Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Прочностной расчет крыла самолета 24
1.1. Расчет призматической оболочки с учетом влияния граничных условий 24
1.2. Расчет сечения с использованием гипотезы плоских сечений для нормальных напряжений 31
1.3. Исследование затухания краевого эффекта .38
1.4. Исследование поведения решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений 52
1.5. Методика прочностного расчета крыла самолета 58
1.6. Примеры расчетов 64
ГЛАВА II. Соотношение между конструкциями минимальной массы и равнопрочными 73
2.1. Постановка задачи проектирования оптимальных и равнопрочных конструкций 73
2.2. Критерий совпадения равнопрочной конструкции и конструкции минимальной массы 31
ГЛАВА III. Оптимизационный прочностной расчет крыла самолета 89
3.1. Постановка задачи оптимизации 39
3.2. Описание метода оптимизации 93
3.3. Примеры оптимизационных расчетов J03
Заключение j25
Литература
- Расчет сечения с использованием гипотезы плоских сечений для нормальных напряжений
- Исследование поведения решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений
- Критерий совпадения равнопрочной конструкции и конструкции минимальной массы
- Описание метода оптимизации
Введение к работе
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.
Проектирование оптимальных конструкций - пожалуй, самая молодая область приложения вычислительной математики в строительной механике, наиболее бурно развивающаяся последние двадцать лет, хотя первые работы, выполненные в этом направлении, восходят к Галилею и Лагранжу /85/. Классические результаты, не потерявшие свою актуальность и в наше время, получены в конце прошлого, начале нашего века ^88 , 89/. Статистический анализ показывает, что число публикаций в области оптимального проектирования конструкций удваивается каждые 4,5 года и на 1975 год составило не менее 4000 /58/. Это объясняется актуальностью задач, которыми занимается данное направление вычислительной математики. Все более широким становится круг рассматриваемых вопросов, постановок задач и методов их решения.
До начала 1960-х годов и, в меньшей степени, даже до наших дней в исследованиях по конструированию внимание прежде всего уделялось развитию методов анализа конструкции. Обусловлено это тем, что зачастую при проектировании конструктор не имел в своем распоряжении даже надежных прямых методов расчета. В настоящее время все большее внимание привлекают к себе вопросы развития методов синтеза конструкции.
Методы оптимального проектирования стали разрабатываться в основном в нашем веке. В начале века были решены некоторые задачи об оптимальных арках /88 , 89J. В тридцатые и сороковые годы наибольшее внимание привлекали упругие фермы ^54 , 5б7. В пятидесятых годах появились работы по оптимизации балок, рам и пер- вые исследования об оптимальных пластинах и оболочках.
С развитием техники расширился комплекс воздействий на конструкцию, усложнились ее геометрия, повысились требования, предъявляемые к ней, появилось большое количество новых конструктивных материалов. Все это усложнило задачу анализа конструкции, а тем более задачу синтеза.
Огромное влияние на оптимальное проектирование конструкций оказало создание и развитие теории математического программирования и появление быстродействующих ЭВМ. Это намного расширило круг конструкций и физических моделей доступных оптимизации.
В настоящее время важнейшей проблемой является создание алгоритмов и их систем,обеспечивающих надежное решение задач оптимального проектирования, выдвигаемых требованиями практики.
Рассмотрим подробнее следующие вопросы: в чем же заключается задача оптимального проектирования (какие возможны постановки этой задачи), чем обусловлены трудности решения этих задач и какие возможны подходы при их решении.
Оптимальная конструкция - это конструкция наилучшая в некотором смысле по сравнению с остальными. Т.е. понятие оптимальной конструкции не может рассматриваться без указания класса конструкций, в котором ищется наилучшая, и критерия оптимальности, по которому она выбирается. Определив класс, в котором ищется оптимальная конструкция, мы тем самым определяем параметры, за счет вариации которых (в некоторых пределах) и отыскивается наилучшая. Таким образом, все многообразие задач оптимального проектирования порождается выбором критерия оптимальности конструкции, указанием параметров, за счет вариации которых отыскивается оптимальная, а также ограничений, которые накладываются на область изменения параметров. Ограничения обычно являются функциональным отражением требований, предъявляемых к конструкции.
По типу варьируемых параметров, в настоящее время, выделились, в основном, следующие направления поиска оптимальной конструкции: за счет выбора размеров отдельных элементов конструкции (задача об оптимальном распределении материала); за счет выбора параметров материала; за счет выбора конфигурации конструкции; за счет выбора типа конструкции.
В настоящей работе, в основном, рассматривается задача об оптимальном распределении материала. Для более детального ознакомления с другими направлениями следует обратиться к работам 5, 16, 28, 35, 37, 47, 53, 57, 58, 63, 68, 70, 97/7.
В качестве критерия оптимальности обычно выступают следующие функционалы: масса (объем) материала конструкции, стоимость конструкции, жесткость (податливость) конструкции, несущая способность, энергия деформации и т.д.
Ограничения на область изменения параметров обычно порождаются требованиями, предъявляемыми к функциям, описывающим напряженное и деформированное состояние конструкции, ее частотные и критические характеристики, а также живучесть, надежность, технологические качества и т.д. Причем в различных постановках задач функции выбранные в качестве критерия оптимальности и ограничений могут меняться местами.
Обычно инженеру, создающему конструкцию, приходится оптимизировать ее по сложному, зачастую неформализованному, критерию, учитывающему сразу несколько из названных характеристик. При этом необходимо удовлетворить сразу большой группе ограничений. Нет необходимости объяснять, насколько велика сложность такой задачи. Даже при использовании мощных современных вычислительных машин решить задачу оптимального проектирования в достаточно общем виде не представляется возможным.
Кроме того, необходимо отметить, что обычная практика, когда сначала изготавливается опытный образец с последующим его испытанием на работоспособность, в настоящее время дополнена этапом предварительного проектирования, на котором для испытания конструкции используются математические модели и численный анализ, до дорогостоящих этапов рабочего проектирования и воплощения в материале. На этом (предварительном) этапе происходит создание и сравнение конкурирующих вариантов конструкции (без детальной проработки каждого варианта) с целью получения прототипа лучшего инженерного решения. В вычислительном плане это приводит к необходимости решения не одной, а целой серии похожих задач.
