специальных схем, обладающих свойством сходимости независимо от значения малого параметра, был поставлен в 1969 году в работах Ба-хвалова Н.С. [15] и Ильина A.M. [17]. В этих работах заложены два различных подхода к решению задач с пограничным слоем, которые в дальнейшем стали основополагающими.
В работе Ильина А. М. [17] строится схема экспоненциальной подгонки, коэффициенты схемы подобраны так, чтобы на экспоненциальной погранслойной составляющей решения схема была точной. Подход Ильина А. М. для построения равномерно сходящейся разностной схемы на равномерной сетке использован в работах Багаева Б. М., Задорина А. И., Шайдурова В. В., Miller J. J. Н., Roos H.-G., Stynes M. и в работах других авторов.
В работе Бахвалова И. С. [15] применяется классическая центрально-разностная схема, но на сгущающейся в пограничных слоях сетке. Сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерной по узлам сетки. Доказано, что на такой сетке, впоследствии называемой сеткой Бахвалова, разностная схема обладает вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Подход Бахвалова Н. С. для построения равномерно сходящейся разностной схемы за счет сгущающейся сетки использован в работах Андреева В. Б., Бахвалова Н.С, Блатова И. А., Ильина В. П., Коптевой И. В., Лисейкина В. Д., Шишкина Г. И., LinB Т., O'Riordan Е., Vulanovic R. и в работах других авторов.
Шишкиным Г. И. для решения сингулярно возмущенных задач предложено использовать кусочно-равномерную сетку с достаточно мелким шагом в области
пограничного слоя в [20] и других работах этого автора.
В случае нелинейной или эллиптической задачи разностная схема разрешается на основе итерационных методов. Недостатком итерационных методов при разрешении разностных схем для эллиптических уравнений, таких как методы Якоби или Зейделя, является их невысокая скорость сходимости. В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алго-
ритма. Многосеточный метод был предложен Федоренко Р. П. Далее этот метод развивался в работах Бахвалова Н. С, Шайдурова В. В., Brandt A., Hackbusch W. и других авторов. Многосеточный метод для эллиптических задач с преобладающей конвекцией исследовался, например, в работах Муратовой Г. В., Ольшанского М.А., Hackbusch W. Отметим, что вопрос равномерной по малому параметру
сходимости реализуемых разностных схем не рассматривался.
Из многосеточных методов в ряде работ выделяется класс двухсеточных
методов, например в работах Axelsson О., Xu J. При использовании двухсеточно-го метода краевая задача предварительно решается на грубой сетке. Затем найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение для итераций. Это приводит к выигрышу в количестве арифметических действий. Погрешность интерполяции сеточного решения с грубой сетки на исходную не должна быть выше погрешности разностной схемы. Как показано в работе Задорина А. И. [16], в случае сингулярно возмущенной задачи формулы полиномиальной интерполяции могут привести к погрешностям порядка единицы. Поэтому актуальна разработка двухсеточных алгоритмов для
сингулярно возмущенных задач.
При использовании двухсеточного метода решение разностной схемы вычисляется на двух сетках, поэтому представляет интерес анализ использования экстраполяции Ричардсона для повышения точности разностной схемы. Метод Ричардсона, в том числе применительно к сингулярно возмущенным задачам, исследован, например, в работах Шайдурова В. В., Шишкина Г. П., Шишкиной Л. П., Natividad М. С, Stynes М.
Несмотря на большое количество публикаций, вопрос разработки разностных схем повышенной точности для сингулярно возмущенных задач, особенно нелинейных, остается актуальным. Актуальна и разработка эффективных вычислительных алгоритмов для реализации разностных схем.
Целью диссертации является разработка разностных схем на сгущающихся сетках для сингулярно возмущенных задач, исследование двухсеточного метода реализации построенных схем с повышением точности на основе экстраполяции Ричардсона.
Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи.
-
Рассмотреть задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Разработать аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке. Исследовать вопрос равномерной сходимости схемы направленных разностей на сетке Шишкина.
-
Исследовать двухсеточный метод решения сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с повышением точности схемы направленных разностей на сетке Шишкина на основе метода Ричардсона.
-
Для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка разработать алгоритм повышенной точности на основе линеаризации Пикара и Ньютона с использованием монотонной схемы Самарского, исследовать двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.
-
Исследовать двухсеточный метод решения линейной эллиптической задачи при наличии регулярных и параболических пограничных слоев на сетке Шишкина с повышением точности разностных схем на основе метода экстраполяции Ричардсона. Провести сравнение итерационных методов.
-
Разработать научно-исследовательский вариант комплекса программ и по всем исследуемым задачам провести численные эксперименты, демонстрирующие
полученные результаты.
Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения теории дифференциальных уравнений, теории разностных схем, вычислительной алгебры. Достоверность полученных научных результатов основывается на строгих формулировках и доказательствах, подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов.
Научная новизна:
-
Впервые проведено исследование разностных схем в случае сингулярно возмущенной задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разработан аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке и обоснована равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.
-
Разработан двухсеточный алгоритм повышенной точности для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на основе схемы направленных разностей на сетке Шишкина и экстраполяции Ричардсона.
-
На основе известной в случае линейной сингулярно возмущенной задачи монотонной схемы Самарского на сетке Шишкина разработан алгоритм повышенной точности для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с использованием линеаризации Пикара и Ньютона. Предложен двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.
-
Исследованы двухсеточные алгоритмы для линейного эллиптического уравнения в случаях полного вырождения, регулярных и параболических пограничных слоев. Использование экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе приводит к повышению точности на порядок используемых разностных схем.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации теоретические результаты представляют ценность в теории разностных схем для сингулярно возмущенных задач. Разработанные вычислительные алгоритмы и разностные схемы для сингулярно возмущенных задач могут быть
использованы при математическом моделировании конвективно-диффузионных процессов с преобладающей конвекцией, которые встречаются в гидродинамике, механике, экологии, физике, химии. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моделирования в Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского при подготовке специалистов по математическому моделированию.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на XXXIII региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2009 г.), Восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко (Казань, 2010 г.), XXXV региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011 г.), Всероссийской научной конференции по вычислительной математике с участием зарубежных ученых (КВМ-2011) и Всероссийской школы-конференции молодых исследователей в рамках КВМ-2011 (Новосибирск, 2011 г.), XII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011 г.), XXXVI международной научной конференции с элементами научной школы для молодёжи «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2012 г.), XIX Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященной памяти К. И. Бабенко (Дюр-со, 2012 г.), VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012 г.), Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012 г.), региональной конференции магистров, аспирантов и молодых ученых по физике и математике «ФМ ОмГУ 2013» (Омск, 2013 г.), на научном семинаре «Математическое моделирование и численные методы», проводимом лабораторией математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН совместно с кафедрой математического моделирования ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 научных работах [1-13], пять из них — в рецензируемых изданиях из списка ВАК [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объем диссертации — 105 страниц.