Указанные выше причины приводят к необходимости постановки и решения частных задач оптимального проектирования, которые получаются в результате уменьшения числа параметров и числа учитываемых требований. Большинство подходов может вызвать скептическое отношение со стороны инженеров практиков, в связи с тем, что они не принимают во внимание ряд факторов, учитываемых в практике. Однако эти подходы полезны по следующим причинам: во-первых, они дают оценку критерию качества конструкции и могут 'служить основой для сравнения различных конструктивных решений; во-вторых, они могут подсказать проектировщику новое, не очевидное из предыдущего опыта решение; и в-третьих, аналитические решения, исследования частных задач и вытекающие из них рекомендации, безусловно, оказывают помощь при проектировании конструкции.
В настоящее время выделились в основном следующие подходы к решению задачи оптимального распределения материала: проектирование равнопрочных (равнонапряженных) конструкций; проектирование конструкций минимальной энергии деформации при постоянном объеме (массе) материала; проектирование конструкций минимальной массы (объема) при ограничениях на некоторые функции состояния; проектирование конструкций максимальной несущей способности при постоянной массе (объеме) материала.
Использовать в качестве критерия оптимальности постоянство максимальных напряжений во всех элементах конструкции - наиболее естественная и простая идея. Однако такой подход реват определенными неприятностями. Подробному обсуждению этого вопроса посвящена вторая глава настоящей работы. В некоторых частных задачах идея отыскания равнопрочной конструкции оказывается чрезвычайно плодотворной и позволяет эффективно отыскивать проекты, оптимальные в смысле других критериев. Вопросы отыскания равнопрочных проектов и связь этого критерия оптимальности с другими исследовалась в работах j2Qt 21, 25, 29, 39, 56, 69, 83, 94/,
В настоящей работе в основном рассматривается частная задача оптимального проектирования - проектирование тонкостенной пространственной конструкции (являющейся идеализацией силовой схемы крыла самолета) по критерию минимальной массы при условии выполнения некоторых прочностных и технологических требований, предъявляемых к конструкции.
Вопросы о наилучшем распределении материала в тонкостенных элементах конструкций, таких, как пластинки и оболочки, являются постоянными предметами исследований в теории оптимального проектирования. Это объясняется широким применением подобных конструкций в различных областях инженерной практики. В последнее время, в связи с расширением круга исследуемых объектов, получили развитие и стали более обоснованными как постановки задач, так и методы их решения. Переход к двумерным задачам повлек за собой выявление и исследование новых эффектов, что, в свою очередь, привело к некоторым изменениям в постановках задач, апробированных для стержней и стержневых систем.
Задача о наилучшем распределении материала в тонкостенных элементах конструкций обычно выглядит следующим образом: требуется найти описывающую распределение толщин функцию h(zj3) ( (z,3) - точка на срединной поверхности, [2,3/ 6 1 ) доставляющую экстремальное значение критерию качества конструкции, при ограничениях (наложенных на некоторые функционалы, зависящие от /l ) отражающих требования, предъявляемые к конструкции. Получение решения и анализ его зависимости от параметров задачи настолько сложны, что эта задача к настоящему времени практически не исследована. Для более частных задач и сравнительно простых конструкций выполнен ряд работ, на которых мы остановимся ниже.
Среди всех ограничений, особое место занимают ограничения, которые обычно называют конструктивными или технологическими:
Дя^, ^ и - М-тоэс » где htnin » г1*"** - некоторые константы. Эти ограничения не всегда включались в постановку задач оптимизации балок, стержней и других одномерных элементов конструкций. Иногда это приводило к некоторым особенностям оптимального распределения материала по элементам конструкции, таким как появление нулевых и бесконечных толщин. Однако обычно задачи обладали свойствами существования и единственности решения, а функционалы критерия качества конструкции принимали конечные значения. При практической реализации полученного оптимального распределения выбиралось распределение близкое к оптимальному по критерию качества, но не имеющее особенностей в виде нулевых и бесконечных толщин.
При переходе к двумерным задачам оптимизации оказалось, что конструктивные ограничения играют существенную регуляризую- щую роль. Игнорирование этих ограничений может привести к тому, что при решении задач на ЭВМ в процессе оптимизации на поверх ности двумерного элемента будет формироваться нерегулярная сис тема ребер, которая определяется не единственным образом, а су щественно зависит от начального приближения. Теоретические аспек ты явлений такого типа исследовались в работах 36, 59/. Факт су ществования решения одной частной задачи установлен в /ЗЗ/ для случая, когда на функцию h наложено еще одно дополнительное ограничение: - некоторая константа. Р
В результате исследований, проведенных в работахз, 7, 33, 36, 59, 91/ установлено, что наложение геометрических ограничений на поведение функции А , запрещающих значительное перераспределение материала, оказывается существенным для корректной постановки задачи. Кроме математической корректности следует также иметь в виду, что допущение больших вариаций толщин противоречит используемым уравнениям теории тонких пластин.
Кроме того, оказалось', что существенные трудности могут возникнуть даже при проектировании одномерных элементов конструкций.
Например, в работеу98упроведено обсуждение вопросов существования, регулярности и единственности решения задач оптимизации конструкций. На примере простой задачи проектирования закреплённого по обоим концам стержня показано, что задача не всегда имеет решение, решение может быть не единственным и не регулярным. Указаны условия, которые надо наложить на искомое распределение площади сечения по длине, чтобы решение было единственным.
Интересный факт относительно области допустимых проектов приведён в /68J. На простом примере проектирования трёхстержневой рамы показано, что задачи проектирования конструкций могут иметь несвязные множества допустимых проектов.
В последние годы выполнено большое количество работ, по исследованию задач оптимального распределения толщин в пластинах в различных частных постановках. Коротко остановимся на некоторых из них, в основном придерживаясь обзорной статьи /б/. В работах /8, 9J в качестве критерия оптимальности выбран максимальный прогиб пластинки в заранее неизвестной точке, а в качестве ограничений - вес пластинки и конструктивные ограничения на распределение толщины. Такая постановка приводит к минимаксной задаче. В jyj также получено численное решение соответствующей задачи минимизации максимального значения интенсивности напряжений в изгибаемых пластинах. Обсуждение некоторых результатов оптимального проектирования пластин из условий жесткости и прочности содержится в /34, 47, 73, 80, 9QJ. Вопросы оптимизации критических сил потери устойчивости, жесткости и основной частоты колебаний прямоугольных пластинок за счет перераспределения материала в тонких поверхностных слоях рассматривалось в Дб/. Отметим работы /14, 53 , 60 , 72 , 74, 95/ , в которых обсуждаются подходы к задачам многоцелевой оптимизации и методы построения оптимальных и квазиоптимальных решений. Новые постановки задач оптимизации предварительно изогнутых пластин, лежащих на упругом основании, рассмотрены в /10, II7.
Проектирование оптимальных упругих оболочек по сравнению с оптимизацией пластин приводит к более сложным задачам. Работы, выполненные по этой теме, немногочислены и в основном относятся к проектированию пологих оболочек и оболочек вращения. - II -
Однако ввиду их актуальности объем исследований по оптимизации оболочек в настоящее время увеличивается. Оптимальному проектированию цилиндрических оболочек посвящена статья fzj, Алгоритм оптимизации оболочек вращения переменной толщины, основанный на совместном решении прямых и сопряженных краевых задач и вычислениях градиентов функционалов, предложен в /61, 62у. Найдены распределения толщины и кривизны срединной поверхности оболочек вращения заданного объема оптимальных по устойчивости. Исследование спектральных особенностей задач оптимизации устойчивости оболочек переменной толщины выполнено в jjkLj .
Процесс решения поставленной задачи оптимального проектирования конструкции, как правило, представляет собой последовательность этапов, на каждом из которых необходимо анализировать имеющуюся конструкцию и на основе этого анализа изменять ее так, чтобы улучшался критерий качества конструкции и выполнялись требования, предъявляемые к ней. Таким образом процесс оптимизации состоит из многократного проведения прямого расчета конструкции (определения напряженного или деформированного состояния, или каких-то других характеристик конструкции продиктованных постановкой задачи) и некоторого правила изменения конструкции.
Чрезвычайно важной и ответственной частью является метод прямого расчета. При рассмотрении каждой новой задачи представляется желательным получить ее наиболее подробное, наилучшее описание (построить точную математическую модель) и затем решить возникшую задачу наилучшим образом. Однако, построение и использование подробной математической модели, учитывающей многие детали задачи чревато рядом неприятностей.
Первые трудности возникают при описании модели. Стремление учесть слишком многое увеличивает возможность упустить из внимания или принизить значение каких-то существенных факторов и тем самым ухудшить модель. Анализ задачи на основе сложных моделей, как правило, чрезвычайно трудоемок. При оптимизации по большому числу параметров возникает задача минимизации функции большого числа переменных, численное решение которых встречает иногда непреодолимые трудности. Таким образом, желание построить точную математическую модель может привести к тому, что возможность проведения оптимизационного расчёта будет пресечена в корне.
Если же остановиться на очень простой модели, позволяющей построить быстродействующий прямой расчет, то может оказаться, что спроектировать оптимальную конструкцию также невозможно, поскольку исходная задача описывается настолько грубо, что оптимизационный процесс приводит к неверному результату. Таким образом, одним из важнейших вопросов, о которым приходится сталкиваться при решении задачи оптимального проектирования конструкции, является вопрос выбора математической модели, на основе которой можно было бы построить прямой расчет, с одной стороны обладающий достаточной точностью, а с другой стороны тлеющий быстродействие, позволяющее проводить оптимизационный процесс в приемлемое время.
Причем, при решении вопроса выбора математической модели следует ясно представлять на каком этапе проектирования она будет использоваться и какие цели при этом преследуются. Строгих рекомендаций тут, видимо, быть не может. Однако можно сказать, что на этапе эскизного (предварительного) проектирования, когда отыскивается прототип лучшего варианта среди множества конкурирующих инженерных решений предпочтение следует отдавать простым быстродействующим методикам, учитывающим лишь основные, определяющие эффекты, а на этапе рабочего проектирования, когда происходит детальная проработка выбранного варианта - более . точным. - ІЗ -
Кроме того следует иметь ввиду, что если различные области конструкции работают в разных условиях и реализуемые в них напряженно-деформированные состояния различны по сложности, то использовать для всей конструкции единую модель неразумно, поскольку пользуясь простой моделью мы не сможем хорошо описать зоны со сложным напряженно-деформированным состоянием, а применяя точную модель мы потратим много усилий напрасно для зон с простым напряженно-деформированным состоянием. Естественно, пользоваться в каждой из областей максимально простой моделью, но описывающей с необходимой точностью реализуемое в ней напряженно-деформированное состояние. В первой главе настоящей работы предлагается методика прочностного расчета силовой схемы крыла самолета, которая реализует такой подход. Выполненная работа направлена на создание программного комплекса, позволяющего на этапе предварительного проектирования сравнивать различные конструктивные решения по их оптимальным проектам. Поэтому при выборе моделей особое внимание уделялось вопросам быстродействия разрабатываемой методики. Предлагается методика, согласно которой крыло разбивается на три зоны: первая - зона заделки, вторая - зона затухания влияния граничных условий и третья - зона,в которой распределение нормальных усилий подчиняется гипотезе плоских сечений (на нормальные перемещения такое условие не накладывается). Для каждой зоны применяется своя модель. Для третьей зоны используется простейшая модель, в которой определение нормальных напряжений проводится как и в классической балочной теории, но приведено к виду, удобному для алгоритмизации. Для определения касательных напряжений предложен новый подход, позволяющий получать кусочно-параболическое распределение по всему контуру. Для второй зоны используется модель, приводящая к краевой задаче с сие- темой обыкновенных дифференциальных уравнений, совпадающих с вариационными уравнениями Власова JT7J» если в последних пренебречь моментными членами. Однако используемые дифференциальные уравнения получены в других предположениях, что позволяет провести исследование, конкретизирующее общий принцип Сен-Венана для рассматриваемой конструкции и на основании этого исследования обоснованно пользоваться простейшей моделью на максимально возможной части крыла. Для первой зоны предложена модель, основное назначение которой - правильно "ухватить" качественную картину граничных условий и перенести их к началу второй области. Кроме того, проведено исследование, позволяющее при решении краевой задачи (возникающей в области затухания краевого эффекта) заранее сказать, можно ли обойтись без специальных прогрночных методов, требующих дополнительных затрат. Выбор используемых моделей продиктован теми задачами, на решение которых направлена выполненная работа, однако могут быть привлечены и другие метода анализа силовых конструкций летательных аппаратов, обсуждение и систематизацию которых можно найти в работах Е4, 23, 26, 28, 43-46, 64, 65у. Мы же приведем лишь краткое обсуждение основных подходов, которыми пользуются при анализе авиационных силовых конструкций, придерживаясь в основном работы /43у.
Летательные аппараты являются одной из наиболее важных и широких областей технического использования теории пластин и оболочек. Применяемые здесь тонкостенные конструкции весьма многообразны и специфичны. Часто конструктору приходится сталкиваться с геометрически сложными тонкостенными пространственными системами, подкрепленными дискретным набором ребер (стрингеров и лонжеронов) и поперечных связей (нервюр и шпангоутов), - с конструкциями, которые в отличие от традиционных регулярных континуальных объектов теории пластин и оболочек, являются дискрет- но-континуальными, т.е. сочетают дискретные элементы и непрерывные.
В работе /43у высказано мнение, что "необходимо обосновать и ввести в практику расчетов новые расчетные модели, которые отражали бы в достаточной мере специфику рассматриваемых конструкций и в то же время были бы достаточно эффективны в смысле возможности построения решения". Это высказывание перекликается с приведенными выше соображениями о необходимости использования для различных областей конструкции соответствующих моделей, выбор которых обуславливается конкретной задачей и целями, которые преследуются при её решении.
Разумеется, крыло может быть описано с позиций классических гипотез Кирхгофа-Лява, однако достичь таким образом численных результатов даже при наличии самой мощной вычислительной техники в настоящее время абсолютно не представляется возможным. Это приводит к необходимости перехода к другим, более простым, но результативным моделям.
Традиционной расчетной моделью крыла является тонкостенная балка. Эта модель при всей ее простоте и по сей день играет значительную роль при расчете крыльев большого удлинения. Развитием и уточнением этой модели является модель тонкостенного стержня, сохраняющая характерные для балок понятия о главных осях инерции и оси жесткости, но в то же время учитывающая деформацию и депла-нацию поперечного сечения. Не умаляя достоинств этого подхода, заключающегося в простотеи компактности применяемого аппарата, необходимо отметить, что область применения подобных методов весьма ограничена.
Второе направление - это работы, базирующиеся на схематизации тонкостенной конструкции крыла в виде конструктивно-анизо- тропной косоугольной пластины. Такая схематизация весьма условна прежде всего потому, что восприятие внешней нагрузки пространственной системой и пластиной принципиально различно. Поэтому возможности использования пластины как расчетной модели крыла тонкостенного типа весьма ограничены. Такая модель может быть использована только для расчета крыльев, подкрепленных регулярным набором лонжеронов, стенки которых воспринимают поперечную нагрузку подобно тому, как это имеет место в пластинах. При этом достоверность результатов в значительной степени зависит от удачного выбора численных значений приведенных упругих постоянных анизотропной пластины. Расчет же крыла, как анизотропной пластины на воздействие больших крутящих моментов и сосредоточенных сил, когда касательные напряжения могут даже превосходить нормальные, а также исследование на основе такой модели сложных вопросов термоупругости и несущей способности вообще не представляется возможным.
Третье направление составляют методы, в основу которых положена дискретная расчетная модель упругого тела, т.е. идея конечного элемента. Эти методы, несмотря на весьма условный характер схематизации конструкции, представляют значительный интерес. Их важнейшим достоинством является возможность проводить расчет сложных нерегулярных конструкций на основе простых матричных алгоритмов, вследствие чего эти методы получают все более широкое распространение.
Растущая популярность метода конечных элементов, однако, таит в себе опасность чрезмерного увлечения ими в ущерб другим методам. Не будет преувеличением сказать, что в настоящее время многие склонны видеть в дискретных методах некую панацею от всех бед, между тем, отдавая должное сильное стороне этих методов нельзя забывать и о присущих им недостатках. - ІЗ -
Прежде всего следует сказать, что дискретные методы, как и любые другие численные методы, затрудняют возможность качественных исследований работы конструкции, столь необходимых при проектировании. С алгоритмической стороны дискретные методы довольно просты. Однако нельзя забывать, что их применение всегда связано с проблемами устойчивости численной процедуры.
Вообще говоря, противопоставление дискретных методов аналитическим не оправдано. Те и другие методы, взаимно дополняя друг друга, должны развиваться в равной мере. Аналитические методы, описывающие работу конструкции в целом, без излишней детализации, являются основой качественных исследований. Эти методы следует применять при выборе и оптимизации силовой схемы и основных силовых элементов конструкции на ранних этапах проектирования. На этапе же детализации силовых элементов и при проверочных расчетах, когда конструкция рассматривается как сложная статически неопределимая система, важную роль игрэют дискретные методы.
Кроме того, практика проектирования авиационных конструкций требует создания методов расчета каркасироваиных тонкостенных конструкций, строго учитывающих дискретность подкрепляющего набора при любом соотношении жесткостей ребер и собственно оболочки, при регулярном и произвольном наборе как постоянной, так и переменной жесткости, при наборе однонаправленном и перекрестном, а также при любом расположении ребер относительно срединной поверхности. Разработке моделей такого типа (обычно называемых дискретно-континуальными) посвящены работы Е7, 44, 45/.
Способ модификации конструкции, на основе информации полученной из прямого расчета, обладает сам по себе значительно меньшей трудоемкостью, чем прямой расчет, но является не менее ответственной частью процесса проектирования оптимальной конструкции, т.к. именно он определяет количество перерасчетов конструкции. За время развития теории нелинейного программирования разработано много различных методов решения задач из этой области [22, 42, 67, 71/. Однако, среди этого множества методов невозможно выделить ни одного, который решал бы лучше всех остальных не только любую задачу нелинейного программирования, но даже задачи достаточно широкого класса. На основе разработанных методов создано большое количество стандартных программ. Однако при использовании стандартных программ для решения сложных оптимизационных задач обычно оказывается, что программа эффективно решает задачи оптимизации из класса, с которым автор программы обычно имеет дело или программа, формально говоря, может решить любую задачу оптимизации, но требуемое время решения в подавляющем большинстве случаев выходит за всякие разумные пределы.
Каждый из методов обладает своими характерными свойствами, которые дают ему преимущество, по сравнению с другими, в одних задачах (или на отдельных этапах решения задачи) и делают его неэффективным в других задачах (или на других этапах). Каждая частная задача обладает своими характерными особенностями и именно путем учета этих особенностей можно построить процесс, достаточно быстро приводящий к оптимальной конструкции. К аналогичным выводам приходят и авторы работ /18, 92/. Отмечается, что если задача рассматривается как "чёрный ящик", то эффективность методов нелинейного программирования обычно невысока, однако её можно существенно повысить путём учёта специфики конкретной задачи, использованием рационального начального приближения, декомпозицией и предложить проектировщику множество различных вариантов проекта.
Именно поэтому в последнее время находит широкую реализацию идея применения разных методов на разных этапах решения задачи. Создаются комплексы программ, которые могут работать как в автоматическом, так и в диалоговом режимах /22J.
В третьей главе настоящей работы представлен оптимизационный процесс, унитывающий особенности исходного прямого расчета и использующий на разных этапах решения оптимизационной задачи разные стратегии поиска оптимального проекта.
Представленная работа направлена на создание программного комплекса, позволяющего на этапе предварительного проектирования сравнивать различные конструктивные решения по их оптимальным проектам. Она заключает в себе разработку математической модели для эффективного прочностного расчета; исследование вопроса о соотношении между конструкциями минимального веса и равнопрочными; построение оптимизационного процесса, отыскивающего оптимальный проект для данного конструктивного решения по критерию минимума объема материала конструкции при условии.выполнения некоторых прочностных и технологических ограничений.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении обсуждаются: задача оптимального проектирования, возможные ее постановки, различные подходы и трудности, возникающие при ее решении, а также дан краткий обзор публикаций по исследуемому вопросу. Вырабатываются и обосновываются основные положения работы, продиктованные требованиями поставленной задачи.
Первая глава посвящена разработке математической модели прочностного расчета силовой схемы крыла самолета. В I.I рассматривается модель для расчета призматической оболочки, учитывающая влияние торцевых граничных условий и приводящая к краевой задаче, с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, совпадающих с вариационными уравнениями Власова /ivj, если в последних пренебречь моментными членами. Однако используемые уравнения получены в других предположениях, что позволяет провести в 1.3 исследование затухания краевого эффекта, которое является конкретизацией общего принципа Сен-Венана для рассматриваемой конструкции. В 1.2 предложена быстродействующая методика определения напряженно-деформированного состояния сечения призматической оболочки с произвольным многосвязным контуром поперечного сечения. Нормальные напряжения определяются фактически так же, как и в классической балочной теории, только выбрана другая, более удобная для алгоритмизации форма. Для определения касательных усилий предложен новый подход, позволяющий получать кусочно-параболический закон распределения по всему контуру. В 1.3 проведено исследование, позволившее выделить ядро и получить оценки минимального и максимального положительных собственных значений матрицы дифференциальных уравнений краевой задачи, полученной в I.I. Дана физическая интерпретация полученных в этом параграфе результатов, которая является основой для определения области, в которой правомерно использование модели, рассмотренной в 1.2. В 1.4 проведено исследование поведения решений однородной системы дифференциальных уравнений, на основании которого может быть сделан вывод о целесообразности применения.специальных прогоночных методов для решения краевой задачи. В 1.5 предложена методика прочностного расчета силовой схемы крыла самолета, являющаяся итогом исследований, проведенных в предыдущих параграфах. Методика реализует предложенный принцип использования для различных областей конструкции разных моделей в следующем виде. Крыло разбивается на три зоны. В первой зоне используется модель, основное назначение которой - правильно "ухватить" качественную картину граничных условий и перенести ее к началу второй зоны. Для второй зоны применена модель, рассмотренная в I.I. Длина второй зоны и метод решения полученной краевой задачи определяется на основе исследований, проведенных в 1.3, 1.4. Оставшаяся часть крыла образует третью зону, в которой используется модель, предложенная в 1.2. В 1.6 даны некоторые примеры расчетов, демонстрирующие возможности методики и влияние различных параметров конструкции на напряженно-деформированное состояние.
Вторая глава посвящена анализу соотношения между двумя подходами к решению задачи проектирования: отысканием равнопрочных конструкций и конструкций минимальной массы при условии выполнения прочностных и некоторых технологических ограничений. В 2.1 обсуждаются постановки задач, обусловленные этими подходами, методы их решения и трудности, возникающие при этом. Вводится понятие характеристического напряжения. В конце параграфа сформулиро-ванны основные выводы относительно сложностей, с которыми может столкнуться проектировщик при отыскании равнопрочного проекта. В 2.2 введено понятие матрицы влияния и в терминах матрицы влияния и характеристического напряжения дан критерий совпадения равнопрочной конструкции с локально-оптимальной по критерию минимума массы. Пожалуй, впервые результат аналогичный теореме I получен в э4/ для стержневых систем и случая, когда в качестве характеристического напряжения выбрано нормальное напряжение в стержне. Позже уделялось много внимания вопросам получения критериев оптимальности для задач в различных постановках, различных конструкций и разного вида функций характеристических напряжений, а также для случая привлечения других ограничений (см. например /зі , 39, 56, 68, 77, 78, 8і/). В теореме I критерий оптимальности сформулирован в форме, удобной для дальнейших разработок для конструкции и функции характеристического напряжения, удовлетворяющих оговоренным перед теоремой условиям. Доказана теорема 2, выделяющая класс "обобщенных" статически определимых систем, для которых оба критерия оптимальности приводят к одинаковому проекту. Приведены два следствия, обосновывающих сделанное в 2.1 утверждение о том, что равнопрочный проект будет иметь минимальную массу, если конструкция не обладает хотя бы одним из двух свойств: I) взаимным влиянием элементов и 2) неравноценностью элементов (по эффективности работы и вкладу в массу). Это дает некоторое предварительное представление о том, для каких конструкций можно надеяться отыскать проект легче равнопрочного .
Третья глава посвящена построению оптимизационного процесса, позволяющего эффективно отыскивать проект, доставляющий минимальное значение функции массы (объема) материала конструкции и удовлетворяющий некоторым прочностным и технологическим ограничениям. В 3.1 обсуждается постановка задачи, проводится декомпозиция параметров (на основе учета особенностей прямого расчета), анализируется целесообразность включения в число варьируемых параметров характеристик матриала и размеров продольных элементов. В 3.2 дается описание стратегии поиска оптимальной конструкции. Оптимизационный процесс реализует идею применения различных правил изменения конструкции на разных этапах решения задачи. В начале делается несколько итераций по правилу усиления перегруженных и ослабления недогруженных элементов. Далее применяется одна из двух стратегий. Если ограничения не нарушены, то производится спуск по направлению антиградиента функции массы до нарушения ограничений. Если ограничения нарушены, то в плоскости постоянной массы решается задача безусловной минимизации функции суммы квадратов величин нарушений прочностных ограничений по всем элементам конструкции. При решении этой задачи используется стратегия, имеющая общие черты с методами Хука-Дживса, Розенброка и методами первого порядка. Методы первого порядка в явном виде не применимы в силу недифференцируемости минимизируемой функции. В этом случае информация о приращении целевой функции при выполнении пробных шагов по П независимым направлениям (/2^ - размерность задачи) является недостаточной для выбора хорошего направления улучшения проекта. Предложен эффективный прием для исследования окрестности опорной точки на основе линеаризации исходной задачи определения напряженно-деформированного состояния. В 3.3 приведены примеры оптимизационных прочностных расчетов, демонстрирующих различие между оптимальными и равнопрочными проектами, влияние различных параметров задачи на ее решение и различие между оптимальными проектами, если для описания конструкции пользоваться разными моделями. В заключении подводится итог представленной работы и выделяются основные результаты.
Работа является составной частью исследований по созданию САПР проводимых совместно ВЦ АН СССР и м.з. им.Сухого и выполнена в рамках плановой темы ВЦ АН СССР "Разработка теории и методов автоматизации проектирования сложных технических объектов" (HI? 0182.9033909).
Программная реализация методики внедрена в практику проектирования и используется в отраслевых КБ.
Основные положения работы опубликованы в 48, 49, 50/. Некоторые результаты работы доложены на X Гагаринских чтениях (Пантелеев С.Д. О соответствии конструкций минимального веса и равнопрочных. - в сб. "Научные чтения по авиации и космонавтике. 1980". Тезисы доклада, М., Наука, 1981, с.219).
Расчет сечения с использованием гипотезы плоских сечений для нормальных напряжений
Рассмотрим некоторое сечение призматической (цилиндрической) оболочки. Будем характеризовать смещение точек контура следующими величинами: Ox(z) , ЩС1-) % Vz (z) - перемещения контура, как жесткого целого вдоль осей X У и Z соответственно; Уу. (Z) , J и (z) , yz fzj - углы закручивания сечения как жесткого целого относительно осей X , У и Z. соответственно; о U - депланация (функция отклонения перемещений точек контура в продольном направлении от плоского распределения). Считается, что поперечные силовые элементы обеспечивают недеформируемость контура в плоскости сечения.
Продольное перемещение V любой точки контура с координатами (Х) Ч) можно выразить следующим образом: Предположим, что нормальные напряжения ( - 5 (в отличие от продольных перемещений V ) распределены по плоскому закону, т.е. (Sv) =0. тогда б = Ег/ = E(ixz - xfj + ч&) (LID Используем три статических уравнения равновесия сечения в продольном направлении:
Здесь drz = dial , Sz - "приведенная" толщина оболочки, т.е. толщина, работающая на растяжение (сжатие), учитывающая продольные силовые элементы (стрингеры, пояса лонжеронов и т.д.), Of - обычная толщина оболочки, работающая на сдвиг.
В результате решения системы (I.I2) определятся неизвестные Vz , - X » %с Подставив их значения в (I.II), мы вычислим величины нормальных напряжений точек сечения. Решение системы (I.I2) фактически эквивалентно определению моментов инерции сечения, как это принято делать в классической балочной теории. Если в качестве осей выбрать главные центральные оси сечения, то симметричная матрица системы (I.I2) примет диагональный вид, причем на диагонали будут стоять F , J и , Jx - площадь сечения и моменты инерции относительно осей соответственно.
В дальнейшем нам понадобятся значения производных от напря-жений 6" или, что с точностью до множителя Е то же самое,
Для этого нам придется еще раз решить систему (I.I2), но с другой правой частью: Этот вывод легко получить путем дифференцирования по Z соотношений (І.ІІ) и (І.І2). Перейдем к определению касательных напряжений. Поперечное перемещение Tl(zt 3) точки контура определяется соотношением: где У - угол между касательной к контуру в этой точке и осью Л ; і - U М)Ґ ЭС lift Ґ - перпендикуляр, опущенный из начала координат на касательную к контуру. Тогда выражение касательного напряжения имеет вид (см. (1.2)):
Выберем в сечении и занумеруем ҐП контрольных точек, достаточно хорошо характеризующих контур. Распределение функции о Z/ между і -ой и L+ 1 -ой контрольными точками считается линейным, т.е.
Тогда производная по 6 функции депланации выражается через значения о V в узлах следующим образом: Sll fc, 6) =[Sv(Zf 6LH) - Sufc 4)]/fc+i Зі) (1.14) Среднее для І -ой полки касательное напряжение получит выраже ние: x G[(Stf-Svj)/4 + +fe- фонд +(y&)i% - І ij]i депла нация то где d; - длина / -ой полки; О Й- ,.(/ -чек начала и конца полки соответственно. Таким образом, для определения средних касательных напряжений нам надо знать ІП+3 неизвестных, а именно: В первую очередь привлечем уравнение равновесия бесконечно малого элемента оболочки в продольном направлении (см. рис. I):
Принимая во внимание линейное распределение 6" на / -ой полке между точками І и 2 (начальной и конечной) можно написать: с/ Здесь К: = uzj / о/; . Сдвигающее усилие, собранное со всей / -ой пластинки, равно Но, с другой стороны, сдвигающее усилие можно выразить через среднее значение касательного напряжения, определенного формулой (I.I5) следующим образом Приравняв два последних выражения, получим: Положив в соотношении (I.I8) 3 = С ,- и подставив в него соотношение 01.19) получим:
Исследование поведения решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений
Оценка роста решений, полученная выше, является строгой, но довольно грубой, в случае, если л не является нормальной матрицей. На самом деле справедлива более точная оценка, которую можно сформулировать в виде следующего утверждения.
Максимальные (минимальные) значения скорости роста и "сплющивания" частных решений исходной системы дифференциальных уравнений совпадают с максимальными (минимальными) значениями соответствующих величин системы X = / X , где / - треугольная матрица, на диагонали которой стоят J і - характеристические числа матрицы л , а недиагональные элементы являются линейными комбинациями элементов матрицы л .
Лемма 2. Пусть V = [M+K)Vи Х -Л X , где К -косоэрмитова, тогда в любой фиксированной точке Z справедливо: - 56 i.VirJx: ІІП ІІхії и наоборот, 2. Ы,У1 3XiXt t COS dfa, Vi) = СОі (Хі9Х,) и наоборот, \/xi} xt 5%; vz : m d fa, xz) =- mU (w? vz). Доказательство легко следует из выражений для IIЦІЇ и С04 о( , если учесть, что [(Ы)+(Л+К) ]=Л+Л в силу косоэрмитовости матрицы К .
Теперь перейдем к доказательству утверждения. Проведем в исходной системе уравнений замену переменных Ц-уУ , где U -некоторая унитарная матрица, тогда V подчиняется уравнению: причем в силу унитар ности матрицы U . В силу леммы I - косоэрмитова, а следовательно, в силу леммы 2 максимум (минимум) // V// и Ш dflTij Vz) в каждой точке 2 совпадают с максимумом (минимумом) Л X/І ти w и(х , x2J , где X удовлетворяет урав нению: х =и Л1/х Из теоремы Шура-Тёплица (см., например, /зо/) следует, что U можно подобрать так, что - треугольная матрица. Следовательно, в каждой точке Z максимальные (минимальные) зна - 57 чения величин Hull и tOi dljf , ) исходной системы совпадают с максимальными (минимальными) значениями //&// и 006 d(X-f? Xz) системы с треугольной матрицей / , причем диагональ / составлена из Лі -характеристических чисел матрицы Л , а недиагональные элементы являются линейными комбинациями элементов матрицы Я . Что и требовалось доказать.
В случае, если Jf - нормальная матрица, из утверждения легко получается оценка, приведенная раньше. Если Л - постоянная матрица, то решение системы с треугольной матрицей / легко выписывается и из утверждения следует оценка: ЦІ. є 4 Цк 4 Щк Р а) е где М и У - минимальное и максимальное значения действитель ҐП ной части характеристических чисел матрицы я ; L (z) - некоторый полином, степени не выше И-і (/7-размерность матрицы Jf ).
Пользуясь приведенными оценками, можно составить представление и о скорости "сплющивания" частных решений, т.к. она максимальна между векторами, имеющими проекции только на решения с максимальным и минимальным ростом.
В 1.3 были получены оценки характеристических значений матрицы дифференциальных уравнений краевой задачи, описанной в I.I. Опираясь на оценку минимального положительного характеристического числа, можно указать расстояние, на котором влияние краевого эффекта на напряженно-деформированное состояние станет пренебрежимо малым. В настоящем параграфе представлены результаты, основываясь на которых и имея оценки характеристических чисел, а также дляну участка, на котором поставлена краевая задача, можно, хотя бы ориентировочно, сделать вывод о целесообразности применения того или иного прогоночного метода.
Как уже отмечалось выше, различные участки крыла работают в разных условиях. Напряженно-деформированное состояние в этих участках может быть описано различными по сложности моделями. Поэтому естественно попытаться разбить конструкцию на области, и на основе учета особенностей и характерных режимов работы для каждой из областей использовать максимально простую модель, но описывающую с необходимой точностью реальный объект.
В настоящей работе предлагается разбивать крыло на три области, как показано на рисунке 3.
Крыло аппроксимируется конструкцией, показанной пунктиром. Будем считать, что напряженно-деформированное состояние силовой схемы крыла нам известно, если известны напряжения и перемещения точек контура в заранее выбранных сечениях. Кроме того, предположим, что поперечные силовые элементы (нервюры) расположены достаточно часто и можно считать перемещения, вызывающие деформации контура в своей плоскости малыми, по сравнению с перемещением контура как жесткого целого. Т.е. все поперечные перемещения точек известны, если известны ІҐх. , "и , jz - соответственно перемещения вдоль осей / и і/ и угол закручивания конутура относительно оси Z. как твердого тела.
На основе исследований, проведенных в 1.3, выберем длину участка П таким образом, чтобы влияние граничных условий в зоне Ш было пренебрежимо малым. Будем считать, что в этой области распределение нормальных напряжений (в отличие от продольных перемещений) подчиняется гипотезе плоских сечений. Таким образом, напряженное состояние сечения полностью определено. Для вычисления прогибов и углов закручивания придется решать задачи Коши с начальными условиями, взятыми с границы областей П и Ш.
Для определения напряжений и перемещений в некотором сечении Z - Z0 30НЫ П сделаем дополнительное предположение. Будем считать, что в призматической оболочке с поперечным сечением, совпадающим с данным сечением, реализуется напряженно-деформированное состояние, совпадающее при Z = Z0 с напряженно-деформированным состоянием исходной конструкции в сечении Z = Z0 .
Тогда для вычисления напряжений и прогибов в области П может быть применена методика, изложенная в I.I. Приведем ее алгоритмическую реализацию. Ниже используются уже введенные обозначения. Будем считать, что продольные перемещения между контрольными точками изменяются по линейному закону.
Критерий совпадения равнопрочной конструкции и конструкции минимальной массы
При проектировании самолета приходится сталкиваться со следующей задачей. Пусть задан контур крыла самолета и действующие на него внешние нагрузки. Требуется подобрать параметры силовой схемы крыла таким образом, чтобыша была минимальной массы и удовлетворяла ограничениям по прочности, по устойчивости, по жесткости, по флаттеру, технологическим ограничениям и т.д. В данной главе мы будем рассматривать только ограничения по прочности и некоторые технологические ограничения.
Ограничения по прочности, как правило, имеют следующую форму: в каждом конструктивном элементе некоторое характеристическое напряжение б при любом из заданных режимов нагружения (если их несколько) не должно превышать предельного допустимого значения В качестве характеристического напряжения в зависимости от специфики задачи выбирают либо максимум по всему конструктивному элементу модуля главного напряжения, либо максимум модуля нормального напряжения, либо максимум модуля касательного напряжения, либо какую-нибудь другую характеристику напряженного состояния, продиктованную требованиями задачи.
Будем рассматривать технологические ограничения следующего вида: . Здесь /7/ - конструктивные параметры. Обычно это толщины или площади сечений конструктивных элементов.
Вариант силовой схемы крыла самолета (проект) с набором конструктивных параметров /7/ будем отождествлять с точкой в про странстве параметров П - J "i} " } nh j . Оптимальным будем считать проект минимальной массы, удовлетворяющий прочностным и технологическим ограничениям. Таким образом, для отыскания оптимального проекта надо найти решение следующей задачи нелинейного программирования: в пространстве параметров пк подобрать точку, удовлетворяющую ограничениям и доставляющую минимум функции массы конструкции.
В практике проектных организаций задача отыскания оптимального проекта часто заменяется задачей отыскания равнопрочного (равнонапряженного) проекта, т.е. такой конструкции, у которой в каждом конструктивном элементе характеристическое напряжение, хотя бы при одном режиме нагружения, достигает предельного значения. В этом случае, фактически, решается следующая задача: не обращая внимания на массу, в пространстве параметров подобрать точку Пі так, чтобы для каждого элемента выполнялись ограничения:
При этом, явно или неявно, считается, что равнопрочная конструкция обладает минимальной массой. В пользу этого, обычно, приводится следующее простое соображение: каждый элемент работает на пределе и если какой-нибудь элемент ослабить (уменьшив массу), то конструкция разрушится. Однако известно, (см. например /бву) и ниже ещё раз показано, что дело не всегда обстоит так. Можно привести контрдовод. Если некоторые элементы расположены выгоднее и работают эффективнее других или дают меньший вклад в массу (т.е. предполагается неравноценность элементов), то имеет смысл сделать их настолько мощными (увеличив массу), что они не будут нагружены до предела, но разгрузят другие элементы (т.е. предполагается взаимное влияние одних элементов на другие), ослабив которые можно получить общий выигрыш в массе. Тут делается два предположения: о неравноценности и взаимном влиянии элементов.
Ниже будет доказано, что для конструкций, не обладающих хотя бы одним из этих свойств, равнопрочный проект является проектом минимальной массы. По-видимому, аналогичное утверждение справедливо и для конструкций, у которых хотя бы одно из этих свойств выражено слабо.
Часто удается отыскать равнопрочный проект с помощью итера ционного процесса, построенного, с той или иной модификацией, на основе простого правила: перегруженные элементы усиливаются, а недогруженные - ослабляются. В этом случае нахождение равнопроч ного проекта, или точки близкой к нему, гораздо проще, чем реше ние задачи нелинейного программирования при отыскании оптимально го проекта. Опыт показывает, что зачастую равнопрочный проект яв ляется оптимальным или очень близок к нему по массе. Однако, надо отдавать себе отчет в том, что с самого начала ставится задача отыскания именно равнопрочного проекта, а итерационный процесс может не дать желаемого результата. Поэтому не следует удивлять ся, если получается не оптимальный проект. Отыскание же равнопроч ного проекта, как решения следующей задачи нелинейного программи рования: подобрать hL такие, чтобы достигала минимального значения (в частном случае 0), ничуть не проще, чем отыскание оптимальной точки.
Проанализируем на простом примере трудности, с которыми можно столкнуться при отыскании равнопрочного проекта. Рассмотрим тонкостенную двутавровую консольную балку, на конце которой приложена поперечная сила и .
Описание метода оптимизации
Пусть крыло разбито по длине вдоль оси Z на несколько участков (см. рис. 9). Толщины отдельных элементов сечения на каждом участке считаются постоянными. Нагрузки и конфигурация крыла (тип силовой схемы) заданы.
Первый (от заделки) участок будем рассчитывать по методике, изложенной в 1.5 для областей I, П. Для остальных участков примем модель области Ш. В случае необходимости модель области П можно распространить и на следующие участки, что приведет к незначительным усложнениям при решении краевой задачи. Усложнения будут связаны с необходимостью пересчета частных решений при переходе от одного участка к другому и вычислением новых матриц дифференциального уравнения, соответствующих следующему участку.
Задачу отыскания оптимального проекта будем ставить следующим образом: подобрать толщины элементов сечений Оі таким образом, чтобы достигался минимум целевой функции массы Сг = OL , выполнялись ограничения по прочности &L L JІ и технологические ограничения oL / о і 7/ О. Как уже отмечалось в 2.1, других ограничений мы не рассматриваем.
Здесь oil - площади поверхностей каждого элемента Si на одном участке, умноженные на плотность материала У І и умножен J ные на коэффициенты К± (см. формулы (I.I8)); толщины элементов, они же являются варьируемыми параметрами.
Методика прочностного расчета, изложенная в главе I, позволяет провести декомпозицию конструктивных параметров и ограничений, поскольку характеристические напряжения конструктивных элементов на каждом участке определяются только параметрами этого участка. Т.е. все параметры и ограничения можно разбить на отдельные группы таким образом, что вариации параметров из каждой фиксированной группы приводят к изменению только соответствующей группы характеристических напряжений и не влияют на остальные характеристические напряжения.
Таким образом, общую задачу отыскания оптимального проекта мы сводим к нескольким частным задачам отыскания оптимальных сечений всех участков крыла. При этом размерность каждой частной задачи в К раз.меньше размерности общей задачи (где К - количество участков).
В число варьируемых параметров можно включить еще площади поперечных сечений стрингеров и поясов лонжеронов, а также предусмотреть возможность вариации типа материала (т.е. , Cr ,/ /). Однако, это далеко не всегда имеет смысл делать, поскольку увеличение числа параметров ведет к усложнению задачи, а эти параметры зачастую подчинены другим требованиям, которые почти полностью их определяют.
Например, для повышения прочности конструкции вкладывать материал в стрингеры и пояса лонжеронов не эффективно, т.к. они работают только на растяжение (сжатие) и не воспринимают сдвиговых усилий. Однако требования устойчивости и технологии заставляют определенное количество материала расходовать на продольный на бор. Мы будем считать, что К: и Д г; , фигурирующие в формулах главы I, фиксированы и определяются требованиями технологии и обеспечения необходимой устойчивости конструкции.
Теперь несколько замечаний относительно выбора типа материала. Как правило, конструктор может использовать лишь два-три конкретных вида. Причем материал зачастую определяется не требованиями прочности. Поэтому нет смысла делать абстрактные вариации по Е , tr , [б] , а достаточно провести оптимизационный расчет для каждого материала отдельно, а потом сравнить проекты.
Если выбор материала определяется только прочностными требованиями, то можно провести следующие, не очень строгие рассуждения, позволяющие заранее сказать, какому материалу, по-видимому, следует отдать предпочтение.
В разных проектах нагрузка распределяется среди элементов по-разному. Отыскание оптимального проекта фактически эквивалентно поиску некоторого оптимального распределения характеристических усилий Гі біді , воспринимаемых отдельными элементами. Можно предположить, что это распределение не зависит (или слабо зависит) от типа материала, а определяется только тем, насколько выгодно (или невыгодно) расположен в конструкции элемент. Т.е., если считать, что в оптимальных конструкциях из различных материалов усилие, воспринимаемое каждым элементом, постоянно, то можно приближенно написать, что масса
